第3章 圆（单元培优自测卷）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章 圆（单元培优自测卷） 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元培优检测、分层拔高训练 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（第二十九章 圆 高效同步练习29.2.3 圆周角 第2课时 圆内接多边形）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 6．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 8．（2026·山西晋城·一模）如图，点A，B，C，D是上的四点，的半径为1，将劣弧分别沿直线翻折，劣弧恰好都经过点O，连接，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级下·江苏宿迁·开学考试）若直角三角形的两直角边为、，则其外接圆和内切圆半径之差为 ． 10．（2026·江苏徐州·三模）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知等腰直角三角形，，以O为圆心，为半径的圆交于点F，过点F作直线交圆O于点E，连结，交于点D，则=________；若，则圆O的半径为_________． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，若将、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、，则___________°． 13．（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 15．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 16．（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 18．（8分）（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，⊙O的半径为1，、、、是上的四个点，． （1）判断的形状：　　； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 19．（8分）（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，为的直径，交于点为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，且，求的半径． 20．（8分）（25-26九年级上·天津和平·期末）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． （1）求证：； （2）求四边形的周长． 21．（8分）（25-26九年级下·山西·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 22．（10分）（2026·广东珠海·一模）如图，在Rt中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交于点，过点的弦交于点（不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线． （1）求证：是的切线； （2）求证：平分； （3）若，，求四边形的面积． 23．（10分）（2026·浙江宁波·二模）项目化学习：车轮的形状． 【问题提出】车轮为什么要做成圆形, 这里面有什么数学原理? 【合作探究】 （1）探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为______． （2）探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差． （3）探究组：如图3, 有一个破损的圆形车轮, 半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定． 【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”． （4）探究组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是______． 延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆（单元培优自测卷） 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元培优检测、分层拔高训练 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念、圆周角定理、切线的判定及正多边形的对称性，需逐一分析各选项的正误． 解：∵等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，∴A选项错误． ∵圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∴B选项正确． ∵圆的切线判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线才是圆的切线，仅经过半径的外端的直线不一定垂直于该半径，∴C选项错误． ∵只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，∴D选项错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 3．（第二十九章 圆 高效同步练习29.2.3 圆周角 第2课时 圆内接多边形）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 8．（2026·山西晋城·一模）如图，点A，B，C，D是上的四点，的半径为1，将劣弧分别沿直线翻折，劣弧恰好都经过点O，连接，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点关于的对称点为点，连接，交于点，可得为等边三角形，四边形为菱形，则，然后解求出，然后由求出，即可求解图中阴影部分的面积． 解：如图，记点关于的对称点为点，连接，交于点 则，由翻折可得 ∴ ∴为等边三角形，四边形为菱形， ∴ ∴ ∴ ∴由对称性可得，图中阴影部分的面积． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级下·江苏宿迁·开学考试）若直角三角形的两直角边为、，则其外接圆和内切圆半径之差为 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的直径为斜边求出外接圆半径，利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径，最后计算两者的半径差即可． 解：设直角三角形的两直角边为，，斜边为， 由勾股定理得，直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆半径为，内切圆半径为， ∴外接圆和内切圆半径之差为． 10．（2026·江苏徐州·三模）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知等腰直角三角形，，以O为圆心，为半径的圆交于点F，过点F作直线交圆O于点E，连结，交于点D，则=________；若，则圆O的半径为_________． 【答案】 / 【分析】先根据等腰直角三角形，，得到，则，再求，利用外角的性质即可得到；设圆O的半径为r，则，得到，进一步得到，再证，得到，求得r即可． 解：∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设圆O的半径为r， 则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即圆O的半径为， 故答案为：， 【点拨】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，掌握相关定理和性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，若将、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、，则___________°． 【答案】145 【分析】通过翻折的性质求出的大小后利用圆周角定理求出其对应的圆周角的大小，再通过圆的内接四边形对角互补求出即可． 解：∵，、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、， ∴， ∴， ∴， 故答案为：145． 【点拨】本题主要考查圆的圆周角定理及圆的内接四边形对角互补的知识点，能够熟练算出圆心角并利用定理是解题关键． 13．（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 15．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 16．（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再分别求出扇形面积和扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形面积即可求得阴影部分的面积． 解：，弧长公式为，， 在扇形中有， ， ，，， ， ，， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2）的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 解：（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 18．（8分）（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，⊙O的半径为1，、、、是上的四个点，． （1）判断的形状：　　； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）等边三角形；（2）解：，理由如下： 在上截取，      ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． （1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）略 【点拨】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 19．（8分）（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，为的直径，交于点为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，且，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）6 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， 设的半径，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或（舍去）， ∴的半径为6． 20．（8分）（25-26九年级上·天津和平·期末）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． （1）求证：； （2）求四边形的周长． 【答案】（1）证明：连结， 分别切于，切于， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形的面积，勾股定理； （1）连结，根据切线长定理得到，然后根据平行得到，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积求出长，即可得到长解答即可． 解：（1）略 （2）解：，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形的周长为． 21．（8分）（25-26九年级下·山西·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】（1）证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． （2）阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． （1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 22．（10分）（2026·广东珠海·一模）如图，在Rt中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交于点，过点的弦交于点（不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线． （1）求证：是的切线； （2）求证：平分； （3）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形的面积为20 【分析】（1）连接OE，OP，证明≌，可得，进而证明BC是的切线； （2）由，可得，进而可得，由得，进而可得∠，即AE平分 （3）由（1）得：，证明，得，证明≌（AAS），四边形CHQE是菱形，设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程进而求得四边形CHQE的面积． （1）解：连接OE，OP， ∵AD为直径，点Q为弦EP的中点， ∴AB垂直平分EP， ∴， ∵，， ∴≌， ∴， ∵BP为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴于点E， ∵OE是的半径， ∴BC是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∠， ∴AE平分． （3）解：由（1）得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∴． ∵，， 由（2）得， ∴≌（AAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形CHQE是平行四边形． ∵， ∴四边形CHQE是菱形， ∴． 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得，（不合题意，舍去）． ∴，． ∴四边形CHQE的面积． 【点拨】本题考查了切线的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 23．（10分）（2026·浙江宁波·二模）项目化学习：车轮的形状． 【问题提出】车轮为什么要做成圆形, 这里面有什么数学原理? 【合作探究】 （1）探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为______． （2）探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差． （3）探究组：如图3, 有一个破损的圆形车轮, 半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定． 【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”． （4）探究组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是______． 延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． 【答案】（1）4；（2）最高距离与最低距离的差为cm；（3）一个周期完成总路程为cm；（4）A 【分析】（1）根据圆的半径之间解答即可； （2）根据正方形的性质求出最高点到地面的距离为BD的长度，最低点到地面的距离OA的长度即可； （3）分别求出三部分路程，然后相加即可； （4）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，由此即可判断． （1）解：∵圆的半径为4cm， ∴其车轮轴心O到地面的距离始终为4cm。 （2）如图所示： 其最低点到地面的距离为OA的长度，最高点到地面的距离为BD的长度， ∵正方形的边长为4cm， ∴OA=2cm， ， ∴最高距离与最低距离的差为cm． （3）如图所示： 从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程， 从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程， 从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程， 至此，一个周期完成，则总路程为：． （4）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，故图象A正确； 故选：A． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、正方形和圆的性质，弧长计算，点的运动轨迹等知识，能根据图形得出相应点的运动轨迹是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $