2.2 一元二次方程的解法 综合测评2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，分层覆盖基础运算、方法综合到实际应用，梯度合理，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法、配方法、公式法等单一解法|单选1-4直接考查解法步骤，填空11配方法变形，夯实运算基础| |中档层|解法综合应用、根的判别式、换元法|单选5-8结合配方比较大小、换元转化，解答17根的判别式与整数根，培养推理能力| |拔高层|实际问题建模、探究性问题|解答20梯子滑动问题、21配方法求最值，体现用数学眼光观察现实世界，发展应用意识|

2.2 一元二次方程的解法 综合测评2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．方程的解是(    ) A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（　　） A． B． C． D． 8．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．把方程化成的形式，则m的值是________． 12．若，设，原式可化为，即，解得，，故的值为3或.仿照上面的方法，计算当时，的值为________. 13．当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 14．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 三、解答题 16．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根； (2)若此方程的两根均整数，求整数k的值， 18．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 19．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 20．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 21．【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D A C B C A B 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．先移项，然后直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴Δ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 4．【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，只需计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程的两根． 【详解】解：记，则即， ∵方程的两根分别为， ∴或， 故，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程．能根据已知方程的解得出或是解此题的关键． 8．【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 9．【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且，解得且， 去分母得，解得， ∵分式方程有正数解， ∴且，解得且， ∴的范围为且，， ∴符合条件的整数的值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【详解】解：原方程化简为， 移项得， 配方得，即， 但步骤②直接写为，即加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴ 错误从步骤②开始． 故选：B． 11．【答案】3 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 12．【答案】5 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程．设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．注意：． 【详解】解：设， 则原方程可变形为，即， ∴， ∴， 解得：； 又∵ ∴． 故答案为：5． 13．【答案】 5 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 14．【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了实数的新定义运算，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据新定义，转化为一元二次方程，先化为一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，，， ， ， 即，， 故答案为：或． 15．【答案】或 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，由判别式可得k的取值范围，再由k是正整数可得k的值，再把k的值代入原方程求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k为1或2， 当时，原方程为，解得或，此时不符合题意； 当时，原方程为，解得或，此时符合题意； ∴原方程的根为或， 故答案为：或． 16．【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 17．【答案】(1) 证明：∵              ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根． (2)k的值为或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先计算判别式的值得到 ，然后根据非负数的性质得到△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用因式分解法求得的解为，，然后根据整数的整除性可确定整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：原方程的两根为， 即，          ∵方程的根为整数，k为整数， ∴k的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程， ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 19．【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 20．【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2） 略 21．【答案】(1)；；； (2) (3) 【难度】0.53 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由 可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $