2.2 一元二次方程的解法 同步培优练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层覆盖一元二次方程解法全流程，从基础解法到综合应用，适配新授课分层巩固需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一解法（直接开平方、配方法等）|选择填空为主，直接考查解法步骤| |中档|方法选择与简单应用（根的判别式）|结合相反数、因式分解情境，强化方法迁移| |提升|综合应用与拓展（含参问题、换元法）|通过阅读材料、整体换元，培养创新意识与模型意识|

2.2 一元二次方程的解法同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解是(    ) A. B. ， C. ， D. 没有实数根 2.用配方法解方程，应在方程两边同时加上(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程时，原方程应变形为(    ) A. B. C. D. 4.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列选项正确的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.用公式法求得一个一元二次方程的根为，该方程为(    ) A. B. C. D. 6.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由的值确定 7.一元二次方程的解为(    ) A. B. C. ， D. ， 8.若代数式与的值互为相反数，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9.用因式分解法解方程，将等号左边分解后有一个因式是，另外一个因式是，则的值为  (    ) A. B. C. D. 10.解下列方程：较简便的方法依次是(    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 直接开平方法，公式法，因式分解法 C. 因式分解法，公式法，配方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 二、填空题： 11.方程的解是          ． 12.一元二次方程的两根是          ． 13.若方程的一根为，则它的另一根为          ． 14.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为          ． 15.等腰三角形三边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为          ． 三、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.用适当方法解下列方程： ； ； ； ． 17.利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： ． 18.已知关于的方程． 当取何值时，方程有两个不相等的实数根 当取何值时，方程有实数根 19.已知关于的一元二次方程． 求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为，试求的值． 20.阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据以上解法，探究下面的问题： 若，求，的值 已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 21.用整体换元法解特殊的一元二次方程． 例  解方程：． 解：设， 则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． 所以原方程的解为，． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： 已知，求的值． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. ，  12. ，  13.   14.   15.   16. 【小题】 解：，，，． 【小题】 ，，，，，． 【小题】 ，整理得，，，，，，． 【小题】 可化为  因式分解，得，  即，  解得，．  17. 【小题】 解：，方程有两个不相等的实数根 【小题】 解：方程化为，，方程有两个相等的实数根 【小题】 解：方程化为，，方程没有实数根．  18. 【小题】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且，解得且． 当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小题】 当时，原方程为，解得． 当时，，解得且． 综上所述，当时，方程有实数根．  19. 【小题】 ， ，，， ，该一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【小题】 ，，，当为对角线时，，解得不符合题意，舍去；当为对角线时，，解得综合可得，的值为．  20. 【小题】 解：， ， ， ，， ，． 【小题】 ， ， ， ， ，，，． 是等腰三角形，或． 经检验，和时，均符合三角形的三边关系． 的值为或．  21. 【小题】 设，则原方程变形为，解得，． 当时，，解得 当时，，解得． 原方程的解为，． 【小题】 将原方程两边都除以，得． 设，则原方程可化为， 解得，， 的值为或．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $