4.2.1等差数列的概念同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册（北京专用）

**基本信息** 高中数学等差数列概念新授课同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过北京地区最新考题构建从概念理解到实际应用的知识巩固路径，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等差数列定义、通项公式基本运算|含教材知识梳理填空及直接计算单选题（如第1-3题），夯实概念理解| |能力提升|性质应用、逻辑推理|通过充要条件判断（第4题）、公差转化（第5题）等中档题，发展推理能力| |综合应用|实际建模、综合证明|结合《九章算术》问题（第8题）及数列证明解答题（第16题），体现数学应用意识|

4.2.1等差数列的概念同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等差数列的概念 （1）文字语言：对于一个数列，如果从第________项起，每一项与它的________的差都是________常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个________为等差数列的________，通常用字母________表示． 符号语言：（为常数，）． （2）如果在与中间插入一个数，使，，成等差数列，那么________叫作________的等差中项． 2．等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2）________ （3）________，且. 3．等差数列两项或多项之间的性质 是公差为的等差数列，若正整数满足，则 ________ （1）特别地，当时，. （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列满足，（），则（   ） A． B．9 C．11 D．13 2．（25-26高二下·北京西城·期末）已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2026·北京海淀·一模）已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 4．（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·期末）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 7．（25-26高二上·北京·期末）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 9．（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 10．（25-26高三上·北京·阶段检测）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．27 B．18 C．6 D．3 二、填空题 11．（25-26高二下·北京西城·期末）已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 12．（25-26高二下·北京石景山·期末）若数列是等差数列，，则_____________ 13．（25-26高二下·北京海淀·阶段测试）已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________. 14．（2026·北京西城·阶段测试）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______. 三、解答题 15．（25-26高二下·北京·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 16．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1等差数列的概念同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等差数列的概念 （1）文字语言：对于一个数列，如果从第________项起，每一项与它的________的差都是________常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个________为等差数列的________，通常用字母________表示． 符号语言：（为常数，）． （2）如果在与中间插入一个数，使，，成等差数列，那么________叫作________的等差中项． 【答案】 2 前一项 同一个 常数 公差 A 与 2．等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2）________ （3）________，且. 【答案】 3．等差数列两项或多项之间的性质 是公差为的等差数列，若正整数满足，则 ________ （1）特别地，当时，. （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 【答案】 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列满足，（），则（   ） A． B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可． 【详解】，， 数列是公差为的等差数列， ， ． 故选：C． 2．（25-26高二下·北京西城·期末）已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由，得，两式相减得，解得. 3．（2026·北京海淀·一模）已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，解得. 4．（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以“，（k为常数）”是“为等差数列”的必要不充分条件. 5．（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质建立关于的等式，再化简整理即可. 【详解】是公差为的等差数列，所以 则， 所以的公差为. 6．（25-26高二上·北京·期末）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列， 所以，所以， 则. 故选：B. 7．（25-26高二上·北京·期末）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则 因为，所以，解得. 所以. 故选：C. 8．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 【答案】B 【分析】由题意分析出五人所分钱成等差数列，得钱最多者为，列出等式和，根据等差数列的性质即可求出和，再求出即可. 【详解】由题意可知五人所分钱成等差数列，得钱最多者为，则公差， 所以有，解得， 又因为，即， 则，所以， 所以分得最少的一个得到钱. 故选：B 9．（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 【答案】D 【分析】先由的公差推导的隔项递推关系，明确奇数项为公差1的等差数列，再代入计算. 【详解】已知是公差为1的等差数列，故对任意，有 . 由题设，可得，同理. 将代入的表达式，得： ， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为1的等差数列. 属于奇数项，首项，奇数项通项为：对，. 令，解得，所以. 10．（25-26高三上·北京·阶段检测）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．27 B．18 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得，根据均值不等式，求得当时，取得最小值，从而可得答案． 【详解】在等差数列中，设公差为， 由得 根据基本不等式，有， 当且仅当即，即时， 取得最小值， 故． 故选：D 二、填空题 11．（25-26高二下·北京西城·期末）已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（）， 因为，所以，解得， 则. 12．（25-26高二下·北京石景山·期末）若数列是等差数列，，则_____________ 【答案】/ 【分析】利用等差数列的性质即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 即，解得. 13．（25-26高二下·北京海淀·阶段测试）已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________. 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 14．（2026·北京西城·阶段测试）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______. 【答案】 【分析】求出等差数列的首项，直接求出的通项公式即可，利用数列的单调性得最小项为或，利用累加法即可求解. 【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以； 故，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是或. 又，所以 ，即的最小值是. 故答案为：， 三、解答题 15．（25-26高二下·北京·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 16．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由结合整箱数列递推式计算分析即可求解； 【详解】（1）由题可得，即， 所以即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $