第5讲 有理数混合运算 优等生讲 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第5讲 有理数混合运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数混合运算的运算顺序 · 能正确进行含乘方、绝对值、括号的混合运算 · 掌握定义新运算的规则并能计算 · 了解十进制与二进制的基本概念 · 能运用混合运算解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 同级运算从左到右依次进行 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac，逆用可提公因数 带分数、绝对值先化简再运算 概念辨析例题：计算20−(−7)−|−2|+(−2) 解析：去绝对值：|−2|=2；原式=20+7−2−2=23。注意减去一个负数等于加上它的相反数。 ☆ 2.十进制与二进制 十进制逢十进一，用0~9表示；二进制逢二进一，只用0和1 二进制数化为十进制：按位权展开，如1012=1×22+0×21+1=5 十进制转二进制：除2取余，倒序排列 计算机中常用二进制表示数据 概念辨析例题：把二进制数10112化为十进制 解析：按位权展开：10112=1×23+0×22+1×21+1=8+0+2+1=11。 ☆ 3.定义新运算 新运算规则由题目规定，按规则把数代入 注意运算顺序与括号：新运算内先按内部顺序 含字母的新运算先化简再代入 多个新运算连用按先后顺序计算 概念辨析例题：规定一种新运算a*b=a2−b，计算(−2)*3 解析：按规则：(−2)*3=(−2)2−3=4−3=1。注意把a=−2、b=3整体代入。 ☆ 4.有理数应用 把实际问题转化为有理数运算 结合生活情境：收支、温度、水位等 表格数据按行（列）计算 用运算结果解释实际意义 概念辨析例题：某地一天最高气温5℃，最低气温−3℃，这一天温差是______℃ 解析：温差=最高气温−最低气温=5−(−3)=5+3=8℃。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 混合运算顺序 乘方→乘除→加减，括号优先 同级从左到右 分配律 a(b+c)=ab+ac 可逆用提公因数 二进制 逢二进一，位权为2的幂 只用0和1 十进制转二进制 除2取余倒序 余数倒排 新运算 按题目规定代入计算 注意运算顺序 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的混合运算（第1-7题） · 严格按运算顺序：乘方→乘除→加减 · 括号与绝对值先化简 · 运用运算律简便计算 · 每步检查符号 1．计算的结果是（　　） A．3a+6b B．3a+6b C．3a+b6 D．3a+6b 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【解答】解：， 即的结果是3a+6b， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．计算：的结果是（　　） A．2 B．﹣25 C．﹣7 D．以上都不是 【分析】按照运算顺序，先算﹣32＝﹣9，再算，最后算﹣9﹣16＝﹣25即可． 【解答】解：按照运算顺序计算可得： ． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 3．小明在线上商城购买学习用品，结账后得到如图的小票，其中包装费和优惠券的费用被污染了，根据小票信息，你认为包装费和优惠券分别可能为（　　） A．2元和50元 B．2元和52元 C．3元和53元 D．4元和51元 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：212.6﹣164.6＝48（元）， 则包装费和优惠券的差值应为48元， 那么只有A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 4．下列各组数大小关系中，正确的是（　　） A．0＞|﹣5| B． C．|﹣2|+|35.6|＞|﹣2+35.6| D．（﹣2）3＞﹣22 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A、∵|﹣5|＝5，0＜5，∴0＜|﹣5|，则该选项错误，不符合题意； B、，，∵、的分子相同，分母不同，且202＜153，∴，，∴，则该选项错误，不符合题意； C、∵|﹣2|+|35.6|＝37.6，|﹣2+35.6|＝33.6，37.6＞33.6，∴|﹣2|+|35.6|＞|﹣2+35.6|，则该选项正确，符合题意； D、∵（﹣2）3＝﹣8，﹣22＝﹣4，|﹣8|＝8，|﹣4|＝4，8＞4，﹣8＜﹣4，∴（﹣2）3＜﹣22，则该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 5．定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 【分析】根据新定义列式，先算乘方，乘法，最后再加法即可． 【解答】解：原式＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2 ＝9+6 ＝15， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 6．如图所示是某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是　﹣10　 ． 【分析】输入x＝﹣2，按照框图中的运算法则计算，直至结果小于﹣5为止． 【解答】解：输入x＝﹣2，3x+2＝3×（﹣2）+2＝﹣4＞﹣5， 输入x＝﹣4，3x+2＝3×（﹣4）+2＝﹣10＜﹣5，即输出， 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值　1或﹣3　 ． 【分析】首先根据相反数的定义得到a+b＝0，倒数的定义得到cd＝1，绝对值的性质结合最小正整数的概念得到m＝±1，然后分m＝1和m＝﹣1两种情况代入代数式计算即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝0；cd＝1； ∵|m|是最小的正整数， ∴|m|＝1，即m＝1或m＝﹣1． 当m＝1时，； 当m＝﹣1时，； 故答案为：1或﹣3． 【点评】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义及代数式求值，关键是根据相关定义求出a+b、cd、m的取值，再分情况代入计算． 【考点2】十进制与二进制（第8题） · 二进制转十进制按位权展开 · 十进制转二进制除2取余倒序 · 理解进位制概念 · 会算简单换算 8．计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 【分析】通过提取（﹣2）2025 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【解答】解：（﹣2）2026+（﹣2）2025 ＝（﹣2）2025×[（﹣2）+1] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【考点3】定义新运算（第9-11题） · 读懂新运算规则 · 按规则整体代入 · 含字母先化简 · 注意内部运算顺序 9．定义一种新运算“※”，规定：a※b＝a﹣4b，例如：2※（﹣1）＝2﹣4×（﹣1）＝6．若m+2n＝2，则（m﹣2n）※（m+n）的值是　﹣6　 ． 【分析】根据定义的新运算列式计算并整理，然后整体代入已知数值并计算即可． 【解答】解：（m﹣2n）※（m+n） ＝（m﹣2n）﹣4（m+n） ＝m﹣2n﹣4m﹣4n ＝﹣3m﹣6n ＝﹣3（m+2n）， ∵m+2n＝2， ∴原式＝﹣3×2＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 10．规定一种新运算：a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*3＝　1　 ． 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：利用题中的新定义计算可得： （﹣2）*3＝（﹣2）2﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查了含乘方的有理数混合运算，理解新定义是解题的关键． 11．若a，b互为相反数，m的绝对值是1，则（a+b）cd﹣2026m＝　﹣2026或2026　 ． 【分析】根据相反数性质得a+b＝0；根据绝对值性质得m＝±1；再结合代数式进行计算，即可得到答案． 【解答】解：由题意得，a+b＝0，m＝±1， 当m＝1时，（a+b）cd﹣2026m＝0﹣2026＝﹣2026； 当m＝﹣1时，（a+b）cd﹣2026m＝0+2026＝2026． 综上，代数式的值是﹣2026或2026． 故答案为：﹣2026或2026． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【考点4】混合运算（第12-15题） · 多步计算题分步书写 · 先算乘方与括号 · 分数乘除先化乘法 · 检查运算符号 12．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）将分数化为小数，再根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可得解； （3）将除法转化为乘法，再根据有理数的乘法运算律计算即可得解； （4）根据有理数的乘法运算律计算即可得解． 【解答】解：（1） ＝0.95﹣0.25﹣2.75﹣1.95+5 ＝1； （2）； （3）原式 ＝﹣12+20﹣18 ＝﹣10； （4）原式 ＝﹣44． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 13．计算（能用简便运算的用简算）： （1）2.5×4÷8.5； （2）． 【分析】（1）先按从左到右的运算顺序，先计算乘法部分得到整数10，再用10除以8.5，最后化简分数得到结果； （2）利用乘法分配律，把24分别和括号里的三个分数相乘，再把得到的结果依次进行加减运算，简化计算过程． 【解答】解：（1）2.5×4÷8.5 ＝10÷8.5 ； （2） ＝6+20﹣21 ＝26﹣21 ＝5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 14．计算： （1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）； （2）； （3）． 【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先把除法转化为乘法，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可． 【解答】解：（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2） ＝20+7﹣2+（﹣2） ＝23； （2） ＝81 ＝16； （3） ＝﹣4×（）﹣（﹣27）÷9 ＝3+3 ＝6． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．计算： （1）； （2）﹣14+[2﹣（﹣3）2]÷7． 【分析】（1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再计算括号，然后计算除法，最后算加法即可． 【解答】解：（1） ＝（﹣18）+（﹣30）+21 ＝﹣27； （2）﹣14+[2﹣（﹣3）2]÷7 ＝﹣1+（2﹣9）÷7 ＝﹣1+（﹣7）÷7 ＝﹣1+（﹣1） ＝﹣2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【考点5】有理数应用（第16-21题） · 读懂情境列算式 · 表格数据正确提取 · 运算结果结合实际解释 · 注意正负数意义 16．圣诞节，傅妈妈准备制作六人份的果冻，食谱中说明“一人份果冻需要砂糖20克”，同时也注明：“砂糖20克可换成糖浆6小勺”．在制作过程中，傅妈妈在加入了50克砂糖后发现砂糖不够了，不足的砂糖准备按比例换成糖浆，请问，再需要加入几小勺糖浆？ 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式（20×6﹣50）÷（20÷6），然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， （20×6﹣50）÷（20÷6） ＝（120﹣50） ＝70 ＝21（勺） 答：再需要加入21小勺糖浆． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 17．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人当天的巡逻行驶记录如下（单位：km）：+2，﹣1.5，﹣2，+0.5，﹣4.5，+1.5． （1）这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的哪个方向？距出发点多少km？ （2）已知巡逻机器人的平均速度为3km/h，求这次巡逻所用的时间． 【分析】（1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得： 2+（﹣1.5）+（﹣2）+（+0.5）+（﹣4.5）+（+1.5） ＝2﹣1.5+2+0.5﹣4.5+1.5 ＝﹣4km． 答：这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的南侧4km处． （2）（|2|+|﹣1.5|+|﹣2|+|0.5|+|﹣4.5|+|1.5|＝12（千米）， 12÷3＝4h． 答：这次巡逻所用的时间为4h． 【点评】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 18．据气象资料显示，高度每增加1千米，气温大约升高﹣6摄氏度． （1）已知某山峰的高度约为1700米，当山脚的气温为18摄氏度时，求山顶的气温； （2）若某地地表气温为20摄氏度时，高空某处的气温为﹣22摄氏度，求此处的高度． 【分析】（1）由“高度每增加1千米，气温大约升高﹣6摄氏度”知，同一时刻山顶的气温等于山脚的气温加上山顶的高度除以1千米再乘以﹣6的积，注意单位需统一； （2）由“高度每增加1千米，气温大约升高﹣6摄氏度”知，计算温度差后除以﹣6再乘以1可得答案． 【解答】解：（1）由“高度每增加1千米，气温大约升高﹣6摄氏度”知，同一时刻山顶的气温等于山脚的气温加上山顶的高度除以1千米再乘以﹣6的积可知： 18+1700÷1000×（﹣6） ＝18﹣10.2 ＝7.8（摄氏度）， 则山顶的气温为7.8摄氏度； （2）（﹣22﹣20）÷（﹣6）×1 ＝42÷6 ＝7（千米）， 则此处的高度为7千米． 【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． 19．在科技浪潮的推动下，无人驾驶快递配送车正以颠覆性姿态重塑物流行业，让高效、安全、环保的配送体验触手可及．一辆无人驾驶快递配送车从配送站出发，在一条南北方向的街道上运营．规定：以配送站为原点，向南为正，向北为负，这辆无人驾驶快递配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）： +7、+1、+6、+5、+3、﹣2、﹣9、﹣4、﹣8、﹣4． （1）这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地时，配送车在配送站的什么方向，距离配送站多少千米？ （2）若这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地后，返回配送站．已知这种无人驾驶快递配送车每千米耗电0.15元，求这辆无人驾驶快递配送车该天耗电的总费用． 【分析】（1）把所给的配送里程相加，所得结果的绝对值为与出发地点的距离，若结果为正，则在出发点的南边，若结果为负，则在出发点的北边； （2）把所给的配送里程取绝对值，与返回配送站的路程相加，所得结果乘以0.15即可得到答案． 【解答】解：（1）把所给的配送里程相加可得： +7+1+6+5+3﹣2﹣9﹣4﹣8﹣4 ＝﹣5． 所以配送车在配送站的北面，距离配送站5千米． （2）这辆无人驾驶快递配送车行驶的总路程为： |+7|+|+1|+|+6|+|+5|+|+3|+|﹣2|+|﹣9|+|﹣4|+|﹣8|+|﹣4|+5＝54（千米）． 所以当天耗电的总费用为54×0.15＝8.1（元）． 【点评】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数加减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 20．综合与实践 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图①）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号（图②）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图②，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2． 【观察发现】（1）左起三、四个符号表示的二进制数分别为　（100）2 ，　（101）2 ； 【解决问题】 （2）二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加．例如：（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即20＝1）． ①计算八卦符号中左起第三个符号和第四个符号对应的二进制数的和； ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）． 【类比迁移】 （3）请求出（2023）5+（2026）8的结果．（用十进制表示） 【分析】（1）根据阳爻对应1、阴爻对应0的规则，结合二进制数的高位到低位顺序，分析卦象的爻组合得到二进制数； （2）①直接对两个二进制数进行加法运算； ②利用位权展开法，将二进制数的每一位乘以2的对应次方后相加，转换为十进制数． （3）分别将五进制和八进制数通过位权展开法转换为十进制数，再进行加法运算得到最终结果． 【解答】解：（1）根据阳爻对应1、阴爻对应0的规则，结合二进制数的高位到低位顺序，分析卦象的爻组合得到二进制数如下： 左起第三个卦象为上阳爻、中阴爻、下阴爻，对应二进制数的三位为1、0、0，即（100）2； 左起第四个卦象为上阳爻、中阴爻、下阳爻，对应二进制数的三位为1、0、1，即（101）2； 故答案为：（100）2，（101）2； （2）①（100）2+（101）2＝（1001）2； ②． （3）先将五进制数（2023）5转十进制： 2×53+0×52+2×51+3×50＝2×125+0+2×5+3×1＝250+0+10+3＝263； 再将八进制数（2026）8转十进制： 2×83+0×82+2×81+6×80＝2×512+0+2×8+6×1＝1024+0+16+6＝1046； 最后相加：263+1046＝1309． 【点评】本题主要通过二进制、五进制、八进制与十进制的转换考查乘方的运算，关键是不同进制数的位权展开法，以及二进制数的加法运算． 21．上呼吸道感染常见于秋、冬两季，戴口罩可有效降低呼吸道传染病的传染风险．某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产600个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表所示（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 增减（单位：个） +15 +15 ﹣20 +10 +35 ﹣10 +45 （1）该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？ （2）该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0.3元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？ 【分析】（1）表格中最大数减去最小数即可； （2）用总数乘以单价即可得出结果． 【解答】解：（1）45﹣（﹣20）＝45+20＝65（个）， 答：该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产65个口罩； （2）[600×7+（15+15﹣20+10+35﹣10+45）]×0.3 ＝（4200+90）×0.3 ＝1287（元）； 答：该口罩加工厂本周应支付的工资总额是1287元． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，掌握有理数的混合运算的法则是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】定义一种新运算：a@b＝a﹣2b，则（﹣2）@3的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【分析】根据新定义可得（﹣2）@3＝﹣2﹣2×3，据此计算求解即可． 【解答】解：根据新定义可得： （﹣2）@3＝﹣2﹣2×3＝﹣2﹣6＝﹣8， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【练习 2】若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式（x+y）+3ab的值为（　　） A． B．0 C．3 D．无法计算 【分析】利用相反数，倒数的定义求出x+y＝0，ab＝1的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵x和y互为相反数，a和b互为倒数， ∴x+y＝0，ab＝1， ∴（x+y）+3ab3． 故选：C． 【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【练习 3】计算： （1）﹣13[2﹣（﹣3）2]； （2）． 【分析】（1）根据有理数混合运算的运算法则进行计算； （2）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式＝﹣1 ﹣1 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 【练习 4】当下新能源汽车充电桩运维是热门服务岗位，某学习小组调查了一名充电桩运维员一周的设备巡检数量，规定巡检量超过50台（巡检一台设备称为一台）的部分记为“+”，低于50台的部分记为“﹣”，如表是该运维员一周的巡检量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 巡检量（单位：台） ﹣8 ﹣3 +12 ﹣1 0 +15 +6 （1）该运维员这一周巡检量最多一天比最少一天多　23　 台； （2）求该运维员这一周平均每天巡检多少台设备？ （3）该运维员每天的工资由底薪60元加上巡检补贴构成，巡检补贴的方案如下：每天巡检量不超过50台的部分，每台补贴2元；超过50台的部分，每台补贴4元，求该运维员这一周工资收入多少元？ 【分析】（1）用周六的巡检量减去周一的巡检量即可求解； （2）由50台加上超过或不足部分数据求解即可； （3）每天的工资由底薪加上补贴，按题意计算和即可． 【解答】解：（1）用周六的巡检量减去周一的巡检量可得： 15﹣（﹣8）＝15+8＝23（台）， 即该运维员这一周巡检量最多一天比最少一天多23台； 故答案为：23； （2）（台）， 答：该运维员这一周平均每天巡检53台； （3）60×7+50×7×2+（﹣8﹣3﹣1+0）×2+（12+15+6）×4＝1228（元）， 答：该运维员这一周工资收入1228元． 【点评】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 【练习 5】（1）观察下列等式，探究其中的规律． 12+222×3×5 12+22+323×4×7 12+22+32+424×5×9 … 你能归纳出：12+22+32+42+…+n2＝　n（n+1）（2n+1）　 （2）观察下列等式． 1 … 你能推出：　　 ． 【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出所求式子的结果； （2）将题目中的式子裂项，然后抵消即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 12+22+32+42+…+n2n（n+1）（2n+1）， 故答案为：n（n+1）（2n+1）； （2） ＝1 ＝1 ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【练习 6】数学活动： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材1 十进制数234＝2×102+3×101+4×100，记作：234． 七进制数，记作：123（7）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： ∴66＝123（7）∴5＝101（2） 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝10（2）． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，0﹣1＝﹣1，1﹣1＝0，10（2）﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： （1）将七进制数242（7）转化成十进制数的值为：　128　 ；将十进制数13转化成二进制数的值为：　1101　 （2）； （2）计算：10011（2）+1101（2）＝ 　100000　 （2）；1101（2）﹣11011（2）＝ 　﹣1110　 （2）（结果二进制的形式）； （3）如果将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18的整数倍时，我们称原来的两位数为“开心数”．问是否存在这样的“开心数”，使该数转化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“开心数”；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据七进制转化十进制和十进制转化二进制的方法进行计算即可得解； （2）根据二进制的算法计算即可得解； （3）首先由得到 a＝1或a＝2或a＝3，然后分情况根据“开心数”的概念求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得，； ∴1101（2）； 故答案为：128，1101； （2）10011（2）+1101（2）＝100000（2）； 1101（2）﹣11011（2）＝﹣1110（2）； 故答案为：100000，﹣1110； （3）根据题意：，且0＜a＜4， ∵2la是一个十进制的两位数， ∴a＝1或 a＝2或 a＝3， 当a＝1时，原式为21，新数为12， 则21﹣12＝9，不是18的整数倍，不是“开心数”，不符合题意； 当a＝2时，原数为42，新数为24， 则42﹣24＝18＝18×1，是18的整数倍，是“开心数”，符合题意； 当 a＝3 时，原式为63，新数为36， 则63﹣36＝27，不是18的整数倍，不是“开心数”，不符合题意； 综上，这样的“开心数”存在，这个“开心数”是 42． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和进制计算规则，根据题意弄清进制的计算规则是解本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先括号，同级从左到右 · 减法变加法（减一个数等于加它的相反数），除法变乘法（乘倒数） · 善用运算律，逆用分配律提取公因数可简化计算 · 二进制逢二进一，化十进制按位权2n展开 · 新定义运算严格按题目规定规则代入，注意顺序与括号 【作业 1】有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③；④．其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据有理数的混合运算法则，有理数的乘方等运算法则进行逐项分析计算即可． 【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误； ②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误； ③1，原来的计算错误； ④，原来的计算正确． 正确的有1个． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，有理数的加法、除法等运算法则，关键在于正确的进行计算． 【作业 2】下列计算中，结果最小的是（　　） A．10﹣5+10﹣6 B．10﹣5﹣10﹣6 C．10﹣5×10﹣6 D．10﹣5÷10﹣6 【分析】计算出各个选项中式子的结果，然后即可发现哪个式子的结果最小． 【解答】解：10﹣5+10﹣6＝0.00001+0.000001＝0.000011＝1.1×10﹣5， 10﹣5﹣10﹣6＝0.00001﹣0.000001＝0.000009＝9×10﹣6， 10﹣5×10﹣6＝10﹣11， 10﹣5÷10﹣6＝10， 由上可得，结果最小的是10﹣5×10﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算、有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业 3】计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加减法即可． 【解答】解： ＝﹣9﹣2+2 ＝﹣9． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业 4】入秋，某生鲜超市根据本地居民有腌制酸菜的饮食习惯，购进了30筐白菜，以每筐25kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：kg） ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 筐数 1 3 5 9 6 4 2 （1）与标准重量比较，30筐白菜总计超过或不足多少千克？ （2）若超市将白菜每千克售价定为1.4元，则出售这30筐白菜可卖多少元？ 【分析】利用“每筐白菜与标准的差×筐数”，计算出30筐白菜总计超过或不足重量； 先计算出30筐白菜的总重量，利用“总价＝单价×总重量”得结论． 【解答】解：（1）﹣3×1+（﹣2）×3+（﹣1）×5+0×9+1×6+2×4+3×2 ＝﹣3﹣6﹣5+0+6+8+6 ＝6（千克）． ∴30筐白菜总计超过6千克． （2）1.4×（25×30+6） ＝1.4×756 ＝1058.4（元）． 答：出售这30筐白菜可卖1058.4元． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【作业 5】类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y． （1）若x△（﹣5x+3）＝13，求x的值； （2）若a△（﹣9b）＝12，请计算（a﹣2b）△（5a﹣2024）的值； （3）若m＝（a2﹣2b）△3b，n＝2b△（6a2+15b+1），比较m与n的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据定义的新运算可得3x﹣（﹣5x+3）＝13，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得3a﹣（﹣9b）＝12，从而可得a+3b＝4，然后利用定义的新运算和整体思想进行计算，即可解答； （3）根据定义的新运算进行计算，从而可得m＝3a2﹣9b，n＝﹣6a2﹣9b﹣1，然后利用作差法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵x△（﹣5x+3）＝13， ∴3x﹣（﹣5x+3）＝13， 3x+5x﹣3＝13， 3x+5x＝13+3， 8x＝16， x＝2； （2）∵a△（﹣9b）＝12， ∴3a﹣（﹣9b）＝12， 3a+9b＝12， a+3b＝4， ∴（a﹣2b）△（5a﹣2024） ＝3（a﹣2b）﹣（5a﹣2024） ＝﹣2a﹣6b+2024 ＝﹣2（a+3b）+2024 ＝﹣2×4+2024 ＝﹣8+2024 ＝2016； （3）m＞n， 理由：m＝（a2﹣2b）△3b ＝3（a2﹣2b）﹣3b ＝3a2﹣6b﹣3b ＝3a2﹣9b， n＝2b△（6a2+15b+1） ＝6b﹣（6a2+15b+1） ＝6b﹣6a2﹣15b﹣1 ＝﹣6a2﹣9b﹣1， ∴m﹣n ＝3a2﹣9b﹣（﹣6a2﹣9b﹣1） ＝3a2﹣9b+6a2+9b+1 ＝9a2+1＞0， ∴m＞n． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． 【作业 6】一辆货车从龙信广场出发负责送货，记向东走为正，则货车先走了﹣2千米到达光华小区，继续走了﹣3.5千米到达实验初中，然后走了+6.5千米到达商和广场，最后返回龙信广场． （1）以龙信广场为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出光华小区、实验初中、商和广场的位置（光华小区用点A表示，实验初中用点B表示，商和广场用点C表示） （2）光华小区与商和广场相距多远？ （3）如果货车每千米耗油0.2升，那么这辆货车从出发送货到返回龙信广场共耗油多少升？ 【分析】（1）根据题意在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出算式，再求出答案即可． 【解答】解：（1）根据题意作图如下： ． （2）0.2×（|﹣2|+|﹣3.5|+|6.5|+1） ＝0.2×（2+3.5+6.5+1） ＝0.2×13 ＝2.6（升） 答：这辆货车从出发送货到返回龙信广场共耗油2.6升． 【点评】本题考查了数轴，正数和负数，有理数的加减等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键． 【作业 7】数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令s＝1+2+22+23+24+25+26+27+28+29，① 则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210，② ②﹣①得s＝210﹣1． 根据以上方法请计算，要求写出过程，结果用幂表示． （1）1+2+22+23+⋯+22023； （2）1+3+32+33+⋯+32023． 【分析】（1）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）设s＝1+2+22+23+…+22023①， 则2s＝2+22+23+…+22023+22024②， ②﹣①，得 s＝22024﹣1， 即1+2+22+23+…+22023＝22024﹣1； （2）设s＝1+3+32+33+…+32023①， 则3s＝3+32+33+…+32023+32024②， ②﹣①，得 2s＝320241， ∴s， ∴1+3+32+33+…+32023． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 有理数混合运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数混合运算的运算顺序 · 能正确进行含乘方、绝对值、括号的混合运算 · 掌握定义新运算的规则并能计算 · 了解十进制与二进制的基本概念 · 能运用混合运算解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 同级运算从左到右依次进行 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac，逆用可提公因数 带分数、绝对值先化简再运算 概念辨析例题：计算20−(−7)−|−2|+(−2) 解析：去绝对值：|−2|=2；原式=20+7−2−2=23。注意减去一个负数等于加上它的相反数。 ☆ 2.十进制与二进制 十进制逢十进一，用0~9表示；二进制逢二进一，只用0和1 二进制数化为十进制：按位权展开，如1012=1×22+0×21+1=5 十进制转二进制：除2取余，倒序排列 计算机中常用二进制表示数据 概念辨析例题：把二进制数10112化为十进制 解析：按位权展开：10112=1×23+0×22+1×21+1=8+0+2+1=11。 ☆ 3.定义新运算 新运算规则由题目规定，按规则把数代入 注意运算顺序与括号：新运算内先按内部顺序 含字母的新运算先化简再代入 多个新运算连用按先后顺序计算 概念辨析例题：规定一种新运算a*b=a2−b，计算(−2)*3 解析：按规则：(−2)*3=(−2)2−3=4−3=1。注意把a=−2、b=3整体代入。 ☆ 4.有理数应用 把实际问题转化为有理数运算 结合生活情境：收支、温度、水位等 表格数据按行（列）计算 用运算结果解释实际意义 概念辨析例题：某地一天最高气温5℃，最低气温−3℃，这一天温差是______℃ 解析：温差=最高气温−最低气温=5−(−3)=5+3=8℃。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 混合运算顺序 乘方→乘除→加减，括号优先 同级从左到右 分配律 a(b+c)=ab+ac 可逆用提公因数 二进制 逢二进一，位权为2的幂 只用0和1 十进制转二进制 除2取余倒序 余数倒排 新运算 按题目规定代入计算 注意运算顺序 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的混合运算（第1-7题） · 严格按运算顺序：乘方→乘除→加减 · 括号与绝对值先化简 · 运用运算律简便计算 · 每步检查符号 1．计算的结果是（　　） A．3a+6b B．3a+6b C．3a+b6 D．3a+6b 2．计算：的结果是（　　） A．2 B．﹣25 C．﹣7 D．以上都不是 3．小明在线上商城购买学习用品，结账后得到如图的小票，其中包装费和优惠券的费用被污染了，根据小票信息，你认为包装费和优惠券分别可能为（　　） A．2元和50元 B．2元和52元 C．3元和53元 D．4元和51元 4．下列各组数大小关系中，正确的是（　　） A．0＞|﹣5| B． C．|﹣2|+|35.6|＞|﹣2+35.6| D．（﹣2）3＞﹣22 5．定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 6．如图所示是某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是________ ． 7．已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值_________ ． 【考点2】十进制与二进制（第8题） · 二进制转十进制按位权展开 · 十进制转二进制除2取余倒序 · 理解进位制概念 · 会算简单换算 8．计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 【考点3】定义新运算（第9-11题） · 读懂新运算规则 · 按规则整体代入 · 含字母先化简 · 注意内部运算顺序 9．定义一种新运算“※”，规定：a※b＝a﹣4b，例如：2※（﹣1）＝2﹣4×（﹣1）＝6．若m+2n＝2，则（m﹣2n）※（m+n）的值是_______ ． 10．规定一种新运算：a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*3＝_____ ． 11．若a，b互为相反数，m的绝对值是1，则（a+b）cd﹣2026m＝_______________ ． 【考点4】混合运算（第12-15题） · 多步计算题分步书写 · 先算乘方与括号 · 分数乘除先化乘法 · 检查运算符号 12．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．计算（能用简便运算的用简算）： （1）2.5×4÷8.5； （2）． 14．计算： （1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）； （2）； （3）． 15．计算： （1）； （2）﹣14+[2﹣（﹣3）2]÷7． 【考点5】有理数应用（第16-21题） · 读懂情境列算式 · 表格数据正确提取 · 运算结果结合实际解释 · 注意正负数意义 16．圣诞节，傅妈妈准备制作六人份的果冻，食谱中说明“一人份果冻需要砂糖20克”，同时也注明：“砂糖20克可换成糖浆6小勺”．在制作过程中，傅妈妈在加入了50克砂糖后发现砂糖不够了，不足的砂糖准备按比例换成糖浆，请问，再需要加入几小勺糖浆？ 17．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人当天的巡逻行驶记录如下（单位：km）：+2，﹣1.5，﹣2，+0.5，﹣4.5，+1.5． （1）这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的哪个方向？距出发点多少km？ （2）已知巡逻机器人的平均速度为3km/h，求这次巡逻所用的时间． 18．据气象资料显示，高度每增加1千米，气温大约升高﹣6摄氏度． （1）已知某山峰的高度约为1700米，当山脚的气温为18摄氏度时，求山顶的气温； （2）若某地地表气温为20摄氏度时，高空某处的气温为﹣22摄氏度，求此处的高度． 19．在科技浪潮的推动下，无人驾驶快递配送车正以颠覆性姿态重塑物流行业，让高效、安全、环保的配送体验触手可及．一辆无人驾驶快递配送车从配送站出发，在一条南北方向的街道上运营．规定：以配送站为原点，向南为正，向北为负，这辆无人驾驶快递配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）： +7、+1、+6、+5、+3、﹣2、﹣9、﹣4、﹣8、﹣4． （1）这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地时，配送车在配送站的什么方向，距离配送站多少千米？ （2）若这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地后，返回配送站．已知这种无人驾驶快递配送车每千米耗电0.15元，求这辆无人驾驶快递配送车该天耗电的总费用． 20．综合与实践 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图①）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号（图②）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图②，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2． 【观察发现】（1）左起三、四个符号表示的二进制数分别为___________ ，___________ ； 【解决问题】 （2）二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加．例如：（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即20＝1）． ①计算八卦符号中左起第三个符号和第四个符号对应的二进制数的和； ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）． 【类比迁移】 （3）请求出（2023）5+（2026）8的结果．（用十进制表示） 21．上呼吸道感染常见于秋、冬两季，戴口罩可有效降低呼吸道传染病的传染风险．某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产600个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表所示（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 增减（单位：个） +15 +15 ﹣20 +10 +35 ﹣10 +45 （1）该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？ （2）该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0.3元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？ 📝 随堂检测 【练习 1】定义一种新运算：a@b＝a﹣2b，则（﹣2）@3的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【练习 2】若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式（x+y）+3ab的值为（　　） A． B．0 C．3 D．无法计算 【练习 3】计算： （1）﹣13[2﹣（﹣3）2]； （2）． 【练习 4】当下新能源汽车充电桩运维是热门服务岗位，某学习小组调查了一名充电桩运维员一周的设备巡检数量，规定巡检量超过50台（巡检一台设备称为一台）的部分记为“+”，低于50台的部分记为“﹣”，如表是该运维员一周的巡检量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 巡检量（单位：台） ﹣8 ﹣3 +12 ﹣1 0 +15 +6 （1）该运维员这一周巡检量最多一天比最少一天多_______ 台； （2）求该运维员这一周平均每天巡检多少台设备？ （3）该运维员每天的工资由底薪60元加上巡检补贴构成，巡检补贴的方案如下：每天巡检量不超过50台的部分，每台补贴2元；超过50台的部分，每台补贴4元，求该运维员这一周工资收入多少元？ 【练习 5】（1）观察下列等式，探究其中的规律． 12+222×3×5 12+22+323×4×7 12+22+32+424×5×9 … 你能归纳出：12+22+32+42+…+n2＝____________________ （2）观察下列等式． 1 … 你能推出：____________________ ． 【练习 6】数学活动： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材1 十进制数234＝2×102+3×101+4×100，记作：234． 七进制数，记作：123（7）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： ∴66＝123（7）∴5＝101（2） 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝10（2）． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，0﹣1＝﹣1，1﹣1＝0，10（2）﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： （1）将七进制数242（7）转化成十进制数的值为：________ ；将十进制数13转化成二进制数的值为：_________ （2）； （2）计算：10011（2）+1101（2）＝ ___________ （2）；1101（2）﹣11011（2）＝ __________ （2）（结果二进制的形式）； （3）如果将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18的整数倍时，我们称原来的两位数为“开心数”．问是否存在这样的“开心数”，使该数转化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“开心数”；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先括号，同级从左到右 · 减法变加法（减一个数等于加它的相反数），除法变乘法（乘倒数） · 善用运算律，逆用分配律提取公因数可简化计算 · 二进制逢二进一，化十进制按位权2n展开 · 新定义运算严格按题目规定规则代入，注意顺序与括号 【作业 1】有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③；④．其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业 2】下列计算中，结果最小的是（　　） A．10﹣5+10﹣6 B．10﹣5﹣10﹣6 C．10﹣5×10﹣6 D．10﹣5÷10﹣6 【作业 3】计算：． 【作业 4】入秋，某生鲜超市根据本地居民有腌制酸菜的饮食习惯，购进了30筐白菜，以每筐25kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：kg） ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 筐数 1 3 5 9 6 4 2 （1）与标准重量比较，30筐白菜总计超过或不足多少千克？ （2）若超市将白菜每千克售价定为1.4元，则出售这30筐白菜可卖多少元？ 【作业 5】类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y． （1）若x△（﹣5x+3）＝13，求x的值； （2）若a△（﹣9b）＝12，请计算（a﹣2b）△（5a﹣2024）的值； （3）若m＝（a2﹣2b）△3b，n＝2b△（6a2+15b+1），比较m与n的大小，并说明理由． 【作业 6】一辆货车从龙信广场出发负责送货，记向东走为正，则货车先走了﹣2千米到达光华小区，继续走了﹣3.5千米到达实验初中，然后走了+6.5千米到达商和广场，最后返回龙信广场． （1）以龙信广场为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出光华小区、实验初中、商和广场的位置（光华小区用点A表示，实验初中用点B表示，商和广场用点C表示） （2）光华小区与商和广场相距多远？ （3）如果货车每千米耗油0.2升，那么这辆货车从出发送货到返回龙信广场共耗油多少升？ 【作业 7】数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令s＝1+2+22+23+24+25+26+27+28+29，① 则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210，② ②﹣①得s＝210﹣1． 根据以上方法请计算，要求写出过程，结果用幂表示． （1）1+2+22+23+⋯+22023； （2）1+3+32+33+⋯+32023． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $