第1讲 有理数 优等生讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第1讲 有理数 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数、负数及有理数的概念，会表示具有相反意义的量 · 掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数 · 理解相反数与绝对值的意义，会求相反数与绝对值 · 掌握有理数大小比较的方法（数轴法、绝对值法） · 能运用绝对值与数轴解决化简、求值与综合探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 大于0的数叫正数，在正数前加负号「−」的数是负数，0既不是正数也不是负数 正负数表示相反意义的量：收入与支出、上升与下降、向东与向西 用正负数表示数量时先规定正方向，再写带符号的数 实际情境中，0有特定意义（如0℃、基准线、原点） 概念辨析例题：某出租车在一条东西走向的大街上行驶送客，从点A出发，向东行驶的路程记为正数，向西行驶记为负数，则向东行驶5km记作______，向西行驶3km记作______ 解析：规定向东为正，则向东5km记作+5km（通常省略＋号写5km），向西3km记作−3km；正负号只表示方向，绝对值表示路程大小。 ☆ 2.数轴 数轴三要素：原点、正方向（通常向右）、单位长度 数轴上的点与有理数一一对应（实数范围内则与实数一一对应） 原点右边为正数，左边为负数，原点表示0 数轴上两点的距离=两点所表示数之差的绝对值：AB=|a−b| 概念辨析例题：在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是−6和6，以点C为折点，将数轴折叠使A与B重合，则折点C表示的数为______ 解析：折叠后A、B重合，说明C是线段AB的中点；A、B所表示的数互为相反数，中点为原点，所以C表示0。 ☆ 3.相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是−a 0的相反数是0 互为相反数的两数在数轴上位于原点两侧，且到原点距离相等 a与b互为相反数⇔a+b=0 概念辨析例题：若a与−3互为相反数，则a的值为______ 解析：互为相反数的两个数只有符号不同，−3的相反数是3，所以a=3；也可由a+(−3)=0解得a=3。 ☆ 4.绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a| |a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0），即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 绝对值是非负数：|a|≥0 |x|=a（a＞0）的解是x=±a；|a|=|b|⇔a=b或a=−b 概念辨析例题：若|x|＝4，则x的值为______ 解析：|x|=4表示x到原点的距离为4，数轴上距离原点4个单位的有两个点，分别表示4和−4，所以x=4或x=−4。 ☆ 5.有理数大小比较 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 含字母或有理数运算结果比较时，先化简再比较 概念辨析例题：比较大小：−______−（填「＞」「＜」或「＝」） 解析：两个负数比较，绝对值大的反而小；|−|==，|−|==，＜，所以−＞−。 ☆ 6.创新及压轴题 多概念综合：数轴、绝对值、非负性、整式加减结合 分类讨论：含字母绝对值化简按正负分类 数轴上的动点与距离问题：设点表示的数，用距离公式列式 新定义与探究：读懂规定，转化为已知知识求解 概念辨析例题：已知a，b，c是非零有理数，且a+b+c=0，则++的值为______ 解析：a、b、c非零且和为0，则三个数中必有一正两负（或一负两正）中两正一负的情况不符合和为0吗？实际上三数和为0且均非零，只能是1正2负或2正1负；前者++=1−1−1=−1，后者=1+1−1=1，故结果为−1或1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数与负数 大于0为正，加「−」为负 0既不是正数也不是负数 数轴 原点、正方向、单位长度 右边的数总比左边的大 相反数 只有符号不同的两个数 a+b=0⇔互为相反数 绝对值 |a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0） 绝对值恒非负 大小比较 正数＞0＞负数；两负比绝对值 绝对值大的负数反而小 数轴距离 AB=|a−b| 距离是绝对值，非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】正数与负数（第1-5题） · 用正负数表示相反意义的量，先规定正方向 · 0是分界：既不是正数也不是负数 · 实际情境注意单位与文字表述 · 会读报表中的正负数含义（如增减、收支） 1．（2026春•深圳月考）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（40±0.05）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　） A．39.93mm B．40.02mm C．40.00mm D．39.96mm 【分析】根据题意算出球的直径上限和直径下限，然后逐项判断即可． 【解答】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是40+0.05＝40.05（mm）， 球的直径下限是40﹣0.05＝39.95（mm）， ∴只要乒乓球的直径在39.95mm和40.05mm之间都合格， ∴只有39.93mm处于该范围之外， 故选：A． 【点评】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，深刻理解正负数的含义是解题的关键． 2．（2025秋•普陀区期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为65±5g，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　） A．58g B．60g C．64g D．68g 【分析】计算出薯片的净含量范围，再结合题意即可得解． 【解答】解：∵薯片检测报告上注明净含量为65±5g， ∴净含量范围为：（65﹣5）g≤净含量≤（65+5）g，即60g≤净含量≤70g，故A不符合标准． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减，掌握正数和负数性质是解题的关键． 3．（2025秋•遂溪县期末）在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】有理数分为整数和分数，据此可得答案． 【解答】解：在所给出的数中，有理数有3.14，，0，0.2020020002，共4个， 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数，解题的关键是掌握有理数的概念． 4．（2025秋•金湾区期末）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“﹣2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，﹣2，+3”，如果一组开锁密码为“﹣15，+8，﹣3”，要想打开锁，旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为　30　 ． 【分析】首先列式得到﹣15+8﹣3＝﹣10，得到标记线按顺时针转了10格，进而求解即可． 【解答】解：根据题意列出算式计算得：﹣15+8﹣3＝﹣10， ∵顺时针旋转2个小格记为“﹣2”，即“﹣”表示顺时针， ∴标记线按顺时针转了10格， 转盘型密码锁总的刻度线为40， ∵40﹣10＝30， ∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为30， 故答案为：30． 【点评】本题考查了正负数的意义，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 5．下列关于“0”的说法中，正确的有 　①③　 ． ①0是正数与负数的分界；②0是正数；③0是自然数；④0不是整数． 【分析】根据相反意义的量可判断①；根据0既不是正数也不是负数，0是自然数也是整数即可判断②③④． 【解答】解：根据相反意义的量可知0是正数与负数的分界，例如水平面记为0，水平面以上3米记为+3米，则水平面3米以下记为﹣3米，故①正确； 根据0既不是正数也不是负数可知0是正数的说法错误，故②错误； 0和正整数统称为自然数，所以0是自然数是正确的，故③正确； 整数分为正整数，0和负整数，所以0不是整数的说法是错误的，故④错误． 所以正确的说法有． 故答案为：①③． 【点评】此题主要考查的是对于0的理解，解决此题的关键是真正理解0的意义． 【考点2】数轴（第6-15题） · 画数轴标点：先定原点、正方向、单位长度 · 数轴上两点距离=|a−b| · 折叠、中点问题找对称中心 · 点移动：向右加、向左减 6．（2025秋•大庆校级期末）数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣7 B．7 C．7或﹣1 D．﹣7或1 【分析】由数轴上两点的距离公式可得答案， 【解答】解：∵数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数是﹣3， ∴点B表示的数是﹣7或1， 故选：D． 【点评】本题考查数轴上点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的计算公式． 7．（2025秋•鹤壁期末）如图，点A表示的数是1，若将点A向左移动4个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．4 【分析】根据点在数轴上平移的规则即可求解． 【解答】解：点A表示的数是1，若将点A向左移动4个单位长度得到点A′，1﹣4＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右加”． 8．（2026•海港区校级模拟）直尺中1cm处对应数轴上的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【分析】先确定出单位长度1表示2cm，尺中1cm处与5cm处相差2个单位长度，从而得解． 【解答】解：∵表示1与2的亮点分别在直尺的5cm，7cm处， ∴单位长度1表示2cm， 直尺中1cm处与5cm处相差5﹣1＝4（cm）， 这点距离有4÷2＝2个单位长度． ∴直尺中1cm处对应数轴上的数是：1﹣2＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查数轴，解题的关键是推导出单位长度1表示2cm． 9．（2026•海淀区校级模拟）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果ab＜0，那么下列结论中正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+1＞b D．b＞a﹣1 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b， ∴a+b的值是正是负不能确定，a﹣b＜0，a+1与b的值大小不能确定，b＞a﹣1， ∴只有选项D正确符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 10．（2025秋•东城区校级期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上5.2cm对应数轴上的数为（　　） A．5.2 B．﹣2.2 C．﹣4.8 D．﹣1.8 【分析】根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【解答】解：刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0， 即刻度尺和数轴的单位长度相同， ∵刻度尺上3cm对应数轴上的0， ∴3﹣5.2＝﹣2.2， ∴刻度尺上5.2cm对应数轴上的数为2.2． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025秋•浦东新区校级期末）已知﹣1在数轴上对应的点为A，数轴上点B、C在点A的两侧（点B在点A的右侧），且它们到点A的距离相等，现将点B向左移动2个单位到点B1处，将点C向右移动1个单位到点C1处，此时点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半，则点B所对应的数是　2或　 ． 【分析】设点B所对应的数是b，b＞﹣1，则点C所对应的数是﹣b﹣2，根据点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半，列出方程，求解即可． 【解答】解：设点B所对应的数是b，b＞﹣1，则点C所对应的数是﹣1﹣[b﹣（﹣1）]＝﹣b﹣2． 点B1所对应的数是b﹣2，点C1所对应的数是（﹣b﹣2）+1＝﹣b﹣1． 点B1到点A的距离为|b﹣2﹣（﹣1）|＝|b﹣1|， 点C1到点A的距离为|﹣b﹣1﹣（﹣1）|＝|﹣b|＝|b|． ∵点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半， ∴． 当b≥1时，，解得b＝2； 当﹣1＜b＜0时，，解得b＝2，但b＝2不在﹣1＜b＜0范围内，舍去． 当0≤b＜1时，，解得； 综上，点B所对应的数是2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查数轴上的点表示的数及点对应的线段之间的和差、倍数关系、一元一次方程的解法，掌握数轴上点对应的线段之间的和差、倍数关系是解题关键，注意分类讨论的应用． 12．（2024秋•句容市月考）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 　﹣2　 ． 【分析】先求出AB的长度，再根据点C是线段AB的中点，求出AC的长度，进一步即可求出点C表示的数． 【解答】解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和2， ∴AB＝2﹣（﹣6）＝8， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝4， ∴﹣6+4＝﹣2， ∴点C表示的数是﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 13．（2025秋•苏州校级期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为1、9，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，点C是线段AQ的中点，若运动过程中，线段PC的长度是一个固定的值，则n＝　4　 ． 【分析】设两点运动的时间为t秒，然后用含时间t的代数式表示AP、AQ，进而表示PC的长度，再根据PC为固定值的条件，令含t的项的系数为0，即可求出n． 【解答】解：设两点运动的时间为t秒，则AP＝2t，AQ＝nt+8， 由条件可知， ∴， 可知当n＝4，PC的长度固定为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查数轴上的动点表示，线段中点的性质，代数式的化简与恒定性分析，用代数式表示线段是解题关键． 14．（2024秋•江津区期末）为了有效遏制酒后驾车行为，区交警大队的一辆警车在城区的一条东西走向的路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，在某段时间内，这辆警车从出发点开始所走的路程为：+8，﹣12，+9，﹣5，+11，﹣8，﹣7，+10．（单位：千米） （1）巡逻结束时，这辆警车在出发点的哪个方向？距离出发点多远？ （2）如果这辆警车每千米耗油0.6升，出车时，油箱内有45.2升油，巡逻结束后，油箱中的油有无剩余，若有，剩余多少升？ 【分析】（1）求出各个数据的和，根据结果的符号判断方向，根据结果的绝对值判断距离； （2）求出各个数据的绝对值的和，即求出行驶的总路程，再乘以每千米耗油量即可． 【解答】解：（1）（+8）+（﹣12）+（+9）+（﹣5）+（+11）+（﹣8）+（﹣7）+（+10）＝6（千米）， ∴巡逻结束时，这辆警车在出发点的东方，距离出发点6千米． （2）|+8|+|﹣12|+|+9|+|﹣5|+|+11|+|﹣8|+|﹣7|+|+10|＝70（千米）， 45.2﹣0.6×70＝3.2（升）， ∴巡逻结束后，油箱中的油还有剩余，剩余3.2升． 【点评】本题主要考查正负数的实际应用，有理数加法、乘法运算的实际应用，解题的关键是理解正负号的实际意义． 15．（2025秋•三原县期末）如图，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数依次为﹣7，b，2，且BC＝2AB． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）若D是数轴上的点，且满足AD＝2AB，求点D所对应的数． 【分析】（1）先根据数轴的性质可得AB＝b+7，BC＝2﹣b，再根据BC＝2AB建立方程，解方程即可得； （2）设点D所对应的数为x，则可得AD＝|x+7|，AB＝3，再根据AD＝2AB建立方程，解方程即可得． 【解答】解：（1）∵点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数依次为﹣7，b，2， ∴AB＝b+7，BC＝2﹣b， ∵BC＝2AB， ∴2﹣b＝2（b+7）， ∴b＝﹣4． （2）设点D所对应的数为x， ∵在数轴上，点A，B对应的数依次为﹣7，﹣4， ∴AD＝|x﹣（﹣7）|＝|x+7|，AB＝﹣4﹣（﹣7）＝3， ∵AD＝2AB， ∴|x+7|＝2×3， ∴x+7＝6或x+7＝﹣6， ∴x＝﹣1或x＝﹣13， ∴点D所对应的数为﹣1或﹣13． 【点评】本题考查了数轴、线段、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【考点3】相反数（第16-20题） · 相反数只有符号不同，0的相反数是0 · 互为相反数⇔和为0 · 在数轴上关于原点对称 · 含括号的多重符号先化简（如−(−a)=a） 16．（2026•朝阳区校级模拟）下列各对数中互为相反数的是（　　） A．﹣（+2）和+（﹣2） B．﹣（﹣3）和+（﹣3） C．﹣（+4）和﹣4 D．5和﹣（﹣5） 【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 化简各个数，然后结合相反数的定义进行判断． 【解答】解：A、﹣（+2）＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，两个数相等． B、﹣（﹣3）＝3，+（﹣3）＝﹣3，3 和﹣3 符号相反，互为相反数． C、﹣（+4）＝﹣4，两个数相等． D、﹣（﹣5）＝5，两个数相等． 故选：B． 【点评】主要考查相反数概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 17．（2026•肥西县二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2026 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此计算判断即可． 【解答】解：A、﹣1的相反数是1，故此选项不符合题意； B、1的相反数是﹣1，故此选项不符合题意； C、0的相反数是0，故此选项符合题意； D、2026的相反数是﹣2026，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 18．（2026•常州）﹣2026的相反数是　2026　 ． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2026的相反数是2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 19．（2024秋•桓台县期末）若x，y互为相反数，则2025x+2025y＝ 　0　 ． 【分析】根据相反数的定义可得x+y＝0，将原式变形后进行计算即可． 【解答】解：∵x，y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴2025x+2025y ＝2025（x+y） ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 20．（2025秋•宝山区校级期中）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i （3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1 （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：1+2i的共轭复数为1﹣2i． 若a+bi是（3﹣i）2的共轭复数，则a（a﹣b）2＝　32　 ． 【分析】根据复数和两个复数共轭的概念计算即可． 【解答】解：化简（3﹣i）2＝32﹣6i+i2＝9﹣6i﹣1＝8﹣6i， ∵a+bi是（3﹣i）2的共轭复数，即：a+bi是8﹣6i的共轭复数， ∴a＝8，b＝6， ∴a（a﹣b）2＝8×（8﹣6）2＝32． 故答案为：32． 【点评】理解复数和两个复数共轭的概念是关键． 【考点4】绝对值（第21-33题） · |a|几何意义：到原点距离 · 分段去绝对值：a≥0取a，a＜0取−a · |x|=a（a＞0）⇔x=±a · 非负性：|a|+|b|=0⇔a=0且b=0 21．（2026•镜湖区校级三模）化简﹣|﹣3|，正确的是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】根据绝对值，相反数的定义解答即可． 【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，相反数，掌握绝对值的定义，相反数的定义是解题的关键． 22．（2025秋•武侯区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．符号不同的数互为相反数 B．正整数和负整数统称为整数 C．﹣a一定是负数 D．绝对值最小的数是0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断A；整数分为正整数，负整数和0，据此可判断B；根据a＝0时，﹣a＝0，此时﹣a不是负数可判断C；根据绝对值的非负性可判断D． 【解答】解：A、只有符号不同的数互为相反数，错误，不符合题意； B、正整数，负整数和0统称为整数，错误，不符合题意； C、例如a＝0时，﹣a＝0，此时﹣a不是负数，错误，不符合题意； D、绝对值最小的数是0，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相反数的定义，正负数的定义，绝对值的非负性，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．（2025秋•大连期末）下列变形中，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a﹣c＝b﹣c，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b 【分析】利用有理数的运算法则，绝对值的定义解答． 【解答】解：若ac＝bc，则a＝b（c≠0），选项A错误，不符合题意； 若a﹣c＝b﹣c，则a＝b，选项B正确，符合题意； 若|a|＝|b|，则a＝±b，选项C错误，不符合题意； 若a2＝b2，则a＝±b，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的运算，绝对值，解题的关键是掌握有理数的运算法则，绝对值的定义． 24．（2025秋•竞秀区期末）如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，求出4个排球中质量最接近标准质量的球即可． 【解答】解：由题知， 因为|+4.9|＝4.9，|+0.7|＝0.7，|﹣3.5|＝3.5，|﹣0.6|＝0.6，且0.6＜0.7＜3.5＜4.9， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值，能根据题意求出记录数据中各数的绝对值是解题的关键． 25．（2025秋•鲤城区校级期末）若a、b为整数，且|a﹣3|+|a﹣b|＝1，则a+b的值可能的结果是（　　） A．4 B．4或5 C．4或5或7 D．4或5或7或8 【分析】由绝对值的非负性及和为1，得到|a﹣3|＝0，|a﹣b|＝1或|a﹣3|＝1，|a﹣b|＝0，分别求解即可．． 【解答】解：根据题意可知，|a﹣3|＝0，|a﹣b|＝1或|a﹣3|＝1，|a﹣b|＝0， ①若|a﹣3|＝0，|a﹣b|＝1，则a＝3，b＝2或4， 当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5， 当a＝3，b＝4时，a+b＝3+4＝7， ②若|a﹣3|＝1，|a﹣b|＝0，则a＝4，b＝4或a＝2，b＝2， 当a＝4，b＝4时，a+b＝4+4＝8， 当a＝2，b＝2时，a+b＝2+2＝4， 综上所述，a+b的值可能的结果为4，5，7，8． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 26．（2026春•綦江区校级月考）已知x是有理数，则|x﹣3|+|x+11|+|x+5|的最小值是　14　 ． 【分析】利用数轴上点到点的距离和，最小值通常出现在中间点． 【解答】解：根据绝对值的几何意义|x﹣3|表示x到3的距离；|x+11|表示x到﹣11的距离；|x+5|表示x到﹣5的距离； 当x＝﹣5时，|x﹣3|+|x+11|+|x+5|取得最小值， 则|x﹣3|+|x+11|+|x+5|＝|﹣5﹣3|+|﹣5+11|+|﹣5+5|＝8+6＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查绝对值的几何意义，求代数式的最小值，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 27．（2025秋•思明区校级期中）设是一个四位数，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是　16　 ． 【分析】由a≤b≤c≤d化简原式得2（d﹣a），因四位数abcd中a最小为1、d最大为9，故最大值为2×（9﹣1）＝16． 【解答】解：∵a≤b≤c≤d， ∴|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|＝b﹣a+c﹣b+d﹣c+d﹣a＝2（d﹣a）， ∵是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d， ∴a最小值为1，d最大值为9， ∴2（d﹣a）的最大值为2×（9﹣1）＝16， 即|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值为16． 故答案为：16． 【点评】本题考查绝对值的应用，属于中档题． 28．（2025秋•青羊区校级期末）已知abc＞0，则的值为　4或0　 ． 【分析】由abc＞0可知，a、b、c的符号有两种可能：全正或两负一正．当全正时，每个绝对值与自身比值为1，abc为正其与绝对值比值也为1，求和得4．当两负一正时，两个负数的绝对值与自身比值为﹣1，正数为1，abc因两负相乘为正再乘正仍为正，其与绝对值比值为1，求和得0． 【解答】解：分析abc＞0的情况： 当a＞0，b＞0，c＞0时：，，，1， 原式＝1+1+1+1＝4； 当a、b、c中有两个负数、一个正数时（不妨设a＜0，b＜0，c＞0）：1，，1，abc＝（﹣a）（﹣b）c＝abc＞0， 故， 原式＝﹣1+（﹣1）+1+1＝0， 综上，原式的值为4或0． 故答案为：4或0． 【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 29．（2025秋•岳塘区期末）若“*”表示一种新运算，它的意义是：a*b＝ab﹣（a+b），例1*2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，计算（﹣4）*3＝ 　﹣11　 ． 【分析】根据a*b＝ab﹣（a+b），可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝ab﹣（a+b）， ∴（﹣4）*3 ＝（﹣4）×3﹣[（﹣4）+3] ＝﹣12﹣（﹣1） ＝﹣12+1 ＝﹣11， 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 30．（2025秋•越秀区期末）已知a•b≠0，则的值为　0，﹣2，2．　 ． 【分析】分当a＞0，b＞0时；当a＞0，b＜0时；当a＜0，b＜0时；当a＜0，b＞0时四种情况作答即可． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＜0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 故答案为：0，﹣2，2． 【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的除法，分情况进行讨论是解题的关键． 31．（2025秋•崇明区校级期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是　|2﹣（﹣3）|　 ；式子|a+5|的几何意义是　数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　﹣1或5　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　7　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　8　 ． 【分析】（1）利用绝对值的定义和数轴知识解答； （2）利用绝对值的定义和数轴知识解答； （3）利用绝对值的定义和数轴知识解答； （4）利用绝对值的定义和数轴知识解答； 【解答】解：（1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； 故答案为：|2﹣（﹣3）|；数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝﹣1或5； 故答案为：﹣1或5； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是7； 故答案为：7； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 32．（2025秋•虎林市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）填空：a　＜　 0，a﹣b　＜　 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简：|a|﹣2|a﹣b|+|b﹣a|． 【分析】（1）根据数轴表示数的方法以及有理数a，b在数轴上的位置可得答案； （2）根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由有理数a，b在数轴上的位置可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0， 故答案为：＜，＜； （2）由（1）得a﹣b＜0，b﹣a＞0， ∴|a|﹣2|a﹣b|+|b﹣a| ＝﹣a+2（a﹣b）+b﹣a ＝﹣a+2a﹣2b+b﹣a ＝﹣b． 【点评】本题考查绝对值、数轴，理解数轴表示数的意义以及绝对值的定义是正确解答的关键． 33．（2025秋•天心区期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示： （1）若a的相反数是3，b是最小的正整数，c的绝对值为2，求a+b+c的值； （2）化简：|a+b|﹣|b﹣a|+|c﹣b|． 【分析】（1）根据“a的相反数是3，b是最小的正整数，c的绝对值为2”可进行求解； （2）由数轴可知a＜0＜b＜c，然后根据绝对值的意义可进行求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴a＝﹣3，b＝1，c＝±2， 由数轴可知：a＜0＜b＜c， ∴c＝2， ∴a+b+c＝﹣3+1+2＝0； （2）由数轴可知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴原式＝﹣a﹣b﹣b+a+c﹣b ＝c﹣3b． 【点评】本题主要考查数轴上有理数的表示，相反数的意义，绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握数轴上有理数的表示，相反数的意义，绝对值的意义及代数式的值是解题的关键． 【考点5】有理数大小比较（第34-42题） · 数轴法：右大左小 · 正数＞0＞负数 · 两个负数：绝对值大的反而小 · 分数比较先通分或化为小数 34．（2026•河南模拟）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（　　） A．吐鲁番盆地﹣154米 B．新疆天山1815米 C．珠穆朗玛峰8848米 D．玉龙雪山5596米 【分析】根据有理数大小比较方法解答即可． 【解答】解：∵﹣154＜1815＜5596＜8848， ∴其中最低的是吐鲁番盆地． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 35．（2026•广西）下列四个数中，最大的数是（　　） A．8 B．5 C．0 D．﹣3 【分析】根据正数大于0，负数小于0比较即可． 【解答】解：∵8＞5＞0＞﹣3， ∴在这四个数中，最大的数是8， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 36．（2025秋•泸县期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b，且|a|＜|b|，则a，b，﹣a，﹣b中最大的数是（　　） A．a B．﹣a C．b D．﹣b 【分析】根据已知条件和绝对值的几何意义，在数轴上把A，B两点表示的数a，b表示在数轴上，再根据互为相反数的定义把﹣a和﹣b表示在数轴上，按照数轴上左边的数总比右边的数小，从而比较a，b，﹣a，﹣b的大小即可． 【解答】解：根据题意画出图形为： ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴a，b，﹣a，﹣b中最大的数是：﹣b， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值的几何意义． 37．（2026•丛台区校级模拟）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 杭州 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．杭州 D．郑州 【分析】根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3， ∴气温最低的城市是杭州， ∴选项C正确． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键． 38．（2025秋•常德校级期末）比较大小：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：∵、分子相同，分母不同，且3＜4， ∴， ∵， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 39．（2026•硚口区一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） ﹣2 +0.5 +1 ﹣0.1 其中，最接近标准质量的球是　丁　 球． 【分析】先比较各数的绝对值，即可解答． 【解答】解：∵|﹣0.1|＜|+0.5|＜|+1|＜|﹣2|， ∴最接近标准质量的球是丁球， 故答案为：丁． 【点评】本题考查了有理数大小比较，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 40．（2026•龙凤区模拟）我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按这样的规定，如果，那么x的值为　20或﹣4　 ． 【分析】根据新定义的概念，分情况讨论max{，1﹣x}括号中两个代数式与max{，3}＝3构成一元一次方程，最后解该一元一次方即可． 【解答】解：∵max{，3}＝3，max{，1﹣x}﹣max{，3}＝2， ∴当1﹣x时，max{，1﹣x}，则，解得x＝20， 当1﹣x时，max{，1﹣x}＝1﹣x，则1﹣x﹣3＝2，解得x＝﹣4， 综上所述，x的值为20或﹣4． 故答案为：20或﹣4． 【点评】本题主要考查对最大值max的理解与应用，以及分情况讨论时解一元一次方程的能力． 41．（2025秋•金山区校级期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是　﹣1　 ，点B表示的数是　1　 ． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． 【分析】（1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【解答】解：（1）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1， 故答案为：﹣1，1； （2）如图， ； （3）由数轴知：． 【点评】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． 42．（2025秋•宜春期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”或“＜”填空： b﹣c　＜　 0，a+b　＜　 0，c﹣a　＞　 0； （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|． 【分析】（1）利用数轴确定a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|，依此即可求解； （2）根据（1）中得到的符号，分别去掉绝对值符号后进行加减运算． 【解答】解：（1）∵大数减小数结果是正数，小数减大数结果是负数， a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞； （2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， ∴|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a| ＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a ＝a﹣2b﹣c． 【点评】本题考查了利用数轴比较有理数大小，绝对值化简，整式的加减；解题的关键是结合数轴上的位置关系，确定各代数式的正负符号，再根据绝对值定义进行化简；错点在于对代数式正负的判断错误，导致去绝对值时符号出错． 【考点6】创新及压轴题（第43-45题） · 分类讨论处理含字母绝对值 · 非负性质与方程结合 · 数轴动点设未知数列式 · 读清新定义再按规则运算 43．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，边长是的正方形ABCD放在数轴上，点B与原点O重合，点C与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 （1）点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是　2　 ． （2）点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是　　 ． （3）点A落在（2）题表示的数时，以点O、B、D三点为顶点的三角形面积是　4　 ． 【分析】（1）根据正方形的边长，即可得到点A第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点A第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出OD＝12，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是， 故答案为：2； （2）∵正方形的边长为，点B与原点O重合，点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是2， ∴点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是2， 故答案为：； （3）由（2）知点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是， 此时，点B在点A的正上方，D点所表示的数是12，即OD＝12， ∴以点O、B、D三点为顶点的三角形面积为12＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． 44．（2023秋•市中区月考）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，AB＜BC，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，a+b＜0． （1）原点在第 　②　 部分（填序号）． （2）比较：﹣a、b、﹣c的大小． （3）若（a+1）2+|c﹣4|＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数． 【分析】（1）由ab＜0且a＜b得出a＜0，b＞0，从而得出原点的位置； （2）先判断﹣a、﹣c的大小，即可得出大小关系； （3）根据非负数的性质求出a、c的值，再根据数轴上两点之间的距离公式计算，即可得出b的值． 【解答】解：（1）ab＜0， ∴a、b异号， 由数轴可知a＜b， ∴а＜0，b＞0， ∴原点在第②部分， 故答案为：②． （2）∵a+b＜0，a＜0，b＞0， ∴|a|＞|b|， ∴﹣a＞b， ∵b＞0，c＞b， ∴﹣c＜0， ∴﹣c＜b＜﹣a． （3）由题可知，（а+1）2+|c﹣4|＝0， 又∵（a+1）2≥0，|c﹣4|≥0， ∴a+1＝0，c﹣4＝0， ∴a＝﹣1，c＝4， ∵BC＝2AB， ∴4﹣b＝2[b﹣（﹣1）]， 解得：b， 即点B表示的数为． 【点评】本题考查了数轴、非负数的性质和数轴上两点之间的距离公式，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 45．（2024春•普陀区期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中x＜y），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作M（P，a）＝＜x，y＞．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是M（O，1）＝＜﹣1，1＞． （1）如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 　＜﹣1，3＞　 ； （2）如果M（P，a）＝＜2，4048＞，那么点P表示的数是 　2025　 ，a的值是 　2023　 ； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，M（P，3）＝＜x，y＞，M（Q，2）＝＜m，n＞两点同时从原点出发反向运动，当|n﹣x|＝3|y﹣m|时，求点P、Q之间的距离． 【分析】（1）根据题意可知：点P关于2的对称数组也就是说与点P相距2个单位长度的两点．又知道点P表示数1，所以与点P相距2个单位长度的两点是﹣1，3．所以点P关于2的对称数组是＜﹣1，3＞； （2）M（P，a）＝＜2，4048＞表示与点p相距a个单位长度的两个点分别是2和4048，那么P＝（2+4048）÷2＝2025；a＝2025﹣2＝2023，所以a表示的数是2023； （3）M（P，3）＝＜x，y＞表示与点p相距3个单位长度的两个点分别是x和y，M（Q，2）＝＜m，n＞表示与点Q相距2个单位长度的两个点分别是m和n．根据新定义可得：x＝P﹣3，y＝P+3，m＝Q﹣2，n＝Q+2，进而由|n﹣x|＝3|y﹣m|得出|Q﹣P+5|＝3|P﹣Q+5|，解关于Q﹣P的方程，即可求解． 【解答】解：（1）如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是＜﹣1，3＞； （2）∵M（P，a）＝＜2，4048＞，∴P＝（2+4048）÷2＝2025，a＝2025﹣2＝2023； （3）∵M（P，3）＝＜x，y＞，M（Q，2）＝＜m，n＞两点同时从原点出发反向运动， ∴x＝P﹣3，y＝P+3，m＝Q﹣2，n＝Q+2， ∵|n﹣x|＝3|y﹣m|， ∴|Q+2﹣P+3|＝3|P+3﹣Q+2|，即|Q﹣P+5|＝3|P﹣Q+5| ①当Q﹣P+5＝3（P﹣Q+5）时， Q﹣P+5＝3（P﹣Q）+15 可得：Q﹣P； ②当Q﹣P+5＝﹣3（P﹣Q+5）时， 解得：Q﹣P＝10． 综上所述：点P、Q之间的距离是或10． 故答案为：（1）＜﹣1，3＞；（2）2025，2023；（3）或10． 【点评】本题是新定义运算的题目，要理解题目然后再解题． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•青浦区校级期中）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则A6＝ 　　 ． 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解． 【解答】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处， 第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处， …， 则跳动n次后，即跳到了离原点的处； 则第6次跳动后，A6， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴，有理数乘方的应用，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•营山县期末）若|x|＝4，则x的值为　±4　 ． 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝4， ∴x＝±4， 故答案为：±4． 【点评】该题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 【练习 3】（2023秋•通道县期中）某出租车在一条东西走向的大街上行驶送客，从点A出发，若向东行驶的路程记为正数，向西行驶的路程记为负数，行驶的各段路程（单位：km）依次是：+2，﹣3，+12，﹣8，﹣7，+16，﹣12． （1）通过计算说明出租车是否回到起点A． （2）若该出租车在这条路上行驶的平均耗油量是0.12升/km，求总的耗油量约是多少升？ 【分析】（1）根据题意直接相加减即可； （2）由行驶的路程乘以平均耗油量即可得出结果． 【解答】解：（1）2﹣3+12﹣8﹣7+16﹣12＝0， ∴出租车回到了A点； （2）（|+2|+|﹣3|+|+12|+|﹣8|+|﹣7|+|+16|+|﹣12|）×0.12 ＝7.2（升）． 总的耗油量是7.2升． 【点评】题目主要考查有理数加减法及乘法的应用，理解题意，列出相应的式子是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 0既不是正数也不是负数，是正负数的分界 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，右边的数大于左边的数 · 相反数：只有符号不同、和为0；绝对值：到原点距离、恒非负 · 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 · 含字母的绝对值先判断正负再化简，必要时分类讨论 【作业 1】（2025秋•巫山县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 【分析】由数轴可得a＜b＜0＜c，即得a﹣b＜0，a﹣c＜0，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴得到a﹣b、a﹣c、c的符号是解题的关键． 【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＜0，a﹣c＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|＝c﹣a， ∴原式＝b﹣a﹣（c﹣a）+（﹣b） ＝b﹣a﹣c+a﹣b ＝﹣c， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数与数轴，绝对值的性质，整式的加减，由数轴得到a﹣b、a﹣c、c的符号是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•南开区校级月考）下列说法：①﹣a＜0；②0不是整数；③有理数都可以用数轴上的点来表示；④任何有理数必定等于或小于它的绝对值；⑤相反数大于它本身的数一定是负数；⑥绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征，有理数的相关概念及绝对值和相反数的定义，对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：因为a＜0时，﹣a＞0， 所以①错误； 因为0是整数， 所以②错误； 因为有理数都可以用数轴上的点来表示， 所以③正确； 因为任何有理数必定等于或小于它的绝对值， 所以④正确； 因为相反数大于它本身的数一定是负数， 所以⑤正确； 因为绝对值等于它本身的数一定是非负数， 所以⑥错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴、正数和负数、有理数、相反数及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征，有理数的相关概念及绝对值和相反数的定义是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•普陀区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①绝对值越大的数越大； ②非负数是零和正数的统称； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向南前进了15m； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有6个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据正数和负数，数轴及绝对值的定义，判断各个选项即可得出答案． 【解答】解：①绝对值越大的数不一定越大，不符合题意； ②非负数是零和正数的统称，符合题意； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向西前进了15m，不符合题意； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有无数个，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，数轴及绝对值的知识，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握． 【作业 4】（2025秋•黄岩区期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣6和6，以点C为折点，将此数轴向右对折，使得点A落在射线CB上，此时若AB＝4，则C点表示的数是　﹣2或2　 ． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：设点C表示的数是x， ∵AB＝4，A和B表示的数分别是﹣6和6， ∴6﹣（﹣6）﹣4＝8，8÷2＝4，﹣6+4＝﹣2， ∴点B表示的数是﹣2； 或6﹣（﹣6）+4＝16，16÷2＝8，﹣6+8＝2， ∴点B表示的数是2． 故答案为：﹣2或2． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【作业 5】（2025秋•青浦区校级期中）已知a，b，c是非零有理数，且1，则的值为　﹣1或3　 ． 【分析】根据绝对值的意义以及题中条件，进行分情况讨论即可． 【解答】解：①已知a，b，c是非零的有理数， ∵当1时，则abc＜0，分两种情况： 情况1：a、b、c中有1个负数，2个正数 假如a＜0，b＞0，c＞0（其他负数情况结果一致），1+（﹣1）+1＝﹣1； 情况2：a、b、c中3个都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0，1+1+1＝3． 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，熟知绝对值的意义是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•郑州期末）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 　﹣11b﹣3a+7　 ． 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵a＞0、b＜0， ∴|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b| ＝6﹣5b+[﹣（8b﹣1）]﹣（3a﹣2b） ＝6﹣5b﹣8b+1﹣3a+2b ＝﹣11b﹣3a+7， 故答案为：﹣11b﹣3a+7． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【作业 7】（2025秋•通川区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：|a+b|+|a﹣c|﹣|b|﹣|b﹣c|． 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：由数轴图可知b＜﹣1＜c＜0＜1＜a， ∴a+b＜0，a﹣c＞0，b＜0，b﹣c＜0， ∴|a+b|+|a﹣c|﹣|b|﹣|b﹣c| ＝﹣a﹣b+a﹣c+b+b﹣c ＝b﹣2c． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 【作业 8】（2024秋•镇平县期中）为积极响应环境保护的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为A01的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：km）（以30km为标准，多于30km记为正，低于30km记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 +8 ﹣10 +16 +6 ﹣9 ﹣3 +2 （1）这七天中，路程最多的一天行驶了 　46　 km，行驶最多的一天的路程比最少的一天多 　26　 km； （2）已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.5元，求该新能源汽车这7天的充电总费用． 【分析】（1）（2）利用正数和负数的意义，有理数的混合运算法则计算解答． 【解答】解：（1）30+16＝46（km），16﹣（﹣10）＝26（km）， 故答案为：46，26； （2）[30×7+（8﹣10+16+6﹣9﹣3+2）]×0.2×0.5 ＝（210+10）×0.1 ＝220×0.1 ＝22（元）． 答：该新能源汽车这7天的充电总费用22元． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． 【作业 9】（2024秋•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为﹣3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为　4　 ，线段AB的中点M表示的数是　﹣1　 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示　5　 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】[情境应用]（1）根据绝对值和有理数运算的性质求解，即可得到线段AB的中点M表示的数； （2）根据折叠和数轴的性质，首先计算得折痕表示的数，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案； [情境拓展]（1）结合题意，根据数轴和一元一次方程的性质计算即可； （2）首先假设存在，首先得到mBC﹣2AB关于t的表达式，根据含t的项的系数为0列式求解，即可得到答案． 【解答】[情境应用]（1）AB＝|a﹣b|＝|（﹣3）﹣1|＝4， 线段AB的中点M表示的数， 故答案为：4，﹣1； （2）∵点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕为AC中点，表示的数为：， ∴B点与折痕距离＝|1﹣3|＝2， ∴与点B的点表示的数＝3+2＝5， 故答案为：5； [情境拓展]（1）t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t B点所在的数为：1﹣t， C点所在的数为：9﹣4t， 当B点为AC的中点时，即， ∴t＝1， 当C点为AB的中点时，即， ∴t＝4， 当A点为BC的中点时，即， ∴t＝16， ∴t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （2）假设存在，则BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， 由条件可知4+t＞0， ∴AB＝|4+t|＝4+t， ∴mBC﹣2AB＝8m﹣8﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0，即时，， ∴存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，． 【点评】本题考查了数轴，非负数的性质，整式的加减、一元一次方程的性质；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 有理数 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数、负数及有理数的概念，会表示具有相反意义的量 · 掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数 · 理解相反数与绝对值的意义，会求相反数与绝对值 · 掌握有理数大小比较的方法（数轴法、绝对值法） · 能运用绝对值与数轴解决化简、求值与综合探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 大于0的数叫正数，在正数前加负号「−」的数是负数，0既不是正数也不是负数 正负数表示相反意义的量：收入与支出、上升与下降、向东与向西 用正负数表示数量时先规定正方向，再写带符号的数 实际情境中，0有特定意义（如0℃、基准线、原点） 概念辨析例题：某出租车在一条东西走向的大街上行驶送客，从点A出发，向东行驶的路程记为正数，向西行驶记为负数，则向东行驶5km记作______，向西行驶3km记作______ 解析：规定向东为正，则向东5km记作+5km（通常省略＋号写5km），向西3km记作−3km；正负号只表示方向，绝对值表示路程大小。 ☆ 2.数轴 数轴三要素：原点、正方向（通常向右）、单位长度 数轴上的点与有理数一一对应（实数范围内则与实数一一对应） 原点右边为正数，左边为负数，原点表示0 数轴上两点的距离=两点所表示数之差的绝对值：AB=|a−b| 概念辨析例题：在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是−6和6，以点C为折点，将数轴折叠使A与B重合，则折点C表示的数为______ 解析：折叠后A、B重合，说明C是线段AB的中点；A、B所表示的数互为相反数，中点为原点，所以C表示0。 ☆ 3.相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是−a 0的相反数是0 互为相反数的两数在数轴上位于原点两侧，且到原点距离相等 a与b互为相反数⇔a+b=0 概念辨析例题：若a与−3互为相反数，则a的值为______ 解析：互为相反数的两个数只有符号不同，−3的相反数是3，所以a=3；也可由a+(−3)=0解得a=3。 ☆ 4.绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a| |a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0），即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 绝对值是非负数：|a|≥0 |x|=a（a＞0）的解是x=±a；|a|=|b|⇔a=b或a=−b 概念辨析例题：若|x|＝4，则x的值为______ 解析：|x|=4表示x到原点的距离为4，数轴上距离原点4个单位的有两个点，分别表示4和−4，所以x=4或x=−4。 ☆ 5.有理数大小比较 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 含字母或有理数运算结果比较时，先化简再比较 概念辨析例题：比较大小：−______−（填「＞」「＜」或「＝」） 解析：两个负数比较，绝对值大的反而小；|−|==，|−|==，＜，所以−＞−。 ☆ 6.创新及压轴题 多概念综合：数轴、绝对值、非负性、整式加减结合 分类讨论：含字母绝对值化简按正负分类 数轴上的动点与距离问题：设点表示的数，用距离公式列式 新定义与探究：读懂规定，转化为已知知识求解 概念辨析例题：已知a，b，c是非零有理数，且a+b+c=0，则++的值为______ 解析：a、b、c非零且和为0，则三个数中必有一正两负（或一负两正）中两正一负的情况不符合和为0吗？实际上三数和为0且均非零，只能是1正2负或2正1负；前者++=1−1−1=−1，后者=1+1−1=1，故结果为−1或1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数与负数 大于0为正，加「−」为负 0既不是正数也不是负数 数轴 原点、正方向、单位长度 右边的数总比左边的大 相反数 只有符号不同的两个数 a+b=0⇔互为相反数 绝对值 |a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0） 绝对值恒非负 大小比较 正数＞0＞负数；两负比绝对值 绝对值大的负数反而小 数轴距离 AB=|a−b| 距离是绝对值，非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】正数与负数（第1-5题） · 用正负数表示相反意义的量，先规定正方向 · 0是分界：既不是正数也不是负数 · 实际情境注意单位与文字表述 · 会读报表中的正负数含义（如增减、收支） 1．（2026春•深圳月考）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（40±0.05）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　） A．39.93mm B．40.02mm C．40.00mm D．39.96mm 2．（2025秋•普陀区期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为65±5g，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　） A．58g B．60g C．64g D．68g 3．（2025秋•遂溪县期末）在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•金湾区期末）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“﹣2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，﹣2，+3”，如果一组开锁密码为“﹣15，+8，﹣3”，要想打开锁，旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_______ ． 5．下列关于“0”的说法中，正确的有 _______ ． ①0是正数与负数的分界；②0是正数；③0是自然数；④0不是整数． 【考点2】数轴（第6-15题） · 画数轴标点：先定原点、正方向、单位长度 · 数轴上两点距离=|a−b| · 折叠、中点问题找对称中心 · 点移动：向右加、向左减 6．（2025秋•大庆校级期末）数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣7 B．7 C．7或﹣1 D．﹣7或1 7．（2025秋•鹤壁期末）如图，点A表示的数是1，若将点A向左移动4个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．4 8．（2026•海港区校级模拟）直尺中1cm处对应数轴上的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 9．（2026•海淀区校级模拟）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果ab＜0，那么下列结论中正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+1＞b D．b＞a﹣1 10．（2025秋•东城区校级期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上5.2cm对应数轴上的数为（　　） A．5.2 B．﹣2.2 C．﹣4.8 D．﹣1.8 11．（2025秋•浦东新区校级期末）已知﹣1在数轴上对应的点为A，数轴上点B、C在点A的两侧（点B在点A的右侧），且它们到点A的距离相等，现将点B向左移动2个单位到点B1处，将点C向右移动1个单位到点C1处，此时点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半，则点B所对应的数是____________________ ． 12．（2024秋•句容市月考）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 _______ ． 13．（2025秋•苏州校级期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为1、9，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，点C是线段AQ的中点，若运动过程中，线段PC的长度是一个固定的值，则n＝_____ ． 14．（2024秋•江津区期末）为了有效遏制酒后驾车行为，区交警大队的一辆警车在城区的一条东西走向的路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，在某段时间内，这辆警车从出发点开始所走的路程为：+8，﹣12，+9，﹣5，+11，﹣8，﹣7，+10．（单位：千米） （1）巡逻结束时，这辆警车在出发点的哪个方向？距离出发点多远？ （2）如果这辆警车每千米耗油0.6升，出车时，油箱内有45.2升油，巡逻结束后，油箱中的油有无剩余，若有，剩余多少升？ 15．（2025秋•三原县期末）如图，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数依次为﹣7，b，2，且BC＝2AB． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）若D是数轴上的点，且满足AD＝2AB，求点D所对应的数． 【考点3】相反数（第16-20题） · 相反数只有符号不同，0的相反数是0 · 互为相反数⇔和为0 · 在数轴上关于原点对称 · 含括号的多重符号先化简（如−(−a)=a） 16．（2026•朝阳区校级模拟）下列各对数中互为相反数的是（　　） A．﹣（+2）和+（﹣2） B．﹣（﹣3）和+（﹣3） C．﹣（+4）和﹣4 D．5和﹣（﹣5） 17．（2026•肥西县二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2026 18．（2026•常州）﹣2026的相反数是_________ ． 19．（2024秋•桓台县期末）若x，y互为相反数，则2025x+2025y＝ _____ ． 20．（2025秋•宝山区校级期中）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i （3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1 （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：1+2i的共轭复数为1﹣2i． 若a+bi是（3﹣i）2的共轭复数，则a（a﹣b）2＝_______ ． 【考点4】绝对值（第21-33题） · |a|几何意义：到原点距离 · 分段去绝对值：a≥0取a，a＜0取−a · |x|=a（a＞0）⇔x=±a · 非负性：|a|+|b|=0⇔a=0且b=0 21．（2026•镜湖区校级三模）化简﹣|﹣3|，正确的是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 22．（2025秋•武侯区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．符号不同的数互为相反数 B．正整数和负整数统称为整数 C．﹣a一定是负数 D．绝对值最小的数是0 23．（2025秋•大连期末）下列变形中，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a﹣c＝b﹣c，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b 24．（2025秋•竞秀区期末）如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 25．（2025秋•鲤城区校级期末）若a、b为整数，且|a﹣3|+|a﹣b|＝1，则a+b的值可能的结果是（　　） A．4 B．4或5 C．4或5或7 D．4或5或7或8 26．（2026春•綦江区校级月考）已知x是有理数，则|x﹣3|+|x+11|+|x+5|的最小值是_______ ． 27．（2025秋•思明区校级期中）设是一个四位数，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是_______ ． 28．（2025秋•青羊区校级期末）已知abc＞0，则的值为________ ． 29．（2025秋•岳塘区期末）若“*”表示一种新运算，它的意义是：a*b＝ab﹣（a+b），例1*2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，计算（﹣4）*3＝ ________ ． 30．（2025秋•越秀区期末）已知a•b≠0，则的值为____________ ． 31．（2025秋•崇明区校级期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是_____________ ；式子|a+5|的几何意义是____________________ ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝_________ ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是_____ ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是_____ ． 32．（2025秋•虎林市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）填空：a_____ 0，a﹣b_____ 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简：|a|﹣2|a﹣b|+|b﹣a|． 33．（2025秋•天心区期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示： （1）若a的相反数是3，b是最小的正整数，c的绝对值为2，求a+b+c的值； （2）化简：|a+b|﹣|b﹣a|+|c﹣b|． 【考点5】有理数大小比较（第34-42题） · 数轴法：右大左小 · 正数＞0＞负数 · 两个负数：绝对值大的反而小 · 分数比较先通分或化为小数 34．（2026•河南模拟）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（　　） A．吐鲁番盆地﹣154米 B．新疆天山1815米 C．珠穆朗玛峰8848米 D．玉龙雪山5596米 35．（2026•广西）下列四个数中，最大的数是（　　） A．8 B．5 C．0 D．﹣3 36．（2025秋•泸县期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b，且|a|＜|b|，则a，b，﹣a，﹣b中最大的数是（　　） A．a B．﹣a C．b D．﹣b 37．（2026•丛台区校级模拟）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 杭州 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．杭州 D．郑州 38．（2025秋•常德校级期末）比较大小：_____ （填“＞”、“＜”或“＝”）． 39．（2026•硚口区一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） ﹣2 +0.5 +1 ﹣0.1 其中，最接近标准质量的球是_____ 球． 40．（2026•龙凤区模拟）我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按这样的规定，如果，那么x的值为__________ ． 41．（2025秋•金山区校级期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是_______ ，点B表示的数是___________________ ． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． 42．（2025秋•宜春期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”或“＜”填空： b﹣c_____ 0，a+b_____ 0，c﹣a_____ 0； （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|． 【考点6】创新及压轴题（第43-45题） · 分类讨论处理含字母绝对值 · 非负性质与方程结合 · 数轴动点设未知数列式 · 读清新定义再按规则运算 43．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，边长是的正方形ABCD放在数轴上，点B与原点O重合，点C与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 （1）点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是_____ ． （2）点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是___________________ ． （3）点A落在（2）题表示的数时，以点O、B、D三点为顶点的三角形面积是_____ ． 44．（2023秋•市中区月考）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，AB＜BC，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，a+b＜0． （1）原点在第 _____ 部分（填序号）． （2）比较：﹣a、b、﹣c的大小． （3）若（a+1）2+|c﹣4|＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数． 45．（2024春•普陀区期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中x＜y），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作M（P，a）＝＜x，y＞．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是M（O，1）＝＜﹣1，1＞． （1）如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ___________ ； （2）如果M（P，a）＝＜2，4048＞，那么点P表示的数是 _________ ，a的值是 _________ ； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，M（P，3）＝＜x，y＞，M（Q，2）＝＜m，n＞两点同时从原点出发反向运动，当|n﹣x|＝3|y﹣m|时，求点P、Q之间的距离． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•青浦区校级期中）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则A6＝ ___________________ ． 【练习 2】（2025秋•营山县期末）若|x|＝4，则x的值为_______ ． 【练习 3】（2023秋•通道县期中）某出租车在一条东西走向的大街上行驶送客，从点A出发，若向东行驶的路程记为正数，向西行驶的路程记为负数，行驶的各段路程（单位：km）依次是：+2，﹣3，+12，﹣8，﹣7，+16，﹣12． （1）通过计算说明出租车是否回到起点A． （2）若该出租车在这条路上行驶的平均耗油量是0.12升/km，求总的耗油量约是多少升？ 💯 课后巩固 复习建议 · 0既不是正数也不是负数，是正负数的分界 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，右边的数大于左边的数 · 相反数：只有符号不同、和为0；绝对值：到原点距离、恒非负 · 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 · 含字母的绝对值先判断正负再化简，必要时分类讨论 【作业 1】（2025秋•巫山县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 【作业 2】（2025秋•南开区校级月考）下列说法：①﹣a＜0；②0不是整数；③有理数都可以用数轴上的点来表示；④任何有理数必定等于或小于它的绝对值；⑤相反数大于它本身的数一定是负数；⑥绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 3】（2025秋•普陀区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①绝对值越大的数越大； ②非负数是零和正数的统称； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向南前进了15m； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有6个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业 4】（2025秋•黄岩区期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣6和6，以点C为折点，将此数轴向右对折，使得点A落在射线CB上，此时若AB＝4，则C点表示的数是_________ ． 【作业 5】（2025秋•青浦区校级期中）已知a，b，c是非零有理数，且1，则的值为_________ ． 【作业 6】（2025秋•郑州期末）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 ______________ ． 【作业 7】（2025秋•通川区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：|a+b|+|a﹣c|﹣|b|﹣|b﹣c|． 【作业 8】（2024秋•镇平县期中）为积极响应环境保护的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为A01的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：km）（以30km为标准，多于30km记为正，低于30km记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 +8 ﹣10 +16 +6 ﹣9 ﹣3 +2 （1）这七天中，路程最多的一天行驶了 _______ km，行驶最多的一天的路程比最少的一天多 _______ km； （2）已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.5元，求该新能源汽车这7天的充电总费用． 【作业 9】（2024秋•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为﹣3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为_____ ，线段AB的中点M表示的数是_______ ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示_____ 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $