专题08从有理数到实数同步培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦从有理数到实数的数系扩张，系统梳理无理数的定义、实数的两种分类方式，建立实数与数轴的一一对应关系，继承有理数的相反数、绝对值、倒数性质，掌握大小比较及无理数估值方法，为后续根式运算奠定基础。 本资料以知识框架和学习目标为引领，通过9类题型精讲和易错提醒强化理解，借助数轴直观教学培养几何直观，通过无理数估值训练发展抽象能力与推理意识，课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固练习、弥补知识盲点。

专题08从有理数到实数同步培优讲义 ✺知识框架 1.数的范围扩张:以有理数为基础，有理数包含有限小数和无限循环小数。引入无限不循环小数即无理数，有理数与无理数共同组成实数。 2.概念分类：实数存在两种标准分类方式，分别为按定义分类和按符号分类，重点掌握数字0的特殊属性。 3.数形关系：实数与数轴上的点形成一一对应关系，可借助数轴直观判断和比较实数大小。 4.性质与技能：实数完全沿用有理数的相反数、绝对值、倒数相关性质，核心技能包含实数大小比较、无理数逼近估值。 ✅本节核心为数的范围扩张，在有理数基础上新增无理数，构建完整实数体系。实数继承有理数全部基本性质，同时建立实数与数轴的一一对应数形关系，是后续根式运算、实数综合应用的核心基础。 ✺学习目标 1.概念认知：理解有理数、无理数、实数的定义，理清三者的包含关系，能正确区分有理数与无理数。 2.分类掌握：掌握实数的两种分类方式，认识0的特殊性。 3.数形结合：理解实数与数轴上的点一一对应，能借助数轴比较实数大小。 4.性质运用：掌握实数的相反数、绝对值、倒数的定义与性质，能进行简单化简。 5.技能提升：掌握实数大小比较方法，会用逼近法估算简单无理数的整数范围。 ✺题型归纳 题型1.识别无理数 题型2.无理数的大小估算 题型3.无理数整数部分的有关计算 题型4.实数概念理解 题型5.实数的分类 题型6.实数的性质 题型7.实数与数轴 题型8.实数的大小比较 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、有理数回顾 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。 2.有理数的分类： 3.结论：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数。 知识点二、无理数 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见的无理数： （1）开方开不尽的数，如，； （2）化简后含的数，如，； （3）有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个1之间0的个数依次增加）。 3.辨析：带根号的数不一定是无理数，若开方能得到有理数，则为有理数，如，；无限循环小数属于有理数。 知识点三、实数的概念与分类 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类： 3.结论：0是有理数，也是实数；0既不是正数，也不是负数。 知识点四、实数与数轴 1.核心结论：实数与数轴上的点一一对应。每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.几何意义：数轴上右边的点对应的实数大于左边的点对应的实数。 知识点五、实数的基本性质 ▲有理数关于相反数、绝对值、倒数的性质，在实数范围内仍然成立。 相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；若，则互为相反数。 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ，任意实数的绝对值是非负数。 倒数：非零实数的倒数是，0没有倒数；若，则互为倒数。 知识点六、实数大小比较与无理数估值 1.大小比较常用方法 （1）数轴法：数轴上右边的数大于左边的数； （2）符号法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小； （3）平方比较法：对于正实数，平方值越大，原数越大。 2.无理数估值（逼近法）：找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数所在的整数区间。 【易错提醒】 1.混淆无限小数与无限不循环小数，误将无限循环小数当作无理数； 2.仅凭“带有根号”判断无理数，忽略部分带根号的数可化简为有理数； 3.误认为无理数运算的结果一定是无理数（例：+(-)=0)，结果为有理数） 4.忽视0的性质：0没有倒数，相反数、绝对值均为0。 ✺题型精讲 题型1.识别无理数 1．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 2．在实数中，无理数是___________． 【答案】， 【分析】根据有理数与无理数的定义，对给出的数逐一分类，即可得到结果． 【详解】解：， 所以无理数有，． 3．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，_______；当时，_______． (2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______． (3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)3，9，81； (3)存在，1，0． 【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术平方根运算是解决问题的关键． （1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案； （2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案． （3）根据算术平方根是本身的数是0和1解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 故答案为：，； （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； ∴输入x的值可以是3，9，81， 故答案为：3或9或81． （3）解：存在， 当时，，循环取算术平方根始终是0，不能输出无理数； 当时，，循环取算术平方根始终是1，不能输出无理数； 所以，满足要求的x的值是0和1． 题型2.无理数的大小估算 1．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 2．大于的最小整数为________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，即可得到大于的最小整数． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴大于的最小整数为． 3．人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即 ①； 故是偶数，因为只有偶数，其平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入①得，=________ 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾， 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数； (3)【迁移与应用】长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，则， 故是3的倍数， 因为只有3的倍数，其平方才是3的倍数， 所以是3的倍数， 设，得， 故也是3的倍数， 所以和都是3的倍数，不互质，这与假设和互质矛盾， 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (3)解：不可行， 理由：设长宽分别为，则 解得（负值舍去）， ∴长方形纸片的宽为， ∵， ∴， ∴， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为， ∵， ∴不能裁出半径为的圆形画纸． 【分析】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，推出矛盾即可； （2）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，则，推出矛盾即可； （3）设长宽分别为，求出长方形纸片的宽为，然后与圆的直径比较大小即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 题型3.无理数整数部分的有关计算 1．介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（   ） A．9 B．12 C．15 D．19 【答案】A 【分析】通过计算相邻整数的立方，确定的取值范围，得到两个相邻整数后计算它们的和即可． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴， 即， ∴介于的两个相邻整数是和， ∴两个整数的和为． 2．的小数部分是，则等于__． 【答案】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 3．已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (3)已知，其中p是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】（1）估算无理数的大小，即可确定其整数部分和小数部分； （2）估算无理数、的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）估算无理数的大小，根据题意确定p、q的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴的小数部分， 又∵， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵，且，p是整数， ∴，， ∴． ∴的相反数为． 题型4.实数概念理解 1．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 2．了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 【答案】 无限不循环 无理数 【分析】根据无理数与实数的概念进行填空． 【详解】解：（1）无限不循环小数叫做无理数； （2）有理数和无理数统称为实数． 【点睛】本题考查了无理数与实数的概念． 3．已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，平方根及实数的定义，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根及实数的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性可进行求解； （2）由（1）可得的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 题型5.实数的分类 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 2．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 3．请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 【答案】正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 【分析】根据正数、有理数、负数、无理数的定义进行分类．正数是大于0的数；有理数是整数、有限小数或无限循环小数；负数是小于0的数；无理数是无限不循环小数． 本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 题型6.实数的性质 1．的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的相反数是． 2．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 3．阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，移项得， ，都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， ， ， 的平方根是． 题型7.实数与数轴 1．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 【答案】B 【详解】解：∵数轴上的点与实数一一对应， ∴原点右边的点所表示的数是正实数． 2．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 3．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 题型8.实数的大小比较 1．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据负数小于0和所有正数，结合四个选项的数字判定即可得答案. 【详解】解：∵ 负数小于0和所有正数，且四个选项的数字中，只有是负数， ∴ 最小的数是，故A、B、D错误，C正确. 2．比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 3．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，逐个判断选项中的数是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、，是正整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项符合题意； D、是有限小数，属于分数，是有理数，故本选项不符合题意； 2．下列实数中，属于有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，是无理数． 3．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是该正数的两个平方根 ∴ 解得 ． 二、填空题 4．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 5．比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正数的大小，可将两数平方后比较平方结果的大小，平方大的原数越大． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 两个正数，平方大的原数越大， ∴ ． 6．的相反数是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 7．如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 【详解】解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 三、解答题 8．将下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，． 负数集合：{ …} 分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【答案】，，； ，，； ， 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类的依据是解题的关键，注意有限小数与无限循环小数都属于分数一类．根据负数集合、分数集合和非负整数集合的定义对题目进行分析，即可得到答案． 【详解】解：负数集合：； 分数集合：； 非负整数集合：． 9．已知实数满足：． (1)求和的值； (2)若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先根据正实数的两个不相同的平方根互为相反数列式求出，再求的值． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得， ∴正实数的两个不相同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．完成下列表格： 实数 相反数 绝对值 【答案】补全表格如下： 实数 相反数 绝对值 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质，逐个计算对应结果即可． 【详解】解：由题意得，的相反数是； 的相反数是； 的相反数是； 的相反数是； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 11．综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；② 【详解】（1）解：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚动的距离为周长， ∴数轴上点对应的数是； （2）解：①各次滚动周数的绝对值之和为：， 总路程为：． ②各次滚动周数的代数和为：， 对应数轴上的数为． （3）解：①圆周长为：． 向右滚动三周，移动距离为：． 设额外滚动的距离为，则， ． ②， ， ，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08从有理数到实数同步培优讲义 ✺知识框架 1.数的范围扩张:以有理数为基础，有理数包含有限小数和无限循环小数。引入无限不循环小数即无理数，有理数与无理数共同组成实数。 2.概念分类：实数存在两种标准分类方式，分别为按定义分类和按符号分类，重点掌握数字0的特殊属性。 3.数形关系：实数与数轴上的点形成一一对应关系，可借助数轴直观判断和比较实数大小。 4.性质与技能：实数完全沿用有理数的相反数、绝对值、倒数相关性质，核心技能包含实数大小比较、无理数逼近估值 ✅本节核心为数的范围扩张，在有理数基础上新增无理数，构建完整实数体系。实数继承有理数全部基本性质，同时建立实数与数轴的一一对应数形关系，是后续根式运算、实数综合应用的核心基础。 ✺学习目标 1.概念认知：理解有理数、无理数、实数的定义，理清三者的包含关系，能正确区分有理数与无理数。 2.分类掌握：掌握实数的两种分类方式，认识0的特殊性。 3.数形结合：理解实数与数轴上的点一一对应，能借助数轴比较实数大小。 4.性质运用：掌握实数的相反数、绝对值、倒数的定义与性质，能进行简单化简。 5.技能提升：掌握实数大小比较方法，会用逼近法估算简单无理数的整数范围 ✺题型归纳 题型1.识别无理数 题型2.无理数的大小估算 题型3.无理数整数部分的有关计算 题型4.实数概念理解 题型5.实数的分类 题型6.实数的性质 题型7.实数与数轴 题型8.实数的大小比较 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、有理数回顾 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。 2.有理数的分类： 3.结论：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数。 知识点二、无理数 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见的无理数： （1）开方开不尽的数，如，； （2）化简后含的数，如，； （3）有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个1之间0的个数依次增加）。 3.辨析：带根号的数不一定是无理数，若开方能得到有理数，则为有理数，如，；无限循环小数属于有理数。 知识点三、实数的概念与分类 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类： 3.结论：0是有理数，也是实数；0既不是正数，也不是负数。 知识点四、实数与数轴 1.核心结论：实数与数轴上的点一一对应。每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.几何意义：数轴上右边的点对应的实数大于左边的点对应的实数。 知识点五、实数的基本性质 ▲有理数关于相反数、绝对值、倒数的性质，在实数范围内仍然成立。 相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；若，则互为相反数。 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ，任意实数的绝对值是非负数。 倒数：非零实数的倒数是，0没有倒数；若，则互为倒数。 知识点六、实数大小比较与无理数估值 1.大小比较常用方法 （1）数轴法：数轴上右边的数大于左边的数； （2）符号法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小； （3）平方比较法：对于正实数，平方值越大，原数越大。 2.无理数估值（逼近法）：找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数所在的整数区间。 【易错提醒】 1.混淆无限小数与无限不循环小数，误将无限循环小数当作无理数； 2.仅凭“带有根号”判断无理数，忽略部分带根号的数可化简为有理数； 3.误认为无理数运算的结果一定是无理数（例：+(-)=0)，结果为有理数） 4.忽视0的性质：0没有倒数，相反数、绝对值均为0。 ✺题型精讲 题型1.识别无理数 1．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 2．在实数中，无理数是___________． 3．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，_______；当时，_______． (2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______． (3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． 题型2.无理数的大小估算 1．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．大于的最小整数为________． 3．人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即 ①； 故是偶数，因为只有偶数，其平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入①得，=________ 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾， 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数； (3)【迁移与应用】长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请说明理由． 题型3.无理数整数部分的有关计算 1．介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（   ） A．9 B．12 C．15 D．19 2．的小数部分是，则等于__． 3．已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (3)已知，其中p是整数，且，求的相反数． 题型4.实数概念理解 1．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 3．已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 题型5.实数的分类 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 3．请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 题型6.实数的性质 1．的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 2．的相反数是______，的绝对值是______． 3．阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 题型7.实数与数轴 1．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 2．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 3．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 题型8.实数的大小比较 1．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 2．比较大小：______． 3．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列实数中，属于有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 3．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 二、填空题 4．若为正整数，且满足，则的值为______． 5．比较大小：________（填“”“”或“”）． 6．的相反数是_________． 7．如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 三、解答题 8．将下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，． 负数集合：{ …} 分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 9．已知实数满足：． (1)求和的值； (2)若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 10．完成下列表格： 实数 相反数 绝对值 11．综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $