3.2代数式的值（思维导图+知识归纳+题型典例+能力提升练+课后练习）同步备课2026-2027学年（人教版）七年级数学上册

彭老师数学工作室 第三章：代数式 3.2代数式的值 内容导航 思维导图 1 知识点一 代数式的值 1 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 1 【题型2 程序流程图与代数式求值】 2 【题型3 数字类规律探索】 3 【题型4 图形类规律探索】 3 知识点二 整体代入求值 4 【题型5 已知式子的值，求代数式的值】 5 能力提升 5 课后检测 8 思维导图 知识点一 代数式的值 1. 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： （1）代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 （2）抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 （3）计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 1．当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 2．在，，，，，，，中，正数有个，负数有个，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【题型2 程序流程图与代数式求值】 1．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 3．如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【题型3 数字类规律探索】 1．2025年12月份月历表如图，任意框选出表中竖列上三个相邻的数，则这三个数的和可能是（     ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．75 B．65 C．54 D．21 2．观察下面一列数：，，，，，，…，则第个数是（     ） A． B． C． D． 3．观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律得出的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．8 D．6 4．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【题型4 图形类规律探索】 1．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（     ）个． A． B． C． D． 4．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 知识点二 整体代入求值 1. 整体代入法：无需单独求解单个字母的值，将已知完整式子视为一个整体，对所求代数式变形凑配后整体代换计算。适用于无法单独求字母、单独求解运算复杂的题型，比如：题目只给出：、、、等整体式子的值，求复杂代数式的值。 例：已知，则 、。 【题型5 已知式子的值，求代数式的值】 1．若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 2．若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A．0 B． C．2 D．4 3．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 4．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 能力提升 一、单选题 1．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，型号6的大桌子可以坐的人数是（     ） A．28 B．30 C．32 D．36 2．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 4．下列是由一些火柴搭成的图案：图用了根火柴，图用了根火柴，图用了根火柴，按照这种方式摆下去，摆第个图案用多少根火柴棒（     ） A． B． C． D． 5．如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 6．从1到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．5 D．9 二、填空题 7．若m，n为整数，且，则的值为______． 8．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是数轴负半轴上到原点的距离为的数，则代数式的值是_______． 9．已知，，，，…，依此类推，则等于_________． 10．当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：1的“和1负倒数”为；的“和1负倒数”为．若，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”……依次类推，则________；________ 三、解答题 11．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… (1)请写出第5个等式：　　　　　　； (2)请写出第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律计算：． 12．观察下列等式： 第1个等式：；　第2个等式：；　第3个等式：；…… (1)请写出第4个等式：　　　　　　　　　　　　　； (2)请写出第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律计算：＋＋＋…＋． 13．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额； (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由． 课后检测 一、单选题 1．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 4．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 5．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 6．下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（     ）个菱形 A．16 B．19 C．22 D．25 7．当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 二、填空题 9．若有理数，满足，则的相反数为_________． 10．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，第2016个格子中数为 _______ ． 11．若，则代数式的值是________． 12．观察下列算式： …． 计算：( )． 三、解答题 13．观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填空： ； ； (2)猜想并写出： ； (3)用你发现的规律计算：． 14．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数，求的值． 15．如图，把数字，2，，4，，…，998，，1000，按下图的方式排成一个长方形的阵列．如图，用一个十字形框，可以框住5个数，平移十字形框，可以框住另外的5个数． (1)求图中框出的5个数之和； (2)设所框住的5个数中，中间的数字为a，求所框住的5个数之和； (3)所框住的5数之和能否等于861？若能请求出所框住的5个数，若不能，请说明理由． 16．某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $彭老师数学工作室 第三章：代数式 3.2代数式的值 内容导航 思维导图 1 知识点一 代数式的值 1 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 1 【题型2 程序流程图与代数式求值】 3 【题型3 数字类规律探索】 5 【题型4 图形类规律探索】 7 知识点二 整体代入求值 9 【题型5 已知式子的值，求代数式的值】 9 能力提升 11 课后检测 18 思维导图 知识点一 代数式的值 1. 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： （1）代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 （2）抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 （3）计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 1．当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】观察到时，代入计算更简便． 【详解】解：当时，． 2．在，，，，，，，中，正数有个，负数有个，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】注意0既不是正数也不是负数，分别统计正负数个数后计算的值． 【详解】解：正数有，，，，共4个，故， 负数有，，，共3个，故， ∴． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，代入代数式计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 4．若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【答案】C 【分析】由得同号，结合绝对值的取值分两种情况计算． 【详解】解：， ； ， ； ， 同号， 故当，时，； 当，时，． 的值为或． 【题型2 程序流程图与代数式求值】 1．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 3．如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意找出规律，进而解题． 【详解】解：第三次输入4，输出的数为； 第四次输入1，输出的数为； 第五次输入4，输出的数为； ...... ∴输出的数分别为， 即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4， ∴第2026次输出的值是． 4．按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 【题型3 数字类规律探索】 1．2025年12月份月历表如图，任意框选出表中竖列上三个相邻的数，则这三个数的和可能是（     ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．75 B．65 C．54 D．21 【答案】C 【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是，下面的数是．则这三个数的和是，因而这三个数的和一定是3的倍数，然后逐项检验即可． 【详解】解：设中间的数是x，则上面的数是，下面的数是． 则这三个数的和是， ∵，而日历中25下方没有数据， ∴选项A不符合题意； ∵，即65不能被3整除， ∴选项B不符合题意； ∵，日历中18下方是25，上方是11， ∴选项C符合题意； ∵，而日历中7上方没有数据， ∴选项D不符合题意． 2．观察下面一列数：，，，，，，…，则第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，第个数表示为， 第个数是， 故选：A． 3．观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律得出的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先观察2的正整数次幂的末位数字，找出循环周期；再用指数除以周期，根据余数判断的末位数字． 【详解】解：，末位数字， ，末位数字， ，末位数字， ，末位数字， ，末位数字， ，末位数字， ， 末位数字以，，，循环，周期为 ∵， ∴的末位数字是8． 4．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【答案】B 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 【题型4 图形类规律探索】 1．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找到方向的变化规律，根据变化规律进行解答即可． 【详解】解：由图形可知：0、4、8、12、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 1、5、9、13、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 2、6、10、14、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 3、7、11、15、…每个点到对应的下一个点的方向相同． ，到的方向与1到2的方向相同，到的方向与2到3的方向相同．由图形可知1到2的方向向右，2到3的方向向下，则到的方向向右，到的方向向下． 2．如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察所给图形，找出用不同数量等边三角形拼接而成的四边形周长规律，进而根据规律求解． 【详解】解：根据题图可知， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 则用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为， 当时，， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为． 3．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中小个数的变化规律求出第个图形的小的个数． 【详解】解：第个图形的小共有个， 第个图形的小共有个， 第个图形的小共有个， ， 第个图形的小共有个． 4．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 知识点二 整体代入求值 1. 整体代入法：无需单独求解单个字母的值，将已知完整式子视为一个整体，对所求代数式变形凑配后整体代换计算。适用于无法单独求字母、单独求解运算复杂的题型，比如：题目只给出：、、、等整体式子的值，求复杂代数式的值。 例：已知，则 、。 【题型5 已知式子的值，求代数式的值】 1．若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义和倒数的定义可知、，整体代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 将，代入则， 可得： ． 2．若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据相反数与倒数的意义得到、的值，结合m的取值代入代数式计算． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∵m是最大的负整数， ∴， ∴． 3．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先根据相关定义确定各未知量对应的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数， ∴，，，， ∴，， 因此，且， ∴． 4．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【答案】B 【分析】将代数式变形为含的整体，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 能力提升 一、单选题 1．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，型号6的大桌子可以坐的人数是（     ） A．28 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】先计算型号1、型号2、型号3的大桌子可以坐的人数，从而得出规律即可． 【详解】解：型号1的大桌子可以坐的人数是（人）， 型号2的大桌子可以坐的人数是（人）， 型号3的大桌子可以坐的人数是（人）， …， 故型号6的大桌子可以坐的人数是（人）． 2．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 3．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列中各分数的分子统一为4，观察分母的变化规律． 【详解】解：把数列中各分数的分子统一为4，得，，，，．观察可得分母依次增加3． ∴第个数的分母为． 即第个数为． 当时，． 4．下列是由一些火柴搭成的图案：图用了根火柴，图用了根火柴，图用了根火柴，按照这种方式摆下去，摆第个图案用多少根火柴棒（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，每增加一个五边形，火柴棒数量增加4根，据此归纳出第个图案火柴棒数量的通项公式，将代入计算即可. 【详解】解：图①用了5根火柴，即； 图②用了9根火柴，即； 图③用了13根火柴，即； …… ∴第个图案用的火柴根数为. 当时，火柴根数为． 5．如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图表，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到10个杯子叠在一起的高度． 【详解】解：由图表可得，每增加一个杯子，高度增加（）， 经验证符合题意，则10个杯子叠加时高度（）． 6．从1到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】自然数平方的个位数字每10个数为一个循环周期，只需计算一个周期内平方数的个位数字之和，再根据2020包含的周期数计算总和的个位数字即可． 【详解】解：∵中各数平方的个位数字依次为：， 将个位数字求和得：， 即每10个连续自然数的平方和的个位数字为5， 又∵，总个位数字为个5相加的个位数字， ∴，个位数字为0， 因此所求平方和的个位数是0． 二、填空题 7．若m，n为整数，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】因为，为整数，所以和都是非负整数，结合两个绝对值的和为，分两种情况讨论计算即可. 【详解】解：，且，为整数， 和都是非负整数， 分两种情况讨论：①当，时， 可得，，即或， 此时，或； ②当，时， 可得，即或，， 此时，或； 综上，的值为或. 8．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是数轴负半轴上到原点的距离为的数，则代数式的值是_______． 【答案】或 【分析】根据相反数，倒数，绝对值，数轴的相关性质得到，，，的值，分两种情况代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是数轴负半轴上到原点的距离为的数， ∴，，，， 当时，原式， 当时，原式， 综上，代数式的值为或． 9．已知，，，，…，依此类推，则等于_________． 【答案】 【分析】按递推公式计算前几项，找出循环周期，计算除以周期的余数，根据余数得到对应项的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得数列每项为一个循环周期， ， ． 10．当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：1的“和1负倒数”为；的“和1负倒数”为．若，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”……依次类推，则________；________ 【答案】 【分析】根据新定义依次计算前几个数，找出循环周期，再根据周期计算对应结果. 【详解】解：∵，当时，的“和负倒数”为， ∴， ， ， 由此可得，结果每个数为一个循环，即， ， ∵， ∴， ∵，， ∴原式. 三、解答题 11．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… (1)请写出第5个等式：　　　　　　； (2)请写出第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)当n为奇数时，第n个等式为， 当n为偶数时，第n个等式为； (3) 【分析】（1）根据所给等式写出第5个等式即可； （2）观察可知，第n个等式左边有n个从1开始的连续奇数（不看符号）进行加法运算，其中奇数项为正，偶数项为负，如果n为奇数，等式右边为n，若n为偶数，等式右边为，据此可得答案； （3）根据（2）的规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：； （2）解：由题意得，当n为奇数时，第n个等式为， 当n为偶数时，第n个等式为； （3）解：从1到99共有50个奇数，且， 故由（2）得． 12．观察下列等式： 第1个等式：；　第2个等式：；　第3个等式：；…… (1)请写出第4个等式：　　　　　　　　　　　　　； (2)请写出第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律计算：＋＋＋…＋． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找出规律即可求解； （2）观察已知等式，归纳出第 个等式的形式； （3）利用（1）的等式将每一项拆成两个分数的差，通过求和相消得到结果． 【详解】（1）解：第1个等式：；　 第2个等式：；　 第3个等式：； …… ∴第4个等式：； （2）解：观察所给等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 由此归纳，第个等式为：； （3）解：根据（2）的结论， ． 13．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额； (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由． 【答案】(1) (2)元 (3)， ， ∵， ∴实行每周计件工资制此小组的工资总额更多 【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电子产品的数量，再求和即可； （2）天的生产电子产品的总数元超出部分的奖励罚款，可得工人这一周的工资总额； （3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∴本周天生产电子产品的总量为个； （2）解：当时，， ， ∴该厂工人这一周的工资总额是9250元； （3）略 课后检测 一、单选题 1．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，． 2．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 3．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 4．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， ∵， 第2026次输出的结果是1． 5．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解． 【详解】解：第一个图中最上方的数据， 第二个图中最上方的数据， 第三个图中最上方的数据， … 第个图中最上方的数据， 故选：A． 6．下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（     ）个菱形 A．16 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【分析】观察可知，每个图形的菱形个数等于其序号的3倍加1，据此规律可得答案． 【详解】解：第①个图形共有个菱形， 第②个图形共有个菱形， 第③个图形共有个菱形， 第④个图形共有个菱形， ……， 以此类推，可知，第⑦个图形共有个菱形． 7．当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】根据如图的程序，分别求出前6次的输出结果各是多少，总结出规律，求出第2017次输出的结果． 【详解】解：第 1 次输出的结果为 27， 第 2 次输出的结果为 9， 第 3 次输出的结果为， 第 4 次输出的结果为， 第 5 次输出的结果为， 第 6 次输出的结果为， ， 从第 3 次开始，输出的结果以循环， ∵， ∴第2017次输出的结果为3． 二、填空题 9．若有理数，满足，则的相反数为_________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性求出和的值，再计算后得到其相反数． 【详解】解：∵任意有理数的绝对值都是非负数，可得， 又∵ ∴， 即， 解得， ∴ ∴的相反数为． 10．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，第2016个格子中数为 _______ ． 【答案】2 【分析】根据题意，任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，根据有理数的加法运算列出等式，可求得的值，进而求得的值，再根据规律找到第2016个格子中的数． 【详解】解：因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 所以， 所以， ， 所以， 所以，数据从左到右依次为， 第6个数与第3个数相同，第9个数与第6个数相同，所以， 所以，每3个数“”为一个循环组依次循环， 因为， 所以第2016个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为2． 11．若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】运用整体思想是解答本题的关键．代数式中是的倍，故用整体代入法即可解决． 【详解】解：． 12．观察下列算式： …． 计算：( )． 【答案】1016064 【分析】先观察算式找出规律，从1开始连续个奇数的和等于，再求出2015对应的，计算平方得到结果． 【详解】解：观察给出的算式可得： 共有2个连续奇数相加，和为； 共有3个连续奇数相加，和为； 共有4个连续奇数相加，和为； 因此得出规律：从1开始，连续个奇数的和等于． 设2015是第个奇数，可得， 解得， 因此． 三、解答题 13．观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填空： ； ； (2)猜想并写出： ； (3)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)，；，； (2)； (3)． 【分析】（1）观察题干给出的等式，总结规律：，将、代入规律直接填空． （2）把上面发现的规律推广到一般形式，用字母表示，写出代数式． （3）先利用猜想得到的公式把每一项拆成两个分数相乘，再展开连乘算式，通过约分化简式子，最后计算结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴，； （2）解：∵， ， ， ， ，， ， ∴； （3）解： ． 14．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数，求的值． 【答案】的值为或 【分析】结合最大负整数的特殊属性先确定各字母的对应取值，再分情况代入代数式完成计算． 【详解】解：由题意得：，，，，． 当时，， 当时，， 综上，的值为或． 15．如图，把数字，2，，4，，…，998，，1000，按下图的方式排成一个长方形的阵列．如图，用一个十字形框，可以框住5个数，平移十字形框，可以框住另外的5个数． (1)求图中框出的5个数之和； (2)设所框住的5个数中，中间的数字为a，求所框住的5个数之和； (3)所框住的5数之和能否等于861？若能请求出所框住的5个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)5数之和不能等于861，理由如下： 设所框住的5个数之和为861，则： 由于数列中每行有7个数，且，说明是第41行的最后一个数（第7列），十字形框需要框住中间数左右各一个数，但第7列右侧无数字，因此无法框住右侧数字，故所框住的5个数之和不能等于861． 【分析】（1）直接根据图形读取框内的5个数字，利用有理数加法法则求和． （2）观察数字排列规律，发现每行7个数，奇数为负，偶数为正，设中间数为a，根据上下左右位置关系及符号规律，用含a的代数式表示出其余4个数，进而求和． （3）根据第二问得出的和的表达式列方程求出中间数a，再根据a的绝对值判断其在阵列中  的位置（行、列），验证该位置是否能作为十字框的中心（即不能位于第一列或最后一列）． 【详解】（1）解： （2）由图可得，当中间数字为a时，其余四个数为：，，，，则这五个数的和为： （3）略 16．某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $