专题04 有理数的加减法 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加减法核心知识点，以“转化”思想为学习支架，串联加法（同号/异号相加法则、运算律简便计算）、减法（化减为加，两变一不变）、混合运算（统一为代数和，同号/相反数/凑整结合），构建从法则理解到运算应用的完整知识脉络。 该资料特色在于融合数学思维与应用意识，11类题型覆盖运算、符号问题及实际应用（如温度差、行程计算），培养运算能力与抽象能力。通过“两变一不变”等口诀强化转化思想，易错提醒规范细节。课中助力分层教学，课后课堂小练帮助学生查漏补缺，提升运算准确性与灵活性。

专题04 有理数的加减法 同步培优讲义 ✺知识框架 ▲有理数的加法 加法法则：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号、大减小；互为相反。数相加得0；一个数同0相加仍得这个数。 运算律：交换律 a+b＝b+a；结合律 (a+b)+c＝a+(b+c)，在有理数范围内仍适用。 计算要点：先定符号，再定绝对值（同号相加、异号相减）。 ▲有理数的减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a−b＝a+(−b)（"两变一不变"）。 加减混合运算：减法统一为加法 → 省略括号与加号（代数和）→ 按加法法则计算。 简化技巧：同号的数结合、互为相反数的数结合、能凑成整数的数相结合。 ✅本节以 "转化" 为灵魂，串起三个层次：① 加法 ——先定符号，再定绝对值（同号相加、异号相减），借助交换律、结合律简便计算；② 减法 ——减去一个数等于加上它的相反数，两变一不变，化减为加；③ 混合运算 —— 统一成省略加号的和（代数和），同号结合、相反数结合、凑整结合，化繁为简。 ✺学习目标 1.理解有理数的加法法则，能正确进行两个有理数的加法运算。 2.理解加法交换律、结合律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化加法运算。 3.理解有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），能正确进行有理数的减法运算。 4.会把有理数的加减混合运算统一为加法运算，并能写成省略加号的和的形式。 5.能运用加法运算律简便计算有理数加减混合运算，提高运算的准确性与灵活性。 6.在运算中体会转化思想（减法转化为加法）与分类讨论思想。 ✺题型归纳 题型1.有理数加法运算 题型2.有理数加法中的符号问题 题型3.有理数加法在生活中的应用 题型4.有理数加法运算律 题型5.有理数的减法运算 题型6.有理数减法的实际应用 题型7.有理数的加减混合运算 题型8.有理数加减中的简便运算 题型9.有理数加减混合运算的应用 题型10.省略加法和括号的形式 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、有理数的加法法则 1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加：仍得这个数。 计算要点：先定符号，再定绝对值（同号两数绝对值相加，异号两数绝对值相减）。 例：(−5)+(−3)＝−8；(−5)+(+3)＝−2；(+5)+(−3)＝+2；(−3)+(+3)＝0。 3.有理数的加法运算律 交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 a+b＝b+a。 结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，即 (a+b)+c＝a+(b+c)。 ▲运算律在有理数范围内仍成立，常用技巧：互为相反数的数先结合、同号的数先结合、能凑整的数先结合。 例：(−2)+3+(+2)＝(−2+2)+3＝0+3＝3。 知识点二、有理数的减法法则 1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 2.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a−b＝a+(−b)。 ▲转化要点 "两变一不变"：减号变加号，减数变为它的相反数，被减数不变。 减法转化为加法后，按有理数的加法法则计算。 例：(−3)−(+2)＝(−3)+(−2)＝−5；7−(−2)＝7+(+2)＝9。 知识点三、有理数的加减混合运算 1.统一为加法：运用减法法则，把算式中的减法全部转化为加法，得到代数和。 2.省略括号与加号：写成省略加号的和的形式，如 −3−8+6−7 表示 (−3)+(−8)+(+6)+(−7)。 3.简便计算：运用交换律、结合律，把同号的数、互为相反数的数、能凑整的数分别结合。 例：(−2)+(+5)−(−3)−(+1) ＝ (−2)+(+5)+(+3)+(−1) ＝ −2+5+3−1 ＝ 5。 【易错提醒】 1.异号相加时，和的符号取绝对值较大的加数的符号，与加数出现的先后顺序无关。 2.减法转化须 "两变一不变" 同步完成：只变减号或只变减数，结果都会出错。 3.省略加号的和中，移动某个数时要连同它前面的符号一起移动（如：−3+5−2 中移动的是 −3、+5、−2 整体）。 4.任何数加0、减0，结果不变；0减去一个数，等于这个数的相反数（0−a＝−a）。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．比实数大的数是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 2．若且a，b异号，，则a_______0． 3．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．平年和闰年上半年的天数相比（     ） A．平年上半年天数多 B．一样多 C．闰年上半年天数多 D．无法判断 2．二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 3．如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． (1)若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 题型4.有理数加法运算律 1．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．当时，（1）______；（2）_____． 3．计算： (1)； (2)． 题型5.有理数的减法运算 1．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 2．填空： （1）温度比高________； （2）温度比低________； （3）海拔比高________； （4）从海拔到，下降了________． 3．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 题型6.有理数减法的实际应用 1．大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 2．冬天室内温度是，室外温度是，那么室内温度比室外温度高_______． 3．2020年11月10日，我国自主研发的载人潜水器“奋斗者”号，在西太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度，创造了中国载人深潜的新纪录．马里亚纳海沟是地球海洋最深的地方，最深处深约，“奋斗者”号此次坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差多少米？ 题型7.有理数的加减混合运算 1．“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 2．如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 3．下列变形是否正确？如果不正确，错在哪里？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 2．要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是_______．（写出一个合适的即可） 3．计算： 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 2．一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 3．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 题型10.省略加法和括号的形式 1．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 2．把写成省略括号的和的形式为_______________． 3．平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． ✺课堂小练 一、单选题 1．比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 2．一天早晨的气温是，中午气温比早晨上升了，中午的气温是（     ） A． B． C． D． 3．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 4．笑笑在计算时，错误地将题抄写成了，要修正错误，需要将笑笑得到的结果（    ）． A．减0.09 B．加0.09 C．减0.92 D．加0.92 5．数轴上一点沿数轴向左移动个单位长度后到达点，若点到原点的距离为，点到点和点的距离相等，则点表示的数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 7．潜水艇上升为正，下降为负．若潜水艇先在距水面深处，两次记录情况分别是，，那么此时潜水艇在距水面 _______ 深处． 8．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可达到零上，其背阳面温度可达到零下．若零上记作，则零下记作( )；零上与零下相差( )． 9．计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 10．（1）计算：________． （2）计算：________． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式          第一步           第二步                           第三步                                第四步 任务： (1)计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的_______律和_________律． (2)她从第_________步开始出现错误． (3)请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议． 13．某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 14．下表列出了国外几个城市与北京的时差． (1)如果现在的北京时间是7：00，那么现在的东京时间是几点？ 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/ (2)小丽想在北京时间7：00给在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ (3)李伯伯从北京乘坐早晨8：00的航班经过约到达纽约，那么李伯伯到达纽约时当地时间大约是几点？ (4)了解国外其他城市与北京的时差，以时差为背景联系实际生活编写一道数学问题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的加减法 同步培优讲义 ✺知识框架 ▲有理数的加法 加法法则：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号、大减小；互为相反。数相加得0；一个数同0相加仍得这个数。 运算律：交换律 a+b＝b+a；结合律 (a+b)+c＝a+(b+c)，在有理数范围内仍适用。 计算要点：先定符号，再定绝对值（同号相加、异号相减）。 ▲有理数的减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a−b＝a+(−b)（"两变一不变"）。 加减混合运算：减法统一为加法 → 省略括号与加号（代数和）→ 按加法法则计算。 简化技巧：同号的数结合、互为相反数的数结合、能凑成整数的数相结合。 ✅本节以 "转化" 为灵魂，串起三个层次：① 加法 ——先定符号，再定绝对值（同号相加、异号相减），借助交换律、结合律简便计算；② 减法 ——减去一个数等于加上它的相反数，两变一不变，化减为加；③ 混合运算 —— 统一成省略加号的和（代数和），同号结合、相反数结合、凑整结合，化繁为简。 ✺学习目标 1.理解有理数的加法法则，能正确进行两个有理数的加法运算。 2.理解加法交换律、结合律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化加法运算。 3.理解有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），能正确进行有理数的减法运算。 4.会把有理数的加减混合运算统一为加法运算，并能写成省略加号的和的形式。 5.能运用加法运算律简便计算有理数加减混合运算，提高运算的准确性与灵活性。 6.在运算中体会转化思想（减法转化为加法）与分类讨论思想。 ✺题型归纳 题型1.有理数加法运算 题型2.有理数加法中的符号问题 题型3.有理数加法在生活中的应用 题型4.有理数加法运算律 题型5.有理数的减法运算 题型6.有理数减法的实际应用 题型7.有理数的加减混合运算 题型8.有理数加减中的简便运算 题型9.有理数加减混合运算的应用 题型10.省略加法和括号的形式 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、有理数的加法法则 1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加：仍得这个数。 计算要点：先定符号，再定绝对值（同号两数绝对值相加，异号两数绝对值相减）。 例：(−5)+(−3)＝−8；(−5)+(+3)＝−2；(+5)+(−3)＝+2；(−3)+(+3)＝0。 3.有理数的加法运算律 交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 a+b＝b+a。 结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，即 (a+b)+c＝a+(b+c)。 ▲运算律在有理数范围内仍成立，常用技巧：互为相反数的数先结合、同号的数先结合、能凑整的数先结合。 例：(−2)+3+(+2)＝(−2+2)+3＝0+3＝3。 知识点二、有理数的减法法则 1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 2.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a−b＝a+(−b)。 ▲转化要点 "两变一不变"：减号变加号，减数变为它的相反数，被减数不变。 减法转化为加法后，按有理数的加法法则计算。 例：(−3)−(+2)＝(−3)+(−2)＝−5；7−(−2)＝7+(+2)＝9。 知识点三、有理数的加减混合运算 1.统一为加法：运用减法法则，把算式中的减法全部转化为加法，得到代数和。 2.省略括号与加号：写成省略加号的和的形式，如 −3−8+6−7 表示 (−3)+(−8)+(+6)+(−7)。 3.简便计算：运用交换律、结合律，把同号的数、互为相反数的数、能凑整的数分别结合。 例：(−2)+(+5)−(−3)−(+1) ＝ (−2)+(+5)+(+3)+(−1) ＝ −2+5+3−1 ＝ 5。 【易错提醒】 1.异号相加时，和的符号取绝对值较大的加数的符号，与加数出现的先后顺序无关。 2.减法转化须 "两变一不变" 同步完成：只变减号或只变减数，结果都会出错。 3.省略加号的和中，移动某个数时要连同它前面的符号一起移动（如：−3+5−2 中移动的是 −3、+5、−2 整体）。 4.任何数加0、减0，结果不变；0减去一个数，等于这个数的相反数（0−a＝−a）。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．比实数大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：比大的数为． 2．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数加法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 2．若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 3．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．平年和闰年上半年的天数相比（     ） A．平年上半年天数多 B．一样多 C．闰年上半年天数多 D．无法判断 【答案】C 【分析】平年与闰年仅月天数不同，上半年其余月份天数固定，可通过比较月天数判断上半年总天数的多少． 【详解】解：上半年包含至月，其中月、月、月各有天，月、月各有天， 平年月有天，上半年总天数为（天）， 闰年月有天，上半年总天数为（天）， ， ∴闰年上半年天数多． 2．二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 【答案】 3000 【分析】规定存入为正，则取出为负，再根据有理数加法计算存折剩余金额即可． 【详解】解：由题意得，存入记为正，取出记为负，因此三月份取出2000元，存折上记作元； 存折上现有金额为元． 3．如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． (1)若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)6，9 (2)千米 【详解】（1）解：小彬家在数轴上的位置表示的有理数为， 小颖家在数轴上的位置表示的有理数为； （2）解：由题意得，（千米） 答：货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了千米． 题型4.有理数加法运算律 1．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查加法交换律的应用，即加数的顺序改变，和不变． 根据交换加数的位置时连同加数的符号一起交换分析即可． 【详解】解：选项A中，正确； 选项B、C、D中均改变了加数的符号，故不正确． 故选A． 2．当时，（1）______；（2）_____． 【答案】 0 14 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可． 【详解】解：； ； 故答案为：0；14． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 题型5.有理数的减法运算 1．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：所求数为． 2．填空： （1）温度比高________； （2）温度比低________； （3）海拔比高________； （4）从海拔到，下降了________． 【答案】 【详解】解：（1） ∴温度比高； （2）， ∴温度比低； （3）， ∴海拔比高； （4）， ∴从海拔到，下降了． 3．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 题型6.有理数减法的实际应用 1．大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 即这天最高气温比最低气温高． 2．冬天室内温度是，室外温度是，那么室内温度比室外温度高_______． 【答案】36 【分析】求室内温度比室外温度高多少，用室内温度减去室外温度，根据有理数减法法则计算即可. 【详解】解：， 所以室内温度比室外温度高. 3．2020年11月10日，我国自主研发的载人潜水器“奋斗者”号，在西太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度，创造了中国载人深潜的新纪录．马里亚纳海沟是地球海洋最深的地方，最深处深约，“奋斗者”号此次坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差多少米？ 【答案】“奋斗者”号此次坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差91米 【分析】用马里亚纳海沟最深处的深度减去“奋斗者”号坐底深度，即可求出两者的深度差． 【详解】解：， 答：“奋斗者”号此次坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差91米． 题型7.有理数的加减混合运算 1．“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 2．如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 【答案】 【分析】先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值．本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的运算及找到数的和的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 所有数的和为，横、竖及内外两个圆的和相等，且横、竖的和包含了所有数（内外圆的和也包含所有数），设内外两个圆的和为，则， ∴ ． ∵ 横线上的数为、、、，其和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 3．下列变形是否正确？如果不正确，错在哪里？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，错在交换加数位置时未连同符号一起交换，将、误换为、 (2)不正确，错在交换加数位置时未连同符号一起交换，所有加数的符号均出错 (3)正确，交换加数位置时均连同符号一起移动，符合加法交换律 (4)不正确，错在交换加数位置时未连同符号一起交换，将误写为 【分析】（1）根据有理数加法交换律解答即可； （2）根据有理数加法交换律解答即可； （3）根据有理数加法交换律解答即可； （4）根据有理数加法交换律解答即可. 【详解】（1）解：不正确，理由略 （2）解：不正确，理由略 （3）解：正确，理由略 （4）解：不正确，理由略 题型8.有理数加减中的简便运算 1．在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键． 寻找能与前两个分数中的一个凑成整数的数，简化运算即可． 【详解】解：原式为 选项A：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项B：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项C：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项D：若■表示的数为，则原式为，能用简便方法进行计算，符合题意； 故选：． 2．要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是_______．（写出一个合适的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是加法运算律的运用．根据题意知，分母与题干中的分母相同可以运用加法的交换律和结合律，据此求解即可． 【详解】解：当“”里的数为分母含有13或8时，可用交换律和结合律， 即； 故答案为：（答案不唯一）． 3．计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 2．一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 【答案】5 【分析】本题考查重叠问题，熟练掌握容斥原理与韦恩图是解题关键． 先计算出只答对第一题的人数，再用总人数减去只答对第一题和答对第二题的人数即可． 【详解】解：由题意可知，只答对第一题的人数为人， ∴两道题都错的有人． 故答案为：5． 3．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【分析】根据当天与前一天的价格涨跌情况分别求出每天的蔬菜单价，根据“总价＝单价×数量”求出每天的销售额，用5天的销售总额减去5天的摊位费和蔬菜的进货成本即是本周的盈利． 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 题型10.省略加法和括号的形式 1．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 2．把写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 3．平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． ✺课堂小练 一、单选题 1．比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，再按照有理数加法法则计算结果即可． 【详解】解： 2．一天早晨的气温是，中午气温比早晨上升了，中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数和负数的实际应用和有理数加减法运算． 【详解】解：由题意得中午气温比早晨上升了， 所以中午的气温为． 3．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．笑笑在计算时，错误地将题抄写成了，要修正错误，需要将笑笑得到的结果（    ）． A．减0.09 B．加0.09 C．减0.92 D．加0.92 【答案】B 【分析】利用两个算式被减数相同的特点，通过减数的差值推导结果的修正量. 【详解】解：正确算式为，错误算式为. 正确结果与错误结果的差为. 所以错误结果比正确结果少，需将错误结果加修正. 5．数轴上一点沿数轴向左移动个单位长度后到达点，若点到原点的距离为，点到点和点的距离相等，则点表示的数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由点到原点距离的两种情况切入，结合平移、中点条件求解． 【详解】解：点到原点的距离为， 点表示的数为或． 点向左移动个单位到达点， 点表示的数为或． 点到点和点的距离相等， 点是线段的中点， 点表示的数为或． 二、填空题 6．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 7．潜水艇上升为正，下降为负．若潜水艇先在距水面深处，两次记录情况分别是，，那么此时潜水艇在距水面 _______ 深处． 【答案】70 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．根据上升为正、下降为负的含义，进行列式计算即可． 【详解】解：规定水面为，则初始位置为，两次记录的变化量为和， 所以最后的位置为：， 所以此时潜水艇在距水面深处． 故答案为：70． 8．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可达到零上，其背阳面温度可达到零下．若零上记作，则零下记作( )；零上与零下相差( )． 【答案】 【分析】题目规定零上温度记为正，根据相反意义的量可得到零下温度的记法； 利用有理数减法计算两个温度的差值． 【详解】答题空1 解：因为题目规定零上记作，正负数表示相反意义的量， 所以零下记作． 答题空2 零上与零下相差：． 9．计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，再利用加法运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：，，，． 10．（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 12．下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式          第一步           第二步                           第三步                                第四步 任务： (1)计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的_______律和_________律． (2)她从第_________步开始出现错误． (3)请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议． 【答案】(1)交换；结合 (2)三 (3)；建议：计算有理数加减法时要细心，要将减法转化为加法，确保每一步计算准确． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：原式， ， ， ， 所以，正确的运算结果是；建议：计算有理数加减法时要细心，要将减法转化为加法，确保每一步计算准确． 13．某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 【答案】(1) 队员 A B C D E F 身高 179 182 180 174 183 182 身高与平均身高的差 0 (2)E最高，D最矮 (3) 【详解】（1）解：B身高：；C身高：；D身高与平均身高的差：；E身高：；F身高与平均身高的差：， 填表略； （2）解：， 故E最高，D最矮； （3）解： 答：最高与最矮的队员身高相差． 14．下表列出了国外几个城市与北京的时差． (1)如果现在的北京时间是7：00，那么现在的东京时间是几点？ 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/ (2)小丽想在北京时间7：00给在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ (3)李伯伯从北京乘坐早晨8：00的航班经过约到达纽约，那么李伯伯到达纽约时当地时间大约是几点？ (4)了解国外其他城市与北京的时差，以时差为背景联系实际生活编写一道数学问题． 【答案】(1)现在的东京时间是8：00 (2)不合适． (3)李伯伯到达纽约时当地时间大约是15：00 (4)解：小明想在北京时间9：00给在芝加哥的表哥打电话，你认为合适吗？（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）用北京时间加东京与北京的时差，即可得到东京时间； （2）先计算巴黎当地时间，结合生活常识判断是否适合打电话； （3）先计算航班到达时的北京时间，再加纽约与北京的时差，得到纽约当地时间．； （4）结合时差知识与生活场景，编写符合要求的数学问题即可． 【详解】（1）解：， 答：现在的东京时间是8：00； （2）解：， ∴当北京时间为7：00时，巴黎时间为0：00，此时为凌晨，人们通常处于休息时段，故不合适； （3）解：， ， 答：李伯伯到达纽约时当地时间大约是15：00； （4）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $