25.2.2 一元二次方程 公式法（第1课时）教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 人教版 数学 九年级 上册 解： 移项，得 . 配方 . 于是可得 , 用配方法求解一元二次方程 复习导入 25.2 降次——解一元二次方程/ 一移：移项，把常数项移到右边，含未知数的项留在左边. 二化：二次项系数化为1，如x2＋px =－q. 三配：两边同时加上一次项系数一半的平方. 四开：依据平方根的意义，对两边开平方. 五解：解一元一次方程，得到原方程的解. 配方法解一元二次方程的一般步骤 等式右边为非负数 x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2 ( x + )2 =－q＋ ( )2 【思考】怎样用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？ 温故知新 25.2 降次——解一元二次方程/ 3.能熟练运用公式法求解一元二次方程. 1.经历一元二次方程求根公式的推导，认识公式法这一方法. 2.灵活应用∆ =b²－4ac 的取值判断一元二次方程根的情况. 素养目标 25.2 降次——解一元二次方程/ ax2＋bx＋c = 0(a≠0) 新知探究 运用公式法解一元二次方程 知识点 一元二次方程的一般形式是怎样的？ 【思考】若用配方法求出一般形式方程的根，这个结果对任何一元二次方程都适用吗？ 25.2 降次——解一元二次方程/ 对一般形式的一元二次方程实施配方 二次项系数化1，得 . 解: 移项，得 . 配方，得 , 即 . 合作探究 25.2 降次——解一元二次方程/ （1）当 时， 归纳新知 ， . 式子b2-4ac的取值分三种情况： 方程有两个不相等的实数根 25.2 降次——解一元二次方程/ （2）当 时， 深入探究 方程有两个相等的实数根 （3）当 时， 方程无实数根. 小结：不难发现，式子 b2−4ac 能判定一元二次方程根的情况，所以把它叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式，一般用符号 “Δ” 表示，即 Δ=b2−4ac. 25.2 降次——解一元二次方程/ 解一元二次方程时，先把方程化成一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的实数根可表示为 的形式，该式称为一元二次方程的求根公式. 探究归纳 公式法的概念 解具体的一元二次方程时，将各系数代入求根公式，便能直接求出方程的根，这种解法就叫作公式法. 25.2 降次——解一元二次方程/ 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0. 例1 用公式法解方程： 用公式法解方程 素养考点 1 （1）x2-4x-7=0； 典型例题 ∴ 25.2 降次——解一元二次方程/ 解： 故方程有两个相等的实数根： （2）2x2-2 x+1=0； 【追问】】这里的a，b，c的值分别是什么？ 典型例题 25.2 降次——解一元二次方程/ 11 11 解：原方程可整理为 . 此时方程有两个不相等的实数根 （3）5x2-3x=x+1; 典型例题 . . 25.2 降次——解一元二次方程/ 解：将原方程整理成 . 方程没有实数根.. （4）x2+17=8x. 典型例题 . 25.2 降次——解一元二次方程/ 公式法解一元二次方程的解题步骤 1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值. 2. 求出 ∆ 的值. 3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : 写出一元二次方程的根. (2)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根. （3）当∆<0时，方程无实数根. 方法点拨 25.2 降次——解一元二次方程/ 14 用公式法解方程： 解：a=3, b=-6, c=-2, ∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60. 巩固练习 25.2 降次——解一元二次方程/ 例2 不解方程，判断各方程根的情况： 解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6, △= b2-4ac =24－4×（﹣1）×（-6）=0. 故方程有两个相等的实数根. 解： 移项，得 x2+4x-2=0, a＝1，b＝4 ，c＝﹣2, △= b2-4ac =16-4×1×（-2）=24＞0. 故方程有两个不相等的实数根. 借助判别式判断一元二次方程根的情况 素养考点 2 （2）x2+4x=2; 典例精讲 （1） ; 25.2 降次——解一元二次方程/ 16 （3）4x2+1=-3x; 解：移项，得4x2+3x+1=0， a＝4，b＝3 ，c＝1, ∵ △= b2-4ac =9-4×4×1=-7＜0. ∴该方程没有练一练根. 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）, ∵ △= b2-4ac =（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0. ∴此方程有两个实数根. （4）x²-2mx+4（m-1）=0. 拓展提升 25.2 降次——解一元二次方程/ （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根： （1）当b2-4ac＞0 时，方程有两个不等的实数根： （3）当b2-4ac<0时，方程无实数根. 一元二次方程的根的情况 探究新知 25.2 降次——解一元二次方程/ 18 反过来，若已知方程根的情况，能否确定判别式的符号呢？ 若方程有两个不相等的实数根，则 b2-4ac ＞0; 若方程有两个相等的实数根，则 b2-4ac = 0; 若方程没有实数根，则 b2-4ac ＜ 0. 【注意】 一元二次方程的根的情况 逆向思考 25.2 降次——解一元二次方程/ （2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，则总成立的式 子是（ ） A. b²-4ac＞0 B. b² -4ac＜0 C. b²-4ac≤0 D. b² -4ac≥0 （1）下列方程中，无实数根的是（ ） A.x²=9 B.4x² =3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y² +6y+7=0 D D 巩固练习 选一选. 25.2 降次——解一元二次方程/ 例3 m取何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1, b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9. （1）当方程有两个不相等的实数根时，b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ （2）当方程有两个相等的实数根时，b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= （3）当方程没有实数根时，b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ ∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时， 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根. 借助判别式确定字母的值或取值范围 素养考点 3 综合运用 25.2 降次——解一元二次方程/ m取任意实数，求证：关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0总有两个不相等的实数根. 解： ∵不论m取何实数，都有（m+5）2≥0, ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0, ∴不论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根. 练一练 25.2 降次——解一元二次方程/ 22 1. （四川内江中考）若关于x的一元二次方程（a-1）x2 +2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 C 链接中考 25.2 降次——解一元二次方程/ 2. 中考链接 （东营中考）一元二次方程x2+4x-8=0的解是（　　） A.=2+2, =2=2 B.=2+2, =2-2 C.=-2+2, =-2-2 D.=-2+2, =-2-2 D 25.2 降次——解一元二次方程/ 1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根 基础练习题 当堂检测 B 25.2 降次——解一元二次方程/ 2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ ） A. k>-1 B. k>-1 且k≠ 0 C. k<1 D. k<1 且k≠0 B 当堂达标 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 25.2 降次——解一元二次方程/ 3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵ 没有实数根， ∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0. 再看方程 x2＋mx＝1-2m ，即 . ，∵ ，∴ △>0. ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 课堂达标 25.2 降次——解一元二次方程/ 公式法 定义 将各系数代入求根公式解一元二次方程的方法 步骤 一化成一般形式， 并写出a，b，c的值 二求出b2-4ac的值 三 四写出方程的解：x1, x2 应用 用判别式△= b2-4ac判断一元二次方程根的情况 课堂小结 25.2 降次——解一元二次方程/ 课后作业 作业 内容 教材作业 选自课后习题 自主选做 配套练习册习题 25.2 降次——解一元二次方程/ $