2.4 圆的方程《一隅三反》讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，系统梳理标准方程与一般方程的求解方法，从直径端点、圆心在定直线上等基础条件，到对称性、过定点等综合应用，构建从定义到性质再到应用的递进学习支架。 资料以考向为纲设计例题与“一隅三反”练习，结合题组强化训练，通过多条件求圆的方程培养数学思维，轨迹问题渗透数学眼光，规范解题过程提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

2.4 圆的方程 考向一 圆的方程 【例1】（24-25河北邢台）根据下列条件求圆的方程： (1)以点A（2，5）、B（4，1）为直径． (2)圆心在直线上，且过点和点． （3）已知半径为的圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程． （4）已知圆C过点，，，则圆C的方程 【答案】（1）(2)（3）或 （4） 【解析】（1）圆的圆心为AB的中点，其坐标为（3，3），半径r|AB|， 所以圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝5． （2）设圆的标准方程为，由题意可得，解得， 所以圆的标准方程为 （3）设圆心 ，则圆的标准方程是， 因为圆心在直线上，所以因为圆过点，所以 所以或， 所以圆的标准方程是或. （4）设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【一隅三反】 （25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． (4)圆心在轴上，半径为，且经过点． （5）已知圆经过点，则圆的方程 【答案】(1)(2)(3) (4)或（5） 【解析】（1）由条件可知，所以圆的标准方程为. （2），所以半径，圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为，所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （4）设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. （5）设圆的标准方程为，因为圆经过点，所以 ，即，化简得,解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 考向二 圆的辨析 【例2-1】（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确 【例2-2】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 【一隅三反】 1．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 2．（25-26安徽·阶段检测）已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以，故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 考向三 点与圆的位置关系 【例3-1】（2026·山东）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【解析】圆变为标准方程为，圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离，所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【例3-2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆化成标准方程，可得， 由，解得.因为点在圆的外部， 所以，解得.综上可得. 【一隅三反】 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【解析】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得;故选：B 3．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆内，得，即，可化为； 解得，即.故选：A 考向四 圆的对称性 【例4-1】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 【例4-2】（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 【例4-3】（25-26高二上·北京昌平）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【解析】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 【一隅三反】 1．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【解析】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 2（25-26江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为 【答案】4 【解析】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 3．（2026高二广东）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【解析】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 考向五 圆过定点 【例5】（25-26安徽）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【解析】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【一隅三反】 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【解析】变形得到，令，解得或， 不妨设，，所以.故答案为：3 2．（25-26福建）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【答案】（0，－2）和（0，1） 【解析】方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 3．（25-26高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______. 【答案】、 【解析】由由得，故，解得或.故填：、. 考向六 定点到圆上点距离的最值 【例6-1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【例6-2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 【一隅三反】 1．（25-26广东深圳）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）实数满足：，则的最大值为__________. 【答案】6 【解析】如图： 点为圆：上一点，,则表示线段的长度. 所以，当共线且在点两侧时取等号. 故答案为：6 考向七 有关圆的轨迹 【例7-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 【例7-2】（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 【例7-3】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在复平面中对应点，，即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值,. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，， 因为为的中点，所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以，则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：.故选：B 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 【题组一 圆的方程】 1．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是 【答案】 【解析】设圆心为，根据圆过点且半径为2，可得，解得，即圆心坐标为.因此所求圆的方程是． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为 【答案】 【解析】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3．（25-26高二上·内蒙古包头），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【解析】设的外接圆方程为， 依题意得，解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 4．（25-26福建福州）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】 【解析】由题意设所求圆的方程为， 即，圆心坐标为，代入中， 即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为 5.（25-26广东潮州）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为 【答案】 【解析】直线与两坐标轴的交点为，则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为，化简得：. 【题组二 圆的辨析】 1．（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（   ） A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上 C．过原点 D．半径为 【答案】AC 【解析】若方程表示的圆，则其标准方程为， 所以，，可得，圆心为，半径为， 对于A选项，圆心在直线上，A对； 对于B选项，因为，所以，圆心不可能在轴上，B错； 对于C选项，因为，则该圆过原点，C对； 对于D选项，该圆的半径为，D错. 故选：AC. 2．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【解析】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 3．（25-26青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【解析】圆的方程可化为，则直径．故答案为： 4．（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】因为关于的方程有实数解，所以方程表示圆或点，则，即 ，解得或 5．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【解析】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 【题组三 点与圆的位置关系】 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，故点在圆上；又，故点在圆外； 因为，故点在圆内；又，故点在圆外； 综上，在圆内的是.故选：C. 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解析】，在圆外，故选：C. 3．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知圆，则，又点在圆外，则， 即，解得，故选：B． 【题组四 圆的对称性】 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 2．（2025·安徽省）圆关于直线对称的圆的方程为____________. 【答案】 【解析】由圆可知，圆心，半径， 设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所求圆的圆心为，半径为， 圆关于直线对称的圆的方程为 3．（25-26·黑龙江哈尔滨市）圆关于原点对称的圆的方程为 【答案】 【解析】由圆的方程知：圆心，半径，圆心关于原点对称的点的坐标为， 则圆关于原点对称的圆的方程为. 8．（25-26·浙江）圆关于直线称的圆是 【答案】 【解析】圆心关于直线的对称点为，半径不变， 所求圆的方程为 【题组五 圆过定点】 1． （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆C：x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点为 【答案】 【解析】圆的方程化为， 由得或，故圆恒过定点． 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【解析】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得.所以，定点坐标为或.故答案为：或 【题组六 定点到圆上点距离的最值】 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 【答案】2 【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，，所以圆心到原点距离的最小值是． 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是 【答案】 【解析】圆：的圆心，半径，所求的最短距离为. 3．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】如图： 点为圆上一点，，则表示线段的长度． 所以，可得的取值范围为． 【题组七 有关圆的轨迹】 1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 2．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为 【答案】 【解析】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 4．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为 【答案】64 【解析】直线恒过定点， 直线化简为，恒过点， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则， 当时，，，，则， 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且， 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为，圆的半径，    又转化为，其表示圆上的点到距离的平方， 设， 则，所以的最大值为64． 5.（25-26福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 【答案】4 【解析】   由复数满足条件，即，得复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上．而的几何意义为原点到圆的点的距离． 的最小值为圆的圆心与原点的连线段的长度减去半径，圆的圆心与原点的连线段的长度为，则的最小值为，故选项C正确． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 圆的方程 考向一 圆的方程 【例1】（24-25河北邢台）根据下列条件求圆的方程： (1)以点A（2，5）、B（4，1）为直径． (2)圆心在直线上，且过点和点． （3）已知半径为的圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程． （4）已知圆C过点，，，则圆C的方程 【一隅三反】 （25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． (4)圆心在轴上，半径为，且经过点． （5）已知圆经过点，则圆的方程 考向二 圆的辨析 【例2-1】（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【一隅三反】 1．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26安徽·阶段检测）已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 考向三 点与圆的位置关系 【例3-1】（2026·山东）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【例3-2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 3．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考向四 圆的对称性 【例4-1】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例4-2】（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（25-26高二上·北京昌平）圆关于点对称的圆的标准方程为____ 【一隅三反】 1．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 2（25-26江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为 3．（2026高二广东）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 考向五 圆过定点 【例5】（25-26安徽）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【一隅三反】 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 2．（25-26福建）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 3．（25-26高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______. 考向六 定点到圆上点距离的最值 【例6-1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【例6-2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26广东深圳）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）实数满足：，则的最大值为__________. 考向七 有关圆的轨迹 【例7-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例7-3】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题组一 圆的方程】 1．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为 3．（25-26高二上·内蒙古包头），，.三角形的外接圆方程为_______. 4．（25-26福建福州）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 5.（25-26广东潮州）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为 【题组二 圆的辨析】 1．（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（   ） A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上 C．过原点 D．半径为 2．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 3．（25-26青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 4．（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为 5．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【题组三 点与圆的位置关系】 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 3．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题组四 圆的对称性】 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（2025·安徽省）圆关于直线对称的圆的方程为____________. 3．（25-26·黑龙江哈尔滨市）圆关于原点对称的圆的方程为 8．（25-26·浙江）圆关于直线称的圆是 【题组五 圆过定点】 1． （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆C：x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点为 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【题组六 定点到圆上点距离的最值】 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是 3．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【题组七 有关圆的轨迹】 1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 2．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为 4．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为 5.（25-26福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $