重难点培优08概率与统计的综合（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦概率与统计综合专题，涵盖随机事件概率、离散型随机变量、正态分布、独立性检验等核心考点，按“知识精讲-题型深研-分层训练”流程，通过考点梳理、方法指导和真题演练，帮助学生构建知识体系，突破综合应用难点。 资料以高考命题规律为导向，设计6类典型题型，如复杂赛制概率分析、数列递推与概率综合等，结合实际情境培养数学思维和数据观念。通过典例变式和分层练习，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优08 概率与统计的综合内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 概率统计核心概念的综合判断 4 题型2 统计图表与概率的综合应用 7 题型3 独立性检验与概率的综合应用 9 题型4 离散型随机变量的分布列与期望决策 11 题型5 复杂赛制与游戏规则的概率分析 13 题型6 概率与数列递推的综合应用 15 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 26 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 随机事件的概率与条件概率 （1） 条件概率：已知事件 发生的条件下事件 发生的概率，记为 ，公式为 （其中 ）. （2） 乘法公式：. （3） 全概率公式：设事件 是一组完备事件组，且 ，则对任意事件 ，有 . 知识点2 离散型随机变量及其数字特征 （1） 数学期望与方差的性质： ① . ② . ③ 若 相互独立，则 ，. （2） 常见分布的数字特征： ① 若 ，则 ，. ② 若 服从参数为 的超几何分布，则 . 知识点3 正态分布 （1） 若随机变量 ，则其密度曲线关于直线 对称. （2） 原则： ① . ② . ③ . 知识点4 统计与数据分析 （1） 独立性检验：用于判断两个分类变量是否相关.统计量 ，其中 . （2） 经验回归方程：，其中 ，.经验回归直线必过样本中心点 . 知识点5 概率统计综合应用常见模型 （1） 决策与期望模型：常以保险问题、纳税问题、彩票问题、道路通行等为背景，核心是构建收益、损失或时间的随机变量 ，通过计算数学期望 进行方案比对与最优化决策. （2） 体育比赛与赛制模型：常涉及单循环赛、淘汰赛、多局胜负制（如五局三胜）等.需利用独立重复试验、条件概率等知识，分析比赛结束的局数或最终胜负的概率，有时需结合排列组合分析出场顺序排位问题. （3） 医疗与疾病检验模型：常结合独立性检验、条件概率（如误诊率、漏诊率、阳性预测值）进行考查，或利用二项分布分析群体发病情况. （4） 概率与数列递推模型（马尔可夫链基础）：在动态变化过程（如高尔顿板、随机游走、硬币游戏、博彩问题等）中，第 次的状态仅与第 次的状态有关.常利用全概率公式建立概率 与 或期望 与 的递推关系，进而转化为等差或等比数列求解. 【防坑警示】 ① 在处理条件概率时，务必分清“在 发生的条件下 发生”的概率 与“ 和 同时发生”的概率 的区别. ② 利用全概率公式建立递推关系时，要准确找到状态转移的节点，确保分类不重不漏. 题型深研·通法变式提能力 题型1 概率统计核心概念的综合判断 【典例1-1】（2026·山东菏泽·一模）（多选）下列说法正确的有（　　） A. 已知，若，则 B. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为2 C. 已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若，是两个随机事件，，，，则 【答案】ACD 【思路】根据正态分布的对称性判断A；利用方差的性质判断B；根据残差的定义列出等式求解判断C；利用条件概率公式及相互对立事件的概率公式计算判断D. 【解析】对于A，， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，样本点的残差为， 样本点的残差为， 由残差相等可得，可得，故C正确； 对于D，，， ，，故D正确. 【典例1-2】（25-26高二下·广东·期末）下列说法正确的有（    ） A．数据，，，，，，，的上四分位数是40 B．若随机变量，，则 C．若回归方程为，则变量与成负相关 D．展开式中含项的二项式系数为 【答案】ABC 【分析】由上四分位数的概念计算判断A；根据二项分布的期望和方差公式计算判断B；根据回归方程判断C；根据二项式系数概念计算判断D. 【详解】对于A，将数据，，，，，，，从小到大排列为：，，，，，，，， 因为为整数，所以上四分位数是，故A正确； 对于B，因为随机变量，， 所以，解得，故，故B正确； 对于C，若回归方程为，则变量与成负相关，故C正确； 对于D，展开式通项公式为且， 所以展开式中含项的二项式系数为，故D错误. 方法技巧 概率统计核心概念的综合判断 围绕样本空间、事件关系（互斥、对立、独立）、频率与概率区别、方差与标准差含义等核心概念设置判断辨析题。解题时回归定义：互斥指不同时发生，独立指；频率稳定值估计概率；方差衡量离散程度。对综合性选项，逐一验证公式和性质，警惕“概率为0≠不可能事件”“独立≠互斥”等易错点。 【变式1-1】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则 B．若随机变量，，则 C．已知关于的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.2 D．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的概率运算公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据残差的定义判断C，根据平均数和方差的计算公式判断D. 【详解】选项A：事件和互斥，且满足，因此，代入数据得，A正确; 选项B：随机变量，正态曲线关于对称轴对称，故，因此，B错误; 选项C：将代入回归方程得，样本点残差为，绝对值为2.2，C正确; 选项D：7个数据的平均数为，可得，即，因此，，，，，的平均数也为, 由方差公式： ， ， 因数据互不相等，故，因此，D正确. 【变式1-2】（25-26高二下·山东东营·期末）下列说法正确的有（    ） A．一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4 B．对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位 C．若事件，满足，则事件，是对立事件 D．若事件，满足，则事件，相互独立 【答案】AD 【分析】对A，根据百分位数计算规则，算出，非整数时向上取整，对应位置的数据即为第百分位数；对B，回归直线斜率刻画的是预报值的平均变化，不是真实值的确定性变化，据此判断选项正误；对C，对立事件需要同时满足互斥且概率之和为 1，仅有概率和为 1 不能判定两事件对立；对D：利用条件概率公式展开与，令二者相等化简，推导出完成判定. 【详解】对于A：该组数据共8个，已从小到大排序，计算得，不是整数，向上取整为4， 即第40百分位数为第4个数据4，故A正确； 对于B：回归直线方程中的是的估计值，每增加1个单位时，平均增加0.5个单位，并非一定增加0.5个单位，故B错误； 对于C：对立事件需要同时满足两个条件：①互斥（），②， 仅给出无法推出是对立事件，故C错误； 对于D：根据条件概率公式，，， 可得，化简得，即相互独立，故D正确. 题型2 统计图表与概率的综合应用 【典例2-1】（2026·重庆渝北·一模）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据． (1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数； (2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率； (3)记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象． 【解】（1）因为，所以甲组学生服务时长的第70百分位数为； 因为，所以乙组学生服务时长的第70百分位数为； （2）因为甲组有9名学生，乙组有10名学生，根据分步乘法计数原理，从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，有种选取方法， 又甲、乙两组学生中各有3人的服务时长超过30小时，所以抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时有种选取方法， 记事件“抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时”，则， 故从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率为； （3）对甲组： 甲组9名学生服务时长的平均数为， 甲组志愿服务时长的方差为， 对新甲组1：，所以. 对新甲组2：，所以. 所以. 数学解释：由于甲组均值为27，方差反映了数据的离散程度，当增加数据27（原样本均值），数据相对更集中，所以方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大. 【典例2-2】（2026·四川巴中·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 【解】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 即，解得， 分及以上的学生所占的比例为， 故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人. （2）不妨设，，根据题意可得， 故剩余个分数的平均数为， 因为原数据的方差为， 所以， 故剩余个分数的方差为. 方法技巧 统计图表与概率的综合应用 先读取频率分布直方图、茎叶图或条形图，提取样本频数、频率、众数、中位数、平均数。利用频率估计概率，将样本分布视为总体概率分布；由图表数据计算特定区间的频率作为概率近似值。涉及分层抽样时按比例分配样本量。解题关键是准确从图表中获取数据，注意组距与频率/组距的换算。 【变式2-1】（2026·四川成都·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【解】（1）由题意得，解得 所以平均数等于 （2）由题意，内有8人，内有2人， 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为. （3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人， 所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 【变式2-2】（2025·河北NT20·二模）为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”. （1） 试求频率分布直方图中的值； （2） 用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3） 从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在100～120分钟之间的学生数，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2） （3） 分布列见解析，期望为 【思路】（1） 根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1列方程求解；（2） 设出事件，利用条件概率公式进行计算；（3） 确定随机变量的可能取值，求出对应的概率，列出分布列并计算数学期望. 【解析】（1） 由频率分布直方图可知， 解得 （2） 设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件， “该学生是‘运动爱好者’”为事件， 则， 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为 （3） 由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在100～120分钟之间的学生有5人 所以. ，， 的分布列为 0 1 2 . 题型3 独立性检验与概率的综合应用 【典例3-1】（2026·河北沧衡八县·一模）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1） 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2） 若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响. （i） 用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望； （ii） 记有人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 5.1 6.05 7.01 8.005 9.001 10.706 11.841 12.635 13.879 14.828 【答案】（1） 列联表见解析，能认为满意程度与性别有关系 （2） （i） ；（ii） 12 【思路】（1） 根据总计关系补全列联表，代入公式计算并与临界值比较得出结论；（2） （i） 先计算单人进入总决赛的概率，再利用二项分布的期望公式求解；（ii） 构建的表达式，利用作商法或解不等式组求最大项对应的值. 【解析】（1） 列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关系. ， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2） （i） 依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， ， 依题意，，所以. （ii） 依题意，，. 若最大，则， 解得， 因为，所以. 所以取最大值时的值为12. 【典例3-2】（2026·四川巴中·一模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式. 为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1） 依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2） 某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束. 规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜. 两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. （i） 求比赛结束后甲获胜的概率； （ii） 求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 16.1 17.05 18.01 19.005 20.001 21.706 22.841 23.635 24.879 25.828 【答案】（1） 能认为DeepSeek的使用情况与学历有关 （2） （i） ；（ii） 【思路】（1） 提出零假设，代入公式计算值，与临界值比较得出结论；（2） （i） 分析单道题甲得分的分布列，再求出3道题总得分为正数的各种情况概率之和；（ii） 利用条件概率公式，分别求出交事件的概率和条件事件的概率，作商求解. 【解析】（1） 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关. 根据列联表中的数据，可得 . 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关. （2） （i） 当甲、乙同时回答第道题时，甲得分为， ，，. 比赛结束后甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30. 则，， . 所以比赛结束后甲获胜的概率 . （ii） 设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， 则. 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 方法技巧 独立性检验与概率的综合应用 先根据列联表计算，与临界值比较判断关联性。在此基础上，将分类变量频率作为概率估计，进一步求某类别下的条件概率或相关随机变量的分布列与期望。注意：独立性检验结论是“有%把握认为有关”，不能绝对化；概率计算需基于联表中的实际频数。 【变式3-1】（2026·河北八省八校·联考）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为. 现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击. （1） 前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2） 若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为. ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为. 求. 【答案】（1） （2） ①；② 【思路】（1） 分析前3次射击中丙未射击的情形，利用独立事件概率乘法公式求解；（2） ①根据全概率公式建立递推关系，构造等比数列求通项；②将分解为每次射击指示变量的和，利用期望的线性性质求和. 【解析】（1） 依题意得前两次射击情形为甲命中，乙未命中，其概率为. （2） ①依题意得， 且， 故，且， ， 综上所述，. ②设第次射击时，丙射击的次数为，则的可能取值为0，1. ， . 【变式3-2】（2026·四川巴中·一模）某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 【解】（1）根据题意，这100个好评订单评分的极差为2， 因此，解得， 又有，解得， 因为， 所以这100个好评订单的第40百分位数为服务评分按从小到大的顺序排列后的第40个订单和第41个订单服务评分的平均数，即. 故这100个好评订单的第40百分位数为8.25. （2）根据题意，服务改进前好评订单的数量为，由此可得列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 零假设：订单获得好评与服务改进无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 题型4 离散型随机变量的分布列与期望决策 【典例4-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. (1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望； (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【分析】（1）首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （2）根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为0，1，2， ； ；     ； 的分布列为： 0 1 2 ∴数学期望. （2）记事件“取到的黑球个数为2”，事件“第2次抽到白球”， 则事件“第1次和第3次抽到黑球，第2次抽到白球”； 因为.     所以， 即在抽取到2个黑球与1个白球的前提下，第2次抽到白球的概率为. 【典例4-2】（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 方法技巧 离散型随机变量的分布列与期望决策 先确定随机变量所有可能取值，逐一求概率列出分布列（检验概率和为1）。计算期望和方差。决策时：期望高者平均收益大；方差小者风险低。若期望与方差冲突，需结合题目风险偏好（如“保守型选方差小”“激进型选期望高”）给出建议，结论必须附数据支撑。 【变式4-1】（2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为19600，. 【分析】（1）因为单件产品检测合格包含真实合格且检测合格、真实不合格但误判合格两个互斥事件，所以用全概率公式计算，将两个事件的概率相加. （2）因为服从二项分布，所以先写出的表达式，将其看作关于的函数，再利用求函数最值的方法，比如求导或者利用组合数的性质分析函数的单调性，找到取最大值时的值. （3）因为近似服从正态分布，所以先将通过正态分布的标准化转化为标准正态分布的概率不等式，结合参考数据得到关于的不等式，再结合与、的关系，进而估计的最小值及相应的值. 【详解】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件，“单件合格品检测为合格”为事件，“单件不合格品误判为合格”为事件，则由全概率公式知， ， 即单件产品的检测结果为合格的概率为. （2）因为每件产品的检测结果相互独立， 所以件产品中检测结果为合格的件数服从二项分布. 当时，. 令，其中，则 令，得，且， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值．因此. （3）由于为随机变量，由（2）可设. 且，所以. 因为，所以 所以， 将代入，整理得. 因为，所以， 由题知，近似服从， 所以，故， 由参考数据，故，解得. 又，所以恒成立. 因为时，取得最大值19600. 所以的最小值为19600，此时. 【变式4-2】（2026·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 题型5 复杂赛制与游戏规则的概率分析 【典例5-1】（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 【典例5-2】（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计. 具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0,2,6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2,0,2,6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1） 求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2） 若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； （3） 从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】（1） （2） 分布列见解析，期望为 （3） 应该选择参加游戏Ⅱ，理由见解析 【思路】（1） 根据古典概型直接计算抛三枚硬币图案相同的概率；（2） 先求出单人前两局均未获胜的概率，再利用二项分布求的分布列与期望；（3） 分别计算两个游戏奖金的期望，比较大小得出结论. 【解析】（1） 游戏Ⅰ第2局获胜的概率. （2） 游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为， 第1局和第2局均没获胜的概率为， ， ，， ，， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望（或）. （3） 游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为， 参加， 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为， 第3局获胜的概率为， ， ， 从奖金期望角度来看，应该选择参加游戏Ⅱ. 方法技巧 复杂赛制与游戏规则的概率分析 明确赛制（几局几胜、积分制、淘汰制等）和终止条件（如连胜两局、先达某分数）。若每局胜率固定，将获胜路径分解为若干互斥情形，用二项分布或独立事件乘法累加；若胜率随局数或主客场变化，则分步逐局计算。注意“种子选手轮空”“让分”“加赛”等特殊规则，须分类讨论且验证各类别概率和为1。 【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 【变式5-2】（2026·海南·模拟预测）甲､乙两种人工智能模型进行某种棋类比赛，已知甲每局获胜的概率是，没有平局，每局比赛相互独立． (1)假设比赛中连胜2局者获胜，比赛随即结束．若4局比赛后比赛结束，且甲获胜的概率等于乙获胜的概率的2倍，求的值； (2)假设甲和乙比赛3局，每局胜者得1分，负者得0分，表示甲的总得分，求的分布列和数学期望；（结果用含的式子表达） (3)设表示甲首次获胜时已比赛的局数，求，并说明其与的关系．（结果用含的式子表达） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，. 【分析】（1）根据独立事件的概率公式分别求出甲、乙获胜的概率即可； （2）由题意可知，则利用二项分布可求分布列和期望； （3）根据独立事件的概率公式分别计算，，，再利用条件概率概率公式计算. 【详解】（1）4局比赛后比赛结束，这四局获胜者分别为甲乙甲甲时甲获胜，此时概率为， 这四局获胜者分别为乙甲乙乙时乙获胜，此时概率为， 则，得. （2）由题意可知，的可能取值为，则， 则，， ，， 则的分布列为： 则. （3）， ， ， 则， 则， 说明“在首次获胜时已比赛超过两局的条件下，首次获胜时已比赛超过五局”的概率可以看作“从第三局开始算，首次获胜时已比赛超过三局”的概率， 故. 题型6 概率与数列递推的综合应用 【典例6-1】（2026·广东佛山·检测）某款AI（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款AI机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. （1） 求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2） 表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 【答案】（1） （2） （i）；；（ii） 【思路】（1） 分析恰好4次获胜的得分轨迹，利用独立事件概率公式计算；（2） （i） 利用条件概率公式，结合游戏未结束的条件计算；（ii） 根据条件概率建立关于的方程求出，再利用期望的递推关系式求出游戏结束时的数学期望. 【解析】（1）若机器人恰好射4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次射中， 故； （2）（i）由题意得，， 所以； 若第次，游戏结束，则第次，第次仅射中一次（）为奇数， 可得； 所以； （ii）， 得到，解得； 设的数学期望为，分如下情况， ①第2次游戏结束，，游戏进行2次； ②第2次游戏未结束，， 则游戏相当于重新开始，游戏将进行次数， 所以， 解得，即游戏结束时的数学期望为. 【典例6-2】（2026高三·全国·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为． 由题意知，， 所以． （2）因为， 所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，． （3）因为①， ②． 所以①②，得． 又因为，所以．所以． 所以的概率分布列为： 0 1 2 p 所以． 所以的数学期望为定值 方法技巧 概率与数列递推的综合应用 设第次操作后处于某状态的概率为，利用全概率公式按本轮结果分类，建立与（或前几项）的递推关系。常见模型：传球问题、摸球演化、随机游走、赌徒破产等。求解方法：一阶线性用待定系数法构造等比数列；二阶用特征根法；求极限时令解平稳分布。注意验证初始项或。 【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.根据全概率公式和条件概率公式求解即可； （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，事件表示小球向右走一格.小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，即.证明是以为首项，3为公比的等比数列求解即可. 【详解】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 此时当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 【变式6-2】（2026·山东九五联盟·一模）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片. 规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束. （1） 已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数，求，并根据，求. （2） 记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为. （i） 求；（ii） 求. 【答案】（1） ， （2） （i） ；（ii） (当为偶数时)， (当为奇数时) 【思路】（1） 分析时抽取卡片的过程，得出的概率，再利用错位相减法求和并取极限求期望；（2） （i） 根据全概率公式建立的方程求解；（ii） 建立与的递推关系式，分奇偶讨论求出通项公式. 【解析】（1） 由题意可知， 所以， 所以. （2） （i） 由题意可知， 所以. （ii） 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 所以数列的奇数项与偶数项都是 公差为1的等差数列， 又因为， 所以当为奇数时，， 所以； 所以当为偶数时，， 所以； 综上： 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，若，则，即得， 所以，故④正确. 综上，错误的只有①. 故选：A. 2．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 故选：D. 3．（2026·陕西汉中·模拟预测）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种； 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 故选：D. 4．（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 设， 则当时，， 故选：A. 5．（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 6．（2026·河南南阳·模拟预测）某大学某专业开设了《数据分析》课程，在期末的“APM数据挖掘”项目中，老师从提交的作业中随机抽取了10份样本进行分析，其中选择类方向作为研究对象的有6人（记为组），选择类方向作为研究对象的有4人（记为组）.已知组样本APM数据的平均数为120，方差为8，组样本APM数据的平均数为100，方差为8，则这10份样本APM数据的平均数和方差分别是（   ） A．112，104 B．112，114 C．114，104 D．114，114 【答案】A 【详解】由题意可得这10份样本APM数据的平均数为； 这10份样本APM数据的方差为 ， 故选：A. 7．（2026·山西·模拟预测）袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中， 则， 所以. 故，又， 故时，，即，， 时，，即，，故A错误，B正确； ，又， 故时，，即，， 时，，即，，故C，D错误. 故选：B. 8．（2026·陕西渭南·模拟预测）小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 【答案】D 【详解】选项A：若，则比赛结束时积分差的绝对值为2， 设总局数为，小明胜局，小红胜局， 则，即，所以总局数为偶数，故A错误. 选项B：若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为： ，故B错误. 选项C：若，，则在不超过5局比赛结束，有两种情况，第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以获胜，概率为. 其中小明以获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为，故C错误. 选项D：设小明在净胜局（小明胜的局数比输的局数多）前提下，继续比赛最终获胜的概率为，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，比赛结束，小明失败. 根据全概率公式可得，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜0局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 同理可得，当净胜0局时，.当净胜1局时，. 当净胜2局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明以获胜，若小明输，则小明的状态变为净胜1局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 联立，即，整理得，解得. 因为表示小明和小红积分相同，即净胜0局，所以继续比赛小明最终获胜的概率为，故D正确. 故选：D. 9．（多选）（2026·山东菏泽·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】ABD 【详解】由题意得，，， 则，故选项A正确； ∵在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； ∵，且， ∴a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故选项C错误. 对于D，，所以一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值，即，D正确； 故选：ABD. 10．（多选）（2026·湖南常德·一模）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD. 11.（2026·福建龙岩·一模）某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为__________. 【答案】 【详解】每次摸球的情况有种. 先后两次摸球共有种情况. 两次得分5分的情况有： 第一次1分，第二次4分，共有种； 第一次2分，第二次3分，共有1种； 第一次4分，第二次1分，共有4种； 第一次3分，第二次2分，共有1种； 所以， 故答案为：. 12.（2026·四川泸州·模拟预测）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 13.（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【答案】； 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 故答案为：；. 14.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异 【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为； 乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为． （2）解：零假设为：甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 根据列联表中的数据，计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据拒绝原假设， 即认为甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 15.（2026·江苏·一模）某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； (2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 【答案】(1) (2)①；②是理想的，理由见解析 【详解】（1）记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”， 则 （2）①由题意，，. 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以关于的经验回归方程为. ②当时，； 当时，. 所以该小组所得经验回归方程是理想的. 创新提升 1.（多选）（2026·河南·模拟预测）踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意知，故A错； 由题意的可能取值为0,1， ， 所以，故B对， 由题意知第次踢出毽子后，毽子没有传到乙的概率为， 所以，故C对， 由，得到， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即，故D对， 故选：BCD. 2.（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 3.（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 4.（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2) 【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为， 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为； （ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙. 第①种情形概率为；第②种情形为. 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲. 第①种情形概率为；第②种情形为. 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 ； （2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则， ， ， ， 所以 由得， 令，则，整理得， 解得，所以，又， 所以的取值范围为. 5. （2026·浙江·一模）某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）依题意可得，， . （2）由（1）可知， 当时，， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则； （3）当时，，所以，即， 依题意，所以. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优08 概率与统计的综合内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 概率统计核心概念的综合判断 4 题型2 统计图表与概率的综合应用 7 题型3 独立性检验与概率的综合应用 9 题型4 离散型随机变量的分布列与期望决策 11 题型5 复杂赛制与游戏规则的概率分析 13 题型6 概率与数列递推的综合应用 15 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 26 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 随机事件的概率与条件概率 （1） 条件概率：已知事件 发生的条件下事件 发生的概率，记为 ，公式为 （其中 ）. （2） 乘法公式：. （3） 全概率公式：设事件 是一组完备事件组，且 ，则对任意事件 ，有 . 知识点2 离散型随机变量及其数字特征 （1） 数学期望与方差的性质： ① . ② . ③ 若 相互独立，则 ，. （2） 常见分布的数字特征： ① 若 ，则 ，. ② 若 服从参数为 的超几何分布，则 . 知识点3 正态分布 （1） 若随机变量 ，则其密度曲线关于直线 对称. （2） 原则： ① . ② . ③ . 知识点4 统计与数据分析 （1） 独立性检验：用于判断两个分类变量是否相关.统计量 ，其中 . （2） 经验回归方程：，其中 ，.经验回归直线必过样本中心点 . 知识点5 概率统计综合应用常见模型 （1） 决策与期望模型：常以保险问题、纳税问题、彩票问题、道路通行等为背景，核心是构建收益、损失或时间的随机变量 ，通过计算数学期望 进行方案比对与最优化决策. （2） 体育比赛与赛制模型：常涉及单循环赛、淘汰赛、多局胜负制（如五局三胜）等.需利用独立重复试验、条件概率等知识，分析比赛结束的局数或最终胜负的概率，有时需结合排列组合分析出场顺序排位问题. （3） 医疗与疾病检验模型：常结合独立性检验、条件概率（如误诊率、漏诊率、阳性预测值）进行考查，或利用二项分布分析群体发病情况. （4） 概率与数列递推模型（马尔可夫链基础）：在动态变化过程（如高尔顿板、随机游走、硬币游戏、博彩问题等）中，第 次的状态仅与第 次的状态有关.常利用全概率公式建立概率 与 或期望 与 的递推关系，进而转化为等差或等比数列求解. 【防坑警示】 ① 在处理条件概率时，务必分清“在 发生的条件下 发生”的概率 与“ 和 同时发生”的概率 的区别. ② 利用全概率公式建立递推关系时，要准确找到状态转移的节点，确保分类不重不漏. 题型深研·通法变式提能力 题型1 概率统计核心概念的综合判断 【典例1-1】（2026·山东菏泽·一模）（多选）下列说法正确的有（　　） A. 已知，若，则 B. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为2 C. 已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若，是两个随机事件，，，，则 【典例1-2】（25-26高二下·广东·期末）下列说法正确的有（    ） A．数据，，，，，，，的上四分位数是40 B．若随机变量，，则 C．若回归方程为，则变量与成负相关 D．展开式中含项的二项式系数为 方法技巧 概率统计核心概念的综合判断 围绕样本空间、事件关系（互斥、对立、独立）、频率与概率区别、方差与标准差含义等核心概念设置判断辨析题。解题时回归定义：互斥指不同时发生，独立指；频率稳定值估计概率；方差衡量离散程度。对综合性选项，逐一验证公式和性质，警惕“概率为0≠不可能事件”“独立≠互斥”等易错点。 【变式1-1】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则 B．若随机变量，，则 C．已知关于的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.2 D．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则 【变式1-2】（25-26高二下·山东东营·期末）下列说法正确的有（    ） A．一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4 B．对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位 C．若事件，满足，则事件，是对立事件 D．若事件，满足，则事件，相互独立 题型2 统计图表与概率的综合应用 【典例2-1】（2026·重庆渝北·一模）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据． (1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数； (2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率； (3)记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象． 【典例2-2】（2026·四川巴中·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 方法技巧 统计图表与概率的综合应用 先读取频率分布直方图、茎叶图或条形图，提取样本频数、频率、众数、中位数、平均数。利用频率估计概率，将样本分布视为总体概率分布；由图表数据计算特定区间的频率作为概率近似值。涉及分层抽样时按比例分配样本量。解题关键是准确从图表中获取数据，注意组距与频率/组距的换算。 【变式2-1】（2026·四川成都·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【变式2-2】（2025·河北NT20·二模）为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”. （1） 试求频率分布直方图中的值； （2） 用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3） 从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在100～120分钟之间的学生数，求的分布列及期望. 题型3 独立性检验与概率的综合应用 【典例3-1】（2026·河北沧衡八县·一模）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1） 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2） 若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响. （i） 用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望； （ii） 记有人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 5.1 6.05 7.01 8.005 9.001 10.706 11.841 12.635 13.879 14.828 【典例3-2】（2026·四川巴中·一模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式. 为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1） 依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2） 某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束. 规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜. 两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. （i） 求比赛结束后甲获胜的概率； （ii） 求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 16.1 17.05 18.01 19.005 20.001 21.706 22.841 23.635 24.879 25.828 方法技巧 独立性检验与概率的综合应用 先根据列联表计算，与临界值比较判断关联性。在此基础上，将分类变量频率作为概率估计，进一步求某类别下的条件概率或相关随机变量的分布列与期望。注意：独立性检验结论是“有%把握认为有关”，不能绝对化；概率计算需基于联表中的实际频数。 【变式3-1】（2026·河北八省八校·联考）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为. 现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击. （1） 前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2） 若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为. ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为. 求. 【变式3-2】（2026·四川巴中·一模）某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 题型4 离散型随机变量的分布列与期望决策 【典例4-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. (1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望； (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 【典例4-2】（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 方法技巧 离散型随机变量的分布列与期望决策 先确定随机变量所有可能取值，逐一求概率列出分布列（检验概率和为1）。计算期望和方差。决策时：期望高者平均收益大；方差小者风险低。若期望与方差冲突，需结合题目风险偏好（如“保守型选方差小”“激进型选期望高”）给出建议，结论必须附数据支撑。 【变式4-1】（2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 【变式4-2】（2026·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 题型5 复杂赛制与游戏规则的概率分析 【典例5-1】（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【典例5-2】（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计. 具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0,2,6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2,0,2,6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1） 求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2） 若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； （3） 从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 方法技巧 复杂赛制与游戏规则的概率分析 明确赛制（几局几胜、积分制、淘汰制等）和终止条件（如连胜两局、先达某分数）。若每局胜率固定，将获胜路径分解为若干互斥情形，用二项分布或独立事件乘法累加；若胜率随局数或主客场变化，则分步逐局计算。注意“种子选手轮空”“让分”“加赛”等特殊规则，须分类讨论且验证各类别概率和为1。 【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【变式5-2】（2026·海南·模拟预测）甲､乙两种人工智能模型进行某种棋类比赛，已知甲每局获胜的概率是，没有平局，每局比赛相互独立． (1)假设比赛中连胜2局者获胜，比赛随即结束．若4局比赛后比赛结束，且甲获胜的概率等于乙获胜的概率的2倍，求的值； (2)假设甲和乙比赛3局，每局胜者得1分，负者得0分，表示甲的总得分，求的分布列和数学期望；（结果用含的式子表达） (3)设表示甲首次获胜时已比赛的局数，求，并说明其与的关系．（结果用含的式子表达） 题型6 概率与数列递推的综合应用 【典例6-1】（2026·广东佛山·检测）某款AI（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款AI机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. （1） 求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2） 表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 【典例6-2】（2026高三·全国·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 方法技巧 概率与数列递推的综合应用 设第次操作后处于某状态的概率为，利用全概率公式按本轮结果分类，建立与（或前几项）的递推关系。常见模型：传球问题、摸球演化、随机游走、赌徒破产等。求解方法：一阶线性用待定系数法构造等比数列；二阶用特征根法；求极限时令解平稳分布。注意验证初始项或。 【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【变式6-2】（2026·山东九五联盟·一模）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片. 规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束. （1） 已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数，求，并根据，求. （2） 记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为. （i） 求；（ii） 求. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西汉中·模拟预测）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 5．（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2026·河南南阳·模拟预测）某大学某专业开设了《数据分析》课程，在期末的“APM数据挖掘”项目中，老师从提交的作业中随机抽取了10份样本进行分析，其中选择类方向作为研究对象的有6人（记为组），选择类方向作为研究对象的有4人（记为组）.已知组样本APM数据的平均数为120，方差为8，组样本APM数据的平均数为100，方差为8，则这10份样本APM数据的平均数和方差分别是（   ） A．112，104 B．112，114 C．114，104 D．114，114 7．（2026·山西·模拟预测）袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西渭南·模拟预测）小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 9．（多选）（2026·山东菏泽·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 10．（多选）（2026·湖南常德·一模）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 11.（2026·福建龙岩·一模）某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为__________. 12.（2026·四川泸州·模拟预测）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为___________. 13.（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 14.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 15.（2026·江苏·一模）某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； (2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 创新提升 1.（多选）（2026·河南·模拟预测）踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 3.（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 4.（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 5. （2026·浙江·一模）某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $