第3章圆的基本性质 3.5-3.7常考题型归纳与强化训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦正多边形与圆的性质应用，以“概念理解—定理综合—实际应用”为逻辑主线，通过分层题型训练培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正多边形和圆的综合运用|1例+6练|选择/填空/解答（含作图）|从中心角计算到面积、周长求解，构建正多边形与圆的基本关系| |圆周角定理等综合解题|1例+2练|选择/填空|结合圆周角定理推导正多边形边数，强化定理应用| |不规则图形面积|1例+3练|选择/填空/解答|通过割补法转化为正多边形与圆的面积差，培养转化思想| |勾股定理综合运用|1例+8练|选择/填空/解答|融合边心距、半径计算，深化几何量间的数量关系| |中心角求边数|1例+3练|选择/填空|直接应用中心角公式，巩固概念本质|

2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质3.5-3.7常考题型归纳与强化训练 题型一：正多边形和圆的综合运用 例题： （选择题）如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键。 根据正六边形的性质可得，，从而求出，再利用三角形的内角和求解即可。 【详解】解：连接， 点为正六边形的中心， ， ， 在等腰中， ， 故选：B。 同步练： （选择题）1.如图所示，已知正六边形外接圆的半径为，那么这个正六边形的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于点C，可证明是等边三角形，得到，再由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，根据求解即可。 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作于点C， 由题意得， ∵正六边形外接圆的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A。 （填空题）2.如图，正六边形内接于，连接，则_____。 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案。 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即， 故答案为：。 （填空题）3.如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________。 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键。 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可。 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为，故答案为：。 （解答题）4.如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。 【答案】亭子地基的周长为24m，地基的面积为41.6m2 。 【分析】连接OB、OC求出中心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OP，利用等边三角形及勾股定理可求出OP的长，利用三角形的面积公式即可解答。 【详解】如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴它的中心角∠BOC等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径；∴亭子地基的周长； 作，垂足为P；在中，∠POC=90°-60°=30°， ∴， 利用勾股定理，可得边心距， 亭子地基的面积。 （解答题）5.如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹。 （1）在图1中的边上求作点，使； （2）在图2中的边上求作点，使。 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作； （2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可。 【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示； 理由：∵⊙O为正五边形的外接圆， ∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点， ∵点M在直线AO上， ∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称， ∴CF与DG关于直线AO对称， ∴DG=CF； （2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示。 （解答题）6.如图，已知。求作：的内接等边。 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接，。 所以即为的内接等边三角形。 ∵在中，垂直平分， ∴，， ∵， ∴（ ① ） ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴（ ② ）， ∴为的内接等边三角形。 （1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； 。 （2）请你再给出一种作图方法。尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析。 【分析】（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据； （2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可。 【详解】解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质； 和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等； （2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图： 题型二：利用圆周角定理、正多边形和圆的综合解题 例题： （选择题）如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（   ）。 A．正十八边形 B．正十五边形 C．正十二边形 D．正九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接正多边形等知识，连接，根据圆周角定理确定的度数，然后计算以弦为边所作的内接正多边形的边数，即可获得答案。 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∴若以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正九边形，故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（     ）。 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键。根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解。 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B。 （填空题）2.如图，正五边形内接于，求的度数 。 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧所对的圆心角是解题的关键。 连接，根据正五边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解。 【详解】解：如图，连接， 五边形是正五边形， ， ， 故答案为：。 题型三：结合正多边形和圆的综合，求不规则图形的面积 例题： （解答题）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积。 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积。作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解。 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴。 同步练： （选择题）1.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求面积为四分之一圆的面积减去四分之一正十二边形的面积，四分之一正十二边形由3个顶角为、腰长为半径的等腰三角形组成，利用含角的直角三角形性质求出三角形的高，进而求出面积。 【详解】解：设圆半径为，则， 四分之一圆的圆心角为， 四分之一圆的面积， 正十二边形的中心角为， 图中四分之一正十二边形包含个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为，，， 过点作于点， 在中，，， ， ， 四分之一正十二边形的面积， 剩余面积 。 （填空题）2.如图已知正六边形的边长为2分别以正六边形每个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为________。 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质以及不规则图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键。 令正六边形中心为点，连接，过点作交于点，根据正六边形的性质得出，，由勾股定理可计算出的长度，结合即可求出结果。 【详解】解：令正六边形中心为点，连接，过点作交于点，如下图所示： 则图中阴影部分面积可视为12个半片花朵（弓形）的面积， 而半片花朵的面积可用扇形减去三角形得到， 根据正六边形的性质，可得，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ， ∴。 （解答题）3.如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点。 （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若厘米，求图（3）中阴影部分的面积。（结果保留π） 【答案】（1）四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； （2）平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键。 （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可。 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， 平方厘米， 答：阴影部分面积为平方厘米。 题型四：结合勾股定理、正多边形和圆的综合运用解题 例题： （选择题）如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（     ）。 A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键。连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出。 【详解】解：连接，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ∴，， ∴， 故选：A。 同步练： （选择题）1.中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔。如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，熟练把正多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键。正六边形的面积由个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以即可。 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴， 故选：C。 （选择题）2.正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆综合，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边，根据该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，得到，利用勾股定理可推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可求出的度数，再求出该正多边形的边数即可得到答案。 【详解】解：如图所示，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边， 过点O作于C，连接， ∴， ∵该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为， ∴正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴该正多边形的边数为，即该正多边形为正方形， ∴该正多边形的内角和为360度， 故选：B。 （选择题）3.如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键。 根据圆周角定理，得到是含的直角三角形，再根据的直角三角形性质及勾股定理求出的长，即可得的面积。 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是⊙O的内接正六边形， ，， ，， ， ， ， ， 故选：C。 （填空题）4.记任意正六边形的面积为，其内切圆的内接正方形的面积为，则________。 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键。设正六边形的边长为a，然后表示出正六边形的面积和其内切圆半径，再通过内切圆半径表示该内切圆的内接正方形的边长，进而得到面积，最后求比值即可解答。 【详解】解：如图所示，正六边形与其内切圆的相切于点C，点C为该内切圆的内接正方形的顶点，连接， 则，，，， 设正六边形的边长为a， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴正六边形的面积， 正方形的面积 ， ∴， 故答案为：。 （填空题）5.如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ________________。 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解。 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，半径为、、， 故答案为：或或。 （解答题）6.如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长。 【答案】 【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键。 连接作于点M，先求出，继而推导出，，可求出，则有， 即可解答。 【详解】解：如图，连接作于点M， 根据正方形的性质可得．， ∴是的直径， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，即正三角形的边长为。 （解答题）7.如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距。 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可。 【详解】解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，， ， ， 设 ，则 ， 在 中，， 即 ， 解得 （负值已舍去）， ，， 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 。 （解答题）8.历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密。 （1）如图，请在中，作一个圆内接正六边形。（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） （2）若正六边形边长为，求该正六边形的边心距。 【答案】（1）见解析； （2）。 【分析】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解。 【详解】（1）解：如图，六边形即为所求； 证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点， ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为。 题型五：已知正多边形的中心角求边数 例题： （选择题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（     ）。 A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键。 根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解。 【详解】解：这个多边形的边数是， 故答案为：C。 同步练： （选择题）1.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据正多边形的中心角=计算即可。 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意=72°， ∴n=5， 故选：C。 （填空题）2.如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边。则是的内接正___________边形的一边。 【答案】二十四 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，连接，先求得、的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得。 【详解】解：连接， ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正二十四边形的一边， 故答案为：二十四。 （填空题）3.如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键。 先求出边数，进而即可得解。 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为， 故答案为：。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质3.5-3.7常考题型归纳与强化训练 题型一：正多边形和圆的综合运用 例题： （选择题）如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　 　）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.如图所示，已知正六边形外接圆的半径为，那么这个正六边形的面积是（    ）。 A． B． C． D． （填空题）2.如图，正六边形内接于，连接，则_____。 （填空题）3.如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________。 （解答题）4.如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。 （解答题）5.如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹。 （1）在图1中的边上求作点，使； （2）在图2中的边上求作点，使。 （解答题）6.如图，已知。求作：的内接等边。 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接，。 所以即为的内接等边三角形。 ∵在中，垂直平分， ∴，， ∵， ∴（ ① ） ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴（ ② ）， ∴为的内接等边三角形。 （1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； 。 （2）请你再给出一种作图方法。尺规作图，保留作图痕迹） 题型二：利用圆周角定理、正多边形和圆的综合解题 例题： （选择题）如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（   ）。 A．正十八边形 B．正十五边形 C．正十二边形 D．正九边形 同步练： （选择题）1.如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（     ）。 A．8 B．9 C．10 D．12 （填空题）2.如图，正五边形内接于，求的度数 。 题型三：结合正多边形和圆的综合，求不规则图形的面积 例题： （解答题）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积。 同步练： （选择题）1.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（     ）。 A． B． C． D． （填空题）2.如图已知正六边形的边长为2分别以正六边形每个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为________。 （解答题）3.如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点。 （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若厘米，求图（3）中阴影部分的面积。（结果保留π） 题型四：结合勾股定理、正多边形和圆的综合运用解题 例题： （选择题）如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（     ）。 A． B． C． D．3 同步练： （选择题）1.中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔。如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（    ）。 A． B． C． D． （选择题）2.正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（     ）。 A． B． C． D． （选择题）3.如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（    ）。 A． B． C． D． （填空题）4.记任意正六边形的面积为，其内切圆的内接正方形的面积为，则________。 （填空题）5.如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ________________。 （解答题）6.如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长。 （解答题）7.如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距。 （解答题）8.历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密。 （1）如图，请在中，作一个圆内接正六边形。（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） （2）若正六边形边长为，求该正六边形的边心距。 题型五：已知正多边形的中心角求边数 例题： （选择题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（     ）。 A．3 B．5 C．8 D．10 同步练： （选择题）1.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 （填空题）2.如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边。则是的内接正___________边形的一边。 （填空题）3.如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为 。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $