四川省泸州市龙马潭区九年级数学上学期课后作业（人教版第二十五章第四节一元二次方程根与系数关系）

**基本信息** 同步练习针对九年级上册“一元二次方程根与系数的关系”，采用“基础巩固-能力提升-拓展拔高”三层设计，覆盖公式应用、综合运算到创新探究，适配新授课分层巩固需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|韦达定理直接应用、简单代数式求值|纠正符号错误，强化“不解方程求值”思维| |能力提升|含参数方程求参数、判别式应用|规范解题步骤，结合判别式检验根的存在性| |拓展拔高|反向构造方程、新定义问题|对接中考，补充公式推广，培养创新意识|

不积硅步，无以至千里 一元二次方程根与系数的关系-课后作业 人教版九年级上册第二十五章第四小节 一、作品的基础信息 结构 内容 作品名称 课后作业 :一元二次方程 -根与系数的关系 学段学科 初中数学 年级学期 九年级上学期 教材版本 人教版（四川泸州） 题型分类 选择-填空-问题解决-新定义 题型难度 基础巩固-能力提高-拓展研究 作业时长 20-35分钟 设计者 杨洋 二、作业设计依据 依据本节课教学重难点：学生掌握韦达定理公式，能不解方程利用两根和、两根积解决求值、参数、根的性质问题，落实基础知识、提升代数变形与整体代入思想，适配课堂所学梯度。 三、作业设计目标 知识目标：熟练掌握一元二次方程:根与系数关系：，，牢记使用前提 。 能力目标：掌握常见代数式变形技巧，会整体代入求值；能结合韦达定理求参数、判断根的正负、检验根的合理性。 素养目标：培养学生严谨运算、分类讨论、逻辑推理的数学素养，养成做题先判 的良好习惯。 四、作业分层设计（基础 + 提升 + 拓展） （一）基础巩固（全员必做:10分钟） 设计目的：巩固公式记忆、熟练直接套用，解决基础易错点 已知一元二次方程，直接求两根之和、两根之积。 简单代数式求值：、 、 基础变形。 简单判断：不解方程，判断两根同号、异号、正负情况。 训练重点 纠正符号错误（最常见易错） 强化 “不解方程求值” 的解题思维 （二）能力提升（大部分学生完成:10分钟） 设计目的：突破本节课重难点，提升综合运用能力 含参数一元二次方程，已知两根和 / 积，求参数的值。 已知两根关系，结合 求参数取值范围。 已知一根，利用韦达定理求另一根与参数。 训练重点 做题必须检验判别式，规避增根 掌握参数题型的规范解题步骤 （三）拓展拔高（学有余力选做:15 分钟） 设计目的：对接中考，提升思维，培优拔高 根据给定两根，反向构造一元二次方程。 复杂代数式综合变形求值。 结合根的正负、整数根、绝对值根的综合题型。 公式的补充:根与系数的关系的推广 1. 2. 3. 4. 5. 6. 五、作业评价 基础巩固题：侧重评价学生对韦达定理公式的识记与直接运用，看计算结果是否准确。重点关注学生是否注意一元二次方程二次项系数不为0，基础题型重在落实基础知识，做错要求学生订正，夯实课本核心公式。 能力提升题：不只看答案正误，重点评价解题步骤完整性。观察学生能否对代数式合理变形，是否会结合判别式∆判断方程实数根存在条件。对思路正确但计算失误给予肯定，引导学生厘清逻辑，规范书写答题过程。 新定义拓展题（选做）：鼓励为主，不苛求全部做对。评价学生读取新信息、迁移知识的能力，看是否敢于综合运用判别式、根与系数关系进行推理。只要有合理思考过程就予以肯定，针对思路漏洞加以点拨，拓展学生数学思维。 以练促思，巩固新知 一：基础巩固 1：若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 2：已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2028 B．2026 C．2025 D．2024 3：已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 4：（举一反三）关于x的方程的两个根是和1，则的值为_________． 5：已知方程的两个根互为相反数，则________，方程的根为________． 6：若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 7：已知α，β是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 二：能力提升 8：若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 9：（举一反三）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____ ． 10：方程的两个根分别为，当m____时，有最小值． 11：已知：m，n是方程的两根，则________． 三：拓展拔高 12：阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，；创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 13：“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 14：定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 答案解析 1：A 解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得 2： 2025 解：∵a，b是方程的两个实数根，∴， ∴ 易错提醒：容易把和当成一元二次方程的系数 3：-5 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 4：16 解：∵关于的方程的两个根是和， 可得，，解得，，将，代入， 得． 方法点播：这道题主要求一元二次方程含参数的根与系数的关系 5： , 解：设两根为 ，由题意得， 由根与系数的关系得：， ，方程化为 ，则，， ． 6： -2 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，可得：，．∴． 7：(1）解：∵α，β是方程的两根， ∴，． ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． ∴或． 二：能力提升 8： 2028 解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 方法点播：先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 9：解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴ ， ， ． 10：解：方程的两个根分别为， ，， ∵， ∴， ∵方程有两个根， ∴，即， 解得：， ∵， ∴时，y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 易错点播:首先很多学生会忽略用判别式判定的取值范围 直接得出结果为-4，其次熟练掌握配方法去解决问题，注意题目求的不是最终的整式的结果。 11： 方法一：降次 解：∵m，n是方程的两根，将两个根代入得， 整理得， ∴，， ∴． 由根与系数的关系可得，，， ∴原式 方法二：直接去括号∵m，n是方程的两根，∴ = 三：拓展拔高 12： 解：∵是两个不相等的实数，且满足，， ∴可将看作是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴原式 ， ， ， ， 故答案为：． 方法点播：将看作是一元二次方程的两个实数根是解题的关键． 13：【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程 得：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 14：（1）此方程为“限根方程”（因式分解法）： ， 解得：，， ∵， ∴方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得，， ∵， ∴, ∴或； 当时，，， ∴, ∴符合题意； 当时，， ∴, ∴（不符合题意，舍去）， ∴k的值为2. 六、作业反思 课堂要反复强调韦达定理使用的前提条件，加强步骤书写训练；针对作业中的共性错误集中讲评，个性问题单独辅导；适当降低拓展题入门难度，多引导学生读懂新定义条件，同时重视错题复盘，帮助学生理清错因，进一步提升综合解题能力（结合当地特色）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $