精品解析：江苏省梅村高级中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

江苏省梅村高级中学2026-2027学年度第一学期9月阶段检测 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 2026.9 一、单选题（本题共8题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ） A. B. C. D. 2 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 在正项等比数列中，，，满足，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 8 6. 已知函数，数列满足，则（ ） A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4038 7. 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可由图象向左平移个单位得到 C. 函数的单调递增区间为 D. 若在上恰有3个最值点和4个零点，则 10. 设为复数，且，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的实部与的虚部互为相反数 C. 若为纯虚数，则为实数 D. 若，则在复平面内对应的点不可能在同一象限 11. 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 三、填空题（本题共3题，共15分） 12. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 14. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是_____. 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 16. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 17. 已知． （Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，最小值为，令，求的解析式及其最小值（注：为自然对数的底数）． 18. 由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量，分别为数轴，正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”． （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由： （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数． ①若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； ②若函数在区间内恰有4个不同的零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数（），． （1）当时，求的单调区间． （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）若存在两个极值点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2026-2027学年度第一学期9月阶段检测 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 2026.9 一、单选题（本题共8题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B，然后由交集运算可得. 【详解】由指数函数性质可知，， 由得，所以， 所以. 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 3. 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】易得为等边三角形，设点为的中点，根据，可得点为的重心，从而可求得的长度，再根据数量积的定义即可得解. 【详解】解：在菱形，，则为等边三角形， 因为， 所以， 设点为的中点， 则，所以， 所以三点共线，所以为的中线， 同理可得点的中线过点， 所以点为的重心， 故， 在等边中，为的中点，则， 所以. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 由，得，得， 则推不出，推不出， 故“”是“”的既不充分又不必要条件． 5. 在正项等比数列中，，，满足，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列的公比为正数，利用的关系求得公比的值，进而得到通项公式，然后代入已知等式=，得到关于的指数方程，求解即得. 【详解】由题意得公比， 首项， ∴， 由， 可得，解得, 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，求得通项公式是关键，将通项公式代入已知等式，对左边各项的积按照同底数的幂的乘法运算，结合等差数列的求和公式化简，是解决此题的一个小难点. 6. 已知函数，数列满足，则（ ） A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4038 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可. 【详解】∵， ∴． 又∵， ∴． 令， 则， 两式相加得，∴． 故选：A 7. 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，判断的奇偶性和单调性，结合对数运算和对数函数的性质，进而可得大小关系. 【详解】由，令，则， 由，故为偶函数， 当时，在上单调递增， ， ， 因为，， 所以， 所以, 所以 即. 8. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得，构造函数，由，可得，利用导数分析函数的单调性，画出函数图象，解不等式组即可求解. 【详解】由已知得，即， 令，其中为常数， 又，代入可得，故， ，解得， ，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数和的图象，由图可知3是唯一的正整数解， 故，解得. 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可由图象向左平移个单位得到 C. 函数的单调递增区间为 D. 若在上恰有3个最值点和4个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项对利用平方差公式、二倍角公式化简函数解析式对比判断正误；B选项利用三角函数图像平移规则，先统一函数名称再验证平移结果；C选项求出解析式，换元结合余弦函数单调区间求解；D选项写出表达式，换元得到的取值范围，根据区间内最值点、零点个数列出不等式，联立求解范围． 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，向左平移个单位得到： ， 且，B正确； 对于C，， 令，余弦函数的单调递增区间为， 解得，和选项表述一致，C正确； 对于D，， 令，则， 恰有3个最值点：正弦函数最值点对应，要求第3个最值点落在区间内、第4个最值点不落在区间内，即； 恰有4个零点：正弦函数零点对应，要求第4个零点落在区间内、第5个零点不落在区间内，即； 联立两个不等式解得，D正确． 10. 设为复数，且，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的实部与的虚部互为相反数 C. 若为纯虚数，则为实数 D. 若，则在复平面内对应的点不可能在同一象限 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，取，显然，且，但，所以A选项当选， 对于B，设，则，得到， 所以的实部与的虚部互为相反数，故B不选， 对于C，取，则为纯虚数，但不为实数，所以C选项当选， 对于D，设，，则， 所以，若在复平面内对应的点在同一象限，则同号，同号， 则，矛盾， 所以在复平面内对应的点不可能在同一象限，故D不选. 11. 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的意义求得极大值和极小值，进而计算求得可判断A；计算可得，与不共线，可判断B；由题意得，计算可判断C；设，计算得，结合导数的意义可判断D. 【详解】对于A，由，得， 令，得，解得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以极大值， 极小值， 所以，解得，故A正确； 对于B，由A知，令，解得或或， 从而可得曲线和轴的三个交点为，，， 又， 所以，， 所以，与不共线，所以四边形为平行四边形，故B正确； 对于C，由，可得， 令，解得， 所以在曲线上存在两个不同的点的切线与直线平行，故C错误； 对于D，设， 则，，， 所以， 又曲线在处的切线斜率为， 所以，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等，故D正确. 三、填空题（本题共3题，共15分） 12. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知，求出，，由，得，再由，得，即可求得的最大值. 【详解】由已知，，，， 则， 又， 所以， 因为，则， 又，所以， 解得， 所以的最大值为. 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令函数并确定函数的奇偶性，再利用导数确定函数的单调性，进而求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 则，即函数是R上的奇函数， 又，当且仅当时取等号， 因此函数在R上单调递增， 所以不等式， 则，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为，其中，结合图象知，当时，对应两个解，利用解出，并得到的表达式，以此构造函数，利用函数单调性求取值范围即可. 【详解】令，则等价于， 为函数的解，对应为的解， 结合图象知，当时，对应两个解， 不妨设，于是， 得，，， 令，有， 设，则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且， 因此的取值范围是， 即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可 （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得， 又由， 得，即， 进而有，即 可得， 又因为，可得； 【小问2详解】 由题意得，解得， 所以， 所以， . 故的取值范围为 16. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【小问1详解】 数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 ，故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 17. 已知． （Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，最小值为，令，求的解析式及其最小值（注：为自然对数的底数）． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），1． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由复合函数的单调性得函数在上单调递增，则，解出即可； （Ⅱ）由题意得，设，则，，再分类讨论即可得到，再根据函数的单调性即可求出最小值． 【详解】解：（Ⅰ）∵函数在上单调递增， 函数在上单调递增，， ∴函数在上单调递增， ∴，解得， ∴实数的取值范围是； （Ⅱ）∵，∴，设， 则，， ①当时，函数在上单调递增， ∴最大值，最小值， ∴； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴最大值，最小值， ∴； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴最大值，最小值， ∴； ④当时，函数在上单调递减， ∴最大值，最小值， ∴； 综上，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值1． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，考查含参的二次函数在闭区间上的最值，考查计算能力，考查分类讨论的方法，属于难题． 18. 由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量，分别为数轴，正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”． （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由： （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数． ①若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； ②若函数在区间内恰有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）不正确 理由：因为，分别为，正方向上的单位向量，且夹角为， 所以，， 因为，所以，即， 则有， 所以“”的充要条件是“”， 所以“”的充要条件是“”是不正确的． （2）①② 【解析】 【分析】(1)通过向量垂直时它们数量积为这一性质表示出来求解充要条件. (2)①表示出后通过换元法将其转化为与函数交点的问题求解. ②表示出后通过换元法进而转化为根分布问题求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由(1)知， 所以 ． ①令，则 因为，所以，则， 又 ， 即， 所以，． 已知存在，使成立，即对有解． 因为时，， 所以对有解． 令，，单调递增， 当时，． 所以，即实数的取值范围是． ② ， 令，则 因为，所以，则， 则，． 令，可得， 因为，所以方程有2个不等实根， 要使有4个不同的零点，则两根，， 则，即，解得. 即实数的取值范围为. 19. 已知函数（），． （1）当时，求的单调区间． （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）若存在两个极值点，且，求证：． 【答案】（1）在和单调递减，在单调递增. （2）. （3）证明：因为，对其求导. 存在两个极值点，，所以方程有两个不同正根，， 所以，，，所以，. 因为，， 所以， 因为，所以. 又，所以. 令，所以，，. 所以，，，. 所以，. 原不等式等价于证：，恒成立. 整理得： 设，即只需要证明在上恒成立. 对其求导，此时； 令，对其求导得：， 此时； 令，对其求导：， 令，对其求导得：，当时，，所以单调递增. 由，所以当时，恒成立，所以在时单调递增； 又因为，所以当时， 恒成立，即在时单调递增； 由，所以在时恒成立，即在时单调递增； 所以，即当时，，即证. 【解析】 【分析】（1）求导找临界点，分区间判导函数正负得单调区间； （2） 化简消元后构造函数，利用端点最小值即可求解. （3）先由极值点条件得出，，再对化简，通过换元双变量问题转化为单变量问题，最后构造函数并利用导数分析单调性来证明不等式. 【小问1详解】 当时，. 对其求导得：； 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，在和单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 将、代入可得： ，整理得：. 分离参数得：移项得. 令.求导得：. 令.对其求导得：. 因为，所以，所以在单调递增，所以， 即在大于0恒成立. 所以恒成立，即在单调递增. 要满足恒成立，即. 综上所述，. 【小问3详解】 略 【点睛】（1）求导进行讨论单调性； （2）运用分离参数的方法进行求解； （3）用韦达定理化简，换元转单变量，构造函数求导证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $