精品解析：江苏泰州市兴化市楚水实验学校2026-2027学年第一学期阶段测试1高三数学试卷

兴化市楚水实验学校2026~2027学年第一学期阶段测试1 高三数学试卷 （考试用时：120 分钟　　总分：150 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 28秒 6. 关于x的方程（）的实数解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与a的取值有关 7. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 11. 已知函数为定义在上的可导函数，为奇函数，的图象关于对称，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 为偶函数 C. D. 在上至少有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与曲线相切，则_____． 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 14. 已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若，使得 成立，求实数的取值范围； （2）已知，若时，的最大值为，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极小值，求实数的值. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 19. 已知，函数的定义域为，记集合． （1）若，，且，求实数的取值范围； （2）若是否存在，使得中恰有两个元素？ （3）若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数是上的增函数，证明：“在点处的切线方程为”的充要条件是“”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴化市楚水实验学校2026~2027学年第一学期阶段测试1 高三数学试卷 （考试用时：120 分钟　　总分：150 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，由得， 故， 所以 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式对应的取值范围，比较范围的包含关系，利用 “小范围推大范围，大范围不能推小范围” 判断充分、必要性. 【详解】由 知 ，两边同乘 得 ，即 ， 所以“”能推出“”，充分性成立； 但当 时 ，即“”推不出“”，必要性不成立. 故为充分不必要条件. 3. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 所以， 令， 在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，所以. 所以的取值范围为. 4. 已知，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对利用换底公式进行变换，可比较出与的大小，再将和与进行比较，从而得出答案. 【详解】，而， 所以，即， ， 而，所以， 综上：. 5. 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 28秒 【答案】C 【解析】 【详解】设最坏情况下破译该密码需要秒，则， 方程两边同时取以为底的对数得，，化简得， 所以，化简得， 由题目提供的参考数据，，，所以， 所以； 估算，与接近，因此有， 故 6. 关于x的方程（）的实数解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与a的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】令，再结合，两类情况去绝对值讨论，即可求解. 【详解】令 ，原方程转化为 ，分两种情况讨论： 当 时：，方程变为， 若 ，解得唯一非负解 ，对应原方程解 ； 若 ，此情况无实根； 当 时：，方程变为，即， 若 ，解得唯一负解 ，对应原方程解 ； 若 ，此情况无实根； 综上：无论 取正还是负，方程都仅有1个实数解. 7. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过奇偶性推导出函数周期为4 ，再结合已知的函数解析式及可求出，再利用周期性将转化至已知区间内代入求解. 【详解】由为奇函数得， 令，则，解得， 由为偶函数得， 在中将替换为，得， 进而有， 则， 所以的最小正周期为4， 由得， ， ， 由题意得，即， 解得，进而，所以当时，， ， 所以， 其中，所以， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 11. 已知函数为定义在上的可导函数，为奇函数，的图象关于对称，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 为偶函数 C. D. 在上至少有5个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】本题先由函数图象变换得到原函数对称轴，结合奇函数条件推导函数对称关系；对函数求导，可得到导函数的对称与奇偶性质；判断选项时，既可以通过代数推导，也可借助举反例的方式排除错误选项. 【详解】的图象关于对称，所以， 所以，故的图象关于对称， 又因为为奇函数，所以以点中心对称， 所以的图象关于对称，故A正确； 因为，所以，所以，故B正确； 因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为为偶函数，所以，故C错误； 取，满足条件，因为，此时函数只有3个零点，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与曲线相切，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，先求出切点横坐标，再确定切点坐标，代入直线方程即可求得的值. 【详解】直线的斜率， 曲线的定义域为，对其求导得：. 令，即，解得，满足， 将代入曲线方程，得，即切点坐标为. 由于切点在切线上，将代入直线方程，得，解得. 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 14. 已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①通过画出函数图像确认各个实根的位置后将代入到对数函数求解.②通过韦达定理表示出后求解范围. 【详解】①因为，所以可大致画出该图像， 且点坐标为，由此可知，时才能取到四个不同的实根， 且位于内，位于上. 可知，解得， 同理，解得，所以. ②由韦达定理可知，，， 所以， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若，使得 成立，求实数的取值范围； （2）已知，若时，的最大值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对二次函数对称轴分三类讨论对称轴与区间的位置，求出各情况满足条件的范围再取并集； （2）换元转化为区间上开口向上的二次函数，最大值只能在端点，分别令端点等于10检验取舍. 【小问1详解】 ，对称轴为. ①当时，在上单调递增，由得，此时； ②当时，，恒成立； ③当时，在上单调递减，由得，而恒满足. 综上，，即 . 【小问2详解】 令，则. 二次函数开口向上，它在闭区间上的最大值必在端点处取得， 而，故. 若 ，则，此时，最大值不是，舍去； 若 ，则，此时 ，符合题意. 所以 . 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极小值，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义先求切线斜率，由点斜式求出切线方程即可. （2）根据极值点定义得到方程，检验后得到满足条件的. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令得或，在处取得极小值，或， 若，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极小值，符合题意； 若，即，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极大值，不合题意，舍去； 综上所述，． 17. 已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，  所以， ​ 代入，，可得， 所以， 化简解得​，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） （3） 当时，，， 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知. 【解析】 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式结合参变分离得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围； （3）当时，利用导数分析函数的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得在上存在唯一的极小值点，并可得出，再结合二次函数的基本性质可证得. 【小问1详解】 因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立. 令，则，其中， 由可得；由可得. 所以，函数的减区间为，增区间为. 所以，即，故的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知，函数的定义域为，记集合． （1）若，，且，求实数的取值范围； （2）若是否存在，使得中恰有两个元素？ （3）若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数是上的增函数，证明：“在点处的切线方程为”的充要条件是“”． 【答案】（1） （2）存在 （3） 令函数，求导得， 由在上单调递增，得函数在上单调递增， 证必要性： 由直线l是曲线在点处的切线，得，即， 当时，，函数在上单调递减，； 当时，，函数在上单调递增，， 因此的解集为，即； 证充分性： 若，则当时，， 由函数的图象是一条连续曲线，得， 且在的附近其他自变量（除外）对应的函数值都大于， 即函数在处取得极小值，于是， 因此曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线， 综上，“在点处的切线方程为”的充要条件是“”. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式的解集为求出范围. （2）利用导数求出函数的最小值，并确定集合只有两个元素的即可. （3）记，由切线方程得，再由单调性求出证得必要性；由，得当时，结合函数极小值的意义求出切线斜率及切线方程证得充分性即可. 【小问1详解】 当，时， 不等式， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，在处取得极小值， 当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，在处取得极小值， 因此函数在和处取得最小值，不等式的解集为， 取，集合， 所以存在，使得中恰有两个元素. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $