第二十五章 一元二次方程 25.2 降次 —— 解一元二次方程 25.2.2 公式法-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

25.2.2 不抓基础·达标练 知识点1一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程x2-2x-5=0的根的判别式的值为 A.24 B.16 C.-16 D.-24 2.一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（) A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2 4.利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)x2-2x-1=0: (2)x(x+1)=3x2 8 知识点2用公式法解一元二次方程 5.用公式法解下列方程： （1)x2-2x-2=0; I川8名校作业数学9年级上 公式法 (2)4x2-3x+1=0; (3)10x-25=x2; (4)x2+2V2x-6=0; （5)3x2+x-2=5x-3; (6)(2x-1)(x+3)=-5. 6.小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过 程如下： 解：a=1,b=-5,c=1. (第一步) 4=b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21. (第二步) 方程有两个不相等的实数根 x=-b±VBF-4ac5±V2I (第三步) 2a 2 5+V21 5-V21 即x,= Γ，X2= (第四步) 2 2 (1)小明的解答过程是从第 步开始出 错，其错误原因是 (2)写出正确的解答过程， 学抓重点·提升练 7.用求根公式解得关于x的一元二次方程ax+ bx+c=0的两个根互为相反数，则 A.b=0 B.c=0 C.b2-4ac=0 D.6+C=0 8.若关于x的一元二次方程x2+4x+k-1=0有实数 根，则k的取值范围是 9.已知关于x的一元二次方程x+(2m+1)x+m- 2=0.求证：无论m取何值，此方程总有两个不 相等的实数根， 1=2+1=4×1×一 4+41一4+ =+0 ,无论秋取何信，此方程总有两个不相等的实数根 10.阅读下面材料： 解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0. 解：设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0. a=3,b=7,c=4. △=b2-4ac=72-4x3×4=1>0. -7±V1 方程有两个不相等的实数根)2x3 -7±1 6 =-1y23 当y=-1时，x-2=-1,.x=1. 当时24 3,.. 3 2 ·原方程的根为x=1-3 请仿照上述方法解一元二次方程：2(x-3)2 5(x-3)-7=0. 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆 心，BC的长为半径画弧，交AB于点D;以点 A为圆心，AD的长为半径画弧，交AC于点E. (1)若BC=2,AC=2V3,求AD的长 (2)设BC=a,AC=b,线段AD的长是关于x的 一元二次方程x2+2a.x-b2=0的一个根吗？ 请说明理由. 第二十五章一元二次方程9 25.2.2公式法 1.A解析在方程x2-2x-5=0中，△=(-2)2-4×1×(-5)= 24 2.B解析.△=(-2)2-4×4×(-1)=20>0. .一元二次方程4x2-2x-1=0有两个不相等的实数根 3.C解析A.△=(-2)2-4×1×0=4>0，有两个不相等的实 数根； B.4=42-4×1×(-1)=20>0,有两个不相等的实数根； C.4=(-42-4×2×3=-8<0,无实数根； D.方程整理为3x2-5x+2=0,4=(-5)2-4×3×2=1>0,有两 个不相等的实数根 4.解：(1)在方程x2-2x-1=0中，△=(-2)2-4×1×(-1)=8>0 所以方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数根 1 (2)方程化为2x-+80. 4=(-1P-4x2xg0. 所以方程x+1)=3x+8有两个相等的实数根 5.解：(1)a=1,b=-2,c=-2 △=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=12>0. 方程有两个不相等的实数根 -6±VP-4c-(-2)±V厘-1V5, 0 2×1 即x,=1+V3,x,=1-V3. (2)a=4,b=-3,c=1. 4=b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0. 方程无实数根。 (3)方程化为x2-10x+25=0. a=1,b=-10,c=25 4=b2-4ac=(-10)2-4×1×25=0. 方程有两个相等的实数根，=%=。二10 =5 2a2×1 (4)a=1,b=2V2,c=-6. 4=b2-4ac=(2V2)2-4×1×(-6)=32>0. 方程有两个不相等的实数根 -b±VB-4ae-2V2±V32-V2t2V2, X= 2a 2×1 即x1=V2,x,=-3V2 (5)方程化为3x2-4x+1=0. a=3,b=-4,c=1. 4=b2-4ac=(-4)2-4×3×1=4>0. 方程有两个不相等的实数根 =-b±VF-4ac(-4)±V44±2 2a 2×3 6 1 即x=1,为3 (6)方程化为2x2+5x+2=0. a=2,b=5,c=2. △=b2-4ac=52-4x2×2=9>0. 方程有两个不相等的实数根 x=-b±VB-4ac-5±V9-5±3 2a 2×2 4 1 即x2-2. 6.解：(1)一原方程没有化成一般形式，把方程右边的 常数1误认为是一元二次方程一般式ax2+bx+c=0中c 的值 (2)方程化为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1. 4=b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0. 方程有两个不相等的实数根 x=-b±VF-4ae-(-5)±V295±V29 2a 2×1 2 即x=5+V29 .-5-V29 2 2 7.A解析：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个 根互为相反数 .x1十x2= 6+VB -4ac-b-Vb -4ac=b=0. 2a 2a .∴.b=0. 8.k≤5解析由题意，得△=4-4(k-1)≥0， ..s 5. 9.证明：.4=(2m+1)2-4×1×(m-2) =4m2+4m+1-4m+8 =4m2+9>0, ∴.无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根 10.解：设x-3=y,则原方程可化为22-5y-7=0. a=2,b=-5,c=-7. 4=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81>0. 5±V8I5±9 方程有两个不相等的实数根)=2×2 4 7 2=-1. 当y时3子 2 当y=-1时，x-3=-1,.=2. 13 “原方程的根为x2x2, 11.解：(1)由作图可知BD=BC=2. 由勾股定理，得AB=VBC2+AC2=22+(2V3)「=4. ∴.AD=AB-BD=2. (2)是 理由：由作图可知BD=BC=a. 由勾股定理，得AB=VBC2+AC=Va2+62 ..AD=AB-BD=Va2+B2-a. 解方程x2+2ax-b2=0,得△=(2a)2-4(-b2)=4a2+4b2>0. x=-2a±V4a2+46 =±Va2+62-a. ∴.线段AD的长是关于x的一元二次方程x+2ax-b2=0 的一个根。