2.4.1 圆的标准方程（7个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点____的距离等于___定长___的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 __圆心____和__半径___，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以___原点O___为圆心，半径为的圆. 2．平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在_圆外_______； （2）在圆上，即在___圆上_____； （3）在圆内，即在_圆内_______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 由标准方程确定圆心和半径 基础知识 核心知识 圆的标准方程圆心坐标半径 注意括号内符号与圆心坐标符号相反是半径的平方不等于半径 方法技巧 1将方程整理为标准形式直接读出圆心与半径 2若方程含负号注意坐标符号不要写反 3区分与不要直接把平方项的值当作半径 4若有括号展开先配方再识别圆心半径 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【巩固练习2】（25-26高二下·上海·期中）圆的半径为______． 【巩固练习3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【题型2】 判定点和圆的位置关系 基础知识 核心知识 设点圆心半径 点在圆外 点在圆上 点在圆内 等价判断式点在圆外 方法技巧 1计算点到圆心距离的平方和半径平方比较不开根号简化计算 2直接代入坐标到标准方程左边与比较大小 3看清题目要求判断位置关系不要只写数值写清圆内圆上圆外 4多个点时逐个代入计算 典型例题 【例题1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【例题2】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【巩固练习2】（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【巩固练习3】（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【题型3】 求圆的标准方程 基础知识 核心知识 确定圆需要两个要素圆心半径 待定系数法设标准方程代入条件求解 几何法利用垂直平分线找圆心圆心到圆上点距离为半径 方法技巧 1已知圆心半径直接写出标准方程 2已知两点在圆上两点连线垂直平分线过圆心 3已知三点联立方程求解圆心与半径 4结合相切条件圆心到切线距离等于半径求参数 典型例题 【例题1】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【例题2】（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【巩固练习2】（25-26高二上·江西·期末）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 【巩固练习3】（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【题型4】 与圆有关的轨迹方程 基础知识 核心知识 轨迹方程就是动点满足的关系式 若动点到定点距离为定值轨迹为圆定义法求轨迹 常用方法定义法直译法相关点代入法 方法技巧 1读懂几何条件判断是否符合圆的定义 2设动点坐标把几何关系翻译成等式 3化简方程去掉多余点注明定义域 4相关点问题用从动点坐标表示主动点再代入已知曲线方程 典型例题 【例题1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【例题2】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为. (1)求的中垂线的一般方程； (2)求底边的另一个端点的轨迹. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【巩固练习2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【巩固练习3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【题型5】 与圆的标准方程有关的最值问题 基础知识 核心知识 圆上点到定点距离最值定点与圆心连线延长交圆得到最值 最大值等于最小值等于 圆上点到定直线距离最值等于圆心到直线距离加减半径 方法技巧 1找到圆心坐标计算定点到圆心或者圆心到直线距离 2借助几何图形分析优先用几何法少用代数函数求最值 3分清最大值最小值看清定点在圆内还是圆外 4求目标式最值可转化距离模型结合圆的范围求解 典型例题 【例题1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题2】（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【巩固练习2】（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习3】（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6】 利用圆的参数方程求最值 基础知识 核心知识 圆参数方程为参数 把圆上动点坐标用三角函数表示转化三角函数求最值 方法技巧 1写出圆的参数方程设圆上点为 2代入目标表达式转化为形式 3辅助角公式求三角函数值域得到最值 4注意参数取值范围检验等号能否取到 典型例题 【例题1】（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【例题2】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 【巩固练习2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 【题型7】 平面向量与复数中的隐圆 基础知识 核心知识 向量条件动点轨迹是以为圆心为半径的圆 复数复数对应点轨迹是以对应点为圆心为半径的圆 题目不会直接给出圆方程需要挖掘条件识别隐圆 方法技巧 1向量模长等式转化为动点到定点距离为定值 2复数模的几何意义对应复平面上两点距离 3把向量复数条件翻译成坐标方程判断轨迹为圆 4识别隐圆后再利用圆的几何性质解题 典型例题 【例题1】（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 【例题2】（2026·陕西西安·三模）已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知，关于的方程的一个根为，为虚数单位，另一个根为，则________；若复数满足，则的最小值为________. 【巩固练习2】（25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D．1 【巩固练习3】（25-26高三·天津·二轮复习）设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为_____． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·河北保定·期中）以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·期末）若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京东城·期末）已知圆经过点，则圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 8．（25-26高二上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 二、填空题 9．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 10．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 11．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 三、解答题 12．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 13．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知，，是轴正半轴上的一点. (1)若以为直径的圆经过，求的坐标； (2)若的面积是，求中边上高所在直线的方程. 14．（25-26高二上·吉林·期末）已知点，，线段是圆的直径. (1)求圆的标准方程； (2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 18．（25-26高二上·安徽合肥·期中）直线过点，且与直线平行． (1)求直线的方程； (2)已知圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程． $2.4.1 圆的标准方程 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点____的距离等于___定长___的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 __圆心____和__半径___，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以___原点O___为圆心，半径为的圆. 2．平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在_圆外_______； （2）在圆上，即在___圆上_____； （3）在圆内，即在_圆内_______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 由标准方程确定圆心和半径 基础知识 核心知识 圆的标准方程圆心坐标半径 注意括号内符号与圆心坐标符号相反是半径的平方不等于半径 方法技巧 1将方程整理为标准形式直接读出圆心与半径 2若方程含负号注意坐标符号不要写反 3区分与不要直接把平方项的值当作半径 4若有括号展开先配方再识别圆心半径 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的标准方程求解圆心坐标即可. 【详解】由题意得圆的方程为 ，该圆的圆心坐标为. 【例题2】（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 【巩固练习2】（25-26高二下·上海·期中）圆的半径为______． 【答案】 【详解】由，配方得， 故该圆的半径为． 【巩固练习3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 【题型2】 判定点和圆的位置关系 基础知识 核心知识 设点圆心半径 点在圆外 点在圆上 点在圆内 等价判断式点在圆外 方法技巧 1计算点到圆心距离的平方和半径平方比较不开根号简化计算 2直接代入坐标到标准方程左边与比较大小 3看清题目要求判断位置关系不要只写数值写清圆内圆上圆外 4多个点时逐个代入计算 典型例题 【例题1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【例题2】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 【巩固练习2】（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 【巩固练习3】（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 【题型3】 求圆的标准方程 基础知识 核心知识 确定圆需要两个要素圆心半径 待定系数法设标准方程代入条件求解 几何法利用垂直平分线找圆心圆心到圆上点距离为半径 方法技巧 1已知圆心半径直接写出标准方程 2已知两点在圆上两点连线垂直平分线过圆心 3已知三点联立方程求解圆心与半径 4结合相切条件圆心到切线距离等于半径求参数 典型例题 【例题1】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 【例题2】（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. （2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. 【详解】（1）由条件可知，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【详解】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 【巩固练习2】（25-26高二上·江西·期末）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得斜率，根据点斜式即可求解直线方程， （2）根据两点距离公式列方程求解,即可求解. 【详解】（1）直线l斜率为3，斜率为，且过， 直线的方程为，即； （2）设圆心， 由得，解得， 故圆心的坐标为，半径， 圆的方程为． 【巩固练习3】（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【题型4】 与圆有关的轨迹方程 基础知识 核心知识 轨迹方程就是动点满足的关系式 若动点到定点距离为定值轨迹为圆定义法求轨迹 常用方法定义法直译法相关点代入法 方法技巧 1读懂几何条件判断是否符合圆的定义 2设动点坐标把几何关系翻译成等式 3化简方程去掉多余点注明定义域 4相关点问题用从动点坐标表示主动点再代入已知曲线方程 典型例题 【例题1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)．（除两点）. 【分析】（1）求线段中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）设坐标，由中点坐标公式得到点与点坐标的关系式，由题意可知点在（1）中的圆上，从而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 【例题2】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为. (1)求的中垂线的一般方程； (2)求底边的另一个端点的轨迹. 【答案】(1) (2)点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并去掉和这两个点. 【分析】（1）求出中点坐标，由的斜率得到中垂线的斜率，即可写出方程； （2）由已知，可知，则，利用两点间距离公式可得端点的轨迹方程，即可得到答案. 【详解】（1）因为,，则中点为， 则，， 的方程为：，即. （2）设底边的另一个端点的坐标为， 为等腰三角形，， 则，又,， ， 又，，不能共线，所以去掉和这两个点， ∴点的轨迹方程为：，（去掉点和）. 即点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并去掉和这两个点. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】(1)； (2)；轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可； （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由点是线段的中点，列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中）， 因为圆过点，，，可得， 解得，满足， 所以圆的方程为， 所以圆的标准方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点， 所以，所以，， 又因为点是圆上的一个动点，所以点的坐标满足圆的方程， 代入得，整理得， 所以点的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【巩固练习2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用待定系数法求标准方程； （2）用直接法求轨迹方程. 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； （2）设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 【巩固练习3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解圆的方程.（2）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 【题型5】 与圆的标准方程有关的最值问题 基础知识 核心知识 圆上点到定点距离最值定点与圆心连线延长交圆得到最值 最大值等于最小值等于 圆上点到定直线距离最值等于圆心到直线距离加减半径 方法技巧 1找到圆心坐标计算定点到圆心或者圆心到直线距离 2借助几何图形分析优先用几何法少用代数函数求最值 3分清最大值最小值看清定点在圆内还是圆外 4求目标式最值可转化距离模型结合圆的范围求解 典型例题 【例题1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】点到圆心的距离为，且圆的半径为1， 所以，故的最大值为6. 【例题2】（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【巩固练习2】（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 【巩固练习3】（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线得到点的轨迹，再结合三角形面积求解最大值即可. 【详解】AO是∠BAC的角平分线，， 设，则，两边平方化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去与轴的交点）. ，又，. 故选：C. 【题型6】 利用圆的参数方程求最值 基础知识 核心知识 圆参数方程为参数 把圆上动点坐标用三角函数表示转化三角函数求最值 方法技巧 1写出圆的参数方程设圆上点为 2代入目标表达式转化为形式 3辅助角公式求三角函数值域得到最值 4注意参数取值范围检验等号能否取到 典型例题 【例题1】（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 【例题2】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 【答案】C 【分析】应用三角换元，结合辅助角公式及三角函数值域计算求解. 【详解】因为，则设， 则，其中， 则， 当时，取最大值为. 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立两条直线的方程求出圆心坐标，然后根据两点距离公式求出圆的半径，进而得到圆的方程，然后利用参数方程将表示为，然后代入所求表达式化简，从而求出范围. 【详解】由题意得，两条直线和的交点为， 所以联立两条直线方程为，解得. 因为是以点为圆心的圆上的一点，所以圆的半径为. 所以圆的方程为. 由于点在圆 上，所以用参数方程表示为， 代入表达式得. 因为，所以. 故选：A. 【巩固练习3】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 【答案】C 【分析】设，利用两点间距离公式求出，利用余弦函数的范围求出的最大值和最小值，从而得到所求. 【详解】由点在圆上运动，设， ， ， 的最大值为， 最小值为， 的最大值与最小值之和为. 故选：C. 【题型7】 平面向量与复数中的隐圆 基础知识 核心知识 向量条件动点轨迹是以为圆心为半径的圆 复数复数对应点轨迹是以对应点为圆心为半径的圆 题目不会直接给出圆方程需要挖掘条件识别隐圆 方法技巧 1向量模长等式转化为动点到定点距离为定值 2复数模的几何意义对应复平面上两点距离 3把向量复数条件翻译成坐标方程判断轨迹为圆 4识别隐圆后再利用圆的几何性质解题 典型例题 【例题1】（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设上的点，再应用三角换元及辅助角公式结合二次函数恒成立计算求解范围. 【详解】设上的点，，点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为， 设，且， 所以，整理得，所以， 所以，所以能成立， 所以或，所以； 【例题2】（2026·陕西西安·三模）已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为．    巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知，关于的方程的一个根为，为虚数单位，另一个根为，则________；若复数满足，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为和是实系数一元二次方程的两个根，所以，是共轭复数，故． 设，则，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示在复平面内到圆上对应的点的距离， 点到圆心的距离为，所以的最小值为． 【巩固练习2】（25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由的垂直关系和模长可令，，再设，由数量积的坐标表示确定的轨迹方程，进而可求解. 【详解】因为，且，令，，设， 由，代入坐标得： ， 整理配方得： ， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆. 则是原点到圆上点的距离， 又原点到圆心的距离为： ， 所以圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为. 【巩固练习3】（25-26高三·天津·二轮复习）设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为_____． 【答案】6 【分析】由的实部为0，求出对应在复平面上的点的轨迹，结合复数模的几何意义，求的最大值. 【详解】设，则， 的实部为0，所以，且， 对应在复平面上的点，在以为圆心，1为半径的圆周上（除去点）， 而是指动点到所对应的定点的距离， 则的最大值为． 故答案为：6 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·河北保定·期中）以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 2．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 4．（25-26高二上·北京·期末）若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆外建立不等式，再由辅助角公式化简后转化为，解不等式即可得解. 【详解】因为点在圆外， 所以， 即存在，使得（其中）， 所以只需， 故，即， 解得， 故选：B 5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数模的几何意义求解. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应点， 由得， 即点的轨迹是复平面内以为圆心，半径为的圆， 又表示复平面内的点到的距离， 所以的最小值为圆心到原点的距离减半径， 即， 故选：C. 6．（25-26高三上·北京东城·期末）已知圆经过点，则圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得圆心所在直线方程，由直线上的点到定点的距离的最小值为定点到直线的距离可得. 【详解】因为圆经过点，所以该圆的圆心的轨迹为线段的垂直平分线. 直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的中点为，所以线段的垂直平分线的方程为，即. 圆心到原点的距离的最小值为原点到直线的距离，为. 故选：C. 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断． 【详解】设复数，则 ， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 8．（25-26高二上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，分析的几何意义，将问题转化为“单位圆上的点到点的距离的最大值” ，由此可求解出结果. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 设，则， 所以， 则， 上式表示到的距离的倍， 到的距离的最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 二、填空题 9．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 【答案】 【详解】由点在圆上，且， 则，解得． 所以圆的半径为． 10．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】设圆心关于直线的对称点为，得到，且，化简得到，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则 ， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】 【分析】设，则，且，结合两点间距离，代入整理可得， 结合单调性，可求得的最大值和最小值，加和即可. 【详解】设，因为点在圆上运动， 所以，且， 又点，，， 所以 ， 令，函数为减函数，又， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值. 所以取的最大值与最小值之和为. 故答案为： 三、解答题 12．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行先设所求直线的一般是方程，结合直线所过的点，即可求解. （2）先求线段的中垂线的方程，联立方程组求圆心的坐标，进而得到半径，最后由圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为， 把点代入可得：，解得， 故直线的方程为：. （2）由点和点可得，线段的中垂线方程为， 联立，解得， 即圆心的坐标为， 又半径， ∴圆的标准方程为. 13．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知，，是轴正半轴上的一点. (1)若以为直径的圆经过，求的坐标； (2)若的面积是，求中边上高所在直线的方程. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式和两点间的距离公式求出以为直径的圆的圆心和直径，再结合题目条件求出的坐标. （2）利用距离公式与面积公式建立方程，求出点的坐标；然后根据直线的斜率，确定其高的斜率（互为负倒数）；最后利用点斜式写出高所在直线的方程. 【详解】（1）已知，，则圆心坐标为， 半径，则圆的方程为， 圆经过，又是轴正半轴上的一点， 则，即，或， 故的坐标为或. （2）直线的斜率：， 方程为，即， ， 设，点到直线的距离为： 由的面积得： 即解得，即， 边上高的斜率等于直线斜率的负倒数，即， 过的直线方程为即. 14．（25-26高二上·吉林·期末）已知点，，线段是圆的直径. (1)求圆的标准方程； (2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出圆心坐标和半径得解； （2）设直线的方程，求出直线在轴，轴上的截距，根据直线在轴，轴上的截距相等，求得答案. 【详解】（1）线段是圆的直径，，， 的坐标为，即， 圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 令，解得，令，解得， 又过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，所以， 解得或， 所以直线的方程为或. 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意求两直线的交点坐标，根据垂直关系设所求直线l的方程为，代入运算即可； （2）根据点关于直线对称求点关于直线的对称点，即可得圆心和半径，进而可得方程. 【详解】（1）由题意联立，解得， 则直线和的交点为， 设所求直线l的方程为， 将点代入得，解得， 故所求直线l的方程为； （2）圆，圆心，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以对称圆的方程为. 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两点间距离求,再应用点到直线距离求出高,最后应用面积公式即可; （2）根据外心是三边垂直平分线的交点得出外接圆圆心,再应用两点间距离求出半径,最后根据圆的标准方程求解. 【详解】（1）因为，，， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点到直线距离为， 因此面积， （2）因为，，， 所以线段中点为，又直线的斜率为， 因此其中垂线的方程为，即， 直线的斜率为，线段中点为， 则中垂线方程，即， 联立，求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求； （2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求. 【详解】（1）因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆过点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. 18．（25-26高二上·安徽合肥·期中）直线过点，且与直线平行． (1)求直线的方程； (2)已知圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行先求斜率，进而利用点斜式即可求解； （2）先求线段的中垂线的方程，联立方程组求圆心的坐标，进而得半径，最后由圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）因为与直线平行，所以的斜率为2， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即； （2）直线的斜率为，则线段的中垂线的斜率为， 又线段的中点为， 则线段的中垂线方程为，即 联立，解得， 即圆心的坐标为，又半径， 则圆的标准方程为． $