第6讲 平方根与立方根 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第6讲 平方根与立方根 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根 · 理解平方根的概念，掌握平方根的性质 · 理解立方根的概念，会求立方根 · 能进行含根号的运算与求值 · 能运用平方根、立方根解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根 0的算术平方根是0 记作，a叫做被开方数，≥0，a≥0 表示非负数a的算术平方根，如=3，=0 概念辨析例题：求的值 解析：42=16且4＞0，所以16的算术平方根是4，即=4。注意只表示算术平方根，取非负值。 ☆ 2.平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根 正数有两个平方根，互为相反数，记作± 0的平方根是0；负数没有平方根 a2=b2⇔a=±b 概念辨析例题：求81的平方根 解析：92=81且(−9)2=81，所以81的平方根是9和−9，即±=±9。算术平方根只取9。 ☆ 3.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根） 记作∛a，读作三次根号a 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ∛(−a)=−∛a；与平方根不同，任何实数都有唯一立方根 概念辨析例题：求∛(−27)的值 解析：因为(−3)3=−27，所以−27的立方根是−3，即∛(−27)=−3。立方根保留被开方数的符号。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 算术平方根 x2=a（x＞0），x= 只取非负值，被开方数≥0 平方根 x2=a，x=± 正数两平方根互为相反数 立方根 x3=a，x=∛a 任意实数有唯一立方根 符号 ≥0，a≥0 负数无平方根有立方根 开方 =|a| 偶次方根取非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】算术平方根（第1-11题） · 求算术平方根：找非负数x使x2=a · 被开方数必须≥0 · =|a|，结果非负 · 估算：介于两个平方数之间 1．（2025秋•枣强县期中）如图，在4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．求图中阴影部分的正方形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 2．（2026•山东校级开学）下列判断不正确的是（　　） A．9的算术平方根是3 B．6是（﹣6）2的算术平方根 C．﹣5是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 3．（2025秋•沙坪坝区校级期末）的值是（　　） A．5 B．±5 C． D． 4．（2023春•宜春期末）下列说法正确的是（　　） A．5是25的算术平方根 B． C．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b D．同位角相等 5．（2026•驿城区一模）请写出一个使的值为整数的a的值：_____________ ． 6．（2025秋•银川校级期末）的算术平方根是_______________ ． 7．（2025秋•闵行区校级月考）已知与|y2﹣5|互为相反数，其中x、y是实数，则x+y＝____________________ ． 8．（2025•宝安区模拟）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形ABCD的边长可能是____________________ ． 9．（2025秋•宿城区校级月考）阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． （1）如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． （2）如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 10．（2026春•福清市期中）某小区有一块面积为169m2的正方形空地，开发商计划在此空地上沿着边的方向建一个面积为98m2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？ 11．（2025秋•栾城区校级期末）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2 【考点2】平方根（第12-24题） · 正数平方根有两个± · 0的平方根是0，负数无平方根 · 开平方与平方互为逆运算 · a2=b2⇔a=±b 12．（2025春•新会区校级月考）下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 13．（2026春•利州区期末）已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 14．（2025秋•城关区校级期中）的平方根是（　　） A． B．±2 C．4 D．﹣4 15．（2026春•赛罕区期末）如图，正方形ABCD面积为10，其顶点A在数轴原点处，以点A为圆心，AB为半径画弧，交数轴于点M，N，则点M，N所表示的数是（　　） A．100的平方根 B．10的平方根 C．20的平方根 D．， 16．（2026春•阳江期末）“的平方根是”的数学表达式是（　　） A． B． C． D． 17．（2026秋•同步）已知，则a＝___________________ ． 18．（2026春•郁南县月考）若2x﹣1的算术平方根是5，则x＝_______ ． 19．（2024秋•白银区校级期中）从1到100之间所有自然数的平方根的和为_____ ． 20．（2025秋•紫金县期末）已知一个正数的两个平方根分别是a+3与3a﹣11，那么这个正数是 _______ ． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）求下列方程中x的值：（x+1）2+8＝72． 22．（2026春•双辽市期末）一个正数x的两个不相等的平方根分别是m+1和1﹣2m，求m和x的值． 23．（2025春•陆丰市校级月考）求下列各式中x的值： （1）（x﹣3）2＝121； （2）（2x+7）2﹣9＝0． 24．（2026春•扎兰屯市期末）若一个正数的两个不同的平方根分别为4﹣m和2m﹣7，求这个正数． 【考点3】立方根（第25-39题） · 立方根保留符号：正正负负 · ∛(−a)=−∛a · 任意实数都有立方根 · 与平方根结合的综合题注意符号 25．（2026春•河东区校级月考）下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 26．（2025秋•任城区期末）下面的说法正确的是（　　） A．﹣1的平方根是±1 B．（﹣2）2的平方根是2 C．9的算术平方根是±3 D．﹣8的立方根是﹣2 27．（2025秋•德清县期末）对问题“已知，求x的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，x还有另一个值2 C．乙说得对，x还有另一个值﹣1 D．两人说得都不对，x应有3个不同值 28．（2025秋•黄浦区期中）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 29．（2026春•连江县期末）﹣27的立方根是（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D． 30．（2025秋•浦东新区校级期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　） A． B． C．或 D．或 31．（2026春•兰陵县月考）已知，那么 ___________ ． 32．（2026春•闵行区校级期末）等底等高的一个圆柱和一个圆锥，它们的体积之和是24π，高都为8，则它们的底面半径为__________________ ． 33．（2026春•浦东新区校级期中）如果和互为相反数，那么xy的立方根是_____ ． 34．（2025秋•金山区期中）已知，则 __________ ． 35．（2025秋•海安市期末）一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的_____ 倍． 36．（2026春•浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 37．（2025秋•淄川区期末）0.512的立方根是________ ，的平方根是_______ ． 38．（2022秋•锦江区校级期中）若实数x的立方根是2，且实数y、z满足（y﹣z+2）2． （1）分别求x、y、z的值； （2）若x、y、z是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状，并说明理由． 39．（2025秋•柴桑区校级月考）已知，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣5z的立方根． 💯 课后巩固 复习建议 · 算术平方根取非负值，被开方数a≥0，≥0 · 正数的平方根有两个（互为相反数），负数没有平方根 · 立方根与平方根不同：负数有立方根且为负，任何实数都有唯一立方根 · =|a|，∛{a3}=a · 开方与乘方互为逆运算，求值题先化简再代入 【作业 1】（2025秋•无锡校级期中）以下关于平方根与立方根说法正确的是（　　） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【作业 2】（2025秋•闵行区校级同步）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有算术平方根 B．16的算术平方根是4 C．的算术平方根是4﹣π D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0 【作业 3】（2026•上海）已知，则x＝_____ ． 【作业 4】（2025秋•玄武区校级期中）阅读材料：由2，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是_________________ ． 【作业 5】（2026春•赵县期中）若，，，则 __________ ． 【作业 6】（2026春•凉州区期中）填空：的平方根是________________ ． 【作业 7】（2025秋•盐城期末）求下列各式中x的值： （1）2（x﹣2）2＝18； （2）（5x﹣1）3＝﹣8． 【作业 8】（2026春•南昌县期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为3：1，面积为243cm2． 计算结果 … （1）长方形封皮的长和宽分别是多少？ （2）正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【作业 9】（2026春•江津区期中）（1）若一个正数的两个不同的平方根分别为4﹣m和2m﹣7，求这个正数； （2）已知5a+4的立方根是﹣1，b是的算术平方根，求3a+2b的平方根． 【作业 10】（2026秋•单元）天气晴朗时，一个人站在海边能看到大海的最远距离s（单位：km）可用s2＝16.74h来估计，其中h（单位：m）为眼睛到海平面的距离．王芳站在海边观察，眼睛到海平面的距离为1.5m，她能看到的最远距离是多少千米？如果她站在海边的岩石上，眼睛到海平面的距离为8.7m，她能看到的最远距离是多少千米？（结果保留小数点后两位．） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 平方根与立方根 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根 · 理解平方根的概念，掌握平方根的性质 · 理解立方根的概念，会求立方根 · 能进行含根号的运算与求值 · 能运用平方根、立方根解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根 0的算术平方根是0 记作，a叫做被开方数，≥0，a≥0 表示非负数a的算术平方根，如=3，=0 概念辨析例题：求的值 解析：42=16且4＞0，所以16的算术平方根是4，即=4。注意只表示算术平方根，取非负值。 ☆ 2.平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根 正数有两个平方根，互为相反数，记作± 0的平方根是0；负数没有平方根 a2=b2⇔a=±b 概念辨析例题：求81的平方根 解析：92=81且(−9)2=81，所以81的平方根是9和−9，即±=±9。算术平方根只取9。 ☆ 3.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根） 记作∛a，读作三次根号a 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ∛(−a)=−∛a；与平方根不同，任何实数都有唯一立方根 概念辨析例题：求∛(−27)的值 解析：因为(−3)3=−27，所以−27的立方根是−3，即∛(−27)=−3。立方根保留被开方数的符号。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 算术平方根 x2=a（x＞0），x= 只取非负值，被开方数≥0 平方根 x2=a，x=± 正数两平方根互为相反数 立方根 x3=a，x=∛a 任意实数有唯一立方根 符号 ≥0，a≥0 负数无平方根有立方根 开方 =|a| 偶次方根取非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】算术平方根（第1-11题） · 求算术平方根：找非负数x使x2=a · 被开方数必须≥0 · =|a|，结果非负 · 估算：介于两个平方数之间 1．（2025秋•枣强县期中）如图，在4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．求图中阴影部分的正方形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 【分析】利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵小正方形的边长为1， ∴阴影部分的正方形的边长为：． 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 2．（2026•山东校级开学）下列判断不正确的是（　　） A．9的算术平方根是3 B．6是（﹣6）2的算术平方根 C．﹣5是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A.9的算术平方根是3，因此选项A不符合题意； B.6是（﹣6）2的算术平方根，因此选项B不符合题意； C．﹣5是25的一个平方根，5是25的算术平方根，因此选项C符合题意； D.19的算术平方根是，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 3．（2025秋•沙坪坝区校级期末）的值是（　　） A．5 B．±5 C． D． 【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：表示25的算术平方根，即5， 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 4．（2023春•宜春期末）下列说法正确的是（　　） A．5是25的算术平方根 B． C．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b D．同位角相等 【分析】根据算术平方根的定义以及同位角相等的条件进行解题即可． 【解答】解：A、5是25的算术平方根，故该项说法正确，符合题意； B、负数没有平方根，故该项说法不正确，不符合题意； C、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，故该项说法不正确，不符合题意； D、只有在平行线内，同位角才相等，故该项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根、同位角，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．（2026•驿城区一模）请写出一个使的值为整数的a的值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再结合为整数，可知5﹣a为非负完全平方数，取合适的完全平方数即可求出符合要求的a的值． 【解答】解：由题意可得：要使二次根式有意义，则被开方数需满足5﹣a≥0， ∴a≤5； 的值为整数， ∴5﹣a是0或完全平方数， 使5﹣a＝4， 解得：a＝1.1，因为1.1小于5， ∴符合题目要求． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，从而确定a的取值范围，再结合题中条件可得出a的值． 6．（2025秋•银川校级期末）的算术平方根是　　 ． 【分析】先计算出的值，再对计算结果求算术平方根即可． 【解答】解：6， 6的算术平方根是， 故答案为：． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根．熟练掌握该知识点是关键． 7．（2025秋•闵行区校级月考）已知与|y2﹣5|互为相反数，其中x、y是实数，则x+y＝　1或1　 ． 【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵与|y2﹣5|互为相反数， ∴|y2﹣5|＝0， ∴4x﹣y2+1＝0，y2﹣5＝0， ∴y＝±，4x﹣5+1＝0， 解得x＝1，y＝±， ∴x+y＝1或x+y＝1， 故答案为：1或1． 【点评】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的关键． 8．（2025•宝安区模拟）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形ABCD的边长可能是　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据正方形的面积公式求得大正方形和小正方形的边长，即可确定正方形ABCD的边长的取值范围，据此判断即可． 【解答】解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为2，小正方形的边长为， ∴由图可知：2AB＜2， 即AB＜2， ∴正方形ABCD的边长可能是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 9．（2025秋•宿城区校级月考）阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． （1）如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． （2）如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【分析】（1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【解答】解：（1）设大正方形的边长为a（a＞0），由于拼成的大正方形的面积为2，则a2＝2， （负值舍去）， 答：该大正方形的边长是； （2）设大正方形的边长为b（b＞0），由于拼成的大正方形的面积为5，则b2＝5． （负值舍去）， 答：该大正方形的边长是． 【点评】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． 10．（2026春•福清市期中）某小区有一块面积为169m2的正方形空地，开发商计划在此空地上沿着边的方向建一个面积为98m2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？ 【分析】根据题意，求出长方形的长，并与正方形的边长进行对比即可． 【解答】解：不能，理由如下： 因为正方形的面积为169m2， 所以正方形的边长为13m． 设长方形的宽为xm，长为2xm， 则x•2x＝98， 解得x＝7（舍负）， 则长为14m， 因为14＞13， 所以开发商不能实现这个愿望． 【点评】本题主要考查了算术平方根，能根据题意求出长方形的长是解题的关键． 11．（2025秋•栾城区校级期末）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2 【分析】设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据长方形封皮的面积为140cm2得到x•2x＝140，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【解答】解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm． x•2x＝140， ∴x2＝70， 解得（负值已舍去）． 由题意可得：正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【点评】此题考查了算术平方根的实际应用，正确记忆计算是解题关键． 【考点2】平方根（第12-24题） · 正数平方根有两个± · 0的平方根是0，负数无平方根 · 开平方与平方互为逆运算 · a2=b2⇔a=±b 12．（2025春•新会区校级月考）下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；算术平方根是一个非负数，是一个正数的正的平方根． 【解答】解：根据算术平方根和平方根的定义逐项分析判断如下： A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项错误，符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根和平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义． 13．（2026春•利州区期末）已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 【分析】根据一个正数的两个平方根是互为相反数，列出关于n的方程，解方程求出n，再求出其中的一个平方根，然后求出m即可． 【解答】解：∵一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7， ∴2n+1+n﹣7＝0， 3n﹣6＝0， 3n＝6， n＝2， ∴2n+1＝2×2+1＝4+1＝5， ∴正数m的值为：52＝25， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方根与立方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 14．（2025秋•城关区校级期中）的平方根是（　　） A． B．±2 C．4 D．﹣4 【分析】根据算术平方根、平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：由于2，的平方根，即2的平方根为， 故选：A． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 15．（2026春•赛罕区期末）如图，正方形ABCD面积为10，其顶点A在数轴原点处，以点A为圆心，AB为半径画弧，交数轴于点M，N，则点M，N所表示的数是（　　） A．100的平方根 B．10的平方根 C．20的平方根 D．， 【分析】由正方形的面积公式求出AB，得到AN＝AM，因此点M，N所表示的数分别是、，即可得到答案． 【解答】解：由条件可知AB2＝10， 解得， 则，点M，N所表示的数分别是， 则点M，N所表示的数是10的平方根． 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，平方根，实数和数轴，解答本题的关键是掌握平方根的定义． 16．（2026春•阳江期末）“的平方根是”的数学表达式是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于两个实数a、b，若满足a2＝b，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【解答】解：根据平方根的定义得：数学表达式是， 故选：A． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提． 17．（2026秋•同步）已知，则a＝　±　 ． 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵（±）2，而， ∴a＝±． 故答案为：． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键． 18．（2026春•郁南县月考）若2x﹣1的算术平方根是5，则x＝　13　 ． 【分析】根据算术平方根的定义，由2x﹣1的算术平方根是5，可得2x﹣1＝25，解方程即可求出x． 【解答】解：∵25的算术平方根为5，而2x﹣1的算术平方根是5， ∴2x﹣1＝25， 解得x＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 19．（2024秋•白银区校级期中）从1到100之间所有自然数的平方根的和为　0　 ． 【分析】根据一个正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数求解即可． 【解答】解：∵一个正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数，1到100之间的数都为正数，一个非负数的两个平方根的和为0． ∴1到100之间所有的自然数的平方根的和为0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了平方根的定义，熟知一个正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数是解题的关键． 20．（2025秋•紫金县期末）已知一个正数的两个平方根分别是a+3与3a﹣11，那么这个正数是 　25　 ． 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：a+3+3a﹣11＝0， 解得a＝2， 则这个正数是（2+3）2＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）求下列方程中x的值：（x+1）2+8＝72． 【分析】先通过移项将常数项移到等号右边，得到（x+1）2的表达式，再利用平方根的定义求出x+1的值，进而求出x． 【解答】解：方程（x+1）2+8＝72 移项得： （x+1）2＝72﹣8＝64， 开平方得： ， 即x+1＝±8， 当x+1＝8时，x＝8﹣1＝7； 当x+1＝﹣8时，x＝﹣8﹣1＝﹣9， 所以方程的解为x＝7或x＝﹣9． 【点评】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 22．（2026春•双辽市期末）一个正数x的两个不相等的平方根分别是m+1和1﹣2m，求m和x的值． 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们化为相反数得出m+1+1﹣2m＝0，即可求出m的值，从而求出x的值． 【解答】解：根据题意得m+1+1﹣2m＝0， 解得m＝2， ∴m+1＝3， ∴x＝32＝9． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 23．（2025春•陆丰市校级月考）求下列各式中x的值： （1）（x﹣3）2＝121； （2）（2x+7）2﹣9＝0． 【分析】（1）根据（±11）2＝121可得x﹣3＝±11，由此即可得； （2）根据（±3）2＝9可得2x+7＝±3，由此即可得． 【解答】解：（1）直接开平方得x﹣3＝±11， x＝14或x＝﹣8． （2）移项得（2x+7）2＝9， 2x+7＝±3， x＝﹣2或x＝﹣5． 【点评】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 24．（2026春•扎兰屯市期末）若一个正数的两个不同的平方根分别为4﹣m和2m﹣7，求这个正数． 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为4﹣m和2m﹣7， ∴（4﹣m）+（2m﹣7）＝0， 4﹣m+2m﹣7＝0， m﹣3＝0， m＝3， ∴这个正数的其中一个平方根为4﹣m＝4﹣3＝1， ∴这个正数为12＝1． 【点评】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． 【考点3】立方根（第25-39题） · 立方根保留符号：正正负负 · ∛(−a)=−∛a · 任意实数都有立方根 · 与平方根结合的综合题注意符号 25．（2026春•河东区校级月考）下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据求一个数的算术平方根计算并判定A、D；根据立方根一个数的立方要挟的相反数计算并判定B；根据求一个数的平方根计算并判定C． 【解答】解：算术平方根，立方根，平方根的相关知识点进行判断如下： A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根，立方根，平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根、立方根、平方根是解题的关键． 26．（2025秋•任城区期末）下面的说法正确的是（　　） A．﹣1的平方根是±1 B．（﹣2）2的平方根是2 C．9的算术平方根是±3 D．﹣8的立方根是﹣2 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．﹣1没有平方根，因此选项A不符合题意； B． （﹣2）2的平方根是±2，因此选项B不符合题意 C．9的算术平方根是3，因此选项C不符合题意； D．﹣8的立方根是﹣2，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 27．（2025秋•德清县期末）对问题“已知，求x的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，x还有另一个值2 C．乙说得对，x还有另一个值﹣1 D．两人说得都不对，x应有3个不同值 【分析】通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【解答】解：根据题意，设t＝x﹣1，则原方程变为， ∵一个数的立方根等于它本身的数是0、1、﹣1， ∴分三种情况讨论： ①当t＝0时，x﹣1＝0， 解得：x＝1， ②当t＝1时，x﹣1＝1， 解得：x＝2， ③当t＝﹣1时，x﹣1＝﹣1， 解得：x＝0， ∴x的值为0、1、2，共3个不同值， ∴甲、乙两人的说法都不对，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是关键． 28．（2025秋•黄浦区期中）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣1＝±1或x﹣1＝0， 当x﹣1＝1时，x＝2； 当x﹣1＝﹣1时，x＝0； 当x﹣1＝0时，x＝1； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 29．（2026春•连江县期末）﹣27的立方根是（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D． 【分析】根据定义找到立方等于﹣27的数即可． 【解答】解：根据立方根的定义可得，﹣27的立方根是﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2025秋•浦东新区校级期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【解答】解：根据“最美实数”的定义若是“最美实数”，则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根及立方根，理解“最美实数”是关键． 31．（2026春•兰陵县月考）已知，那么 　﹣0.235　 ． 【分析】根据立方根的定义将原式化为即可． 【解答】解：∵2.35， ∴0.235． 故答案为：﹣0.235． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 32．（2026春•闵行区校级期末）等底等高的一个圆柱和一个圆锥，它们的体积之和是24π，高都为8，则它们的底面半径为　　 ． 【分析】利用等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，结合已知的体积和列出关于底面半径的方程，求解方程得到正数解即为所求底面半径． 【解答】解：设底面半径为r，由条件可知： ， ∴， ∵底面半径为正数， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平方根、立方根、圆锥的体积、圆柱的体积，熟练掌握以上知识点是关键． 33．（2026春•浦东新区校级期中）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　2　 ． 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出x，y的值，进而求出xy的立方根即可． 【解答】解：根据题意，得， ∵，， ∴1﹣2x＝0，y﹣16＝0， ，解得， ∴xy8， ∵8的立方根是2， ∴xy的立方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，正确计算是解题的关键． 34．（2025秋•金山区期中）已知，则 　167.6　 ． 【分析】将∴化成，进而得到1.676×100即可． 【解答】解：∵， ∴1.676×100＝167.6， 故答案为：167.6． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 35．（2025秋•海安市期末）一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的　4　 倍． 【分析】根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：4， 即它的棱长变为原来的4倍， 故答案为：4． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 36．（2026春•浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 【分析】（1）根据算术平方根的定义，绝对值以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据a＜c＜b，确定a、b、c的值，再求出5a+2b﹣c的值，由立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2， ∴a＝±4，b3，3c﹣2＝﹣8， 即a＝±4，b＝3，c＝﹣2； （2）∵a＜c＜b， ∴a＝﹣4，b＝3，c＝﹣2， ∴5a+2b﹣c＝﹣20+6﹣（﹣2）＝﹣20+6+2＝﹣12， ∴5a+2b﹣c的立方根为． 【点评】本题考查算术平方根、立方根以及绝对值，掌握算术平方根、立方根以及绝对值的定义是正确解答的关键． 37．（2025秋•淄川区期末）0.512的立方根是　0.8　 ，的平方根是　±3　 ． 【分析】根据立方根、平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵0.83＝0.512， ∴0.512的立方根是0.8； ， ∵（±3）2＝9， ∴9的平方根是±3，即的平方根是±3； 故答案为：0.8，±3． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 38．（2022秋•锦江区校级期中）若实数x的立方根是2，且实数y、z满足（y﹣z+2）2． （1）分别求x、y、z的值； （2）若x、y、z是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据立方根的定义以及绝对值，算术平方根的非负性即可求出x、y、z的值； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出答案． 【解答】解：（1）∵实数x的立方根是2， ∴x＝8， 又∵实数y、z满足（y﹣z+2）2， ∴y﹣z+2＝0，y﹣15＝0， 解得，y＝15，z＝17， 答：x＝8，y＝15，z＝17； （2）△ABC是直角三角形； ∵x2+y2＝64+225＝189＝172＝z2， ∴以x、y、z为边长的△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查立方根，绝对值以及算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理，理解立方根、绝对值以及算术平方根的定义，掌握勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 39．（2025秋•柴桑区校级月考）已知，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣5z的立方根． 【分析】根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，再根据立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵x，而5， ∴x＝5， 又∵2，而2， ∴y＝4， 又∵z是9的算术平方根， ∴z＝3， ∴2x+y﹣5z ＝2×5+4﹣5×3 ＝10+4﹣15 ＝﹣1， ∴2x+y﹣5z的立方根为1． 【点评】本题考查算术平方根、平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 算术平方根取非负值，被开方数a≥0，≥0 · 正数的平方根有两个（互为相反数），负数没有平方根 · 立方根与平方根不同：负数有立方根且为负，任何实数都有唯一立方根 · =|a|，∛{a3}=a · 开方与乘方互为逆运算，求值题先化简再代入 【作业 1】（2025秋•无锡校级期中）以下关于平方根与立方根说法正确的是（　　） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的概念与性质逐项判断即可得． 【解答】解：A．任何实数都有1个立方根，正确，此选项符合题意； B．一个正实数的算术平方根只有1个，平方根有2个，不正确，此选项不符合题意； C．0和正数有算术平方根，不正确，此选项不符合题意； D．正数负的平方根小于其立方根，不正确，此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． 【作业 2】（2025秋•闵行区校级同步）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有算术平方根 B．16的算术平方根是4 C．的算术平方根是4﹣π D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0 【分析】判断各选项关于算术平方根的说法是否正确，需依据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）逐一分析． 【解答】解：对于A，负数没有算术平方根，故A错误； 对于B，4，16的算术平方根是4，故B正确； 对于C，（因为π≈3.14＜4）．再求4﹣π的算术平方根，即，而不是4﹣π本身，因此该说法错误； 对于D，设这个数为x，若其算术平方根等于它本身，则，解方程得x＝0或x＝1（因为，），所以“这个数是0”说法错误． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟练运用算术平方根的定义解答． 【作业 3】（2026•上海）已知，则x＝　2　 ． 【分析】根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵， ∴13x﹣1＝25， ∴x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握这个定义是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•玄武区校级期中）阅读材料：由2，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是　2　 ． 【分析】将7﹣4化为（2）2即可． 【解答】解：∵7﹣44﹣2×23＝22﹣2×2（）2＝（2）2， ∴7﹣4的算术平方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义，将7﹣4化为（2）2是正确解答的关键． 【作业 5】（2026春•赵县期中）若，，，则 　22.37　 ． 【分析】根据立方根的性质即可求得答案． 【解答】解：∵2.237， ∴22.37， 故答案为：22.37． 【点评】本题考查立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． 【作业 6】（2026春•凉州区期中）填空：的平方根是　　 ． 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【解答】解：由于3，的平方根，即3的平方根为， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 【作业 7】（2025秋•盐城期末）求下列各式中x的值： （1）2（x﹣2）2＝18； （2）（5x﹣1）3＝﹣8． 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝18， （x﹣2）2＝9， x﹣2＝±3， x＝5或x＝﹣1； （2）（5x﹣1）3＝﹣8， 5x﹣1＝﹣2， 5x＝﹣1， x． 【点评】本题考查了立方根、平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【作业 8】（2026春•南昌县期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为3：1，面积为243cm2． 计算结果 … （1）长方形封皮的长和宽分别是多少？ （2）正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【分析】（1）根据长方形面积公式列方程求解即可； （2）根据正方形面积公式求正方形的边长，比较大小即可得出结论． 【解答】解：（1）长方形封皮的长为3xcm，宽为xcm， 由题意得：3x•x＝243， 解得x＝9（x＝﹣9舍去）， ∴3x＝27， 答：长方形封皮的长为27cm，宽为9cm； （2）正方形卡片能装进长方形封皮内， 理由如下： 由题意得正方形卡片的边长为8（cm）， ∵8＜9， ∴正方形卡片能装进长方形封皮内． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业 9】（2026春•江津区期中）（1）若一个正数的两个不同的平方根分别为4﹣m和2m﹣7，求这个正数； （2）已知5a+4的立方根是﹣1，b是的算术平方根，求3a+2b的平方根． 【分析】（1）根据平方根的性质求出m的值，进而求出这个数的两个平方根，再求出逐个数即可； （2）利用立方根，算术平方根的定义，确定a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根分别为4﹣m和2m﹣7， ∴4﹣m+2m﹣7＝0， 解得m＝3， 当m＝3时，4﹣m＝1，2m﹣7＝﹣1， ∴这个正数是1； （2）∵5a+4的立方根是﹣1， ∴5a+4＝﹣1， 解得a＝﹣1， 又∵b是9的算术平方根， ∴b3， ∴3a+2b＝﹣3+6＝3， 3的平方根是±． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的关键． 【作业 10】（2026秋•单元）天气晴朗时，一个人站在海边能看到大海的最远距离s（单位：km）可用s2＝16.74h来估计，其中h（单位：m）为眼睛到海平面的距离．王芳站在海边观察，眼睛到海平面的距离为1.5m，她能看到的最远距离是多少千米？如果她站在海边的岩石上，眼睛到海平面的距离为8.7m，她能看到的最远距离是多少千米？（结果保留小数点后两位．） 【分析】分别将h＝1.5和h＝8.7代入s2＝16.74h后然后求其算术平方根即可得到答案． 【解答】解：由条件可得s2＝16.74×1.5＝25.11， ∵52＝25＜25.11＜5.022＝25.2004， ∴s≈5.01； 即当眼睛离开海平面的高度是1.5m时，能看到的最远距离是5.01km； 把h＝8.7代入s2＝16.74h得s2＝16.74×8.7＝145.638， ∵12.062＝145.4436＜145.638＜12.082＝145.9264， ∴s≈12.07； ∴能看到的最远距离是12.07km． 【点评】本题主要考查了求代数式的值和算术平方根的应用，解题的关键是正确理解题意． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $