2.2一元二次方程的解法同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.2 一元二次方程的解法 同步训练 第1课时 用配方法解较简单的一元二次方程 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 直接开平方法 1. 一元二次方程x²-1=0的解是__________． 2. 若关于x的一元二次方程(x+3)²=c-1有解，则c的取值范围是__________． 3. 一元二次方程(x+1)²=4用直接开平方法转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=2，则另一个一元一次方程是 （ ） A. x-1=-2 B. x-1=2 C. x+1=-2 D. x+1=2 4. 用直接开平方法解下列方程： （1）(2x-1)²=36； （2）2(x-1)²-18=0． 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 5. 用配方法解方程x²+8x=1时，需要两边同时加上 （ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 6. 把多项式x²-3x+4进行配方，结果为 （ ） A. (x-3)²-5 B. (x-)²+ C. (x-)²+ D. (x+)²+ 7. 解方程：x²-8x-9=0． 解：移项，得__________．两边都加________，得__________．左边写成完全平方的形式，得__________．两边开平方，得__________，即x-4=5，或x-4=-5．所以x₁=________，x₂=________． 8. 用配方法解下列方程： （1）x²-2x=4； （2）x²+6x-2=0； （3）x²+4x-2=0； （4）x²-x-1=0； （5）x²+3x-2=0． B 规律方法综合练 训练思维 9. 已知方程x²-4x+1=■，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成(x-m)²=5的形式，则印刷不清楚的数是 （ ） A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 10. 小明设计了一个魔术盒，当任意的实数对(a,b)进入其中，会得到一个新的实数a²-2b+3．若实数对(x,2x)进入其中，得到-1，则x=________． 11. 解下列方程： （1）(y+2)²-6=0； （2）x²-2 x-3=0； （3）(x+3)(x+2)=1． 12. 如图2-2-1是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m，宽为22 m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448 m²，求停车场内车道的宽度． C 拓广探究创新练 提升素养 13. 我们知道"a²≥0"，其中a可以表示任意实数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称"配方法"． 例如：x²+2x+2=x²+2x+1+1=(x+1)²+1． ∵(x+1)²≥0，∴(x+1)²+1≥1，即x²+2x+2≥1． 试利用"配方法"解决以下问题： （1）填空：x²-2x+4=A²+B，则代数式A=________，常数B=________； （2）已知a²+b²=6a-4b-13，则aᵇ=________； （3）已知代数式M=4x-5，N=2x²-1，试比较M，N的大小． 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1. 用配方法解方程-2x²+3x-1=0的第一步是在方程两边都除以 （ ） A. 2 B. -2 C. D. - 2. 用配方法将方程2x²-4x-3=0变形，结果正确的是 （ ） A. 2(x-1)²=4 B. (x-1)²= C. 2(x-1)²= D. (x-1)²=5 3. 将方程2x²-3x+1=0化为(x+m)²=n的形式：____________________． 4. 用配方法解方程：3x²-10x+6=0． 解：二次项系数化为1，得x²- x+2=0； 配方，得x²- x+(______)²-(______)²+2=0， 即(x-______)²-______=0，移项，得(x-______)²=______， 开方，得x-______=______，∴x₁=______，x₂=______． 5. 用配方法解下列方程： （1）2x²-4x+1=0； （2）2x²-3x+=0； （3）4x²+2x-1=0； （4）3x²-3=8x． B 规律方法综合练 训练思维 6. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图2-2-2），老师看后，发现最后结果是错误的，并说："错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．"则这位同学是 （ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 用配方法解一元二次方程-3x²+12x-2=0时，将它化为(x+a)²=b的形式，则a+b的值为________． 8. 如图2-2-3，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等，且都与矩形的边平行），水渠把耕地分成面积均为885 m²的6个矩形小块，则水渠的宽度为________m． 第3课时 用公式法解一元二次方程 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 用公式法求解一元二次方程 1. 用公式法解一元二次方程3x²+3=2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是 （ ） A. a=3，b=2，c=3 B. a=-3，b=2，c=3 C. a=3，b=2，c=-3 D. a=3，b=-2，c=3 2. 用公式法解方程2x²+3x=2时，b²-4ac的值是 （ ） A. 25 B. 1 C. -4 D. -1 3. 以x=(4±为根的一元二次方程可能是 （ ） A. x²-4x-c=0 B. x²+4x-c=0 C. x²-4x+c=0 D. x²+4x+c=0 4. 用公式法解方程：x²+3x=11． 解：将方程化为一般形式，得__________，这里a=______，b=______，c=______． ∵b²-4ac=______＞0， ∴x=(-b±=__________，即x₁=__________，x₂=__________． 5. 用公式法解方程： （1）2x²+x-2=0； （2）4x²+12x+9=0； （3）3x²-6x+1=2； （4）2x(x+2)=-3+x． 知识点2 一元二次方程根的判别式 6. 一元二次方程x²-3x+2=0根的判别式的值是 （ ） A. 17 B. 11 C. 1 D. -1 7. 关于一元二次方程x²-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 8. 若关于x的一元二次方程x²+4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 9. 利用根的判别式判断下列一元二次方程的根的情况． （1）9x²+6x+1=0； （2）2x²-5x+4=0． B 规律方法综合练 训练思维 10. 关于x的方程x²+mx-2=0根的情况是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11. 若关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k值为________． 12. 若关于x的一元二次方程(a-1)x²+(a-1)x-=0有两个相等的实数根，则a=________． 13. 用公式法解方程： （1）(x-1)(1+2x)=2； （2）3x²+1=2 x． 14. 已知关于x的一元二次方程x²-(2m+1)x+(m-1)=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该一元二次方程的一个根为x=1，求m的值． C 拓广探究创新练 提升素养 15. 用整体换元法解特殊的一元二次方程． 【例】解方程：(x-1)²-5(x-1)+4=0． 解：设x-1=y，则原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4． 当y=1时，x-1=1，解得x=2；当y=4时，x-1=4，解得x=5． ∴原方程的解为x₁=2，x₂=5．上述解法称为"整体换元法"． （1）请运用"整体换元法"解方程：(2x-5)²-(2x-5)-2=0； （2）已知x²-xy-y²=0，求的值． 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 求ab=0型一元二次方程的解 1. 方程(4x-1)(x+3)=0可以转化成两个一元一次方程，其中一个方程是4x-1=0，则另一个方程是________． 2. 方程x(x+5)=0的根是 （ ） A. x=5 B. x=-5 C. x₁=0，x₂=5 D. x₁=0，x₂=-5 3. 已知一元二次方程(x+3)(x+k)=0有一个根是2，则k的值为 （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 4. 一元二次方程x²-2x=0的解是 （ ） A. x₁=3，x₂=1 B. x₁=2，x₂=0 C. x₁=3，x₂=-2 D. x₁=-2，x₂=-1 5. 用因式分解法解方程(x-1)(x+2)=x-1，要转化成两个一元一次方程，其中一个方程是x-1=0，另一个方程是________． 6. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x(x-1)=3(x-1)，解答过程如下所示： 其中完全正确的是________． 7. 用因式分解法解下列方程： （1）(x-3)²-(x-3)=0； （2）7x(5x+2)=6(5x+2)； （3）x(x-2)=2x-4； （4）2(x-1)²=x²-1． 知识点3 灵活运用四种方法解一元二次方程 8. 用适当的方法解方程： （1）2x²=32； （2）x²-4x+1=0； （3）2x²-7x-3=0； （4）9x²-(x-3)²=0． B 规律方法综合练 训练思维 9. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是 （ ） A. (x+1)(x-3)=2 B. 2(x-2)²=x²-4 C. x²+3x-1=0 D. 5(2-x)²=3 10. 在实数范围内，对于任意实数m，n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n=mⁿ+mn-3．例如：4⊗2=4²+4×2-3=21．若x⊗2=-3，则x=________． 11. 解方程： （1）x(x-4)-4+x=0； （2）x²-6x+9=(5-2x)²． 12. 图2-2-5是一个长为30 m、宽为20 m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方（空白部分）种植花草，要使种植花草部分的面积为532 m²，求小道的宽． 参考答案 第1课时 用配方法解较简单的一元二次方程 1. x₁=1，x₂=-1 2. c≥1 3. C 4. （1）x₁=，x₂=-；（2）x₁=4，x₂=-2 5. C 6. B 7. x²-8x=9；16；x²-8x+16=25；(x-4)²=25；x-4=±5；9，-1 8. （1）x₁=1-，x₂=1+；（2）x₁=-3+，x₂=-3-；（3）x₁=-2，x₂=--2；（4）x₁=(1+ 9. D 10. 2 11. （1）y₁=2-2，y₂=-2-2；（2）x₁=+，x₂=-+；（3）x₁=-，x₂=-- 12. 解：设车道宽度为x m，则停车位的总面积为(40-2x)(22-2x)=448，整理得x²-31x+148=0，解得x₁=4，x₂=37（舍去）．答：车道宽度为4 m． 13. 解：（1）x-1，3；（2）；（3）M＜N． 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 1. B 2. B 3. (x-)²= 4. ，，，，，，，±，(5+ 5. （1）x₁=1+，x₂=1-；（2）x₁=(3+ 6. B 7. 8. 1 第3课时 用公式法解一元二次方程 1. D 2. A 3. A 4. x²+3x-11=0；1，3，-11；53；(-3±；(-3+，(-3- 5. （1）x₁=(-1+，x₂=(-1-；（2）x₁=x₂=-；（3）x₁=(3+2 6. C 7. A 8. m＞-4 9. （1）此方程有两个相等的实数根；（2）此方程无实数根 10. A 11. -1（答案不唯一） 12. -1 13. （1）x₁=-1，x₂=；（2）x₁=x₂= 14. （1）m的取值范围是全体实数；（2）-1 15. （1）x₁=3.5，x₂=2；（2）(1+ 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 1. x+3=0 2. D 3. B 4. B 5. x+1=0 6. 乙 7. （1）x₁=3，x₂=4；（2）x₁=-，x₂=；（3）x₁=x₂=2；（4）x₁=1，x₂=3 8. （1）x₁=4，x₂=-4；（2）x₁=2+，x₂=2-；（3）x₁=(7+，x₂=(7-；（4）x₁=，x₂=- 9. B 10. -2 11. （1）x₁=4，x₂=-1；（2）x₁=2，x₂= 12. 解：设小道宽为x m，则(30-2x)(20-2x)=532，整理得x²-25x+34=0，解得x₁=1，x₂=34（舍去）．答：小道宽为1 m． 学科网（北京）股份有限公司 $