第一章 二次函数专项训练——二次函数与一次函数、分段函数 2026--2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一次函数、分段函数综合应用，通过18道题构建"概念理解-图像分析-动态综合"的递进训练体系，渗透数形结合与分类讨论思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|含新定义"二倍点"、图像翻折等创新题型|以二次函数图像性质为核心，关联一次函数交点、分段函数动态变化| |解答题|4题|第17题含证明与分类讨论|从解析式求解到图像变换再到综合应用，形成完整逻辑链|

第一章二次函数专项训练 ——二次函数与一次函数、分段函数 一、选择题 1．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线 与直线y= bx+c的两个交点坐标分别为A(-3，9)，B(1，1)，则关于x的方程 的解为(　　) A． B． C． D． 3． 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点. 若二次函数 （c为常数)在-1≤x≤2的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（　　) A．c=4 B．c≥-5 C．- 5≤c≤4 D．c≥4 4．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断： ①二次函数y1有最大值 ②二次函数y1的图象关于直线对称 ③当时，二次函数y1的值大于0 ④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1． 其中正确的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5． 在平面直角坐标系xOy中，点A(-2， 4)， B(3， 9)，由线段AB与抛物线的一段 组成的图形C，如图所示.若将图形C上的一点 P 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点 P 的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知一次函数 (a为实数)和二次函数 对任意0≤x≤4， 总有 则a的取值范围是(　　) A．a≤-2 B．-2≤a≤-4+2 C． D． 7．在▱ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，动点P沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO2的长为y，y与x的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是(　　) 命题①： ▱ABCD为菱形. 命题②：当点 P 运动到 DC中点时，PO的长为2. A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 8．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为　 　． 10．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 　． 11．已知二次函数的图象与轴交于两点．若，则　 　． 12．已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数 如图所示 ，当直线 与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　 13．定义max{a，b }＝，已知函数f（x）＝max{│2x－1│，ax2＋b}，其中a＜0，若f（x）的最小值为1，则a＋b＝　 　． 14．如图，抛物线. 交x轴于点A、点B，交y轴天点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3，-4).在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使点Q到直线BC的距离为： 则点Q的坐标　 　 三、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）． ①若m＝n，求a的值； ②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值． 16．已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图像，直接写出不等式的解集 （3）抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标 17．已知二次函数 （1）若ac<0，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （2）若二次函数 的图象过点A (n， m) ， B (n+6， m) ，且n≠-3. ①当m=0时，求m=0 的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线l：x=2n+6右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W.若对于m的每一个值，直线AB与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围. 18．已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）求的值； （3）已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】​​​​​​​ 10．【答案】x＞3或x＜-1 11．【答案】 12．【答案】-2＜m＜-6 13．【答案】1 14．【答案】(2，-3)，(3，-4)，(6，5) 15．【答案】解：（1）∵ 抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点 ， ∴将A、B两点代入抛物线，得， 解得：c=-4，2a+b=2； （2）由（1）可知，2a+b=2， ∴b=2-2a， ∵ 抛物线y＝ax2+bx-c的对称轴是直线x=， ∴对称轴直线x===， ∵ 抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大， 由二次函数图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，且对称轴直线x=≤0， 解得：a≤1， ∴a的取值范围是0＜a≤1； （3）由（2）可知，抛物线y=ax2+bx-4=ax2+（2-2a）x-4，对称轴是直线x=， ①若m=n，则点M（p，m）与点N（-2-p，n）关于对称轴对称， ∴==-1， 解得：a=， ∴a的值为； ②把点N（-2-p，n）代入直线y=-2x-3，得：n=-2（-2-p）-3， 整理，得：n=2p+1， ∴点N也在直线y=-2x-3上； ∵点M与点N既在抛物线y=ax2+（2-2a）x-4上，也在直线y=-2x-3上， ∴联立方程得：ax2+（2-2a）x-4=-2x-3，有两个不同的实数根， 整理，得：ax2+（4-2a）x-1=0， ∴p+（-2-p）=， 即=-2， 解得：a=1 ∴a的值为1. 16．【答案】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2） 或 （3）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示：则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点． 17．【答案】（1）证明： ∵二次函数 当y=0时，得： ∴一元二次方程 有两个不同的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （2）解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ， ，整理得， ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 18．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴，， ∴，； 设直线的表达式， 则，解得， ∴直线的表达式， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6， ∵轴， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∴点B和点C到对称轴的距离都为3， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧）， 在中，当时，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $