2.3.4 两条平行线之间的距离（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4 两条平行线之间的距离 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 两平行直线间的距离 （1）概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． （2）公式：两条平行直线与之间的距离______． 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求平行线之间的距离 基础知识 核心知识 两条平行线距离公式 两条直线必须x y的系数完全相同平行线间距离处处相等等于一条直线上任一点到另一条直线的距离 方法技巧 1先将两条直线化为x y系数相同的一般式 2确定常数项代入平行线距离公式 3也可在其中一条直线取简单坐标点用点到直线距离公式计算 4注意公式使用前提两直线必须平行 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线化为，其与， 则这两条平行直线间的距离为：. 【例题2】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 若，故，即， 故直线与之间的距离. 【巩固练习2】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 【题型2】 由距离求已知直线的平行线 基础知识 核心知识 与直线平行的直线可设为 利用两条平行线距离公式建立含参数的方程求解 方法技巧 1平行直线设方程时保持x y系数不变仅更换常数项 2代入平行线距离公式去掉绝对值得到两个的值 3检验不能等于原直线常数项避免两直线重合 4整理得到两条满足条件的平行线 典型例题 【例题1】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得 ，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 【例题2】（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式： ， 解得：或. 故答案为：6或-14 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 【巩固练习2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 【巩固练习3】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 【题型3】 求关于平行直线对称的直线 基础知识 核心知识 两条平行线关于中间的平行线对称三条直线互相平行 原直线与对称轴的距离等于对称直线与对称轴的距离 方法技巧 1设对称直线方程保持和原直线x y系数一致 2利用距离相等列等式对称轴到两条直线距离相同 3区分对称直线在对称轴的哪一侧取舍参数 4也可取原直线上一点求该点关于对称轴的对称点代入直线方程 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【巩固练习2】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【巩固练习3】已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.   （2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案. 【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动， 所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线， 设其方程为， 、与y轴的交点分别为、，两点的中点为， 且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. （2）过点且与x轴垂直的直线方程为， 与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意， 所以设的斜率为，直线方程为， 由直线与 即，交点为为， 由直线与 即，交点为 所以两交点之间的距离为， 解得，或， 所求直线方程为，或， 即或. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题. 【题型4】 求直线关于点对称的直线 基础知识 核心知识 直线关于点对称后的直线与原直线互相平行 对称点到两条直线的距离相等 方法技巧 1判断对称直线与原直线平行设同系数直线方程 2在原直线上任取一点求该点关于已知点的对称点 3将求出的对称点代入所设直线方程解参数 4也可利用点到两直线距离相等列方程求解 典型例题 【例题1】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 【例题2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 【巩固练习2】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 【巩固练习3】（24-25高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 【题型5】 将军饮马的最值问题 基础知识 核心知识 将军饮马核心原理两点之间线段最短 动点在定直线上求两定点到动点距离之和最小值做定点关于直线的对称点 若两条平行线之间的将军饮马常转化为平行线距离结合线段和 方法技巧 1确定动点所在直线选择合适定点作对称 2连接对称点与另一定点线段长度即为最小值 3求线段与定直线交点即为取到最值时动点位置 4平行线背景下可平移线段构造模型求解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 【例题2】（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式求方程； （2）计算点到直线的距离，再利用面积公式计算； （3）设点关于直线的对称点为，求出即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； （2）由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； （3）设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 【巩固练习2】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    【巩固练习3】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 【题型6】 平行线距离的综合应用 基础知识 核心知识 平行线距离可以求平行四边形菱形的高与面积 常结合点到直线距离对称最值轨迹问题综合考查 方法技巧 1识别图形中平行边利用平行线距离求高计算面积 2遇到多平行直线统一直线一般式再计算距离 3含参数问题用距离公式建立不等式或函数求范围 4画图分析几何位置关系减少代数运算失误 典型例题 【例题1】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】将转化成，由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，则题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，分类讨论即可得出答案. 【详解】将转化成， 由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等， 题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等， 设直线，，， 易得解析式为， 因为，所以直线不过原点， ， 若，则直线为线段的垂直平分线或者与平行， 若直线为线段的垂直平分线，设，中点为，则， 因为，，所以， ，即； 若直线与平行，则，令，， 则， 由点到直线距离公式可得， 解得或，代入得或， 恰有三个不同的实数对满足关系式； 若，如图所示，对于固定的，存在四条不同的直线使得条件成立， 要排除掉其中一种情况，则某一条直线过原点， 若直线过原点且过，则解析式为，则，符合题意； 若直线过原点且与平行，则解析式为，则，符合题意； 将，以及进行比较得. 【例题2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____. 【答案】4 【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】不妨设，， 因为，所以，所以，由题意，所以或， 不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 故答案为：4 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 因为，，所以， 所以的最小值为 . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 【巩固练习2】（24-25高二上·湖北·期中）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________． 【答案】 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点A作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以，    过点A作，垂足为， 因为直线的方程为，，则， 又直线与直线平行，，则， 可得， 则四边形为平行四边形，所以， 可得， 且，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得，即点的坐标为， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 【巩固练习3】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用平行的性质求解出，再结合平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得， 因此直线与直线两平行线间的距离为 故选：D. 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 4．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据直线平行计算求参，再应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】因为直线与直线平行，所以，且，所以， 所以直线与直线平行， 两直线间的距离为，且， 所以，所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知两平行直线与，则与之间的距离为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到直线方程的系数关系，由此可求的值，再结合平行直线间距离公式求解出结果. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，满足两直线平行， 此时两直线间距离； 当时，，即，，满足两直线平行， 此时两直线间距离， 所以与之间的距离为或， 故选：B. 6．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】实数满足，， 即实数满足，， 则在直线上，在直线上， 直线与直线平行， 所以、两点间的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：B 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 二、多选题 8．（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 【答案】或23 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 因为直线与间的距离是，即， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或23 10．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为__________. 【答案】0 【分析】设的系数为，利用平行线间的距离公式求出可得答案. 【详解】直线的方程为▇，直线▇， 设的系数为，此时直线与直线之间的距离为 ，解得. 此时，直线的方程为，直线 ， 它们之间的距离为1，符合题意， 故▇中的数字为0. 故答案为：0. 11．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，分析可知当、、三点共线时，最小，设点，求出点的坐标，进而可得出直线的方程，再将该直线方程与直线的方程联立，即可得出点的坐标. 【详解】易知，均在直线的同侧； 作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 所以， 当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小. 设，则，解得，即. 因为，所以直线为， 由，得，即. 故答案为：. 12．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 【答案】或 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，求出两平行直线的距离，得到，所以，求出直线倾斜角为30°，从而求出直线m的倾斜角. 【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与间的距离 ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以， 所以，因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°， 所以直线m的倾斜角可以是或.    故答案为：或 四、解答题 13．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 【答案】(1) 当时，，； 当时，，. (2)； 【分析】（1）由题意可求，根据两点间的距离公式求解，再由，，求解即可. （2）由直线平行求解，再由两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由条件，， 因为，，则，即有 当时，，； 当时，，. （2）当时，必有，且与不重合. 若时，与重合，不符合题意，舍去， 时， 此时，与间的距离为. 14．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）（1）若两条平行直线与之间的距离为，则字母C的值； （2）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程； （3）已知直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求直线方程. 【答案】（1）或； （2）； （3）或. 【分析】（1）根据两直线平行的判定求出A，然后根据平行线间距离公式求出C； （2）求出两直线的交点，根据垂直求出待求直线的斜率，即可得出答案； （3）由题可知，直线的斜率必存在，所以根据点斜式设出直线方程，然后表示出其与两坐标轴交点坐标，然后列出面积公式，即可得出答案. 【详解】（1）因为两直线平行，所以，所以直线为 ，即， 然后根据两直线间的距离公式得出， 解得或； （2）联立， 所以直线与的交点为， 又待求直线与垂直，所以其斜率为， 所以待求直线的方程为； （3）由题可知，直线的斜率必存在且不为0， 所以设直线为， 令，得，所以直线与y轴的交点坐标为， 所以， 令，得，所以直线与x轴的交点坐标为， 所以， 所以 即或， 化简得或， 解得或， 所以答案为或. 15．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知三条直线，且与间的距离是. (1)求的值； (2)若点，求点到的距离与点到的距离之比. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先化简直线，利用两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解； （2）根据题意，利用点到直线的距离公式，分别求得点到和的距离，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可得， 因为与间的距离为，可得，即， 又因为，可得，解得. （2）解：由点，且， 可得点到的距离为， 点到的距离为， 所以点到的距离与点到的距离之比是. 16．（24-25高二上·天津河西·期中）已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 【答案】或或 【分析】分别讨论点的位置，再利用平行线间距离公式和点到直线距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程即可. 【详解】当点在直线的同侧时，得到， 由斜率公式得直线的斜率为， 故直线的方程为，化简得， 则可设直线的方程为， 因为两平行直线间的距离为，所以，解得或， 直线的方程为或， 当点在直线的两侧时，得到线段的中点在直线上， 即点在直线上，且直线的斜率存在，可设直线为， 由点到直线的距离公式得，解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为线或或． $2.3.4 两条平行线之间的距离 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 两平行直线间的距离 （1）概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． （2）公式：两条平行直线与之间的距离______． 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求平行线之间的距离 基础知识 核心知识 两条平行线距离公式 两条直线必须x y的系数完全相同平行线间距离处处相等等于一条直线上任一点到另一条直线的距离 方法技巧 1先将两条直线化为x y系数相同的一般式 2确定常数项代入平行线距离公式 3也可在其中一条直线取简单坐标点用点到直线距离公式计算 4注意公式使用前提两直线必须平行 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【巩固练习2】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【题型2】 由距离求已知直线的平行线 基础知识 核心知识 与直线平行的直线可设为 利用两条平行线距离公式建立含参数的方程求解 方法技巧 1平行直线设方程时保持x y系数不变仅更换常数项 2代入平行线距离公式去掉绝对值得到两个的值 3检验不能等于原直线常数项避免两直线重合 4整理得到两条满足条件的平行线 典型例题 【例题1】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【巩固练习2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 求关于平行直线对称的直线 基础知识 核心知识 两条平行线关于中间的平行线对称三条直线互相平行 原直线与对称轴的距离等于对称直线与对称轴的距离 方法技巧 1设对称直线方程保持和原直线x y系数一致 2利用距离相等列等式对称轴到两条直线距离相同 3区分对称直线在对称轴的哪一侧取舍参数 4也可取原直线上一点求该点关于对称轴的对称点代入直线方程 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【巩固练习2】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【巩固练习3】已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【题型4】 求直线关于点对称的直线 基础知识 核心知识 直线关于点对称后的直线与原直线互相平行 对称点到两条直线的距离相等 方法技巧 1判断对称直线与原直线平行设同系数直线方程 2在原直线上任取一点求该点关于已知点的对称点 3将求出的对称点代入所设直线方程解参数 4也可利用点到两直线距离相等列方程求解 典型例题 【例题1】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【例题2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【巩固练习2】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【巩固练习3】（24-25高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【题型5】 将军饮马的最值问题 基础知识 核心知识 将军饮马核心原理两点之间线段最短 动点在定直线上求两定点到动点距离之和最小值做定点关于直线的对称点 若两条平行线之间的将军饮马常转化为平行线距离结合线段和 方法技巧 1确定动点所在直线选择合适定点作对称 2连接对称点与另一定点线段长度即为最小值 3求线段与定直线交点即为取到最值时动点位置 4平行线背景下可平移线段构造模型求解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【巩固练习3】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 【题型6】 平行线距离的综合应用 基础知识 核心知识 平行线距离可以求平行四边形菱形的高与面积 常结合点到直线距离对称最值轨迹问题综合考查 方法技巧 1识别图形中平行边利用平行线距离求高计算面积 2遇到多平行直线统一直线一般式再计算距离 3含参数问题用距离公式建立不等式或函数求范围 4画图分析几何位置关系减少代数运算失误 典型例题 【例题1】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 【例题2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 【巩固练习2】（24-25高二上·湖北·期中）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________． 【巩固练习3】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知两平行直线与，则与之间的距离为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 8．（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 三、填空题 9．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 10．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为__________. 11．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 12．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 四、解答题 13．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 14．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）（1）若两条平行直线与之间的距离为，则字母C的值； （2）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程； （3）已知直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求直线方程. 15．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知三条直线，且与间的距离是. (1)求的值； (2)若点，求点到的距离与点到的距离之比. 16．（24-25高二上·天津河西·期中）已知点到直线的距离均为，求直线的方程． $