2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课时作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学“一元二次方程的根与系数的关系”同步练，以“基础巩固+能力提升”分层设计，通过概念理解、运算应用到综合拓展的路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|根与系数关系直接应用（求两根和积、简单代数式值）|选择/填空聚焦公式记忆，解答题训练基本变形（如x₁²+x₂²）| |能力提升|含参数问题、复杂代数式（如x₁³+x₂³）、两根符号判断|综合题整合Δ与韦达定理，探究性问题培养逻辑推理（如构造方程）|

第二章 第3节　一元二次方程的根与系数的关系　课时作业 北师大版数学九年级上册　同步课时训练 班级：__________　姓名：__________　得分：__________ ■ 知识点一　根与系数的关系（韦达定理） 知识点归纳 若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）有两个实数根 x₁、x₂（即Δ = b²-4ac ≥ 0），则： 　　 特别地，当二次项系数为1，即方程为 x² + px + q = 0 时，x₁+x₂ = -p，x₁x₂ = q。 使用前提：必须先保证方程有实数根，即Δ≥0，否则x₁、x₂不是实数，谈根与系数关系没有意义。 ■ 知识点二　根与系数关系的应用 知识点归纳 应用一：不解方程，由已知一根求另一根、求参数的值。 应用二：不解方程，求与两根有关的代数式的值，常用变形： 应用三：已知两数，可以构造一个以这两数为根的一元二次方程：x² -（两数之和）x +（两数之积）= 0。 ■ 例题精讲 例1 已知方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，不解方程，求：（1）x₁+x₂；（2）x₁x₂；（3）x₁²+x₂²。 解：由根与系数的关系，x₁+x₂ = 5，x₁x₂ = 6。 （3）x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = 5² - 2×6 = 25-12 = 13。 例2 已知关于x的方程 x² - 3x + k = 0 的一个根是1，求另一个根及k的值。 解：设另一根为x₂，由韦达定理，1×x₂ = k，1+x₂ = 3。 由1+x₂=3，得x₂=2；代入1×x₂=k，得k=1×2=2。 ∴另一个根为2，k=2。 ■ 知识点三　两根符号的判断 知识点归纳 在方程有实数根（Δ≥0）的前提下，可结合 x₁+x₂ 与 x₁x₂ 的符号判断两根的符号情况： ①若 x₁x₂>0 且 x₁+x₂>0，则两根都为正；②若 x₁x₂>0 且 x₁+x₂<0，则两根都为负； ③若 x₁x₂<0，则两根异号；④若 x₁x₂=0，则至少有一根为0。 ■ 基础巩固 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 方程 x² - 3x - 4 = 0 的两根之和与两根之积分别是（　　） A. 3，-4 B. -3，-4 C. 3，4 D. -3，4 2. 已知x₁、x₂是方程 2x² + 4x - 3 = 0 的两根，则 x₁+x₂ 的值为（　　） A. -2 B. 2 C. - D. 3. 若方程 x² + px + q = 0 的两根为 2 和 -3，则p、q的值分别是（　　） A. p=1，q=-6 B. p=-1，q=-6 C. p=1，q=6 D. p=-1，q=6 4. 已知x₁、x₂是方程 x² - 6x + 8 = 0 的两根，则 x₁² + x₂² 的值为（　　） A. 20 B. 36 C. 28 D. 16 5. 以 3 和 -5 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是（　　） A. x² - 2x - 15 = 0 B. x² + 2x - 15 = 0 C. x² - 2x + 15 = 0 D. x² + 2x + 15 = 0 6. 若关于x的方程 x² + (m-1)x + m - 3 = 0 的两根互为相反数，则m的值为（　　） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 方程 x² + 7x - 8 = 0 的两根为x₁、x₂，则 x₁+x₂ = __________，x₁x₂ = __________。 8. 已知x₁、x₂是方程 3x² - x - 2 = 0 的两根，则 + = __________。 9. 若方程 x² - kx - 6 = 0 的一个根是 -2，则k = __________，另一个根是__________。 10. 已知x₁、x₂是方程 x² + 2x - 5 = 0 的两根，则 (x₁-x₂)² = __________。 11. 若方程 2x² + 3x - 1 = 0 的两根为x₁、x₂，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值为__________。 12. 已知两根之和为-4，两根之积为3，则以这两个数为根的一元二次方程是__________（二次项系数为1）。 三、解答题 13. （6分）已知x₁、x₂是方程 x² - 4x - 2 = 0 的两根，求下列各式的值： （1）x₁+x₂与x₁x₂； （2）x₁²+x₂²； （3）+。 14. （6分）已知关于x的方程 x² + px - 6 = 0 的一个根是2，求p的值及方程的另一个根。 15. （6分）已知x₁、x₂是方程 2x² - 5x + 1 = 0 的两根，求 |x₁-x₂| 的值。 16. （6分）已知关于x的方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求k的取值范围； （2）若 x₁² + x₂² = 11，求k的值。 ■ 能力提升 17. （5分）已知一元二次方程 x² - 6x + m = 0 的两根之比为2∶1，求m的值。 18. （5分）已知x₁、x₂是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两根，求 x₁³x₂ + x₁x₂³ 的值。 19. （5分）关于x的方程 x² - 2(m-1)x + m² = 0 有两个实数根x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 8，求m的值。 20. （5分）已知x₁、x₂是方程 x² + 3x - 2 = 0 的两根，不解方程，求代数式 x₁² + 4x₁ + x₂ 的值。 21. （5分）已知关于x的方程 x² - (a+2)x + a - 1 = 0。求证：不论a取何值，此方程总有两个不相等的实数根，并用a表示两根之和与两根之积。 22. （5分）已知x₁、x₂是方程 x² - 4x + 1 = 0 的两根，求 (x₁+1)(x₂+1) 的值。 23. （5分）设x₁、x₂是方程 2x² + 3x - 5 = 0 的两根，求 + 的值。 24. （5分）已知方程 x² - 2x + m = 0 的两根同号，求m的取值范围。 25. （5分）已知x₁、x₂是方程 x² - 5x + 3 = 0 的两根，求 x₁³+x₂³ 的值（提示：x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂)）。 26. （5分）若关于x的方程 x² + 2(m-2)x + m² - 4 = 0 有两个正根，求m的取值范围。 27. （5分）已知x₁、x₂是方程 2x² - 6x + 3 = 0 的两根，求 (2x₁-1)(2x₂-1) 的值。 28. （5分）已知x₁、x₂是方程 x² + 2x - 4 = 0 的两根，求 (x₁-1)(x₂-1) 的值。 29. （5分）已知关于x的方程 x² - 2x + 1 - a² = 0 的两根为x₁、x₂，且 x₁ ≠ x₂，若 x₁²+x₂² = 6，求a的值。 30. （5分）已知x₁、x₂是方程 x² - 7x + 12 = 0 的两根，且 x₁ > x₂，求 x₁ - x₂ 的值。 31. （4分）已知关于x的方程 x² - 3x + m = 0 有一个根为0，求m的值及方程的另一个根。 ■ 参考答案与解析 1. 【答案】A 【解析】a=1，b=-3，c=-4，x₁+x₂ = - = -(-3) = 3，x₁x₂ = = -4。 故选 A。 2. 【答案】A 【解析】a=2，b=4，c=-3，x₁+x₂ = - = - = -2。 故选 A。 3. 【答案】A 【解析】由韦达定理，两根之和 = -p，两根之积 = q。 两根之和：2+(-3) = -1，∴-p = -1，解得 p = 1。 两根之积：2×(-3) = -6，∴q = -6。 故选 A。 4. 【答案】A 【解析】a=1，b=-6，c=8，x₁+x₂=6，x₁x₂=8， x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = 36-16 = 20。 故选 A。 5. 【答案】B 【解析】两根之和 = 3+(-5) = -2，两根之积 = 3×(-5) = -15， 以两根为3和-5的方程为：x² -（和）x +（积）= 0，即 x² - (-2)x + (-15) = 0，即 x²+2x-15=0。 故选 B。 6. 【答案】A 【解析】两根互为相反数，即 x₁+x₂ = 0，由韦达定理 x₁+x₂ = -(m-1)， ∴-(m-1) = 0，解得 m = 1。 验证：m=1时，方程为 x²-2=0，Δ=0-4×1×(-2)=8>0，方程有实数根，符合题意。 故选 A。 7. 【答案】-7；-8 【解析】a=1，b=7，c=-8，x₁+x₂ = - = -7，x₁x₂ = = -8。 8. 【答案】- 【解析】a=3，b=-1，c=-2，x₁+x₂ = ，x₁x₂ = -， + = = ÷ (-) = × (-) = -。 9. 【答案】1；3 【解析】把x=-2代入方程：(-2)²-k×(-2)-6=0，即4+2k-6=0，2k=2，解得k=1。 由韦达定理，两根之积 = -6，∴另一根 = -6÷(-2) = 3。 10. 【答案】24 【解析】a=1，b=2，c=-5，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-5， (x₁-x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂ = 4-4×(-5) = 4+20 = 24。 11. 【答案】- 【解析】a=2，b=3，c=-1，x₁+x₂=-，x₁x₂=-， x₁²x₂+x₁x₂² = x₁x₂(x₁+x₂) = (-)×(-) = 。 12. 【答案】x²+4x+3=0 【解析】以两数为根的方程：x² -（和）x +（积）= 0，即 x² -(-4)x +3 = 0，即 x²+4x+3=0。 13. 【答案】见解析 【解析】（1）a=1，b=-4，c=-2，x₁+x₂ = 4，x₁x₂ = -2； （2）x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = 16-(-4) = 20； （3）+ = = = -2。 14. 【答案】p=1；另一个根为-3 【解析】把x=2代入方程：4+2p-6=0，2p=2，p=1。 由韦达定理，两根之积 = -6，∴另一根 = -6÷2 = -3。 15. 【答案】 【解析】a=2，b=-5，c=1，x₁+x₂=，x₁x₂=， (x₁-x₂)² = (x₁+x₂)²-4x₁x₂ = -2 = ， ∴|x₁-x₂| = = 。 16. 【答案】（1）k为任意实数；（2） 【解析】（1）方程有两个实数根，需Δ≥0： Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k²+k) = (2k+1)² - 4k² - 4k = 4k²+4k+1-4k²-4k = 1。 ∵Δ=1>0恒成立，与k的取值无关，∴k可以取任意实数，方程恒有两个不相等的实数根。 （2）由韦达定理，x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k， x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²-2x₁x₂ = (2k+1)²-2(k²+k) = 4k²+4k+1-2k²-2k = 2k²+2k+1 = 11， 整理：2k²+2k-10=0，即k²+k-5=0，由求根公式，。 17. 【答案】8 【解析】设两根为2t和t（t≠0），由韦达定理：2t+t=6，3t=6，t=2， ∴两根为4和2，m = x₁x₂ = 4×2 = 8。 18. 【答案】-6 【解析】a=1，b=-2，c=-1，x₁+x₂=2，x₁x₂=-1， x₁³x₂+x₁x₂³ = x₁x₂(x₁²+x₂²) = x₁x₂[(x₁+x₂)²-2x₁x₂] = -1×(4-2×(-1)) = -1×6 = -6。 19. 【答案】m=2- 【解析】方程有两个实数根，需Δ≥0：[-2(m-1)]²-4m²≥0，即4(m-1)²-4m²≥0， 4[(m-1)²-m²]≥0，(m-1)²-m² = -2m+1 ≥0，解得 m ≤ 。 由韦达定理，x₁+x₂=2(m-1)，x₁x₂=m²， x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²-2x₁x₂ = 4(m-1)²-2m² = 4m²-8m+4-2m² = 2m²-8m+4 = 8， 整理：2m²-8m-4=0，即m²-4m-2=0，由求根公式，m = 2±。 结合 m ≤ ，只有 m = 2-（约等于-0.45）满足条件，2+舍去。 ∴m = 2-。 20. 【答案】-1 【解析】∵x₁是方程x²+3x-2=0的根，∴x₁²+3x₁-2=0，即x₁²=-3x₁+2。 ∴x₁²+4x₁+x₂ = (-3x₁+2)+4x₁+x₂ = x₁+2+x₂ = (x₁+x₂)+2。 由韦达定理，x₁+x₂=-3， ∴x₁²+4x₁+x₂ = -3+2 = -1。 21. 【答案】见解析 【解析】证明：a=1，b=-(a+2)，c=a-1， Δ = [-(a+2)]² - 4×1×(a-1) = (a+2)² - 4(a-1) = a²+4a+4-4a+4 = a²+8。 ∵a² ≥ 0，∴a²+8 ≥ 8 > 0，即Δ>0恒成立， ∴不论a取何值，此方程总有两个不相等的实数根。 由韦达定理，两根之和 x₁+x₂ = a+2，两根之积 x₁x₂ = a-1。 22. 【答案】6 【解析】a=1，b=-4，c=1，x₁+x₂=4，x₁x₂=1。 (x₁+1)(x₂+1) = x₁x₂+x₁+x₂+1 = 1+4+1 = 6。 23. 【答案】- 【解析】a=2，b=3，c=-5，x₁+x₂=-，x₁x₂=-， + = = ， 代入：(-2×(-))÷(-) = (+5)÷(-) = ÷(-) = -。 24. 【答案】0<m≤1 【解析】方程有实数根，需Δ≥0：(-2)²-4×1×m≥0，4-4m≥0，解得m≤1。 两根同号，需x₁x₂>0，即m>0。 综合两个条件，得 0<m≤1。 25. 【答案】80 【解析】a=1，b=-5，c=3，x₁+x₂=5，x₁x₂=3。 x₁³+x₂³ = (x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂) = 5³-3×3×5 = 125-45 = 80。 26. 【答案】m<-2 【解析】设两根为x₁、x₂，由韦达定理：x₁+x₂=-2(m-2)，x₁x₂=m²-4。 ①方程有实数根，需Δ≥0：[2(m-2)]²-4(m²-4)≥0，化简得-4m+8≥0，即m≤2； ②两根都为正，需x₁+x₂>0：-2(m-2)>0，即m<2； ③两根都为正，还需x₁x₂>0：m²-4>0，即m>2或m<-2。 结合①②③，取交集：m<2 且 (m>2或m<-2) 且 m≤2，可得 m<-2。 27. 【答案】1 【解析】a=2，b=-6，c=3，x₁+x₂=3，x₁x₂=。 (2x₁-1)(2x₂-1) = 4x₁x₂-2x₁-2x₂+1 = 4×-2×3+1 = 6-6+1 = 1。 28. 【答案】-1 【解析】a=1，b=2，c=-4，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-4。 (x₁-1)(x₂-1) = x₁x₂-(x₁+x₂)+1 = -4-(-2)+1 = -4+2+1 = -1。 29. 【答案】a=± 【解析】a=1，b=-2，c=1-a²，x₁+x₂=2，x₁x₂=1-a²。 x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²-2x₁x₂ = 4-2(1-a²) = 4-2+2a² = 2+2a² = 6， 解得 a²=2，a=±。 又 x₁≠x₂ 要求 Δ>0，即 4-4(1-a²)>0，化简得 a²>0，即a≠0，与a=±不矛盾，成立。 30. 【答案】1 【解析】a=1，b=-7，c=12，x₁+x₂=7，x₁x₂=12。 (x₁-x₂)² = (x₁+x₂)²-4x₁x₂ = 49-48 = 1， ∵x₁>x₂，∴x₁-x₂>0，∴x₁-x₂ = = 1。 31. 【答案】m=0；另一个根为3 【解析】把x=0代入方程：0-0+m=0，解得m=0。 代入m=0，方程为x²-3x=0，即x(x-3)=0，解得x=0或x=3， ∴另一个根为3。 学科网（北京）股份有限公司 $