3.2双曲线 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
2026-08-16
|
11页
|
117人阅读
|
1人下载
摘要：
**基本信息**
北京十一学校高二双曲线单元卷，覆盖实轴长、离心率等核心知识，结合3D打印等真实情境与逻辑推理，适配单元复习，提升数学眼光与思维能力。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|填空题|14/84|实轴长、离心率、渐近线、与圆结合、3D打印应用|基础巩固（如第1题实轴长）到创新应用（第10题3D打印塔筒），体现数学眼光观察现实|
|解答题|1/16|渐近线、平行四边形面积|综合平行线与渐近线关系，需逻辑推理与数学语言表达，适配单元能力提升|
内容正文：
2026学年北京十一学校四高二数IIID双曲线测试
姓名：_______________ 分数：_______________
一、填空题（共14小题，每题6分，共84分）
1.双曲线的实轴长为_____________________.
2.已知双曲线的离心率为，则实数的所有可能取值为_____________________.
3.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为_____________.
4.双曲线的焦点为，且点为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的渐近线方程为_____________________.
5.双曲线过点，且与双曲线共渐近线，则的标准方程为___________________.
6.已知双曲线与直线相交于两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____________________.
7.双曲线上的点到点距离的最小值为_____________________.
8.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_____________________.
9.点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点. 若为等边三角形，则双曲线的离心率为_____________________.
10. 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为_____________________.
11.双曲线与过定点的直线有且仅有一个公共点，则该直线在轴上的截距的所有可能取值为_____________________.
12.已知对勾函数的图象也是双曲线，则其离心率为_____________________.
13.已知点是双曲线右支上的一点，点分别为其左、右焦点，设的内切圆和切于点，若，则该双曲线的离心率为_____________________.
14.已知点是双曲线的左焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的渐近线方程
为_____________________.
二、解答题（共1小题，共16分）
15.过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线围成平行四边形，求该平行四边形的面积（用表示）.
2026学年北京十一学校四高二数IIID双曲线测试答案详解
姓名：_______________ 分数：_______________
一、填空题（共14小题，每题6分，共84分）
1.双曲线的实轴长为_____________________.
答案：
解析：双曲线，即，
，
，
双曲线的实轴长为.
2.已知双曲线的离心率为，则实数的所有可能取值为_____________________.
答案：或
解析：①当焦点在轴上时，，
，
双曲线的离心率为，
，
，即，解得；
②当焦点在轴上时，，
，
双曲线的离心率为，
，
，即，解得.
综上所述，实数的所有可能取值为或.
3.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为_____________.
答案：
解析：设双曲线的焦距为，
双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，
，即，
，
，
又，
.
4.双曲线的焦点为，且点为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的渐近线方程为_____________________.
答案：
解析：双曲线的焦点为，且点为该双曲线上一点，，，
，
，
又，
该双曲线的渐近线方程为.
5.双曲线过点，且与双曲线共渐近线，则的标准方程为___________________.
答案：
解析：设双曲线的方程为，
把点代入，可得，即，
双曲线的方程为，即.
6.已知双曲线与直线相交于两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____________________.
答案：
解析：设点，点，
则，，，
①，②，
由①②可得，，即，
双曲线的离心率.
7.双曲线上的点到点距离的最小值为_____________________.
答案：
解析：设双曲线上的点坐标为，点到点的距离为，
则，
当时，.
8.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_____________________.
答案：
解析：双曲线，
，
如图所示，，，
，
由圆的几何性质可得，的最小值是，
的最小值是.
9.点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点. 若为等边三角形，则双曲线的离心率为_____________________.
答案：
解析：由题意得，，
由双曲线的定义可得，，
又，即，
在中由余弦定理可得，，
即，
，即，
.
10. 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为_____________________.
答案：
解析：如图，以喉部所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
由题可知，，
又，
，
，
，
由上底直径为，设双曲线过点，
又下底直径为，高为，
双曲线过点，
，解得，
又喉部（最细处）为双曲线的两顶点间的距离，
.
11.双曲线与过定点的直线有且仅有一个公共点，则该直线在轴上的截距的所有可能取值为_____________________.
答案：或或
解析：①若直线斜率不存在，则直线为，截距为；
②若直线斜率存在，设过定点的直线方程为
联立可得，整理可得，，
若，即，
若，则直线方程为，
令可得，，解得；
若，同理可得；
若，则，
，
直线方程为，
令，解得.
综上所述，该直线在轴上的截距的所有可能取值为或或.
12.已知对勾函数的图象也是双曲线，则其离心率为_____________________.
答案：
解析：由对勾函数的性质可得在上单调递减，
在上单调递增，
在时，当时，且函数为奇函数，函数图象关于原点对称，
双曲线的方程为，
双曲线的两条渐近线方程分别为，
渐近线与实轴的夹角为，
，
，解得或（舍去），
，
，
.
13.已知点是双曲线右支上的一点，点分别为其左、右焦点，设的内切圆和切于点，若，则该双曲线的离心率为_____________________.
答案：
解析：设点点，
点是双曲线右支上的一点，
，
设在中，，
的内切圆和切于点，
，
，
，与联立可解得，，
.
14.已知点是双曲线的左焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的渐近线方程
为_____________________.
答案：
解析：根据对称性，不妨设点都在轴上方，
联立可得，解得点，
又点，且，设点，
，
，解得，
又点在双曲线上，
，
，
，
，
，
，
，
双曲线的渐近线方程为.
二、解答题（共1小题，共16分）
15.过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线围成平行四边形，求该平行四边形的面积（用表示）.
答案：
解析：设点，过点分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点，
联立可得，点，
同理可得，点，
，，
.
该平行四边形的面积为.
3 / 4
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
1
2
3
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台，不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益，请联系学科网，我们核实后将及时进行处理。