6.3 等比数列及其前n项和讲义-2027年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等比数列及其前n项和高考核心考点，按定义、公式、性质、应用逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破基本量运算、判定证明等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分层考点设计和素养导向为特色，如在判定证明中引导构造新数列培养推理意识，在实际应用中建立复利模型发展应用意识，配合基础巩固与能力提升练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

6.3 等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab． 提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． (2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． (3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman． (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn． 常用结论 1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数． 6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列． 8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列． 9．若{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是非零常数列． 10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 11．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 考点一　等比数列的基本量运算 考点二　等比数列的判定与证明 考点三　等比数列片段和的性质及应用 考点四　等比数列中的单调性与最值问题 考点五　等比数列奇、偶项和的性质及应用 考点六　等比数列的简单应用 考点一　等比数列的基本量运算 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为（）， 因为，，所以，所以， 所以，所以，解得或. 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 【答案】 【分析】根据化简得，根据化简得，从而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为. 因为且，所以. 由前4项和公式与题设得. 又，所以. 故. 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式即可求公比，结合数列各项为负的条件舍去负根，再代入公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得 ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 4．（25-26高二下·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 【答案】/ 【分析】由等比数列下标性质，，代入条件可直接求出等比数列公比. 【详解】，即，，解得 6．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 又等比数列奇数项的符号相同，所以，则，故． 考点二　等比数列的判定与证明 7．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)因为, 所以有, 当时,, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ， 所以， 等式两边同除， ， 令，则， 构造：， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 还原. 8．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：数列中，由，得， 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以的通项公式为. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义推理得证，再利用等比数列通项公式求解. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求和即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，令数列的前项和为， 则，， 两式相减得， 因此，， 所以数列的前项和. 9．（25-26高二下·湖北武汉·期中）设数列的前n项和，满足，且． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：，， 两式相减得， 又且，解得， 所以， ， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． (2) 【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系，利用相减法得与的递推关系式，从而结合等比数列的定义证明结论； （2）利用错位相减法求解数列的前n项和即可． 【详解】（1）略. （2）由（1）知，，，， （1） （2） （1）-（2）得， . 10．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，，． (1)令，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：因，，，则， 由， 故数列是等比数列，其首项为，公比为3， 故的通项公式为. (2) 【分析】（1）利用数列递推式和等比数列的定义证明，进而写出其通项公式； （2）先求出的通项，再求的通项，利用分组求和与错位相减法分别求和即得. 【详解】（1）证明略；的通项公式为； （2）由（1）得，， 则， 不妨设，设数列的前n项和为， 则， ， 两式相减，可得 即，故得， 于是. 考点三　等比数列片段和的性质及应用 11．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【分析】由等比数列的性质进行求解． 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． 12．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 13．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 14．（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 考点四　等比数列中的单调性与最值问题 15．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别判断充分性和必要性，必要性由递增数列定义直接得证，充分性通过构造反例说明不成立. 【详解】首先证明必要性：若“是递增数列”，则根据递增数列的定义可知， 任意，均有，故，必要性成立. 充分性不成立，理由如下：数列，若， 那么，满足，但数列是摆动数列，不是递增数列. 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 16．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】利用，算出公比，得到通项公式，再逐一判断单调性、最大项,通过等差数列的定义判断数列是等差数列. 【详解】正项等比数列，设公比为，则，， ，， 已知 ，所以 ，因为，所以， 正项数列 ，故 ，A 正确； 因为，，所以正项等比数列单调递减，所以首项就是最大项，B 正确； 因为，，所以正项等比数列是递减数列，C 错误； 因为，，所以，所以 ， 差为常数，所以数列为等差数列，D 正确. 17．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 18．（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 64 【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解 【详解】设等比数列公比为q，则，即，即； 因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，， 当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为 19．（25-26高二下·云南曲靖·期中）（多选）记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件联立方程求出等比数列的首项与公比，再分别分析各选项：利用通项公式验证A；通过指数转化将前项积转化为二次函数形式，求对称轴判断B；根据公比大于且首项为正判断单调性验证C；通过解指数不等式得到的范围，确定最小值验证D． 【详解】设的公比为， 对于A，由题意可得， 解得，A正确； 对于B，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以当时，取得最小值， B错误； 对于C，，故是递增数列，C正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为，D正确． 20．（25-26高二下·北京·期末）若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】取，此时均为递增数列，，为常数列； 取，则数列为递增数列，此时可取， 其中为递减数列，为递增数列. 综上可得：“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 考点五　等比数列奇、偶项和的性质及应用 21．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 22．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 23．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 24．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 25．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 26．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 考点六　等比数列的简单应用 27．（26-27高三上·北京西城·开学考试）现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（    ） A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 【答案】D 【详解】小明误按复利进行计算，每一年的本息和=上一年本息和(1年利率)，利息=本息和-本金， ,,,,, 所以小明误按复利进行计算，5年后的利息是元. 28．（25-26高二下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】C 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 29．（25-26高二下·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 30．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【分析】对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断. 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，可得，解得， 又因为，所以. 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于公比的方程，结合正项条件确定的取值，再根据的值计算. 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立等比数列的通项条件与前3项和条件求解公比和首项，再代入前6项和公式计算结果. 【详解】设等比数列的公比为,, 由得(1) 由(2)， 将式(2)代入式(1)得： ，解得, 将代入式(2)，得，解得, 所以. 4．（25-26高二下·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 5．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由等比数列的性质求解，再进行讨论的取值，由数列的单调性即可求解. 【详解】因为为等比数列，由等比数列的性质可得， 由，两式联立可得或， 若，，则，，可得，则， 且，当时，，递增；当时，，递减， 令，即，解得，即时，，时，， 因此的最大值为，对应； 若，，同理可得， 即， 数列是严格递增的正项等比数列，所有项均大于1， 因此前项积随增大持续递增，不存在最大值，故没有满足条件的. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 8．（25-26高二下·浙江宁波·期末）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设等比数列的公比为， 根据等比数列的前项和的性质，，，，等构成一个公比为的等比数列， 已知，，则，所以， 所以，即， ，即， 因此，故C正确. 9．（26-27高三上·云南·阶段检测）（多选）已知等比数列的公比为，，，是的前项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】AD 【详解】等比数列的公比为， 因为，，解得，选项B错误； ，，选项A正确； ， 因为为奇数，所以， 即，选项C错误； 所以， 当为奇数时，，随增大递减，所以， 当为偶数时，，随增大递增，所以，选项D正确. 10．（25-26高二下·辽宁大连·期中）（多选）记等比数列的前项和为，前项积为，且满足，，，则（     ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AC 【分析】先根据已知条件确定公比的范围，再利用等比数列性质逐一验证选项，通过指数运算、前项和及前项积的单调性判断正误． 【详解】设数列的公比为． ∵，， ∴， 又，∴． ∵， ∴，故A正确； ∵，∴，即，故B错误； ∵，， ∴数列是递减数列， ∵，， ∴是数列中的最大项，故C正确； ， ∵， ∴，即，故D错误． 11．（2026·广西河池·三模）（多选）已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（     ） A．是等比数列 B． C．，，是等比数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【分析】根据题意，结合数列通项公式和相关定义、公式逐项分析即可. 【详解】对于A，由得，，则为常数，故是首项为、公比为的等比数列，故A正确； 对于B，数列是首项、公比的等比数列，前项和，故B错误； 对于C，由于，，， 所以，， 因为，公比为常数，因此，，是等比数列，故C正确； 对于D，假设存在连续三项成等差数列，则，代入通项得，化简得，与矛盾， 因此不存在这样的连续三项，故D错误. 12．（25-26高二上·河北邢台·期末）（多选）某同学暑假抽出最多15天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付60元；第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．假设该同学工作天，则下列选项正确的是（   ） A．按第二种方案得到的劳动总报酬为 B．按第三种方案得到的劳动总报酬为 C．若，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多 D．若，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多 【答案】ACD 【分析】按第一种方案每天得到的劳动报酬构成常数列；按第二种每天的报酬构成等差数列，利用等差数列的求和公式求解，按第三种每天的报酬构成等比数列，利用等比数列的求和公式求解，从而得到结论. 【详解】第一种，每天支付60元，则按第一种方案得到的劳动总报酬为； 第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；则每天的报酬构成首项为，公差为的等差数列， 则按第二种方案得到的劳动总报酬为，即A正确； 第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）， 则每天的报酬构成首项为，公比为的等比数列， 则按第三种方案得到的劳动总报酬为，即B不正确． 因为，，， 所以若，则选择第一种方案得到的劳动总报酬最多，故C正确． 因为， 所以选择第三种方案得到的劳动总报酬最多，故D正确． 故选：ACD. 13．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）在等差数列中，已知，与的等差中项为6，是和的等比中项，则通项公式___________；前项和___________． 【答案】 【分析】根据条件列出方程，求出，，运用公式即可算出与. 【详解】设等差数列的公差为， 根据题意可得：，，因，解得，， 则，即，则，，. .. 14．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知为数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 / 【分析】解法一：由递推关系，构造新的等比数列，得到数列的通项公式，从而求该数列的前项和. 解法二：由结合并项求和法以及等比数列的求和公式即可求出的值. 【详解】解法一：，则， 令，有， 又，， 数列是一个首项为，公比为的等比数列， ，所以， . 解法二：因为，， 所以，数列的前项和为 . 15．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 16．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）数列的前项和为，已知且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可求解； （2）判断数列的单调性即可求解. 【详解】（1）∵①， ∴②， ①-②得：，， 为公比为的等比数列， ②中令，则， ∴. 当时不符合题意， 所以. （2）当时，， 当时，由（1）知：， 则， 令，即，解得， 所以当时，；当时，；当时，； 所以当时，有最大值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab． 提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． (2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． (3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman． (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn． 常用结论 1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数． 6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列． 8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列． 9．若{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是非零常数列． 10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 11．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 考点一　等比数列的基本量运算 考点二　等比数列的判定与证明 考点三　等比数列片段和的性质及应用 考点四　等比数列中的单调性与最值问题 考点五　等比数列奇、偶项和的性质及应用 考点六　等比数列的简单应用 考点一　等比数列的基本量运算 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 5．（2026高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 6．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 考点二　等比数列的判定与证明 7．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 8．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 9．（25-26高二下·湖北武汉·期中）设数列的前n项和，满足，且． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 10．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，，． (1)令，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 考点三　等比数列片段和的性质及应用 11．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 12．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 13．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 14．（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 考点四　等比数列中的单调性与最值问题 15．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 17．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 18．（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 19．（25-26高二下·云南曲靖·期中）（多选）记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 20．（25-26高二下·北京·期末）若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五　等比数列奇、偶项和的性质及应用 21．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 22．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 23．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 24．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 25．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 26．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 考点六　等比数列的简单应用 27．（26-27高三上·北京西城·开学考试）现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（    ） A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 28．（25-26高二下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 29．（25-26高二下·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 30．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 8．（25-26高二下·浙江宁波·期末）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·云南·阶段检测）（多选）已知等比数列的公比为，，，是的前项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 10．（25-26高二下·辽宁大连·期中）（多选）记等比数列的前项和为，前项积为，且满足，，，则（     ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 11．（2026·广西河池·三模）（多选）已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（     ） A．是等比数列 B． C．，，是等比数列 D．中存在连续三项成等差数列 12．（25-26高二上·河北邢台·期末）（多选）某同学暑假抽出最多15天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付60元；第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．假设该同学工作天，则下列选项正确的是（   ） A．按第二种方案得到的劳动总报酬为 B．按第三种方案得到的劳动总报酬为 C．若，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多 D．若，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多 13．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）在等差数列中，已知，与的等差中项为6，是和的等比中项，则通项公式___________；前项和___________． 14．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知为数列的前项和，且，，则__________． 15．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 16．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）数列的前项和为，已知且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $