10.7 概率与统计的综合问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率与统计综合问题，涵盖统计图表、回归分析、独立性检验与分布列的核心考点，按考向预测、题型突破、限时训练的逻辑架构整合知识，通过考点梳理明确命题规律，方法指导构建解题模型，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破数据处理与概率计算难点。 资料以数学眼光挖掘数据关联，用数学思维构建概率模型，创新设计分层训练体系，如统计图表与分布列综合题中，通过分层抽样确定样本容量，结合超几何分布求解期望，培养数据观念与推理能力。限时训练精准匹配高考难度，助力学生高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.7　概率与统计的综合问题 【高考考向预测】 概率统计综合问题以统计图表、抽样数据、列联表、回归结果为题干条件，结合古典概型、二项分布、超几何分布、期望方差串联设问，兼顾数据读取、参数计算与实际决策分析；近三年为高考数学必考解答大题，考频极高；预测2027 年命题会融合多类型统计图表，增加非线性回归转化、双变量概率辨析，结合生活应用设置最优方案判断，侧重数据处理与数学建模素养考查。 重点解读　从近几年高考情况来看，概率与统计的综合问题在高考中的重点方向主要是频率分布直方图、回归分析、独立性检验和分布列的结合. 【题型突破●明方向】 题型一　统计图表与分布列的综合问题 例1　(2025·石家庄模拟)某短视频平台推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)的志愿者人数，求X的分布列及期望. 跟踪训练1　(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1 200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表. 使用次数分组区间 初中生人数 高中生人数 [0，10) 4 3 [10，20) 38 29 [20，30) 48 28 [30，40) a 17 [40，50] 6 3 假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率. (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数分别为Y1和Y2，比较D(Y1)与D(Y2)的大小. 题型二　回归模型与分布列的综合问题 例2　(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数学期望. 附：经验回归直线=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-. 跟踪训练2　(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6 770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示. 第x天 1 2 3 4 5 6 7 营业额y 7 9 11 13 16 18 17 (1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果某天营业额大于10(单位：千元)，则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望. 参考公式：在经验回归方程=x+中，=，=-. 参考数据：xiyi=417，=140. 题型三　独立性检验与分布列的综合问题 例3　(2025·呼和浩特模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名学生在某一周参加体育锻炼的数据，结果如表. 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取3名学生，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的分布列和D(X)； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的学生称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望. 附：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 跟踪训练3　(2026·河池模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表. 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 m 80 100 成年人 20 s 80 合计 n t 180 (1)求的值； (2)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设X表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求X的分布列和数学期望. 参考公式：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【限时训练】 （40分钟） 1.(15分)(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；(4分) (2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；(6分) (3)根据图中的样本数据，假设同组数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均数估计为μ1，A，B两地区评分的平均数估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.(5分) 2.(15分)为了大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台对本乡村的农产品进行销售，在众多主播中随机抽取了10名主播，统计得到观看人次和农产品销售量的数据如表所示. 观看人次x(万次) 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量y(百件) 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据：(xi-)2=600，(yi-)2=768，=80. (1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得样本相关系数r=，求y关于x的经验回归方程=x+；(7分) (2)规定：观看人次大于等于80(万次)为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀，小于90(百件)为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1.从金牌主播中随机抽取3名，若用X表示这3名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望.(8分) 附：=，=-，样本相关系数r=. 3.(15分)(2025·哈尔滨模拟)研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表. 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E(X)；(7分) (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因.(8分) 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.7　概率与统计的综合问题 【高考考向预测】 概率统计综合问题以统计图表、抽样数据、列联表、回归结果为题干条件，结合古典概型、二项分布、超几何分布、期望方差串联设问，兼顾数据读取、参数计算与实际决策分析；近三年为高考数学必考解答大题，考频极高；预测2027 年命题会融合多类型统计图表，增加非线性回归转化、双变量概率辨析，结合生活应用设置最优方案判断，侧重数据处理与数学建模素养考查。 重点解读　从近几年高考情况来看，概率与统计的综合问题在高考中的重点方向主要是频率分布直方图、回归分析、独立性检验和分布列的结合. 【题型突破●明方向】 题型一　统计图表与分布列的综合问题 例1　(2025·石家庄模拟)某短视频平台推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)的志愿者人数，求X的分布列及期望. 【解析】(1)由频率分布直方图可知，因为前两组的频率之和为(0.01+0.015)×10=0.25， 前三组的频率之和为(0.01+0.015+0.035)×10=0.6， 所以中位数位于区间[35，45)中，中位数的估计值为35+10×=35+≈42.14； 由频率分布直方图可知，样本平均数的估计值为20×0.01×10+30×0.015×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60×0.01×10=41.5. 故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5. (2)由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在[25，45)的有20×(0.015+0.035)×10=10(人)， 其中年龄在[25，35)的有20×0.015×10=3(人). 由题知年龄在[25，35)的志愿者人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)===， P(X=1)===， P(X=2)===， P(X=3)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 【思维升华】统计图表与概率综合问题的求解策略 (1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据. (2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等). (3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断. 跟踪训练1　(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1 200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表. 使用次数分组区间 初中生人数 高中生人数 [0，10) 4 3 [10，20) 38 29 [20，30) 48 28 [30，40) a 17 [40，50] 6 3 假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率. (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数分别为Y1和Y2，比较D(Y1)与D(Y2)的大小. 【解析】(1)根据题中数据，4+38+48+a+6+3+29+28+17+3=200，得a=24. 样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为=. 因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为(1 200+800)×=500. (2)参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人. 所以X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望E(X)=×0+×1+×2+×3=. (3)D(Y1)>D(Y2)，理由如下： 由表可知参与问卷调查的200名学生中，初中生有120名，高中生有80名， 初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的频率为=0.4， 高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的频率为=0.35， 该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数服从二项分布， 即Y1~B(8，0.4)，Y2~B(8，0.35)， 所以D(Y1)=8×0.4×0.6=1.92， D(Y2)=8×0.35×0.65=1.82， 因为1.92>1.82，所以D(Y1)>D(Y2). 题型二　回归模型与分布列的综合问题 例2　(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数学期望. 附：经验回归直线=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-. 【解析】(1)由表格可得，=×(1+2+3+4+5)=3， =×(26+37+50+64+93)=54， (xi-)2=4+1+0+1+4=10， (xi-)(yi-)=56+17+0+10+78=161， 所以===16.1，=-=54-16.1×3=5.7， 故y关于x的经验回归方程是=16.1x+5.7. (2)当x=1时，=16.1×1+5.7=21.8，残差的绝对值为|21.8-26|=4.2<5； 当x=2时，=16.1×2+5.7=37.9，残差的绝对值为|37.9-37|=0.9<5； 当x=3时，=16.1×3+5.7=54，残差的绝对值为|54-50|=4<5； 当x=4时，=16.1×4+5.7=70.1，残差的绝对值为|70.1-64|=6.1>5； 当x=5时，=16.1×5+5.7=86.2，残差的绝对值为|86.2-93|=6.8>5. 所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据. 故“次数据”对数X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==. 所以X的分布列如表. X 0 1 2 P X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=. 【思维升华】回归模型与分布列的综合问题解题思路 (1)此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即①求回归方程(预测)；②求某随机变量的分布列、均值、方差等. (2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的. (3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型. 跟踪训练2　(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6 770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示. 第x天 1 2 3 4 5 6 7 营业额y 7 9 11 13 16 18 17 (1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果某天营业额大于10(单位：千元)，则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望. 参考公式：在经验回归方程=x+中，=，=-. 参考数据：xiyi=417，=140. 【解析】(1)由题意可得==4， ==13， 则===，=-=13-×4=， 可知经验回归方程为=x+， 当x=8时，=×8+=， 所以预测春节假期第8天的营业额为 千元. (2)由题意可知7组数据中，有5组数据“达标”，有2组数据不“达标”，故X的所有可能取值为2，3，4， 则P(X=2)==，P(X=3)==， P(X=4)==， 所以X的分布列为 X 2 3 4 P X的数学期望为E(X)=2×+3×+4×=. 题型三　独立性检验与分布列的综合问题 例3　(2025·呼和浩特模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名学生在某一周参加体育锻炼的数据，结果如表. 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取3名学生，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的分布列和D(X)； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的学生称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望. 附：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】(1)根据统计表格数据可得列联表如下. 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为H0：性别与学生体育锻炼的经常性无关. 根据列联表的数据计算可得χ2==≈3.590>2.706=x0.1， 所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立， 即认为性别与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. (2)因为学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”的概率p==， 即可得X~B， P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， P(X=3)==， 故所求分布列为 X 0 1 2 3 P 故D(X)=3××=. (3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布， P(Y=0)==，P(Y=1)===， P(Y=2)===，P(Y=3)===， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得数学期望为E(Y)=0×+1×+2×+3×=. 【思维升华】独立性检验与分布列综合问题的解题思路 解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后与相应的临界值进行比较，其次按照随机变量满足的概率模型求解概率值，然后列出相应的分布列求期望、方差等. 跟踪训练3　(2026·河池模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表. 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 m 80 100 成年人 20 s 80 合计 n t 180 (1)求的值； (2)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设X表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求X的分布列和数学期望. 参考公式：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】(1)由列联表可知m=20，n=40，s=60，t=140， 所以==-4. (2)零假设为H0：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关，根据表中数据得 χ2==≈0.643<2.706=x0.1. 所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关. (3)由题可知，随机采访一名未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为=， 随机采访一名成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为=， X的可能取值为0，1，2， P(X=0)=×=， P(X=1)=×+×=， P(X=2)=×=， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为E(X)=0×+1×+2×=. 【限时训练】 （40分钟） 1.(15分)(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；(4分) (2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；(6分) (3)根据图中的样本数据，假设同组数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均数估计为μ1，A，B两地区评分的平均数估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.(5分) 【解析】(1)设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于60分. 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于60分的人数为500×(0.025+0.035+0.015+0.005)×10=400， 所以P(M)==0.8. (2)B地区评分在[80，100]的样本用户共有100×(0.01+0.005)×10=15(人)， 其中评分不低于90分的用户有100×0.005×10=5(人). 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=. (3)根据频率分布直方图，A地区评分的平均数为μ1=45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.15+95×0.05=70.5， B地区评分的平均数为45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05=67， 所以A，B两地区评分的平均数 μ==≈69.9<70.5， 故μ1>μ. 2.(15分)为了大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台对本乡村的农产品进行销售，在众多主播中随机抽取了10名主播，统计得到观看人次和农产品销售量的数据如表所示. 观看人次x(万次) 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量y(百件) 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据：(xi-)2=600，(yi-)2=768，=80. (1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得样本相关系数r=，求y关于x的经验回归方程=x+；(7分) (2)规定：观看人次大于等于80(万次)为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀，小于90(百件)为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1.从金牌主播中随机抽取3名，若用X表示这3名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望.(8分) 附：=，=-，样本相关系数r=. 【解析】(1)因为r=， 所以=， 所以(xi-)(yi-)=660， 所以===1.1， =×(80+87+75+86+100+79+93+68+85+77)=83， =-=83-1.1×80=-5， 所以经验回归方程为=1.1x-5. (2)金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1， 则随机变量X的可能取值为3，4，5， P(X=3)==，P(X=4)==， P(X=5)==， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 所以数学期望为E(X)=3×+4×+5×=. 3.(15分)(2025·哈尔滨模拟)研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表. 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E(X)；(7分) (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因.(8分) 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】(1)样本中不感冒的男性有12人，女性有6人，比例为2∶1， 按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，则抽取男性9×=6(人)，女性9×=3(人)， 所以随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. 则P(X=1)==，P(X=2)==， P(X=3)==，P(X=4)==， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以E(X)=1×+2×+3×+4×=. (2)零假设为H0：30~40岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2==≈2.857<6.635=x0.01， 所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为30~40岁人群的体质健康与性别无关. 如果把所有数据都扩大10倍， ==≈28.571>6.635=x0.01， 所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，能据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. / 学科网（北京）股份有限公司 $