专题3.1圆的相关概念（4大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.1圆的相关概念 知识点1 ：圆的定义 　　1. 描述性定义：在一个平面内，线段OP绕着端点O旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆。其中点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 　　2. 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中定点是圆心，定长是半径。 　　3. 圆的表示：以点O为圆心的圆，记作，读作“圆O”。 　　4. 注意：圆是指“圆周”（一条封闭的曲线），而不是指“圆面”。 　　5. 确定一个圆的两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6. 圆的特性：圆上各点到圆心的距离都相等（都等于半径）；到圆心的距离相等的点都在同一个圆上。 知识点2 ：圆的有关概念 概念 定义 举例与说明 图例 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图，CD是的弦；圆中有无数条弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 如图，DE是的直径；直径是圆中最长的弦；直径是弦，但弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的曲线段叫做圆弧，简称弧 以C、D为端点的弧记作，读作“弧CD” 半圆 直径的两个端点把圆分成的每条弧都叫半圆 半圆既不是优弧也不是劣弧 优弧、劣弧 大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 弧包括优弧、劣弧和半圆 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆心角的两边都与圆相交 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆 如两圆共圆心，但半径不同 等圆 半径相等的两个圆叫做等圆 只与半径有关，与圆心位置无关 知识点3： 圆的有关结论 　　1. 同圆或等圆的半径相等。 　　2. 直径是弦，弦不一定是直径；直径是圆中最长的弦。 　　3. 弧包括优弧、劣弧和半圆，半圆既不是优弧也不是劣弧。 　　4. 圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形。 　　5. 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧，只有同圆或等圆中的弧才可能是等弧。 知识点4： 尺规作图：作圆的内接正方形 　　1. 过圆心O作一条直径AC； 　　2. 过点O作，分别交圆O于B、D两点； 　　3. 依次连接A、B、C、D，四边形ABCD就是所求作的正方形。 【基础必考题型】 【题型1】圆的定义与要素辨析 1.核心知识点 　　圆的描述性与集合性定义；圆心决定位置、半径决定大小。 2.解题方法技巧 　　①抓住“到定点的距离等于定长”这一核心； 　　②圆心确定位置，半径确定大小，二者缺一不可； ③判断能否确定一个圆，要看是否同时具备圆心与半径。 【例题1】.（24-25八年级上·上海静安·期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·北京·课后作业）用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于的点的集合． 【变式题1-2】.（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是___________． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【题型2】弦、弧、直径、圆心角的概念辨析 1.核心知识点 　　弦、直径、弧（半圆、优弧、劣弧）、圆心角等概念的定义与联系。 2.解题方法技巧 　　①直径是过圆心的弦，是最长的弦； 　　②弧包括半圆、优弧、劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧； ③圆心角顶点必须在圆心，两边都与圆相交。 【例题2】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【题型3】等圆、同心圆与等弧的判断 1.核心知识点 　　等圆（半径相等）、同心圆（圆心相同）、等弧（能重合）的判定。 2.解题方法技巧 　　①等圆只由半径决定，与圆心位置无关； 　　②同心圆圆心相同但半径不等； ③长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆中。 【例题3】.（25-26九年级上·山东威海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【变式题3-1】.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【变式题3-2】.（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点A，B在上，点C，D在上，判断下列说法是否正确： (1)若，则与是等圆； (2)若，则与是等圆； (3)若，则与是等弧； (4)若，则与是等弧． 【培优高频题型】 【题型4】与圆的定义相关的证明（多点共圆） 1.核心知识点 　　利用圆的定义证明若干点在同一圆上。 2.解题方法技巧 　　①选定一个点为圆心； 　　②证明其余各点到该点的距离相等； ③由圆的定义，距离相等的点共圆。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）求证：菱形各边的中点在同一个圆上． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，点C，D在弦上，且． (1)如图（1），弦经过圆心O，求证：； (2)如图（2），弦不经过圆心O，与是否仍相等？说明理由． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，为直径．求证． 【变式题4-3】.（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型5】与圆有关的计算（半径与角度） 1.核心知识点 　　利用半径相等构造等腰三角形；三角形外角性质求角度。 2.解题方法技巧 　　①连接圆心与圆上点，构造等腰三角形； 　　②利用“半径相等→等腰→等角”转化角度； ③三角形外角等于不相邻两内角之和。 【例题5】.（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【变式题5-2】.（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【题型6】圆心角的识别与计算 1.核心知识点 　　圆心角定义；圆心角的度数；扇形统计图中的圆心角。 2.解题方法技巧 　　①圆心角顶点在圆心； 　　②扇形圆心角=该扇形所占比例×360°； ③结合量角器、统计图等情境判断。 【例题6】.（第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 易错点 　　1、误认为“圆”指圆面，忽略圆是圆周这一封闭曲线。 　　2、混淆“直径是弦”与“弦是直径”，直径是最长的弦但弦不一定是直径。 　　3、误认为长度相等的弧是等弧，忽略等弧须在同圆或等圆中。 　　4、误认为半圆是优弧或劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧。 　　5、圆心角顶点必须在圆心，忽略顶点位置致误。 　　6、判断能否确定圆时漏掉圆心或半径其中一个要素。 重点 　　1、理解圆的描述性定义和集合性定义。 　　2、掌握弦、直径、弧、圆心角、等圆、同心圆等概念及其关系。 　　3、会用尺规作圆的内接正方形。 　　4、利用圆的定义证明多点共圆。 难点 　　1、利用“到定点距离等于定长”识别隐形圆，解决动点最值问题。 　　2、与圆有关的综合计算（半径、弦、角度），构造辅助线。 　　3、同心圆中弦与半径的关系及计算证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 3．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 二、填空题 4．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 5．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 6．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 三、解答题 7．下列说法正确吗？如不正确，请说明理由． (1)半径确定了，圆就确定了． (2)弦是直径． (3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧． (4)直径是圆中最长的弦． 8．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 9．如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1圆的相关概念 知识点1 ：圆的定义 　　1. 描述性定义：在一个平面内，线段OP绕着端点O旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆。其中点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 　　2. 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中定点是圆心，定长是半径。 　　3. 圆的表示：以点O为圆心的圆，记作，读作“圆O”。 　　4. 注意：圆是指“圆周”（一条封闭的曲线），而不是指“圆面”。 　　5. 确定一个圆的两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6. 圆的特性：圆上各点到圆心的距离都相等（都等于半径）；到圆心的距离相等的点都在同一个圆上。 知识点2 ：圆的有关概念 概念 定义 举例与说明 图例 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图，CD是的弦；圆中有无数条弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 如图，DE是的直径；直径是圆中最长的弦；直径是弦，但弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的曲线段叫做圆弧，简称弧 以C、D为端点的弧记作，读作“弧CD” 半圆 直径的两个端点把圆分成的每条弧都叫半圆 半圆既不是优弧也不是劣弧 优弧、劣弧 大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 弧包括优弧、劣弧和半圆 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆心角的两边都与圆相交 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆 如两圆共圆心，但半径不同 等圆 半径相等的两个圆叫做等圆 只与半径有关，与圆心位置无关 知识点3： 圆的有关结论 　　1. 同圆或等圆的半径相等。 　　2. 直径是弦，弦不一定是直径；直径是圆中最长的弦。 　　3. 弧包括优弧、劣弧和半圆，半圆既不是优弧也不是劣弧。 　　4. 圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形。 　　5. 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧，只有同圆或等圆中的弧才可能是等弧。 知识点4： 尺规作图：作圆的内接正方形 　　1. 过圆心O作一条直径AC； 　　2. 过点O作，分别交圆O于B、D两点； 　　3. 依次连接A、B、C、D，四边形ABCD就是所求作的正方形。 【基础必考题型】 【题型1】圆的定义与要素辨析 1.核心知识点 　　圆的描述性与集合性定义；圆心决定位置、半径决定大小。 2.解题方法技巧 　　①抓住“到定点的距离等于定长”这一核心； 　　②圆心确定位置，半径确定大小，二者缺一不可； ③判断能否确定一个圆，要看是否同时具备圆心与半径。 【例题1】.（24-25八年级上·上海静安·期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·北京·课后作业）用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于的点的集合． 【答案】 如图： 【分析】本题考查了圆的基本概念． 到定点A的距离等于的点的集合是以定点A为圆心，为半径的圆上．小于的点的集合是圆内所有的点，即以A为圆心，为半径画圆，将圆的内部用阴影表示即可． 【详解】略 【变式题1-2】.（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是___________． 【答案】圆心 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，根据圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合，则定点是圆心，即可作答． 【详解】解：∵圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合， ∴定点是圆心， 故答案为：圆心 【变式题1-3】.（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以该图形是圆． 故选：A． 【题型2】弦、弧、直径、圆心角的概念辨析 1.核心知识点 　　弦、直径、弧（半圆、优弧、劣弧）、圆心角等概念的定义与联系。 2.解题方法技巧 　　①直径是过圆心的弦，是最长的弦； 　　②弧包括半圆、优弧、劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧； ③圆心角顶点必须在圆心，两边都与圆相交。 【例题2】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 【题型3】等圆、同心圆与等弧的判断 1.核心知识点 　　等圆（半径相等）、同心圆（圆心相同）、等弧（能重合）的判定。 2.解题方法技巧 　　①等圆只由半径决定，与圆心位置无关； 　　②同心圆圆心相同但半径不等； ③长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆中。 【例题3】.（25-26九年级上·山东威海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理．需要根据这些知识判断各选项的正误即可． 【详解】解：选项A：长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆中才成立，故A错误； 选项B：在同圆或等圆中，等弦所对的弧有优弧和劣弧之分，不一定相等，除非指定弧的类型，故B错误； 选项C：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆的基本性质，故C正确； 选项D：平分弦的直径垂直于弦，但必须满足弦非直径，否则不一定成立，故D错误． 故选C． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧、确定圆的条件、优弧与劣弧的比较以及圆心角与弦的关系．需根据初中数学知识逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵等弧需在同圆或等圆中定义，长度相等的弧不一定重合，故A错误； 三点共线时不能确定圆，故B错误； 优弧与劣弧长度比较需在同圆中成立，否则不一定，故C错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理，故D正确． 故选：D． 【变式题3-2】.（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质．根据弧，弦，圆心角的关系逐个判断即可，特别强调同圆或等圆中这一前提条件． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误； ③同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧称为等弧； 没有正确的说法， 故选：D． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点A，B在上，点C，D在上，判断下列说法是否正确： (1)若，则与是等圆； (2)若，则与是等圆； (3)若，则与是等弧； (4)若，则与是等弧． 【答案】(1) 说法错误 (2) 说法正确 (3) 说法错误 (4) 说法错误 【分析】根据等圆和等弧的定义判断，等圆是半径相等的圆，等弧是能完全重合的弧，只有在同圆或等圆中才能存在等弧． 【详解】（1）解：弦长仅表示弦的长度相等，不同半径的圆中可以存在长度相等的弦，无法推出两圆半径相等，因此该说法错误； （2）解：是的半径，是的半径，且， 两圆半径相等，两圆是等圆，因此该说法正确； （3）解：只有在同圆或等圆中，才能得到等弦对等弧，题目未说明和是等圆， 弦相等不能推出两弧是等弧，因此该说法错误； （4）解：仅给出半径相等，未说明弦与相等，和的长度不一定相等，无法重合， 该说法错误． 【培优高频题型】 【题型4】与圆的定义相关的证明（多点共圆） 1.核心知识点 　　利用圆的定义证明若干点在同一圆上。 2.解题方法技巧 　　①选定一个点为圆心； 　　②证明其余各点到该点的距离相等； ③由圆的定义，距离相等的点共圆。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）求证：菱形各边的中点在同一个圆上． 【答案】证明：如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点，连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上． 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得，同理可证得，，，再根据点与圆的位置关系求解． 【详解】略 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，点C，D在弦上，且． (1)如图（1），弦经过圆心O，求证：； (2)如图（2），弦不经过圆心O，与是否仍相等？说明理由． 【答案】(1)∵ 过圆心O， ∴． 又∵， ∴， 也就是． (2)与仍然相等，理由如下： 连接，，则． ∴，又， ∴， ∴． 【分析】（1）因为是过圆心的弦，所以，再结合的条件，通过线段的和与差运算推导与的关系． （2）连接，，利用等腰三角形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，为直径．求证． 【答案】证明：连接． ∵都是的直径， ∴，． 又∵ ， ∴， ∴， ∴． 【分析】因为都是的直径，所以，．结合对顶角相等的条件，证明和全等．由全等三角形对应角相等，得到内错角相等，根据平行线的判定定理即可证得． 【详解】略 【变式题4-3】.（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 【题型5】与圆有关的计算（半径与角度） 1.核心知识点 　　利用半径相等构造等腰三角形；三角形外角性质求角度。 2.解题方法技巧 　　①连接圆心与圆上点，构造等腰三角形； 　　②利用“半径相等→等腰→等角”转化角度； ③三角形外角等于不相邻两内角之和。 【例题5】.（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 【变式题5-2】.（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 【变式题5-3】.（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 【题型6】圆心角的识别与计算 1.核心知识点 　　圆心角定义；圆心角的度数；扇形统计图中的圆心角。 2.解题方法技巧 　　①圆心角顶点在圆心； 　　②扇形圆心角=该扇形所占比例×360°； ③结合量角器、统计图等情境判断。 【例题6】.（第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 【变式题6-1】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【变式题6-3】.（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 易错点 　　1、误认为“圆”指圆面，忽略圆是圆周这一封闭曲线。 　　2、混淆“直径是弦”与“弦是直径”，直径是最长的弦但弦不一定是直径。 　　3、误认为长度相等的弧是等弧，忽略等弧须在同圆或等圆中。 　　4、误认为半圆是优弧或劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧。 　　5、圆心角顶点必须在圆心，忽略顶点位置致误。 　　6、判断能否确定圆时漏掉圆心或半径其中一个要素。 重点 　　1、理解圆的描述性定义和集合性定义。 　　2、掌握弦、直径、弧、圆心角、等圆、同心圆等概念及其关系。 　　3、会用尺规作圆的内接正方形。 　　4、利用圆的定义证明多点共圆。 难点 　　1、利用“到定点距离等于定长”识别隐形圆，解决动点最值问题。 　　2、与圆有关的综合计算（半径、弦、角度），构造辅助线。 　　3、同心圆中弦与半径的关系及计算证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 2．下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 【答案】D 【分析】C、D选项表述矛盾，可优先结合圆的中心对称性质判断对称中心数量． 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确． 3．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 二、填空题 4．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，再将半径代入圆的面积公式计算得到花坛的面积． 【详解】解：取，根据圆的周长公式，计算圆形花坛的半径： 米， 再根据圆的面积公式，计算圆形花坛的面积： 平方米． 5．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 三、解答题 7．下列说法正确吗？如不正确，请说明理由． (1)半径确定了，圆就确定了． (2)弦是直径． (3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧． (4)直径是圆中最长的弦． 【答案】(1)不正确，理由： ∵圆的位置由圆心确定，大小由半径确定，二者缺一不可． ∴仅半径确定时，圆心位置不固定，无法唯一确定圆． (2)不正确，理由： ∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦． ∴弦不一定是直径． (3)不正确，理由： ∵同一条弦所对的弧有两条，当弦不是直径时，两条弧分别为优弧和劣弧，长度不相等；只有当弦为直径时，所对的两条弧是等长的半圆． ∴同一条弦所对的两条弧不一定是等弧． (4)正确 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 8．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 9．如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $