4.2.1 等差数列的概念(创新拔高)同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 1.已知数列满足，，则( ) A.80 B.100 C.120 D.143 2.已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9的值为( ) A．24 B．27 C．30 D．33 3.已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是( ) A. B. C.（p，q为常数） D. 5.已知数列满足，，，若数列的前n项和为，不等式恒成立，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.（多选）已知数列满足，，，，则下列选项正确的是( ) A.，，，…是公差为2的等差数列 B.，，，…是常数列 C. D.若数列满足，则数列的前101项和为 7.（多选）已知各项均为正数的等差数列{an}为递增数列，且a5＝2，则( ) A．公差d的取值范围是（－∞，） B．2a7＝a9＋2 C．a8＋a4>a6＋a5 D．a1＋a9＝4 8.已知数列满足：，且，则数列的通项公式为__________. 9.如图，曲线上的点与x轴上的点构成一系列正三角形：，，…，.设正三角形的边长为，点，则数列的通项公式为__________. 10.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则____________. 11.已知数列满足，，且. （1）若，求，，； （2）证明：数列为等差数列； （3）设数列的通项公式为.若数列为等差数列，求. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为，所以，即，等式两边开方可得，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，所以. 2.答案：D 解析：解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，所以a2＋a5＋a8－（a1＋a4＋a7）＝3d，a3＋a6＋a9－（a2＋a5＋a8）＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2（a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7）＝2×24－15＝33.故选D. 3.答案：A 解析：由数列满足，，可得，可知，因为，所以，所以，因为，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以且.因为不等式恒成立，所以恒成立，又，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围是，故选A. 4.答案：A 解析：数列为等差数列，设公差为d，可得. 对于A，例如，若等差数列的通项公式为，则，此时数列是等差数列，若等差数列的通项公式为，则，，，，此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B，数列中，，所以数列为常数列，所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C，数列（p，q为常数）中，（常数），所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D，数列中，（常数），所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选A. 5.答案：D 解析：因为数列满足，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以， 所以，记， 则，即 当n为偶数时，，当n为奇数时，， 因为不等式恒成立，即， 所以，所以，，所以解得，所以的取值范围为.故选：D. 6.答案：BD 解析：由，得，两式相减得. 当时，，得当时，，则，，，…是公差为4的等差数列，A错误； 得当时，，则，，，…为常数列，B正确； 因为，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，C错误； 数列的前101项和 ，由B可知，数列，，，…是常数列，， 所以，D正确.故选BD. 7.答案：BCD 解析：解析：由题意得d>0，a1>0，a5＝2，所以a1＝2－4d>0，解得d<，所以d∈（0，），故A错误；2a7－a9＝（a5＋a9）－a9＝a5＝2，故B正确；由a8＋a4－（a6＋a5）＝a8－a6－（a5－a4）＝2d－d＝d>0，得a8＋a4>a6＋a5，故C正确；由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5＝4，故D正确．故选BCD. 8.答案： 解析：由，得，两式相减得.由等差数列的定义知，数列的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 由及，知， 所以当n为奇数时，；当n为偶数时，.综上所述，数列的通项公式为 9.答案： 解析：由条件可得为正三角形，且边长为，，由在曲线上，得.，.根据题意，得点在曲线上，所以，整理，得.当，时，，，即.，.当时，，即，解得或（舍），，故，数列是首项为，公差为的等差数列，. 10.答案： 解析：因为，或， 又， 设2025个差中有x个2和y个， 故所以 即数列前2026项成等差数列，公差为. . 令， 即， 则 ， 所以为奇函数，结合题设易知，， 故. 11.答案：（1），， （2）证明见解析 （3） 解析：（1）依题意，当时，则， 又，故，所以. 又，所以符合题意. 同理，， 又，得或， 又，所以符合题意. 由， 因为，得， 又，所以符合题意. （2）证明：因为， 所以或（不合题设，舍）， 所以，或，， 即，或，. 因为， 所以，， 所以，， 所以，或或. 又，所以，， 则，， 所以，， 所以数列是公差为的等差数列. （3）由（2）知，数列是公差为的等差数列， 所以. 又因为，，所以. 又因为数列为等差数列，所以， 所以， 即. 又因为， 所以， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $