3.2探索三角形相似的条件同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件 同步训练 第1课时 相似三角形的定义及其判定定理1 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 相似三角形的定义 1. 如图3-2-1，若使△ABC∽△A′B′C′，必须要满足： （1）∠A=________，∠B=________，∠C=________； （2）AB/A′B′=________=________． 2. 下列说法中错误的是 （ ） A. 两个全等三角形一定相似 B. 两个直角三角形一定相似 C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D. 相似的两个三角形不一定全等 知识点2 两角分别相等的两个三角形相似 3. 如图3-2-2所示的三个三角形中相似的是 （ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 4. 根据图3-2-3中所标注的数据，三角形①与三角形②________（填"相似"或"不相似"），理由是________________． 5. 如图3-2-4，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件：________，使得△AOB∽△COD． 6. 如图3-2-5，AB∥EF，AE∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有________对． 7. 如图3-2-6，在△PAB中，点C，D在AB上，PC=PD，∠A=∠BPD．求证：△APC∽△PBD． 8. 如图3-2-7，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长． B 规律方法综合练 训练思维 9. 如图3-2-8，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中正确的有 （ ） ①△ACD∽△CBD； ②△ACD∽△ABC； ③△BCD∽△ABC； ④△BCD∽△BAC． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图3-2-9，在△ABC中，已知AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个动点．如果△AEF与△ABC相似，那么EF的长为________． 11. 如图3-2-10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是边BC上异于B，C两点的一个动点，过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围． C 拓广探究创新练 提升素养 12.（1）某学校"智慧方园"数学社团遇到这样一个题目：如图3-2-11①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=3√3，BO:CO=1:3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图②）． 请回答：∠ADB=______°，AB=______； （2）请参考以上解题思路，解决问题： 如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=3√3，∠ABC=∠ACB=75°，BO:OD=1:3，求CD的长． 第2课时 相似三角形的判定定理2 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1. 如图3-2-12，在△AOB与△DOC中， ∵∠AOB=________， 且AO/DO=________， ∴△AOB∽△DOC． 2. 如图3-2-13所示，已知△ABC，则图3-2-14中与△ABC相似的是 （ ） 3. 在△ABC和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，AB=6，BC=8，B′C′=4，则当A′B′=______时，△ABC∽△A′B′C′． 4. 如图3-2-15，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF． 5. 如图3-2-16，已知AB·AF=AE·AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AEF． 6. 如图3-2-17，在△ABC中，CD是边AB上的高，且CD²=AD·BD． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的度数． B 规律方法综合练 训练思维 7. 如图3-2-18，能保证△ABC与△ACD相似的条件是 （ ） A. AB/BC=AC/CD B. BC/AC=CD/AD C. AC²=AD·AB D. CD²=AD·DB 8. 在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，沿图3-2-19中虚线剪开，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是 （ ） 9. 如图3-2-20，用一个卡钳（AD=BC，OC/OB=OD/OA=1/3）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长度为6 cm，则AB=________cm． 10. 如图3-2-21，P为△ABC的中线AD上的一点，且BD²=PD·AD．求证：∠DAC=∠DCP． C 拓广探究创新练 提升素养 11. 如图3-2-22，在△ABC中，点P，D分别在边BC，AC上，PA⊥AB，垂足为A，DP⊥BC，垂足为P，且AP/PD=AB/PC． （1）求证：∠APD=∠C． （2）如果AB=3，DC=2，求AP的长． 第3课时 相似三角形的判定定理3 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点 三边成比例的两个三角形相似 1. 如图3-2-23，在△ABC和△A′B′C′中， ∵AB/A′B′=________=________， ∴△ABC∽△A′B′C′． 2. 若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF相似的是 （ ） A. AB=6，BC=6，AC=9，DE=4，EF=4，DF=6 B. AB=4，BC=6，AC=8，DE=6，EF=10，DF=15 C. AB=1，BC=√2，AC=2，DE=√6，EF=√3，DF=√5 D. AB=1，BC=√5，AC=3，DE=√15，EF=2√3，DF=√6 3. 如图3-2-24所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是 （ ） 4. 在△ABC中，AB=3，AC=4，在△A′B′C′中，A′B′=8，A′C′=6，则当BC/B′C′=________时，△A′B′C′∽△ACB． 5. 如图3-2-26，已知O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．求证：△ABC∽△DEF． B 规律方法综合练 训练思维 6. 在如图3-2-27所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据"马走日"的规则，"马"落在下列哪个位置处，能使"马""车""炮"所在位置的格点构成的三角形与"帅""相""兵"所在位置的格点构成的三角形相似 （ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 7. 要做形状为三角形的甲、乙两个框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，则乙三角形框架的两边长可以是________． 8. 如图3-2-28，已知AB/AD=BC/DE=AC/AE．求证：△ABD∽△ACE． 9. 如图3-2-29，在边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点处，P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； （2）画一个三角形，使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个点，并且与△ABC相似． 第4课时 黄金分割 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点 黄金分割的定义 1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是 （ ） A. 如果AC/AB=BC/AC，那么线段AB被点C黄金分割 B. 如果AC²=AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割 C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫作黄金比 D. 一条线段有两个黄金分割点 2. 如图3-2-31所示，B是线段AC的黄金分割点（AB>BC），则下列结论中，正确的是 （ ） A. AC²=AB²+BC² B. BC²=AC·AB C. AB/AC=(√5-1)/2 D. BC/AC=(√5-1)/2 3. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图3-2-32，点B为线段AC的黄金分割点（AB>BC），若AC=100 cm，则AB的长为 （ ） A. (150-50√5)cm B. (100√5-100)cm C. (50√5-50)cm D. (50√5+50)cm 4. 如图3-2-33，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D两点之间的距离． B 规律方法综合练 训练思维 5. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割比，在大自然中呈现出优美的样子．如图3-2-34，点P是AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长为8 cm，那么BP的长为 （ ） A. (√5-1)/2 cm B. (12-4√5)cm C. (4√5-4)cm D. (8√5-8)cm 6. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图3-2-35的正方形习字格书写的汉字"晋"端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，"晋"字的笔画"、"的位置在AB的黄金分割点C处，且BC/AB=(√5-1)/2．若NP=2 cm，则BC的长为________cm（结果保留根号）． 7. 宽与长之比为(√5-1)/2:1的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图3-2-36，如果在一个黄金矩形ABCD里面画一个正方形ABEF，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 参考答案 第1课时 相似三角形的定义及其判定定理1 1.（1）∠A′ ∠B′ ∠C′ （2）AC/A′C′ BC/B′C′ 2. B 3. A 4. 相似 两角分别相等的两个三角形相似 5. ∠A=∠C（答案不唯一） 6. 3 7. 略 8.（1）证明：∵DF⊥AE，四边形ABCD为矩形，∴∠AFD=90°=∠B，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△ABE∽△DFA． （2）7.2 9. C 10. 7/2或14/3 11.（1）略 （2）y=1/2 x²-√2 x+2（0<x<2√2） 12.（1）75 4√3 （2）4√13 第2课时 相似三角形的判定定理2 1. ∠DCO BO/CO 2. C 3. 3 4. 略 5. 证明：∵AB·AF=AE·AC，∴AB/AE=AC/AF．∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAF=∠1+∠BAF，即∠BAC=∠EAF，∴△ABC∽△AEF． 6.（1）证明略 （2）90° 7. C 8. D 9. 18 10. 略 11. 解：（1）证明略 （2）AP=√3 第3课时 相似三角形的判定定理3 1. AC/A′C′ BC/B′C′ 2. A 3. A 4. 1/2 5. 略 6. B 7. 5/2和3，或8/5和12/5，或4/3和5/3 8. 略 9.（1）△ABC∽△DEF，理由略；（2）画图略 第4课时 黄金分割 1. C 2. C 3. C 4. (80√5-160)cm 5. B 6. (√5-1) 7. 解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．证明略． 学科网（北京）股份有限公司 $