精品解析：陕西省咸阳市秦都区咸阳彩虹学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期课后综合作业（三） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 4的算术平方根是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据算术平方根的运算法则即可求解． 【详解】解：的算术平方根是：， 故选：B． 2. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：A．中，未知数次数为2，不是二元一次方程； B．中，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，是二元一次方程； C．中含有分式，不是整式方程，不是二元一次方程； D．中只有一个未知数，且次数为2，不是二元一次方程； 故选：B． 3. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数是（ ） A. 3分 B. 3.55分 C. 4分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可 【详解】解：∵， ∴由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的，人数最多， 所以所打分数的众数为4分， 故选：C． 【点睛】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 4. 下列四组数值中，是二元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解． 将每个选项的x和y的值代入方程，计算是否等于3即可． 【详解】解：A．，不是二元一次方程的解； B．，不是二元一次方程的解； C．，不是二元一次方程的解； D．，是二元一次方程的解； 故选：D． 5. 如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立平面直角坐标系用坐标表示，若牡丹园的坐标是，南门的坐标是，则湖心亭的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查利用点的坐标表示实际的地理位置，根据已知的条件确定原点的位置，由此确定其他点的坐标是解题的关键． 根据题中的牡丹园和南门的坐标确定原点的位置，即可得到湖心亭的坐标． 【详解】解：由题意可得： 可知湖心亭的坐标为． 故选：B． 6. 《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）和正比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图象和一次函数的图象，解答本题的关键是明确它们的性质，写出函数经过的象限． 根据m的正负情况，分别写出函数和经过的象限，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：当时， 正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大，经过第一、三象限， ，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选项B，D不符合题意； 当时， 正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小，经过第二、四象限， ，一次函数的图象过第一、三、四象限，故选项C不符合题意，选项A符合题意． 故选：A． 8. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，整式的混合运算，利用二次根式的性质化简等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：____（填“”、“”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小比较，根据，且，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查方差：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据离差平方和除以数据的个数可得结论． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：8． 11. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 设该一次函数表达式为，由与直线平行可得，再代入点求即可． 【详解】解：设该一次函数表达式为， ∵该一次函数的图象经过点，且与直线平行， ∴， 即一次函数表达式为， 将点代入得， 解得， 故一次函数表达式为． 故答案为：． 12. 已知点与点关于x轴对称，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，整式的计算，熟练掌握坐标系中点的特征与整体代入是解题的关键，根据关于x轴对称的点坐标特征得到，再利用整体代入即可求出的值． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，即， ∴ 故答案为：12． 13. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作，由，，证，根据勾股定理，，即可求解． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，求一个数的立方根． 先计算二次根式的乘法，二次根式化简，立方根，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据代入消元法计算即可． 【详解】解： 由①，得．③ 将③代入②，得， ． 将代入③，得． 所以原方程组的解为. 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据加减消元法计算即可． 【详解】解：， 由①，得， 即．③ ，得， 解得． 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 18. 为提升学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，某校举办“玩转数学”比赛．评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行考核，且分别按的占比计入最终成绩，各项成绩均按百分制记录．已知甲的上述三项成绩依次是91分，80分，78分，求甲的最终成绩． 【答案】分 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数． 将三项成绩乘以各自百分比后相加即可． 【详解】解：甲的最终成绩为（分）． 19. 如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 20. 从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 21. 校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 22. 声音的传播速度会受介质、温度等因素影响，在空气中传播时，其速度与气温成一次函数关系．某数学实验小组为了精准探究这一函数关系，在不同气温条件下测得了声音在空气中的传播速度，得到如下一组实验数据： 气温 5 10 15 20 速度 334 337 340 343 请你根据表中信息，回答下列问题： （1）求与之间的函数关系式； （2）当气温为时，声音在空气中的传播速度是多少？ 【答案】（1） （2）当气温为时，声音在空气中的传播速度是 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用. （1）设与之间的函数关系式为，从表中任取两组数据代入计算即可； （2）将代入函数解析式计算即可. 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，． 所以当气温为时，声音在空气中的传播速度是． 23. 紧跟2025年西安“唐诗之都”建设热潮与中华诗词大会的浓厚诗意氛围，某班为弘扬中华优秀诗歌文化，组织各小组开展诗词比赛．1组和2组各派1人参加比赛，满分为30分，共进行了6场比赛．班长整理和汇总了这6场比赛的成绩（均为整数），并制成如下尚不完整的统计表和折线统计图． 组别 平均数 众数 方差 1组 25 2组 25 （1）根据以上信息，___________； （2）求的值； （3）根据以上数据，请你分析1组和2组哪个组的成绩更稳定一些？并说明理由． 【答案】（1）24 （2） （3）2组的成绩更稳定一些，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、平均数与方差． （1）根据众数的定义，观察数据即可判断； （2）根据平均数的定义，判断出2组的6个数据，根据公式求平均值即可； （3）根据方差的定义，成绩越稳定，即数据波动越小，即方差越小，以此判定得出2组的成绩更稳定． 【小问1详解】 解：根据众数的定义，在第一组数据中分出现次数最多， 即众数． 故答案为：24． 【小问2详解】 解：2组的分数依次为：、、、、、， ∴平均数， 故的值为． 【小问3详解】 解：2组的成绩更稳定一些，理由如下： 虽然1组和2组成绩的平均数相同，但是2组成绩的方差小于1组成绩的方差，方差越小说明成绩波动起伏越小，所以2组的成绩更稳定一些． 24. 如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）是直角三角形．见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据折叠的性质得到，，然后得到的长度，在中根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解： 是直角三角形．理由如下： ， ． 是直角三角形，且． 【小问2详解】 由（1）得是直角三角形，且． 把沿折叠，使落在直线上，点对应点为点， ． ． ， ， 解得． 25. 在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备：已知市场上有甲，乙两种新型科研设备，采购3台甲设备与2台乙设备共需600万元，采购2台甲设备与5台乙设备共需950万元． （1）甲，乙两种设备每台的价格分别是多少万元？ （2）该企业拟投入750万元资金全部用于采购甲，乙两种设备（两种设备都要购买），若计划购买甲设备台，乙设备台，请问有几种购买方案？ 【答案】（1）甲设备每台的价格为100万元，乙设备每台的价格为150万元 （2）有两种购买方案：①购买甲设备6台，购买乙设备1台；②购买甲设备3台，购买乙设备3台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设甲设备每台的价格为万元，乙设备每台的价格为万元，根据题意列方程组求解即可； （2）由题意，得，整理，得，求出符合要求的解即可． 【小问1详解】 解：设甲设备每台的价格为万元，乙设备每台的价格为万元． 根据题意，得， 解得， 答：甲设备每台的价格为100万元，乙设备每台的价格为150万元； 【小问2详解】 解：由题意，得，整理，得． 因为都是正整数， 所以或， 所以共有两种购买方案： ①购买甲设备6台，购买乙设备1台； ②购买甲设备3台，购买乙设备3台． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）点的坐标为___________； （2）已知点是直线上一点，且点位于轴的左侧，若，求点的坐标； （3）若点为轴上一点，当时，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）满足条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求一次函数与轴、轴交点、的坐标，再根据中点坐标公式求的坐标． （2）先求直线的解析式，设点坐标，利用面积关系列方程求解． （3）（、在的垂直平分线上），结合平行线性质或垂直平分线性质求的坐标． 【小问1详解】 解： 一次函数中，令，得， 所以 ； 令，得， 解得， 所以 ． 因为 M是中点，， 所以 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入，即，解得， 所以． 由（）知， 设直线的函数表达式为， 将分别代入， 得，解得 所以直线的函数表达式为． 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 设，则， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以．所以． 所以点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，当点在点右侧时，将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线的函数表达式为，此时， 所以． 将代入，即，解得， 所以； 如图，当点在点左侧时，作线段的垂直平分线，交于点， 连接并延长交轴于点，则．所以． 设， 则， 所以， 解得．所以． 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 所以． 所以当时，即，解得． 所以． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、三角形面积计算、平行线与垂直平分线的性质，熟练掌握一次函数解析式的求法及几何图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期课后综合作业（三） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 4的算术平方根是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 下列方程中，是二元一次方程是（ ） A. B. C. 3 D. 3. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数是（ ） A. 3分 B. 3.55分 C. 4分 D. 4. 下列四组数值中，是二元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立平面直角坐标系用坐标表示，若牡丹园的坐标是，南门的坐标是，则湖心亭的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）和正比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（ ） A B. 5 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：____（填“”、“”或“=”）． 10. 已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差___________． 11. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为___________． 12. 已知点与点关于x轴对称，则____． 13. 如图，直线与交点横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 14. 如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程组： 17. 解方程组： 18. 为提升学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，某校举办“玩转数学”比赛．评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行考核，且分别按的占比计入最终成绩，各项成绩均按百分制记录．已知甲的上述三项成绩依次是91分，80分，78分，求甲的最终成绩． 19. 如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 20. 从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 21. 校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 22. 声音的传播速度会受介质、温度等因素影响，在空气中传播时，其速度与气温成一次函数关系．某数学实验小组为了精准探究这一函数关系，在不同气温条件下测得了声音在空气中的传播速度，得到如下一组实验数据： 气温 5 10 15 20 速度 334 337 340 343 请你根据表中信息，回答下列问题： （1）求与之间的函数关系式； （2）当气温为时，声音在空气中的传播速度是多少？ 23. 紧跟2025年西安“唐诗之都”建设热潮与中华诗词大会的浓厚诗意氛围，某班为弘扬中华优秀诗歌文化，组织各小组开展诗词比赛．1组和2组各派1人参加比赛，满分为30分，共进行了6场比赛．班长整理和汇总了这6场比赛的成绩（均为整数），并制成如下尚不完整的统计表和折线统计图． 组别 平均数 众数 方差 1组 25 2组 25 （1）根据以上信息，___________； （2）求的值； （3）根据以上数据，请你分析1组和2组哪个组的成绩更稳定一些？并说明理由． 24. 如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． （1）试判断形状，并说明理由； （2）求的长． 25. 在积极推进科技强国战略大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备：已知市场上有甲，乙两种新型科研设备，采购3台甲设备与2台乙设备共需600万元，采购2台甲设备与5台乙设备共需950万元． （1）甲，乙两种设备每台的价格分别是多少万元？ （2）该企业拟投入750万元资金全部用于采购甲，乙两种设备（两种设备都要购买），若计划购买甲设备台，乙设备台，请问有几种购买方案？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）点的坐标为___________； （2）已知点是直线上一点，且点位于轴的左侧，若，求点的坐标； （3）若点为轴上一点，当时，求出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $