2026～2027 学年浙教版七年级上册数学 专项训练：有理数混合运算

2026~2027 学年浙教版七年级上册数学专项训练：有理数混合运算专项卷 【卷首·专项考点概况】 一、本专题核心知识点清单 （一）有理数的相关概念（1.1 从自然数到有理数、1.3 绝对值） 1．有理数的分类：整数和分数统称有理数．有理数可分为正有理数、、负有理数三类；也可分为整数（正整数、、负整数）和分数（正分数、负分数）两类． 2．正数和负数：像 、 这样大于 的数叫正数（正数前面也可加“”）；在正数前面加上“”的数叫负数； 既不是正数，也不是负数． 3．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是 ． 的相反数是 ；互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，它们的和为 ． 4．倒数：乘积为 的两个数互为倒数．（）的倒数是 ； 没有倒数． 5．绝对值：数轴上表示数 的点与原点的距离叫做 的绝对值，记作 ．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 ，所以 ． （二）数轴与有理数的大小比较（1.2 数轴、1.4 有理数的大小比较） 6．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可． 7．数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大． 8．有理数大小比较法则：正数大于 ， 大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 9．常用结论：最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，绝对值最小的有理数是 ． （三）有理数的加法与减法（2.1 有理数的加法、2.2 有理数的减法） 10．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 ；一个数与 相加仍得这个数． 11．加法运算律：加法交换律 ；加法结合律 ． 12．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 ． 13．加减混合运算的一般步骤：先把减法统一成加法（写成省略加号的和的形式），再运用加法交换律、结合律把同号数或易于凑整的数分别结合相加． （四）有理数的乘法与除法（2.3 有理数的乘法、2.4 有理数的除法） 14．乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 相乘都得 ． 15．多个因数相乘的符号规律：几个不为 的有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，负因数的个数为偶数时积为正；只要有一个因数为 ，积就为 ． 16．乘法运算律：乘法交换律 ；乘法结合律 ；乘法分配律 ． 17．除法法则：除以一个数（不等于 ）等于乘以这个数的倒数，即 （）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 不能作除数． 18．乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再确定积的符号，最后算绝对值；无括号时按从左到右的顺序进行． （五）乘方、混合运算与近似数（2.5 有理数的乘方、2.6 有理数的混合运算、2.7 近似数） 19．乘方的意义：求 个相同因数的积的运算叫做乘方，记作 ．其中 叫底数， 叫指数， 叫幂，读作“ 的 次方”（或“ 的 次幂”）． 20．符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 的任何正整数次幂都是 ． 21． 与 的区别： 的底数是 ， 的底数是 ，负号在乘方外面（如 ，）． 22．科学记数法：把一个大于 的数写成 的形式（其中 ， 为正整数）， 等于原数的整数位数减 ． 23．混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，后大括号）． 24．近似数与精确度：四舍五入取近似数时，看被精确到的那一位的后一位；判断近似数精确到哪一位，要看末位数字所在的数位；带“万”“亿”或写成科学记数法形式的近似数，要先还原成原数再判断． 二、核心法则与公式汇总 类别 法则 / 公式 / 结论 有理数的分类 整数和分数统称有理数；有理数可分为正有理数、、负有理数三类 数轴三要素 原点、正方向、单位长度 相反数 的相反数是 ；互为相反数的两数之和为 ； 的相反数是 倒数 （）的倒数是 ；互为倒数的两数之积为 ； 无倒数 绝对值 ；数轴上表示数 的点到原点的距离 大小比较 正数 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 加法法则 同号相加取相同符号并加绝对值；异号相加取绝对值大的加数的符号，用较大绝对值减较小绝对值 减法法则 （减去一个数等于加上它的相反数） 加法运算律 交换律 ；结合律 乘法法则 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 相乘得 乘法运算律 交换律 ；结合律 ；分配律 除法法则 （）；同号得正，异号得负； 不能作除数 乘方 表示 个 相乘； 为底数， 为指数， 为幂 幂的符号 正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负、偶次幂为正； 的正整数次幂为 科学记数法 （， 为原数整数位数减 ） 运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；同级从左到右；有括号先算括号内（小→中→大） 三、高频易错点警示 1．符号错误：把减法改写成加法时漏变符号，如 中 应变成 ；异号两数相加时符号取错，如 误写成 ． 2．符号错误：两数相乘（除）时符号规律用错，负因数个数为奇数却得出了正数；多个因数相乘时只盯着绝对值、不数负号个数． 3．乘方误区：分不清 与 ． 的底数是 ，结果为 ； 的底数是 ，结果为 ．同理 ，而不是 ． 4．乘方误区：把 误算成 ．负数的偶次幂为正、奇次幂为负，指数是偶数还是奇数要先看清． 5．乘方误区：把 误算成 ，或把 误算成 ．要先算绝对值（或括号内），再去掉外面的负号． 6．运算顺序错误： 先算加法得 ，正确应是先除后加，结果为 ． 7．运算顺序错误：乘除是同级运算，必须从左往右依次计算．如 若先算后面的乘法，结果就错． 8．运算顺序错误：把 当成 ，或在含加、减、乘、除、乘方的多步运算中跳步心算，漏掉某一步的乘方． 9．括号漏算：去括号时括号内各项的符号没有全部改变，如 被误写成 ． 10．括号漏算：只对括号里第一项进行了运算，漏掉后面的项，如 只算了 ． 11．括号漏算：多层括号（中括号里还有小括号）时从外往里算，或算完内层却忘记把内层结果代回外层． 12．简便运算误用：除法没有分配律！，只能先算括号里的差再除；只有乘法才满足分配律． 13．简便运算误用：该用分配律时没用，硬通分算出错；不该拆的时候乱拆，如把 写成 ． 14．简便运算误用：凑整时符号丢失，如把 拆成 而漏掉前面的负号，或把 中的负号提前约掉． 15．近似数与科学记数法：把 精确到万位写成 ，那只是精确到千位；判断精确度时把 与 混为一谈，忽略末尾的 所表示的精确度． 16．概念混淆：误认为 有倒数、误认为任何有理数都有倒数；误认为 就一定有 （还可能是 ）；误把“和为零”与“积为 ”的条件用反． 第一部分　基础巩固（第 1—10 题） 1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”： （1）有理数分为正有理数和负有理数； （2）一个有理数不是正数就是负数； （3） 既是整数，也是有理数； （4）一个数的相反数一定是负数； （5）一个数的绝对值一定是正数； （6）任何有理数都有倒数； （7）若 ，则 ； （8）两个有理数的和为 ，则这两个数互为相反数． 2．填空： （1） 的相反数是 ______，绝对值是 ______，倒数是 ______； （2） ______， ______； （3） 表示 ______ 个 相乘，结果是 ______； 表示 的 ______，结果是 ______； （4） 的相反数是 ______，倒数是 ______； （5）绝对值等于 的数是 ______；相反数等于它本身的数是 ______． 3．如图，数轴上点 ，，， 表示的数分别是 ______、______、______、______；其中互为相反数的两个点是 ______；这四个点所表示的数中，绝对值最大的是 ______；把这四个数用“”连接起来：____________． 4．有理数的大小比较： （1）比较大小： ______ （填“”“”或“”）； （2）把 ，，，， 按从小到大的顺序排列：____________； （3）不小于 而小于 的整数有 ______ 个，它们分别是 ______． 5．用正、负数表示具有相反意义的量： （1）如果向东走 km 记作 km，那么向西走 km 记作 ______ km； （2）如果水位上升 m 记作 m，那么水位下降 m 记作 ______ m； （3）如果收入 元记作 元，那么支出 元记作 ______ 元； （4）某股票价格比前一天上涨 记作 ，那么比前一天下跌 记作 ______． 6．不计算结果，直接判断下列各式结果的符号（填“正”或“负”）： （1）；　（2）； （3）；　（4）； （5）；　（6）． 7．科学记数法： （1）用科学记数法表示： ______， ______； （2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？① ；② ； （3）某市常住人口约为 人，这个数原来是多少人？ 8．绝对值的非负性： （1）若 ，则 ______； （2）若 ，则 ______； （3）若 ，则 ______， ______． 9．根据下列文字叙述列出算式（不必计算结果）： （1） 与 的差； （2） 与 的和的平方； （3） 的相反数与 的倒数的积． 10．计算（含乘方的有理数混合运算）： （1）； （2）； （3）． 第二部分　中档提升（第 11—20 题） 11．下面是小明计算 的过程： 解：原式 …… ① …… ② ． …… ③ （1）小明的解答是否正确？若不正确，请指出从第几步开始出错，并说明错因； （2）写出这道题正确的解答过程； （3）判断： 是否成立？请说明理由． 12．对于有理数 ，，规定一种新的运算：（其中 ）．例如：． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 13．用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．观察与求和： （1）计算：； （2）观察下列各式：，，，，……试计算 ． 15．数轴上的距离与运动：点 在数轴上表示 ，点 在数轴上表示 ． （1）， 两点间的距离是 ______； （2）若点 从点 出发，沿数轴向右移动 个单位长度到达点 ，则点 表示的数是 ______； （3）若数轴上点 到 ， 两点的距离相等，则点 表示的数是 ______． 16．有理数的大小比较（进阶）： （1）比较 与 的大小； （2）比较 与 的大小； （3）已知 ，，且 ，用“”把 ，，， 连接起来． 17．如图是一个数值转换机，它的运算程序是：输入 后，先把 减去 ，再把所得结果乘 ，最后平方得到 ． （1）当输入 时，求输出的 值； （2）当输入 时，求输出的 值； （3）若输入的 是任意有理数，输出的 可能等于 吗？若能，请求出此时 的值；若不能，请说明理由． 18．某天的气温变化情况如下：早晨 时的气温是 ℃，到中午 时上升了 ℃，到傍晚 时又下降了 ℃，到夜间 时又下降了 ℃． （1）求中午 时的气温； （2）求夜间 时的气温； （3）这一天中的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ 19．近似数与精确度： （1）用四舍五入法把 精确到百分位，所得近似数是 ______，它精确到 ______ 位； （2）下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？ ① ；　② ；　③ 万；　④ ． （3）用四舍五入法按括号里的要求取近似数： ① （精确到 ）；② （精确到千位，结果用科学记数法表示）． 20．计算下列各题（有理数的混合运算）： （1）； （2）； （3）； （4）． 第三部分　培优拓展（第 21—24 题） 21．计算： （1）； （2）； （3）． 22．对于有理数 ，，规定新运算：． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）比较 与 的大小． 23．观察下列等式：，，，…… （1）计算：； （2）利用你发现的规律计算：． 24．含参数的有理数综合： （1）已知 ，，且 ，求 的值； （2）已知 ， 互为相反数，， 互为倒数，，求 的值； （3）若 是最小的正整数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年浙教版七年级上册数学专项训练：有理数混合运算专项卷 【卷首·专项考点概况】 一、本专题核心知识点清单 （一）有理数的相关概念（1.1 从自然数到有理数、1.3 绝对值） 1．有理数的分类：整数和分数统称有理数．有理数可分为正有理数、、负有理数三类；也可分为整数（正整数、、负整数）和分数（正分数、负分数）两类． 2．正数和负数：像 、 这样大于 的数叫正数（正数前面也可加“”）；在正数前面加上“”的数叫负数； 既不是正数，也不是负数． 3．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是 ． 的相反数是 ；互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，它们的和为 ． 4．倒数：乘积为 的两个数互为倒数．（）的倒数是 ； 没有倒数． 5．绝对值：数轴上表示数 的点与原点的距离叫做 的绝对值，记作 ．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 ，所以 ． （二）数轴与有理数的大小比较（1.2 数轴、1.4 有理数的大小比较） 6．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可． 7．数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大． 8．有理数大小比较法则：正数大于 ， 大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 9．常用结论：最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，绝对值最小的有理数是 ． （三）有理数的加法与减法（2.1 有理数的加法、2.2 有理数的减法） 10．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 ；一个数与 相加仍得这个数． 11．加法运算律：加法交换律 ；加法结合律 ． 12．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 ． 13．加减混合运算的一般步骤：先把减法统一成加法（写成省略加号的和的形式），再运用加法交换律、结合律把同号数或易于凑整的数分别结合相加． （四）有理数的乘法与除法（2.3 有理数的乘法、2.4 有理数的除法） 14．乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 相乘都得 ． 15．多个因数相乘的符号规律：几个不为 的有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，负因数的个数为偶数时积为正；只要有一个因数为 ，积就为 ． 16．乘法运算律：乘法交换律 ；乘法结合律 ；乘法分配律 ． 17．除法法则：除以一个数（不等于 ）等于乘以这个数的倒数，即 （）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 不能作除数． 18．乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再确定积的符号，最后算绝对值；无括号时按从左到右的顺序进行． （五）乘方、混合运算与近似数（2.5 有理数的乘方、2.6 有理数的混合运算、2.7 近似数） 19．乘方的意义：求 个相同因数的积的运算叫做乘方，记作 ．其中 叫底数， 叫指数， 叫幂，读作“ 的 次方”（或“ 的 次幂”）． 20．符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 的任何正整数次幂都是 ． 21． 与 的区别： 的底数是 ， 的底数是 ，负号在乘方外面（如 ，）． 22．科学记数法：把一个大于 的数写成 的形式（其中 ， 为正整数）， 等于原数的整数位数减 ． 23．混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，后大括号）． 24．近似数与精确度：四舍五入取近似数时，看被精确到的那一位的后一位；判断近似数精确到哪一位，要看末位数字所在的数位；带“万”“亿”或写成科学记数法形式的近似数，要先还原成原数再判断． 二、核心法则与公式汇总 类别 法则 / 公式 / 结论 有理数的分类 整数和分数统称有理数；有理数可分为正有理数、、负有理数三类 数轴三要素 原点、正方向、单位长度 相反数 的相反数是 ；互为相反数的两数之和为 ； 的相反数是 倒数 （）的倒数是 ；互为倒数的两数之积为 ； 无倒数 绝对值 ；数轴上表示数 的点到原点的距离 大小比较 正数 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 加法法则 同号相加取相同符号并加绝对值；异号相加取绝对值大的加数的符号，用较大绝对值减较小绝对值 减法法则 （减去一个数等于加上它的相反数） 加法运算律 交换律 ；结合律 乘法法则 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 相乘得 乘法运算律 交换律 ；结合律 ；分配律 除法法则 （）；同号得正，异号得负； 不能作除数 乘方 表示 个 相乘； 为底数， 为指数， 为幂 幂的符号 正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负、偶次幂为正； 的正整数次幂为 科学记数法 （， 为原数整数位数减 ） 运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；同级从左到右；有括号先算括号内（小→中→大） 三、高频易错点警示 1．符号错误：把减法改写成加法时漏变符号，如 中 应变成 ；异号两数相加时符号取错，如 误写成 ． 2．符号错误：两数相乘（除）时符号规律用错，负因数个数为奇数却得出了正数；多个因数相乘时只盯着绝对值、不数负号个数． 3．乘方误区：分不清 与 ． 的底数是 ，结果为 ； 的底数是 ，结果为 ．同理 ，而不是 ． 4．乘方误区：把 误算成 ．负数的偶次幂为正、奇次幂为负，指数是偶数还是奇数要先看清． 5．乘方误区：把 误算成 ，或把 误算成 ．要先算绝对值（或括号内），再去掉外面的负号． 6．运算顺序错误： 先算加法得 ，正确应是先除后加，结果为 ． 7．运算顺序错误：乘除是同级运算，必须从左往右依次计算．如 若先算后面的乘法，结果就错． 8．运算顺序错误：把 当成 ，或在含加、减、乘、除、乘方的多步运算中跳步心算，漏掉某一步的乘方． 9．括号漏算：去括号时括号内各项的符号没有全部改变，如 被误写成 ． 10．括号漏算：只对括号里第一项进行了运算，漏掉后面的项，如 只算了 ． 11．括号漏算：多层括号（中括号里还有小括号）时从外往里算，或算完内层却忘记把内层结果代回外层． 12．简便运算误用：除法没有分配律！，只能先算括号里的差再除；只有乘法才满足分配律． 13．简便运算误用：该用分配律时没用，硬通分算出错；不该拆的时候乱拆，如把 写成 ． 14．简便运算误用：凑整时符号丢失，如把 拆成 而漏掉前面的负号，或把 中的负号提前约掉． 15．近似数与科学记数法：把 精确到万位写成 ，那只是精确到千位；判断精确度时把 与 混为一谈，忽略末尾的 所表示的精确度． 16．概念混淆：误认为 有倒数、误认为任何有理数都有倒数；误认为 就一定有 （还可能是 ）；误把“和为零”与“积为 ”的条件用反． 第一部分　基础巩固（第 1—10 题） 1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”： （1）有理数分为正有理数和负有理数； （2）一个有理数不是正数就是负数； （3） 既是整数，也是有理数； （4）一个数的相反数一定是负数； （5）一个数的绝对值一定是正数； （6）任何有理数都有倒数； （7）若 ，则 ； （8）两个有理数的和为 ，则这两个数互为相反数． 2．填空： （1） 的相反数是 ______，绝对值是 ______，倒数是 ______； （2） ______， ______； （3） 表示 ______ 个 相乘，结果是 ______； 表示 的 ______，结果是 ______； （4） 的相反数是 ______，倒数是 ______； （5）绝对值等于 的数是 ______；相反数等于它本身的数是 ______． 3．如图，数轴上点 ，，， 表示的数分别是 ______、______、______、______；其中互为相反数的两个点是 ______；这四个点所表示的数中，绝对值最大的是 ______；把这四个数用“”连接起来：____________． 4．有理数的大小比较： （1）比较大小： ______ （填“”“”或“”）； （2）把 ，，，， 按从小到大的顺序排列：____________； （3）不小于 而小于 的整数有 ______ 个，它们分别是 ______． 5．用正、负数表示具有相反意义的量： （1）如果向东走 km 记作 km，那么向西走 km 记作 ______ km； （2）如果水位上升 m 记作 m，那么水位下降 m 记作 ______ m； （3）如果收入 元记作 元，那么支出 元记作 ______ 元； （4）某股票价格比前一天上涨 记作 ，那么比前一天下跌 记作 ______． 6．不计算结果，直接判断下列各式结果的符号（填“正”或“负”）： （1）；　（2）； （3）；　（4）； （5）；　（6）． 7．科学记数法： （1）用科学记数法表示： ______， ______； （2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？① ；② ； （3）某市常住人口约为 人，这个数原来是多少人？ 8．绝对值的非负性： （1）若 ，则 ______； （2）若 ，则 ______； （3）若 ，则 ______， ______． 9．根据下列文字叙述列出算式（不必计算结果）： （1） 与 的差； （2） 与 的和的平方； （3） 的相反数与 的倒数的积． 10．计算（含乘方的有理数混合运算）： （1）； （2）； （3）． 第二部分　中档提升（第 11—20 题） 11．下面是小明计算 的过程： 解：原式 …… ① …… ② ． …… ③ （1）小明的解答是否正确？若不正确，请指出从第几步开始出错，并说明错因； （2）写出这道题正确的解答过程； （3）判断： 是否成立？请说明理由． 12．对于有理数 ，，规定一种新的运算：（其中 ）．例如：． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 13．用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．观察与求和： （1）计算：； （2）观察下列各式：，，，，……试计算 ． 15．数轴上的距离与运动：点 在数轴上表示 ，点 在数轴上表示 ． （1）， 两点间的距离是 ______； （2）若点 从点 出发，沿数轴向右移动 个单位长度到达点 ，则点 表示的数是 ______； （3）若数轴上点 到 ， 两点的距离相等，则点 表示的数是 ______． 16．有理数的大小比较（进阶）： （1）比较 与 的大小； （2）比较 与 的大小； （3）已知 ，，且 ，用“”把 ，，， 连接起来． 17．如图是一个数值转换机，它的运算程序是：输入 后，先把 减去 ，再把所得结果乘 ，最后平方得到 ． （1）当输入 时，求输出的 值； （2）当输入 时，求输出的 值； （3）若输入的 是任意有理数，输出的 可能等于 吗？若能，请求出此时 的值；若不能，请说明理由． 18．某天的气温变化情况如下：早晨 时的气温是 ℃，到中午 时上升了 ℃，到傍晚 时又下降了 ℃，到夜间 时又下降了 ℃． （1）求中午 时的气温； （2）求夜间 时的气温； （3）这一天中的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ 19．近似数与精确度： （1）用四舍五入法把 精确到百分位，所得近似数是 ______，它精确到 ______ 位； （2）下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？ ① ；　② ；　③ 万；　④ ． （3）用四舍五入法按括号里的要求取近似数： ① （精确到 ）；② （精确到千位，结果用科学记数法表示）． 20．计算下列各题（有理数的混合运算）： （1）； （2）； （3）； （4）． 第三部分　培优拓展（第 21—24 题） 21．计算： （1）； （2）； （3）． 22．对于有理数 ，，规定新运算：． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）比较 与 的大小． 23．观察下列等式：，，，…… （1）计算：； （2）利用你发现的规律计算：． 24．含参数的有理数综合： （1）已知 ，，且 ，求 的值； （2）已知 ， 互为相反数，， 互为倒数，，求 的值； （3）若 是最小的正整数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，求 的值． 2026~2027 学年浙教版七年级上册数学专项训练：有理数混合运算专项卷 参考答案与分步解析 第一部分　基础巩固（第 1—10 题） 1． 【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）×；（7）×；（8）√． 【解析】（1）有理数按定义分为正有理数、、负有理数三类，漏掉了 ． （2） 既不是正数也不是负数，所以这句话错在漏掉 ． （3）整数和分数统称有理数， 是整数，当然也是有理数． （4）只有正数的相反数才是负数； 的相反数是 ， 的相反数是 （正数），所以这句话不成立． （5）只有非零数的绝对值才是正数；， 不是正数． （6）乘积为 的两个数互为倒数，而 与任何数相乘都得 ，所以 没有倒数． （7） 只说明 与 到原点的距离相等，故 或 ．例如 ，但 ． （8）由相反数的定义可知，和为零的两个数互为相反数． 【易错提醒】有理数概念辨析最容易错在“漏掉 ”： 是有理数、是整数，既不是正数也不是负数，它的相反数和绝对值都是 ，它没有倒数．凡看到“一定是”“都是”这类绝对化的说法，先想一想 是否成立． 2． 【答案】（1），，；（2），；（3），，相反数，；（4），；（5） 或 ，． 【解析】（1） 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 （）．所以 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． （2）绝对值表示到原点的距离，； 表示 的相反数，先算 ，再取相反数得 ． （3） 中底数是 ，指数是 ，表示 个 相乘，结果为 ； 中指数 只对 起作用，表示 的相反数，即 ． （4）只有符号不同的两个数互为相反数，所以 的相反数是 ；乘积为 的两数互为倒数，，所以倒数是 ． （5）到原点距离等于 的点有两个，分别位于原点两侧，所以这个数是 或 ；只有 的相反数等于它本身． 【易错提醒】 与 结果一个是 、一个是 ，差别只在底数是谁：前者底数是 ，后者底数是 ．第（5）问“绝对值等于 的数”必须写两个，只写 会漏解；相反数等于本身的数只有 ． 3． 【答案】，，，； 与 ；；． 【解析】在数轴上读出每个点所对应的数：点 在原点左边 个单位长度处，表示 ； 点 在 与 的正中间，表示 ；点 在 与 的正中间，表示 ；点 在原点右边 个单位长度处，表示 ． 只有符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数， 与 只有符号不同，所以互为相反数的是点 与点 ． 四个点到原点的距离分别是 ，，，，其中点 离原点最远，所以绝对值最大的是 ． 数轴上右边的点表示的数总比左边的点大，从左到右依次是 ，，，，所以 ． 【易错提醒】数轴上位于两个刻度正中间的点，读数要取这两个刻度值的平均数（如 与 之间即为 ），不要凭感觉写成 或 ．“互为相反数”要在数轴上关于原点对称，位置判断比计算更直观；用“”连接时按数轴上从左到右的顺序写，不要按字母顺序写． 4． 【答案】（1）；（2）；（3），，，，，． 【解析】（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小．，，因为 ，所以 ． （2）先把各数化简、统一形式：，，，，．在数轴上从左到右的顺序就是从小到大的顺序， 所以 ． （3）不小于 而小于 的整数为 ，，，，，共 个． 【易错提醒】比较大小前一定要先化简： 不是负数， 要写成 才好和 对照．（1）中两个负数比较时，绝对值大的一方数值反而小，结论容易写反，建议画一个数轴辅助判断． 5． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】正数和负数可以表示一对具有相反意义的量：先定“正”的方向，与它相反的量就用负数表示． （1）向东记作正，则向西就记作负，所以向西走 km 记作 km． （2）上升记作正，则下降记作负，所以下降 m 记作 m． （3）收入记作正，则支出记作负，所以支出 元记作 元． （4）上涨记作正，则下跌记作负，所以下跌 记作 ． 【易错提醒】用正负数表示相反意义的量，关键是先看清题目把哪一类量规定为正．“上升／下降”“收入／支出”“上涨／下跌”都是相反意义，与“正”相反的那一类一律带负号，注意别把单位和百分号丢掉． 6． 【答案】（1）正；（2）负；（3）正；（4）正；（5）负；（6）负． 【解析】（1） 中负因数有 个，个数为偶数，所以结果的符号为正． （2） 中负因数有 个，个数为奇数，所以结果的符号为负． （3） 是偶数，所以 ，符号为正． （4） 本身是负数，它的相反数是正数，所以 的符号为正． （5），，符号为负． （6），，符号为负． 【易错提醒】判断几个有理数相乘（除）后结果的符号，只需数一数负因数的个数：奇数个得负、偶数个得正，与各因数的绝对值大小无关．（4）是 的偶次幂与相反数两种符号问题的典型组合，一定要先看清负号在括号里还是括号外． 7． 【答案】（1），；（2）① ；② ；（3） 人． 【解析】（1）科学记数法写成 的形式，其中 ， 等于原数的整数位数减 ． 的整数位数是 ，所以 ，得 ； 的整数位数是 ，所以 ，得 （负号保留在最前面）． （2）把 还原，就是把 的小数点向右移动 位： ① ；② ． （3），所以约为 人． 【易错提醒】（1）中最常见的错误是把 数成整数位数本身（写 ），记住是“整数位数减 ”；（2）中 是负数时，负号要保留在整个积的前面，不要写成 之外的错误形式；（3）要把 的小数点右移 位，位数不够时补 ． 8． 【答案】（1） 或 ；（2）；（3），． 【解析】绝对值的意义是“到原点的距离”，所以 恒成立，这是本节一切结论的出发点． （1）到原点距离等于 的点有两个，所以 或 ． （2） 说明 到原点的距离为 ，故 ，． （3） 与 都是非负数，两个非负数的和为 ，则这两个数都必须为 ； 所以 ，，解得 ，． 【易错提醒】（1）中“绝对值等于 的数”有 和 两个，漏掉负数解是最常见的错误；（3）中“若干个非负数之和为 ”是重要模型，每个非负数都必须等于 ，据此分别列出等式求解． 9． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）“ 与 的差”就是 ，所以列式为 ． （2）“和的平方”是先求和再平方，所以列式为 ． （3） 的相反数是 ， 的倒数是 ，所以列式为 ．（计算得 ） 【易错提醒】列式时把“和、差、积、商”与“平方”的先后关系写清楚：“和的平方”要加括号，写成 就变成了“ 与 的平方的和”，意义完全不同．另外注意区分“相反数”与“倒数”， 的相反数是 ，而 的倒数是 ． 10． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）先把减法统一成加法：；再从左往右算：，． （2）乘除是同级运算，从左往右依次计算：，． （3）先算乘方：；原式 ； 再算乘除：，；最后算减法：． 【易错提醒】有理数的混合运算要严格按顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的．（1）中 要变成 ；（2）中乘除必须从左往右，先算后面的乘法会得到 ；（3）中 ，注意“减去一个负数”要变成加上正数． 第二部分　中档提升（第 11—20 题） 11． 【答案】（1）不正确，从第①步开始出错，错因是“除法没有分配律”；（2）正确解答见解析，结果是 ；（3）不成立． 【解析】（1）小明从第①步开始出错．他把除法错误地分配给了括号里的每一项，即认为 ，但除法没有分配律，所以第①步就不成立． （2）正确解答：． （3）不成立．因为式子左边是“一个数除以两数之差”，按运算顺序应先算括号里的差，再算除法； 而右边却把除数分别去除被除数，这是把除法当成了乘法来分配．实际上 ，而 ，两边不相等． 【易错提醒】除法没有分配律：，只有乘法才满足分配律．遇到 只能先算括号里的差，再算除法；反过来，如果写成 ，倒是可以逐项除以 ．做这类纠错题，判断题要把反例算出来作依据，不能只写一句“没有分配律”． 12． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）把 ， 代入规定的运算：． （2）． （3）先算括号里的：； 再算外层的：． 【易错提醒】新定义运算的关键是“照式子代入”：严格按照题目给出的式子形式，把 、 的值对号入座，绝不能自行化简成熟悉的形式．（2）中分子是 ，减负得正，别写成 ；（3）中先把内层算出一个具体的数，再代入外层计算． 13． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）用乘法分配律：原式 ． （2）把 拆成 ：． （3）用乘法结合律，先算 ：． （4）先算 与 的积，它们互为倒数，乘积为 ：原式 ． 【易错提醒】简便运算要“先观察数字特征，再选运算律”：看到 、 这类能整除各分母的数，用乘法分配律；看到 、 这类接近整十整百的数，拆成“整十整百减（加）小数”；看到互为倒数的两个因数，先用结合律凑成 ．不要一上来就通分硬算，也不要在没有分配律的地方乱用分配律． 14． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）把相邻两项两两分组：， 每组的结果都是 ，从 到 共有 个数，共分成 组，所以原式 ． （2） 是偶数，从 到 共有 个数，把相邻两项两两分组，共 组； 每组是 ，所以原式 ． 【易错提醒】规律求和题先分组、再数清组数：（1）中不要漏组或多数组（ 个数分 组）；（2）中要看清指数是奇数还是偶数——奇异偶正是 的基本规律，每组一正一负正好抵消．写答案时要把“分了几组、每组是多少”交代清楚，不能只写得数． 15． 【答案】（1）；（2）；（3）（即 ）． 【解析】（1）， 两点间的距离就是两个点所表示的数的差的绝对值：． （2）点 表示 ，沿数轴向右移动 个单位长度，就是在 上加上 ：，所以点 表示的数是 ． （3）到 ， 两点距离相等的点就是线段 的中点，它表示的数是 ， 所表示的数的平均数：． 【易错提醒】数轴上的“距离”是两个数之差的绝对值，一定非负，（1）中若写成 之外的 就会出错；“向右移动 个单位长度”就是加 ，“向左移动”就是减 ，方向搞反是最常见的错误；（3）中到两点距离相等的点在数轴上只有一个（中点），不要漏掉“平均数”这一求法． 16． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）把分数化成小数：．两个负数比较，绝对值大的反而小； 因为 ，所以 ，即 ． （2）先化简：，；因为 ，所以 ． （3）因为 ，所以 ；因为 ，所以 ． 又 ，说明 离原点比 远，在数轴上四个数的位置从左到右依次是 ，，，， 所以 ． 【易错提醒】比较大小前先“化简、统一形式”：分数化小数、 化成 、 化成 ，不化简直接比就是错．（3）这种“含字母比较大小”的题，最稳妥的办法是先判断各数的正负，再借助数轴定位置，不要凭感觉写． 17． 【答案】（1）；（2）；（3）能，此时 ． 【解析】由题意，运算程序可以写成 ． （1）当 时，，，所以 ． （2）当 时，，，所以 ． （3）可能．因为 是平方，要使 ，必须且只需底数为 ，即 ； 而 ，两个有理数相乘，积为 时必有一个因数为 ，所以 ，得 ．即当输入 时，输出的 等于 ． 【易错提醒】读“程序框图”或“数值转换机”类题目，要先按箭头顺序写出输出量的表达式，再代入求值——顺序错了结果就全错．（1）（2）中结果都是正数，是因为最后一步是平方；（3）中一定要说清楚“积为 则至少有一个因数为 ”这一依据，只写“”而不说明理由会被扣分． 18． 【答案】（1） ℃；（2） ℃；（3） ℃． 【解析】规定气温上升为正、下降为负，则“上升 ℃”记作 ℃，“下降 ℃”记作 ℃，“下降 ℃”记作 ℃． （1）中午 时的气温：（℃）． （2）夜间 时的气温：（℃）． （3）这一天中气温最高是中午的 ℃，最低是夜间的 ℃，相差 （℃）． 【易错提醒】气温变化题的关键是把“上升”“下降”翻译成“加正数”“加负数”，（2）中要接着中午的气温继续算，不能重新从 出发；（3）中“相差”就是两个温度之差的绝对值，“减去一个负数”要变成加上它的相反数，写成 就错了． 19． 【答案】（1），百分；（2）①万分位；②百分位；③千位；④千位；（3）①；②． 【解析】（1） 精确到百分位，要看千分位上的数字 ，因为 ，所以舍去，得 ； 的末位 在百分位上，故精确到百分位． （2）① 的末位 在万分位上，精确到万分位； ② 的末位 在百分位上，精确到百分位（末尾的 不能省，它表示精确度）； ③ 万 ，其中的 在千位上，精确到千位； ④，其中的 在千位上，精确到千位． （3）①精确到 即精确到百分位， 的千分位是 ，舍去，得 ； ② 精确到千位，看百位上的数字 ，因为 ，所以舍去，得 ，用科学记数法表示为 ． 【易错提醒】判断精确到哪一位，看的是末位数字所在的数位，而不是小数点后有几位有效数字： 与 数值相等，但精确度不同．遇到带“万”或科学记数法形式的近似数，一定先还原成原数再数位；（3）②中若写成 ，就丢掉了“精确到千位”这一信息． 20． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）先算乘方：，；； 原式 ． （2）括号里通分：； 原式 ． （3）先算乘方：；原式 ； ，． （4），，； 原式 ． 【易错提醒】（1）中 是 ，不是 ；（2）中除以 等于乘 ，负号与倒数的位置都要对；（3）中乘除同级，必须从左往右，先算 会得到错误的 ；（4）中 的两个幂指数一奇一偶，结果应为 ． 第三部分　培优拓展（第 21—24 题） 21． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）先算中括号：，，所以 ； 原式 ． （2）先算括号：； 原式 ． （3）先算小括号：； 括号内 ；原式 ． 【易错提醒】（1）中 是 （底数为 ），而 ，两处负号都要盯紧；（2）中三个分数通分后是 ，除以负数等于乘它的倒数 ；（3）中括号内的结果恰为 ，于是“ 乘 ”直接把整项化为 ，这是本题的巧妙之处——遇到复杂式子不要急着通算，先看有没有为 或为 的特殊结构． 22． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）把 ， 代入：． （2）． （3），； 因为 ，所以 ． 【易错提醒】新定义运算中， 与 的位置不能互换： 而 ，（2）中若把 误写成 就会得到 ．（3）说明的是“ 与 一般不相等”，比较大小要先分别算出具体的值再下结论． 23． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由给出的等式把每一项拆成两个分数之差： 原式 ； 中间各项两两相抵消，只剩下首项和末项：原式 ． （2）模仿上面的思路，注意 ，，…… 原式 ． 【易错提醒】这类“相邻两项相互抵消”的求和，关键是把每个分式写成两个分式的差，再观察哪些项能互相抵消，最后只剩下第一项和最后一项．（2）中分母是两个奇数相乘，拆开后前面要乘 ，漏掉这个 结果会翻倍；另外要数清楚共有多少项、末项的分母到哪为止，抵消错位会前功尽弃． 24． 【答案】（1） 或 ；（2）；（3）． 【解析】（1）由 得 或 ；由 得 或 ． 因为 ，逐一检验：， 时和为 ，不合；， 时和为 ，不合； ， 时和为 ，符合，此时 ； ， 时和为 ，符合，此时 ． 所以 的值是 或 ． （2）因为 ， 互为相反数，所以 ；因为 ， 互为倒数，所以 ；由 得 ，且 ． 所以 ． （3）最小的正整数是 ，所以 ；最大的负整数是 ，所以 ； 绝对值最小的有理数是 ，所以 ．因此 ． 【易错提醒】（1）带条件求值时，必须把所有可能的情形逐一检验，只保留符合条件的，还要注意题目问的是 ，别算成 ；（2）中“互为相反数、互为倒数”要立刻想到“和为 、积为 ”，并注意 出现在分母上，需说明 （事实上 均满足）；（3）中不要漏掉“绝对值最小的有理数是 ”，以及 代入时 要变成 ． 学科网（北京）股份有限公司 $