5.3.2 （ 课时2）函数的极值与最大(小)值同步练（能力提升）—-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时2 1.函数，的最大值为( ) A. B. C. D. 2.已知函数，若恒成立，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量y与商品售价x（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价x为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 4.已知函数，若对，，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.若关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.函数在区间上有最大值，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.若函数的最小值为，则实数( ) A. B.e C.4 D. 8.直线分别与函数和交于A，B两点，则的最小值为( ) A. B.2 C. D. 9.（多选）已知函数，下列关于的四个结论，错误的是( ) A.函数有最大值 B.函数的最小值为0 C.如果时，，则t的最小值为2 D.函数有2个零点 10.（多选）已知函数，则( ) A.的图象关于原点对称 B.在上单调递减 C.的最小值是 D.当时，恒成立 11.（多选）已知函数，其中，则( ) A.函数的极大值点为2 B.若关于x的方程有且仅有两个实根，则k的取值范围为 C.方程共有4个实根 D.关于x的不等式不可能只有1个整数解 12.已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为__________. 13.函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数__________. 14.已知函数当时，，则实数m的取值范围是__________. 15.已知函数，其中. （1）若，求的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为和，求使得不等式成立的a的最大值. 答案以及解析 1.答案：B 解析：由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.因为，，又，所以在上的最大值为. 2.答案：B 解析：等价于，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以只需，即. 3.答案：B 解析：由题意得，商品的利润，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是函数的最大值. 4.答案：C 解析：由题意可知，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.因为对，，所以，解得. 5.答案：C 解析：关于x的不等式在上有解，即在上有解，设，，，，因为，所以，，所以，恒成立，即在上单调递增，所以，所以. 6.答案：D 解析：因为，所以，所以当或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.因为函数在上有最大值，所以极大值点.又，当时，即，解得或，所以. 7.答案：B 解析：因为，所以，由题意，易知.当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，即，解得；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以无最小值，故舍去.综上，实数. 8.答案：D 解析：由，得，，于是所求，构造函数且，，令，可得或2，所以在和上单调递减，在和上单调递增，则极小值为，极大值为，于是. 9.答案：AD 解析：对于A，B，，当或时，，当时，，故在和上单调递减，在上单调递增.当时，，当时，，当时，，作出的大致图象如图所示，由图可知A错误，B正确.对于C，当时，，如果时，，则由图可知t的最小值为2，故C正确.对于D，由图可知只有一个零点，故D不正确.故选AD. 10.答案：ACD 解析：对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于B，因为，令，即，解得，，即在，上单调递减，当时，减区间为；令，即，解得，，即在，上单调递增，所以在上先增后减，故B错误；对于C，由上可得在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为，又，所以的最小值是，故C正确；对于D，令，，则，所以在上单调递减，则，所以，故D正确. 11.答案：ACD 解析：，由解得或，由解得，所以在和上单调递减，在上单调递增，则分别是的极小值点和极大值点，A正确. 当时，令，即，解得，所以此时关于x的方程有且仅有两个实根，故B错误. ，，当时，，当时，，结合函数的单调性画出函数的大致图象如图所示. 对于关于x的方程，令，注意到，观察图象可知有两根，设为，且规定， 则有，其中是的一个零点.若，则有两个根，，若，而， 观察图象可知也有两个根.综上所述，关于x的方程共有4个实根，故C正确. 由于，故或， 即或，又恒成立，故至少有两个整数解，D正确.故选ACD. 12.答案：1 解析：当时，，所以. 又因为是奇函数，所以，所以当时，，.令，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以当时，的最小值为1.故答案为1. 13.答案： 解析：由，可令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，有最小值，为.又（当且仅当，即时，等号成立），所以（当且仅当等号同时成立时，等式成立）.故，即. 14.答案： 解析：当时，，令，则或；令，则，所以函数在上单调递减，在，上单调递增，所以函数在处取得极大值为.在处取得极小值为，且.当时，令，解得.作出的大致图象，如图所示，由图可知，m的取值范围为. 故答案为. 15.答案：（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （3）2 解析：（1）若，则，则， 解不等式，可得， 所以在区间上单调递增， 解不等式，可得， 所以在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）知，当时，函数在区间上单调递增， 当时，，当且仅当， 即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增，从而，， 所以. 由，得，即， 令，则， 由，得（舍去）或， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为，，且， 所以当时，；当时，. 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的a的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $