2.3一元二次方程的根与系数的关系同步训练 2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程根与系数关系，分层梯度清晰，从基础应用到综合探究，通过运算与推理发展数学思维，强化知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|占比48%，如已知一根求另一根、直接计算两根和积，夯实符号意识| |中档|代数式变形与简单综合|占比32%，如a²+b²等变形、结合判别式，提升运算能力与推理意识| |提升|实际应用与拓展探究|占比20%，如等腰三角形周长、阅读理解构造方程，体现模型意识与创新意识|

2.3一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（　　） A．－3 B．－6 C．3 D．6 2．关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（　　） A． B． C．1 D． 3．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ） A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6 4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m，n的值分别为（　　） A．m=-2，n=8 B．m=-2，n=-8 C．m=2，n=-8 D．m=2，n=8 5．已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则（　　） A． B． C． D． 6．设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．－2 B．2 C．4 D．6 7．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　） A．0 B．-10 C．3 D．10 8．若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（　　） A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3或1 9．已知是方程的两个实数根，则的值等于（　　） A． B．6 C．10 D． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若1和2是方程的两根，则　 　 12．请你构造一个二次项系数为 的一元二次方程，使它的两根分别是2和3：　 　. 13．一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是　 　. 14．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是　 　． 15．设a、b是方程的两个实数根，则的值为　 　. 16．已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．若 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值. 18．用公式法解方程2x2+7x-4=0，并用根与系数的关系检验所求的根是否正确. 19．已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求m的值． 20．在等腰 中， 、 、 的对边分别是a、b、c；已知 ，b、c分别是方程 的两个根，试求 的周长. 21．已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个根. （1）填空：x1+x2=　 　，x1·x2=　 　； （2）求（x1-3）（x2-3）及x12+x22的值. 22．若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则 ．现已知一元二次方程 的两根分别为m，n． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值． 23．已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由． 24．阅读理解： 材料一：若一元二次方程（）的两根为，，则，. 材料二：已知实数，满足，，且，求的值. 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料一得，， ∴. 解决问题： （1）已知实数，满足，，且，求的值； （2）已知实数，满足，，且，求的值. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：设方程的另一根为， 又， 根据根与系数的关系可得：， 解得：，． 故答案为：A． 【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得，据此求解即可. 2．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的乘法 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为， 设另一根为，则， ， . 故答案为：D. 【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算. 3．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴x1+x2=5，x1x2=6， 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵x1+x2=-m=-2+4=2，∴m=-2，x1x2=n=4， ∴m=-2，n=-8. 故答案为：B. 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，依此解答即可. 5．【答案】A 【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得， 所以. 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得，据此可得b的值. 6．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，则 ，， ∴，， ∴， 故答案为： D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得出，据此即可求出结论. 7．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根， ∴， 是的一个根， ， ， . 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可. 8．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根， ∴ a＋b＝2k，ab＝4k ∴＝12 解得， 当时， ∴符合题意， 当时， ∴不符合题意，应舍去， 综上，k的值是﹣1． 故答案为：A 【分析】利用根与系数的关系求出a＋b＝2k，ab＝4k，再利用a2＋b2＝12，可得＝12，求出k的值即可。 9．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：C． 【分析】将所求分式进行通分，得到含有两根之和、两根之积的式子，结合一元二次方程根与系数的关系得出两根之和、两根之积，代入即可求得分式的值。 10．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴， 解得：m>−1且m≠0， ∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴m=2或−1， ∵m>−1， ∴m=2． 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合可得，最后求出m的值即可。 11．【答案】-6 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵1和2是方程的两根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：-6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此求出m、n的值，再代入求解即可. 12．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解： 二次项系数为1的一元二次方程的两个根为2和3， 方程为 ， 故答案为： . 【分析】设方程为ax2＋bx＋c＝0，则由已知得出a＝1，根据根与系数的关系得，2＋3＝−b，2×3＝c，求出即可. 13．【答案】x2+x﹣6＝0 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：设这个方程为ax2+bx+c＝0. ∵该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2， ∴a＝1，＝﹣3+2，＝﹣3×2， ∴b＝1，c＝﹣6， ∴这个方程为x2+x﹣6＝0. 故答案为：x2+x﹣6＝0. 【分析】设这个方程为ax2+bx+c＝0，由于该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，可得a=1，再利用根与系数的关系可求b、c的值，从而得解. 14．【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：由题意得： α＋β=-1，αβ=-2， ∴α＋β－αβ=-1+2=1. 故答案为：1. 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出α＋β和αβ的值，将其代入原式计算，即可求出结果. 15．【答案】2022 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根， ∴a2+a-2022=0，a+b=-1， ∴a2+a=2022， ∴=（a2+a）+（a+b）+1=2022-1+1=2022. 故答案为：2022. 【分析】根据方程根的概念可得a2+a=2022，根据根与系数的关系可得a+b=-1，待求式可变形为(a2+a)+(a+b)+1，据此计算. 16．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；中位数；众数 【解析】【解答】解：一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2， 中至少有一个是2， m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根， ， 综上所述，或， 这组数据是2，2，3，5，3，2或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是， 故答案为：． 【分析】根据众数的定义可得m、n中至少有一个是2，再利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=7，然后分两种情况求出m、n的值，最后利用中位数的定义求解即可。 17．【答案】解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为 则 ， ，即方程的另一个根为 . 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=6，据此可得x2，然后根据x1x2=c可得c的值. 18．【答案】解：∵a=2，b=7，c=-4， ∴b2-4ac=72-4×2×（-4）=81>0， ∴x= = ， ∴x1= ，x2=-4 检验：∵x1+ x2= -4= =- x1·x2= ×（-4）=-2= ， ∴x1= ，x2=-4是原方程的根. 【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】先利用公式法解一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数的关系分别验证即可. 19．【答案】解：∵，是一元二次方程的两根 ∴由根与系数关系得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴ ∴． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】先求出 ，， 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。 20．【答案】解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根， ∴ ， ， 当a=3为其腰时，则b=a或c=a， 此时三角形三边为3，3，9， ∵ ， ∴不能构成三角形； 当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根， ∴ ， 此时三角形三边为6，6，3，周长为 ， 综上， 的周长为15. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【分析】根据根与系数的关系，把b+c和bc表示出来，然后分两种情况讨论，即当a=3为其腰时，当a=3为其底时， 结合等腰三角形的性质分别求出三边长，再根据三角形三边的关系判断三角形是否存在，最后求周长即可. 21．【答案】（1）3；-5 （2）解：∵x1+x2=3，x1·x2=-5， ∴（x1-3）（x2-3）=x1·x2-3（x1+x2）+9 =-5-3×3+9 x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=9+10=19 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：(1) x1+x2=3，x1·x2= -5； 故答案为：3，-5. 【分析】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，依此解答即可. (2)分别把原式变形，再整体代入两根之和与两根之积的值，即可计算出结果. 22．【答案】（1）解：∵已知一元二次方程 的两根分别为m，n， ∴ ． 当 时， ， 解得 ， 经检验， 是方程的根， ∴ （2）解：当 时， ． ∴ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此即可求解； （2）由结合已知，代入计算即可. 23．【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ， 可得k−1≠0， ∴k≠1且 可解得 且k≠1； （2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为 ∵ ∴ ∴ 又∵ 且k≠1， ∴k不存在. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。 24．【答案】（1）解：∵s、t满足，， ∴s、t可看作方程的两实数解， ∴s+t=1，st=， ∴==×1=； （2）解：设t=2q，代入，化简为， 则p与t（即2q）为方程的两实数解， ∴p+2q=3，p•2q=-2， ∴= =13. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）由题意可得s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，由根与系数的关系可得s+t=1，st=，将待求式变形为st(s+t)，据此计算； （2）设t=2q，代入2q2=3q+1中可得t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，由根与系数的关系可得p+2q=3，p•2q=-2，将待求式变形为(p+2q)2-2p·2q，据此计算. 1 学科网（北京）股份有限公司 $