2.4 一元二次方程的应用 综合测评2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 综合测评2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（    ） A．10 B．8 C．7 D．5 3．某品牌新能源汽车在海南的月销售量从月份的辆增加到月份的辆．设该新能源汽车月份至月份的销售量平均每月的增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 5．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 6．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 10．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是________元，第二次降价后每盒的价格是________元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程：________． 11．伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段___________    12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 13．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 三、解答题 14．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 15．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 16．在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)、出发时，的面积是多少？ (2)、出发几秒时，的面积是？ 17．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    18．如图，正方形的边长为1，点是边上一点，过点作． (1)设以线段，为邻边的矩形的面积为，以为边的正方形的面积为，且，求的长； (2)连结，，若是的中点，交于点，连结，求证：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C C A C B 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设金色纸边的宽度为厘米，得到，进而得出结论． 【详解】设金色纸边的宽度为厘米， 则， 化简为：， 解得：（不合题意舍去），， 故选：D． 【点睛】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 根据平均每月增长率模型，列方程即可． 【详解】解：根据题意可得． 故选：B. 4．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设小道的宽为，将小道平移后根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为，平移后的种植面积如图阴影所示， 则种植部分的长为，宽为， 由题意得：． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可． 【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，， 则原来的两位数为62或26， 故选：C 6．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据利润公式：利润（售价进价）销量，结合降价后售价为元和销量千克，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵售价每千克降低x元， ∴实际售价为元，每千克利润为元，每天销量为千克， 依题意，， 即， 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 9．【答案】9 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 10．【答案】 ； ； ． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程． 【详解】解：第一次降价后每盒价格为元， 则第二次降价后每盒价格为元， 即． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于48.6即可． 11．【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ， 则方程的其中一个正根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义． 12．【答案】11 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 13．【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2)1728元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 15．【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）点从点开始移动，速度是，点从点开始移动，速度是，时可求出，的长度，且，由此即可求解； （2）根据题意求出点、移动的时间范围，设、出发几秒时，且，由此求出用字母表示的，的长度，即，，根据三角形的面积列出关于的一元二次方程，解方程并判断的取值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，，， ∴，且， ∴在中，， ∴、出发时，的面积是． （2）解：∵，，点从点开始移动，速度是，点从点开始移动，速度是，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动， ∴点从点开始移动，移动的时间为；点从点开始移动，移动的时间是， ∴设、出发几秒时，且，的面积是， ∴，， ∴，整理得，，解方程得，，（舍去）， ∴、出发几秒时，的面积是． 【点睛】本题主要考查动点在三角形中运动的规律问题，掌握动点运动的规律与三角形边长的关系列方程是解题的关键． 17．【答案】最小数为8，最大数为18 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 18．【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵H是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴（）， ∴， ∴． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据题意，设，则，然后根据面积公式和，列出方程求解即可得到答案； （2）连接，由线段垂直平分线的判定和性质可得，易证，可得，继而可证． 【详解】（1）解：设， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍）， ∴． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $