2.3一元二次方程的根与系数的关系同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 A 知识要点分类练 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 一元二次方程的根与多项式的因式分解的关系 1. 若关于x的一元二次方程2x²+bx+c=0的解为x₁=3，x₂=5，则原方程利用因式分解变形后可得 （ ） A. (2x-3)(x-5)=0 B. (x+3)(x+5)=0 C. 2(x-3)(x-5)=0 D. 2(x+3)(x+5)=0 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系 命题角度1 直接利用根与系数的关系求两根之和和两根之积 2. 已知x₁，x₂是方程x²-20x-25=0的两个实数根，则x₁+x₂的值为 （ ） A. -25 B. -20 C. 20 D. 25 3. 一元二次方程x²-4x+3=0的两个实数根分别为x₁，x₂，则x₁x₂的值为 （ ） A. -4 B. -3 C. 4 D. 3 4. 已知一元二次方程x²-3x+1=0的两个实数根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂-x₁x₂的值为________． 5. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x²+4x-5=0； （2）2x²+4x=3． 命题角度2 利用根与系数的关系求代数式的值 6. 若方程x²-x-2=0的两个根分别是x₁和x₂，则x₁²x₂+x₁x₂²的值为 （ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 7. 已知方程x²-2x-5=0的两根分别为x₁，x₂，则(x₁+1)(x₂+1)的值为________． 8. 已知a，b是方程x²+2x-3=0的两根，则+的值为________． 9. 已知a和b是方程x²+2026x-6=0的两个根，则a²+2025a-b=________． 命题角度3 利用根与系数的关系求方程的根及待定系数的值 10. 若关于x的一元二次方程x²+(a²-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为 （ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0 11. 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2x-m=0的两个实数根，其中x₁=1，则x₂=________． 12. 关于x的一元二次方程x²+mx+2m=0的两个实数根分别为x₁，x₂，若x₁+x₂=1，则方程的两根分别为__________． 13. 已知关于x的一元二次方程3x²-x+c=0的一个根为1，求另一个根和c的值． B 规律方法综合练 训练思维 14. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程可能是 （ ） A. x²+6x+5=0 B. x²-7x+10=0 C. x²-5x+2=0 D. x²-6x-10=0 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x²-10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为________． 16. 方程x²-2024x-2025=0的两个根分别是m，n，则(m²-2023m-2026)(n²-2023n-2026)=________． 17. 已知关于x的一元二次方程x²-px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x₁和x₂． （1）填空：x₁+x₂=________，x₁x₂=________； （2）求+，x₁+的值（用含p的代数式表示）； （3）已知x₁²+x₂²=2p+1，求p的值． 18. 设x₁，x₂是关于x的方程(x-1)(x-2)=m²的两根． （1）当x₁=-1时，求x₂及m的值； （2）求证：(x₁-1)(x₂-1)≤0． C 拓广探究创新练 提升素养 19. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为倍根方程．例如，一元二次方程x²-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x²-6x+8=0是倍根方程． （1）若一元二次方程x²-3x+c=0是倍根方程，则c=________； （2）判断方程x²-x-2=0是不是倍根方程？并说明理由； （3）若关于x的一元二次方程(x-2)(mx-n)=0（m≠0）是倍根方程，求代数式4m²-5mn+n²的值． 参考答案 1. C 2. C 3. D 4. 2 5. （1）两根之和为-4，两根之积为-5；（2）两根之和为-2，两根之积为- 6. C 7. -2 8. 9. 2032 10. B 11. -3 12. -1和2 13. 另一个根为-，c的值为-2 14. B 15. 16. -4048 17. 解：（1）p，1；（2）+=p，x₁+=p；（3）由x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2=2p+1，解得p=3（p=-1时Δ<0舍去）． 18. 解：（1）x₂=4，m=±；（2）略 19. 解：（1）2；（2）方程x²-x-2=0不是倍根方程．理由：x²-x-2=0，即(x+1)(x-2)=0，解得x₁=-1，x₂=2．∵=-2≠2，∴不是倍根方程；（3）4m²-5mn+n²=0． 学科网（北京）股份有限公司 $