1.1因式分解（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解核心概念，通过基础辨析、参数求解、综合应用三层递进设计，强化从概念理解到问题解决的能力进阶，培养数学推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|因式分解概念辨析|以选择、填空题为主，结合多地月考真题，强化整式乘法与因式分解的本质区别| |提升层|参数求解与错解分析|通过已知分解结果求参数、错值还原等题型，培养逆向思维与逻辑推理能力| |综合层|材料阅读与实际应用|设置多问材料题及跨知识点综合题，渗透试根法等解题策略，发展数学应用意识|

1.1因式分解 题型一   判断是否是因式分解 1．（山西省朔州市朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 2．（25-26八年级上·福建福州·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 题型一   已知因式分解的结果求参数 1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）已知多项式分解因式为，则，的值分别是    （       ） A．， B．，4 C．， D．， 5．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 6．（25-26八年级上·山东日照·月考）多项式分解因式后有一个因式是，则等于（   ） A．1 B． C．5 D．7 7．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（） A． B． C． D．无法确定 8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式可分解为，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求． 题型二   由因式分解错值求参数 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ， 题型三   与因式分解有关的材料阅读题 1．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 4．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 题型一   因式分解的综合运用 1．（24-25八年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（   ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为 元． 3．（21-22八年级上·湖南长沙·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1因式分解 题型一   判断是否是因式分解 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】③ 6．【答案】 ①③ ② 7．【答案】 ① ② 题型一   已知因式分解的结果求参数 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】3 9． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 题型二   由因式分解错值求参数 1．【答案】A 2．【答案】 题型三   与因式分解有关的材料阅读题 1． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 2． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 3． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 4． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 5． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． （2）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （3）解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 6． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 题型一   因式分解的综合运用 1．【答案】B 2．【答案】215.8// 3． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1因式分解 题型一   判断是否是因式分解 1．（山西省朔州市朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 2．（25-26八年级上·福建福州·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的定义，判断等式右边是否为整式的积的形式，即可 【详解】解： 因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A、右边为 ，不是积的形式，不是因式分解； B、是整式的乘法运算，不是因式分解； C、右边含有分式 ，不是整式，不是因式分解； D、 ，是因式分解， 故选D 3．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：中等号右边不是积的形式，则A不符合题意， 是乘法运算，则B不符合题意， 是乘法运算，则C不符合题意， 符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选：D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意； B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意； C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意； D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 题型一   已知因式分解的结果求参数 1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 3．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）已知多项式分解因式为，则，的值分别是    （       ） A．， B．，4 C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了由已知因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开，与原始多项式比较系数，即可求出和的值，正确利用公式计算是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∴， ， 故选：． 5．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值． 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级上·山东日照·月考）多项式分解因式后有一个因式是，则等于（   ） A．1 B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，设，结合多项式乘以多项式的运算法则将右边展开，对应相等，计算即可得出结果，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵多项式分解因式后有一个因式是， ∴设， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解与多项式的乘积的关系，设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应关系求解. 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∵， 且， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选A 8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 9．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 题型二   由因式分解错值求参数 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ， 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【详解】解：甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为：12， 题型三   与因式分解有关的材料阅读题 1．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 4．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． （2）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （3）解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 题型一   因式分解的综合运用 1．（24-25八年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（   ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果为关于x的三次三项式，，均为非零常数， ， ，故①正确； ， ，， ，故②正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含项， ∴， ，故③错误； ④ ， ， 解得：， ，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键． 2．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为 元． 【答案】215.8// 【分析】首先设A、B的单价为y元，C的单价为x元，A的销量为a，D的销量为b，可得D的单价为7x元，C的销量为a，B的销量为7b，根据题意列出不等式，由第一天的单价与销量均为正整数确定出各参数的值，再代入第二天的总销售额确定出最大值即可． 【详解】解：设A、B的单价为y元，C的单价为x元，A的销量为a，D的销量为b， 则D的单价为7x元，C的销量为a，B的销量为7b； 根据题意可得， 由第一天A、B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元， 得到（a+7b）y﹣（a+7b）x＝126， ∴（a+7b）（y﹣x）＝126， ∵单价与销量均为正整数， ∴y﹣x＝7或y﹣x＝9；a+7b＝18或a+7b＝14； 再由，可得x的取值为3或2或1； 当y﹣x＝7时，a+7b＝18，此时x+y的取值可以为13，11，9； a＝11，b＝1或a＝4，b＝2； 当y﹣x＝9时，a+7b＝14，此时x+y的取值可以为15，13，11； a＝7，b＝1； 第二天四种水果的总销售额为a（x+y）+5.6b（x+y）＝（x+y）（a+5.6b）， 若总销售额最多，则a＝11，b＝1，x+y＝13， ∴销售额＝13×16.6＝215.8元， 故答案为：215.8． 【点睛】本题考查了因式分解及根据不等式确定方程整数解的应用，解题关键是：（1）理清各数量间的关系，正确列出方程及不等式；（2）确定出方程的整数解． 3．（21-22八年级上·湖南长沙·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $