专题6.2等比数列及其前n项和讲义-2027届高三数学一轮复习

专题6.2 等比数列及其前n项和 知识梳理（阅读教材 人教A版选择性必修2 ） 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项如果， ，成等比数列，叫做与的等比中项. ①、与是两个同号的非零实数 ②、若是与的等比中项，则 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：① ②③ (2)前n项和公式：当时，； 当时， = 3．等比数列的判定 ① ② ③ 4. 等比数列的单调性 ①当时，为常数列；②当时，为摆动数列；③当， 时，为递增数列；④当， 时，为递减数列； ⑤当， 时，为递减数列； ⑥当， 时，为递增数列。 常用结论： 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*. (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列． (5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 【考点1 等比数列的基本量求解】 【例1】（多选 26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公比，再逐项验证各选项即可 【详解】选项A：由等比数列通项得，即， 前3项和，整理得，解得或， 因为，所以，，A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项错误； 对于D，，， 所以，故D选项正确. 跟踪训练 1．（多选 26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（　） A．公比 B．首项 C． D． 【答案】ABC 【详解】代入得 即，故A对. 代入得，故B对. ，故C对. ，故D错. 2.（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 3.（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立等比数列的通项条件与前3项和条件求解公比和首项，再代入前6项和公式计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，， 由得（1） 由（2）， 将式（2）代入式（1）得，，解得， 将代入式（2）得，，解得， 所以. 【考点2 等比数列的性质及应用】 【例2】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列中下角标成等差数列的对应项成等比数列的性质，代入已知值计算即可求得. 【详解】 在等比数列中，若（），则满足. 由于，因此， 将，代入得：，解得. 跟踪训练 1．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）数与的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据等差中项定义，若为实数，的等差中项，则满足， 将，代入得，解得， 根据等比中项定义，若为非零实数，的等比中项，则满足， 将，代入得，解得， 综上，2与8的等差中项为，等比中项为. 2.（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）若等比数列的各项均为正数，且，则____. 【答案】9 【分析】利用等比数列的性质结合对数运算性质，将所求对数和转化为关于的表达式求解. 【详解】首先根据对数的运算性质：同底对数相加等于真数乘积的对数，可得： ，其中， 根据等比数列的性质得：， 因此， 故. 3.（2027高三·全国·专题练习）正项等比数列的公比恰好等于函数的零点，且，则________． 【答案】 【详解】令，得，解得， 所以函数的零点为，因此等比数列的公比. 因为，所以或（舍去，因为）， 又因为，所以. 4.（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 又因为，即， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 5．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 【考点3 等比数列前n项和的性质及应用】 【例3】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得： ，展开整理为一元二次方程： ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 跟踪训练 1.（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 2.（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 3.（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 【考点4 数列前项积的最值】 【例4】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则的最小值为4053 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误． 【详解】已知等比数列，，， 说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号，则，故A错误； 结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， ，故B错误； 是数列中的最大项，故C错误； ，， 又，则， 所以若，则的最小值为4053，故D正确． 跟踪训练 1.（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等比数列前项积的最值，前项积的增减由每一项与1的大小关系决定：乘大于1的项，积变大；乘小于1的项，积变小，因此只需找到由大于1转为小于1的分界项即可. 【详解】已知数列为等比数列，，公比，则， 因为数列是首项为正、公比为正的等比数列，所有项均为正数，因此前项积的变化规律为： 当时，，即前项积递增；当时，；即前项积递减. 因此当从大于1过渡到小于1时，取得最大值. 令，得，化简得，解得，即， 当时，，； 当时，， 所以，取得最大值时的值为8. 2.（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AB 【分析】由题设可得，，可得，即可判断A；根据，可判断D；分析可得，进而得到数列为递减数列，进而得到，即可判断CD. 【详解】由可得，， 由，可得，故A错误； 又因为，且，所以数列为各项均为正数的等比数列，所以，故D正确； 当时，因，数列为递增数列，则， 此时，与矛盾，所以不成立； 当时，数列为递减数列，根据， 有，则是数列中的最大值，故C正确； 而，则，故B错误. 故选：AB 3.（多选 2026·江苏南京·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，为其前n项积，公比，且，，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．使的正整数n的最小值为5 C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意，得，解得， 则，即数列为递减数列，故A正确； 对于B，由，得，则， 即，因此，使的正整数n的最小值为5，故B正确； 对于C，由于，则时，，时，，时，， 则的最大值为或，故C错误； 对于D，，故D正确. 【考点5 等比数列的判定与证明】 【例5】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 【答案】(1)证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由(1)得：， 所以， 所以. 跟踪训练 1.（26-27高三上·广东·阶段检测）记为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由数列的前项和为， 当时，； 当时，， 因为适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）解：由数列是各项均为正数的等比数列，设数列的公比为，且， 因为且， 令和，可得，即， 两式相除，可得，所以， 则，解得， 所以数列的通项公式为. 2.（寒假作业04等比数列及其前n项和的性质与应用（8知识点 6大考点 分层巩固培优）高二数学人教A版）已知数列的首项，且满足.证明：数列为等比数列； 【答案】 证明：由得， 则，又， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列. 3.在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　) A．3n－1 B. C. D. 解析：选A　由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝3n－1. 【考点6 等差与等比数列综合】 【例6】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 跟踪训练 1.（25-26福建莆田·阶段检测）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列的基本量运算求出公差，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 2.（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的基本量运算，结合等比中项求出公差与公比即得. 【详解】因数列的前10项依次成等差数列，设公差为，则，， 又因，且数列从第9项起依次成等比数列，则，即，解得或， 因数列各项均为整数，故，则， 则数列从第9项起的公比为，故，则. 3.（2027高三·全国·专题练习）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由成等差数列及等比数列的性质可得，再由等比数列的通项公式可得. 【详解】因为成等差数列，所以， 因为是正项等比数列，设公比为，且， 所以，因为， 所以，解得：或（舍去）， 因此. 课后作业： 基础题组练 1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 【答案】B 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 设的公比为，则，所以或（舍）， 所以. 故选：B. 2.（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 3.（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知是等比数列，则“”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 若，例如，则，，，满足， 但数列是摆动数列，不是递减数列； 若是递减数列，则； 综上所述：“”是“是递减数列”的必要不充分条件. 4.（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 5．（25-26高三上·辽宁·期中）等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：可知， 又∵， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴． ∵当且仅当时，的前项和有最小值， ∴，即，∴，∴，∵，∴． 故选：B． 6.（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知对任意正整数，，都有， 则令，可得，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 又当，所以，即，即， 所以的最小值为，故选：A. 8．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 【答案】D 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 9．（多选25-26高三上·山西运城·期中）在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 【答案】BC 【详解】由题意可得，所以解得， 当时，；当时，， 对于A，，故A错误； 对于B，的公比为，故B正确； 对于C，当时，， 所以的前20项积为，故C正确； 对于D，当时，数列的通项公式为，公差为，故D错误. 故选：BC. 10．（多选25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 11.（26-27高三上·云南·阶段检测）若1，，m，n依次成等比数列，则________． 【答案】12 【详解】因为1，，，依次成等比数列，所以，，则，，故． 12.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 【答案】 【分析】根据化简得，根据化简得，从而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为. 因为且，所以. 由前4项和公式与题设得. 又，所以. 故. 13.（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 14.（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列，，则的值为______. 【答案】4 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q， 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 15.（2026·安徽淮北·一模）已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得．即， 于是 ． 16．已知数列满足，且对任意的，都有 (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，及数列的前项和． 【答案】(1)数列是以为首项，为公比的等比数列； (2)，. 【详解】（1）已知，则， 因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知， 因为，所以， ， ， 先求，这是首项为，公比为的等比数列的前项和， 可得：， 再求，根据等差数列求和公式可得：， 所以. 能力提升练 17.（2025高三上·全国·竞赛）在下图中，最外面的正方形内包含无限多个正方形，每个正方形都有相同的中心，且边与最外面正方形的边平行．每个正方形与其相邻的内部正方形的边长之比为，其中．如图所示，正方形之间的区域交替涂色（图形未必按比例绘制）．若图形中阴影部分的面积是原正方形面积的，问是多少？（    ）    A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】设最外层正方形面积为，利用等比数列求和公式表示出阴影部分的总面积，结合已知比例建立方程即可求解. 【详解】设最外侧的正方形（第1个正方形）的边长为，则其面积为. 由题意可知，正方形边长构成公比为的等比数列， 即第个正方形的边长为， 相应地，第个正方形的面积为. 观察图形可知，阴影部分由最外层正方形与第2个正方形之间的区域、第3个正方形与第4个正方形之间的区域……以此类推组成， 即阴影部分的面积可以表示为：， 代入面积公式，得， 则括号内是一个首项为1，公比为的无穷等比数列， 因为，所以，该级数收敛，利用无穷等比数列求和公式，，可得， 根据题意，阴影部分的面积是原正方形面积的，即， 所以，因为，，解得： 18.（24-25高二上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】用1减去次操作去掉的线段总长度即为余下的各区间长度之和，然后利用等比数列求和公式结合已知数据即可求解． 【详解】记表示第次操作后余下的各区间长度之和， 由于第一次操作去掉的线段长为，第二次操作去掉的线段长为，，第次操作去掉的线段长度为， 因此， 则由题意得， 而，，所以的最小值为6． 19．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（    ） A． B．12 C．17 D． 【答案】B 【详解】因为是正项等比数列，所以，又，所以， 设公比为，所以， 令，则 因为， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，即取得最小值，最小值为. 故选：B 20.（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）列出关于的方程组求解； （2）表示成关于的函数，利用函数的单调性求解. 【详解】（1）由，得，， 所以，则或． （2）由，得或． 由，得， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，所以，； 当时，， 因为在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 等比数列及其前n项和 知识梳理（阅读教材 人教A版选择性必修2 ） 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项如果， ，成等比数列，叫做与的等比中项. ①、与是两个同号的非零实数 ②、若是与的等比中项，则 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：① ②③ (2)前n项和公式：当时，； 当时， = 3．等比数列的判定 ① ② ③ 4. 等比数列的单调性 ①当时，为常数列；②当时，为摆动数列；③当， 时，为递增数列；④当， 时，为递减数列； ⑤当， 时，为递减数列； ⑥当， 时，为递增数列。 常用结论： 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*. (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列． (5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 【考点1 等比数列的基本量求解】 【例1】（多选 26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．（多选 26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（　） A．公比 B．首项 C． D． 2.（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 3.（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 等比数列的性质及应用】 【例2】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）数与的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）若等比数列的各项均为正数，且，则____. 3.（2027高三·全国·专题练习）正项等比数列的公比恰好等于函数的零点，且，则________． 4.（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【考点3 等比数列前n项和的性质及应用】 【例3】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 跟踪训练 1.（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 2.（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 3.（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【考点4 数列前项积的最值】 【例4】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则的最小值为4053 跟踪训练 1.（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2.（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 3.（多选 2026·江苏南京·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，为其前n项积，公比，且，，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．使的正整数n的最小值为5 C．的最大值为 D． 【考点5 等比数列的判定与证明】 【例5】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 跟踪训练 1.（26-27高三上·广东·阶段检测）记为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求数列的通项公式． 2.（寒假作业04等比数列及其前n项和的性质与应用（8知识点 6大考点 分层巩固培优）高二数学人教A版）已知数列的首项，且满足.证明：数列为等比数列； 3.在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　) A．3n－1 B. C. D. 【考点6 等差与等比数列综合】 【例6】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 跟踪训练 1.（25-26福建莆田·阶段检测）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 3.（2027高三·全国·专题练习）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 课后作业： 基础题组练 1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 2.（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 3.（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知是等比数列，则“”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 5．（25-26高三上·辽宁·期中）等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 9．（多选25-26高三上·山西运城·期中）在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 10．（多选25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 11.（26-27高三上·云南·阶段检测）若1，，m，n依次成等比数列，则________． 12.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 13.（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 14.（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列，，则的值为______. 15.（2026·安徽淮北·一模）已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 16．已知数列满足，且对任意的，都有 (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，及数列的前项和． 能力提升练 17.（2025高三上·全国·竞赛）在下图中，最外面的正方形内包含无限多个正方形，每个正方形都有相同的中心，且边与最外面正方形的边平行．每个正方形与其相邻的内部正方形的边长之比为，其中．如图所示，正方形之间的区域交替涂色（图形未必按比例绘制）．若图形中阴影部分的面积是原正方形面积的，问是多少？（    ）    A． B． C． D． E． 18.（24-25高二上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 19．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（    ） A． B．12 C．17 D． 20.（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $