2026-2027学年人教版第一学期九年级数学第一次月考模拟试卷

2026-2027学年度初中数学期中考试卷 考察范围：第25章《一元二次方程》、第26章《二次函数》 本卷满分100分，考试时间100分钟。 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．【新考向 条件开放题】 二次函数y＝2x2－3x＋□的图象与x轴有两个交点，则“□”表示的数可以是 (　　) A．1 B． C．2 D．3 4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 6．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 7．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 8．【新角度 逆向思维】 二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a－b＋c＜ 0，则它的图象可能是(　　) 9．【新考向 说法辨析】 题目：“已知函数y＝(a－2)x2＋(a＋1)x＋b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，求a的值.”对于其答案，甲答：a＝－1/4，乙答：a＝0，则正确的是(　D　) A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题 11．已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 12．将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 13．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 14．【新考向 创新综合】 二次函数y＝ax2－2ax＋2(a＜0)的图象过A(－1，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)三个点.若y1y2y3＜0，则a的取值范围是 ⁠. 15．若关于的二次函数的图象与轴只有一个交点，则一元二次方程有两个________的实数根，从而根据判别式可得________． 16．个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 17．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 18．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 三、解答题 19．（本题16分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 20．（本题6分）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 21．（本题6分）某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件．如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元．当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 22．（本题8分）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 23．(10分)【新考向 程序图】 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示：输入x的值为－2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6. (1)直接写出k，a，b的值. (2)小明在平面直角坐标系中画出了y关于x的函数图象，如图②.①若关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为常数)在0＜x＜4时无实数解，求t的取值范围.②若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合)，P的横坐标为mQ的横坐标为－m＋1.小明对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围. …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次月考试卷答案解析 考察范围：第25章《一元二次方程》、第26章《二次函数》 本卷满分100分，考试时间100分钟。 一、单选题 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A：将展开得，整理为，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：是一元二次方程，符合题意； 选项D：含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（本题3分）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3．3．【新考向 条件开放题】 二次函数y＝2x2－3x＋□的图象与x轴有两个交点，则“□”表示的数可以是 (　　) A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.4 4．（本题3分）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】根据同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．（本题3分）用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 6．（本题3分）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 7．（本题3分）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 8．【新角度 逆向思维】 二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a－b＋c＜ 0，则它的图象可能是(　C　) 9．【新考向 说法辨析】 题目：“已知函数y＝(a－2)x2＋(a＋1)x＋b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，求a的值.”对于其答案，甲答：a＝－1/4，乙答：a＝0，则正确的是(　D　) A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 10．（本题3分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题 11．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【难度】0.7 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 12．（本题3分）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 13．（本题3分）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 14．【新考向 创新综合】 二次函数y＝ax2－2ax＋2(a＜0)的图象过A(－1，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)三个点.若y1y2y3＜0，则a的取值范围是 ⁠.－＜a＜－ 15．（本题3分）若关于的二次函数的图象与轴只有一个交点，则一元二次方程有两个________的实数根，从而根据判别式可得________． 【答案】 相等 1 【难度】0.7 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】二次函数图象与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数，交点个数为1时对应判别式等于0，据此计算的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根. 对于一元二次方程，根的判别式满足， 其中，，，代入得： ， 整理得， 解得． 16．（本题3分）个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【答案】 是 【难度】0.7 【知识点】二次函数的识别、列二次函数关系式 【分析】个人每人与其余人握手，每次握手被计算了2次，除以2得到总握手次数，再根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：∵个人参加聚会，每个人需要和除自身外的个人握手， ∴计算得到未去重的总握手次数为， ∵与握手和与握手是同一次握手，每次握手被计算了2次， ∴实际总握手次数， 整理得，符合二次函数的定义，因此它是二次函数． 17．（本题3分）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 18．（本题3分）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（本题16分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】略． 【详解】（1）解： ， （2） ， （3） ， （4） 或 ， 20．（本题6分）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 21．（本题6分）某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件．如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元．当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】降价 元时，最大利润 元 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出二次函数，利用二次函数顶点性质求出利润最大值对应的降价金额与最大利润． 【详解】解：∵每件童装降价x元， ∴则每件利润为元，平均多售出件， 由题意有，即， ∴ 设利润为y元，则有， 由可知，该函数的开口向下，是图像的对称轴， 此时y有最大值为 ， 即当每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 22．（本题10分）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【难度】0.81 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 24 【答案】24.解：(1)a＝1，b＝－2，k＝1.(3分) 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度初中数学期中考试卷 考察范围：第25章《一元二次方程》、第26章《二次函数》答题卡 学校 姓名： 班级： 考号： 选择题（请用2B铅笔填写） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 11题、 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 20题、 21题、 22题、 23题、 3.2 ------------- 5