精品解析：陕西咸阳市秦都区方圆学校2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业八年级数学

2026～2027学年度第一学期第一次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 3. 以下各组长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，两个较大的正方形的面积分别为14和8，则最小的正方形的边长为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 7. 面积为的教室恰好被225块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将纸片沿折叠，点的对应点恰好落在的延长线上，．若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 要使二次根式有意义，则的值可以是______________．（写出一个即可） 10. 如图，在中，，，则的度数为______________． 11. 一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为_______ 12. 若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 13. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺． 14. 如图，已知圆柱的底面直径为，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点和点绕有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度的最小值为______________cm． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 如图，在中，，求的长． 17. 已知，，求的值． 18. 如图，在中，，点在边上，连接，已知，，，求的长． 19. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是1600焦耳，求该运动员的跑步速度．（结果保留根号） 20. 如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 21. 如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 22. 如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 23. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 24. 在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米． （1）请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由； （2）新道路比原道路短多少千米？ 25. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封如图所示，其长、宽之比为，面积为． （1）正方形贺卡的边长为______________； （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 （2）如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据无理数的定义判断各数． 【详解】解：是有限小数，、是整数，均为有理数． 是无理数． 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解： ， 的立方根是． 3. 以下各组长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】验证两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，即可判断能否组成直角三角形. 【详解】解：选项，，，，不能组成直角三角形； 选项，，，，不能组成直角三角形； 选项，，，，不能组成直角三角形； 选项，，，能组成直角三角形. 4. 在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式加减的合并条件、算术平方根的非负性快速排除错误选项，结合乘法法则验证正确选项． 【详解】解：A、C选项：与不是同类二次根式，不能直接合并，运算均错误． B选项：，运算错误． D选项：，运算正确． 6. 如图，以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，两个较大的正方形的面积分别为14和8，则最小的正方形的边长为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积求解即可． 【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积， ∴直角三角形的斜边平方为14，一条直角边的平方为8， ∴另一条直角边的平方为， ∴最小正方形A的面积是6，边长为． 7. 面积为的教室恰好被225块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用未知数表示出每块正方形地砖的面积，再根据总面积列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设每块地砖的边长为， ∵教室总面积为，恰好被225块相同的正方形地砖铺满， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 因此每块地砖的边长为． 8. 如图，将纸片沿折叠，点的对应点恰好落在的延长线上，．若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活应用．由勾股定理计算的值，设,则根据折叠可表示出各边长，列出方程求得的值，即可计算面积． 【详解】解：∵．，， ∴, 由折叠得, 设,则, , 又, ∴, 即, 解得, ∴， ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 要使二次根式有意义，则的值可以是______________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于或等于0，先求出m的取值范围，再任取范围内一个值即可． 【详解】解：当二次根式有意义时，被开方数是非负数， ，解得， 任意大于或等于1的数都符合要求，此处取2． 10. 如图，在中，，，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理求出，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：， ， ， 又在中，， ． 11. 一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6， 解得： 这个正数是 故答案为： 【点睛】本题考查正数的平方根互为相反数的特点，考查正数的平方根与它本身的关系，掌握以上知识点是解题关键． 12. 若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【解析】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 13. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由速度时间相同得，利用勾股定理列方程，化简求解得到． 【详解】解：设时尺， 小溪的宽度时尺， 时尺， 棕榈树高时尺，棕榈树高时尺， 在中，， 在中，， 两只鸟以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标， ， ， 化简得， 解得， 时尺． 14. 如图，已知圆柱的底面直径为，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点和点绕有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度的最小值为______________cm． 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱侧面沿剪开并展开为矩形，根据底面直径求出底面周长，确定点、、在展开图中的位置；金属丝为闭合圈且经过、，其最小长度对应展开图中线段与（为的对应点）之和 ． 【详解】解：圆柱的底面直径为， 底面周长，圆柱的高， 将圆柱侧面沿剪开并展开，得到一个长为、宽为的矩形， 设展开图左下角为点，则左上角为点，右下角为点（与重合），右上角为点（与 重合），如图， 为圆柱底面圆的直径， 点在底面圆周上距离点半个周长的位置， 在展开图中，点位于底边的中点，即， 金属丝是一圈且经过点和点的封闭曲线， 金属丝在展开图上对应连接点和点且经过点的路径，要使金属丝长度最小，路径应为线段与线段的和， 在中，，， ， 同理，在中， 与 重合，，， ， 金属丝的最小长度为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 如图，在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可． 【详解】解；∵在中，， ∴． 17. 已知，，求的值． 【答案】解：∵，， ∴，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加减法和平方差公式．先计算，，的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】略 18. 如图，在中，，点在边上，连接，已知，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是1600焦耳，求该运动员的跑步速度．（结果保留根号） 【答案】 该运动员的跑步速度为米/秒 【解析】 【分析】将已知的动能与质量代入动能公式，求解速度的正实根即可． 【详解】解：由题意得，，代入， 得， 整理得， ∵， ∴． 答：该运动员的跑步速度为米/秒． 20. 如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 【答案】 【解析】 【分析】剩余铁皮的面积等于原矩形铁皮的面积减去4个剪去的小正方形的面积，利用矩形和正方形的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：由图可得，原矩形铁皮的面积为：， 4个剪去的小正方形的总面积为：， ∴剩余铁皮的面积为：， 答：剩余铁皮的面积为． 21. 如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【解析】 【分析】利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 22. 如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再根据求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得： ， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为、， ∴​． 23. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可． 求出代数式的值，再利用算术平方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 的算术平方根为． 24. 在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米． （1）请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由； （2）新道路比原道路短多少千米？ 【答案】（1）道路是从村庄到公路的最短路径；理由如下： 千米，千米，千米， ， ， ， 是从村庄到公路的最短路径； （2）新道路比原道路短千米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得，即可得到答案； （2）设（千米），根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设（千米），则（千米）， （千米）， ， ， ， ， 解得， （千米）， （千米）， 新道路比原道路短千米． 25. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封如图所示，其长、宽之比为，面积为． （1）正方形贺卡的边长为______________； （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 【答案】（1）10 （2）长方形信封的长为，宽为 （3）能， 理由：正方形贺卡的边长为，长方形信封的宽为， ∵，， ∴，即长方形信封的宽大于正方形贺卡的边长 ∴小明能将贺卡不折叠就放入此信封． 【解析】 【分析】（1）直接运用算术平方根求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （3）将贺卡的边长和信封的宽进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：正方形贺卡的边长为； 【小问2详解】 解：设长方形信封的长为，宽为， 根据题意，得，则 解得或（不符合题意，舍去） ∴长方形信封的长为，宽为； 【小问3详解】 略 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 （2）如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； ②∵，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则； （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明，然后利用“”证明三角形全等即可； ②先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质证明，，然后利用勾股定理可得结论； （2）先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，，进而可得，然后利用勾股定理可得结论． 【小问1详解】 ①略； ②略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $