3.1 圆的相关概念 巩固练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过基础概念辨析、中档推理应用、提升综合探究的三级分层设计，实现从单一知识点到复杂问题的递进，强化几何直观与推理能力，适配新授课"概念巩固+能力进阶"需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的基本概念（弧、直径、等圆等）|以选择、填空为主，如第1题辨析直径定义，强化概念准确性| |中档|概念综合应用（弦、弧的数量关系、简单证明）|结合图形推理，如第7题证明等腰三角形，培养推理意识| |提升|复杂几何综合（翻折、动点、跨知识整合）|设置动态问题，如第14题动点位置探究，发展空间观念与创新意识|

31圆的相关概念 1.下列说法中，错误的是（) A.半圆是孤 B.半径相等的圆是等圆 C过圆心的线段是直径D.直径是弦 2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以C为圆心、CB为半径的圆 交AB于点D,则∠ACD的度数为() A40 B45C50° D55 3.下列说法：①优孤一定比劣孤长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度 相等的孤是等孤；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一个定 ,点一定可以作无数条直径.其中不正确的个数是（) A.1B.2C.3D.4 1/12 D 4.如图，图中有 条直径， 条弦，以A为端点的优弧有 条，劣孤有 条 5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB,垂足为D,已知 CD=4,OD=3,⊙0的直径长是 6.如图，A,B,C三点在⊙O上，若OA/1CB,∠C=40°，则∠A的度数 是 A B 7.如图，△ABC的顶，点B,C在⊙O上，AB与AC分别交⊙O于D,E两点， 2/12 连接OD,OE,OA,且BD=CE, (I)证明：△ABC是等腰三角形： (2)若∠ABC=65°，求∠DOE的度数， B 8.如图，点A,N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形， BC=a,MD=b,则a,b的关系为（) A.a>bB.a=b C.a<b D.asb N 9如图，在O0中，C是AB上-点，OA1OB,过点C作CD交0B于点E, 若OA=DE,则∠C与∠AOC满足的数量关系是() A∠C-32A0cB∠C-A0cC∠C-号<A0cD <C3 AOC 3/12 l0.(1)如图①，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，BA,DC的延长线相交 于点E若∠B0D=3∠E=67.5,则CE= CD ② (2)如图②，过点D,A，C三，点的圆的圆心为E,过B,E,F三点的圆 的圆心为D,如果∠BAC=63,那么∠ABC= 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，，点E在以B为圆心的弧AC上，射 线DE交AB于F,连接CE,若CE⊥DF,则DE=· 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE,过 4/12 A,D,E三点作OO,连接AO并延长，交BC于点F (1)求证：AF⊥BC: (2)若AB=15,BC=18,BD=3,求⊙O的半径长. 0 13.如图，在扇形AOB中，∠AOB=105°，OA=4,点C在半径OA上，将 △BOC沿着BC翻折，点o的对称点D恰好落在AB上，再将AD沿若CD潮折至 CAD A,D点A是点A的对称点)，那么0A,的长为 0 14.如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A,B,点C在⊙0上， 且∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与⊙O相 交于点Q,问：点P在直线AB的什么位置上时，QP=QO?这样的点P共有几个？ 并相应地求出∠OCP的度数. 5/12 答案 1.C 解析：A.半圆是孤，.A选项的说法正确：B.半径相等的圆是等圆，∴.B选 项的说法正确；C过圆心的弦为直径，∴.C选项的说法错误；D直径是弦， .D选项的说法正确故选C. 2.C 解析： .:∠ACB=90°，∠A=20°，.∠B=70°CD=CB,.∴.∠B=∠BDC=70°，.∴.∠BCD=180°-∠ 故选C. 3.C 解析：在同圆或等圆中，优孤一定比劣孤长，①错误；面积相等的两个 圆半径相等，则它们是等圆，②正确；能完全重合的孤是等孤，∴③错误； 经过圆内的一个定点可以作无数条弦，.④正确；经过圆内一个定点可以作无 6/12 数条直径或一条直径，∴.⑤错误.故选C. 4.1422 解析：题图中直径只有AB这1条，弦有AC,AB,CD，BC这4条，以点 A为端点的优孤有， 这2条，劣孤有n这2条。 ACD,ADC AC,AD 5.10 解析：如图，连接OC,CD⊥AB,∴.∠CDO=90,在Rt△OCD中， 由勾股定理可得0C=5,∴.AB=20C=10,即⊙O的直径长为10. 6.70 解析：如图，连接 OB,.OB=OC,∠C=40°，.∴.∠OBC=∠C=40°..OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA..OA/1CE 即2∠A+40°=180°，∴.∠A=70° 0 7.(1)在△OBD和△OCE中，.'OB=OC,OD=OE,BD=CE, 7/12 ∴.△OBD=△OCE SSS),.∠ABC=∠ACB,.AB=AC,即△ABC是 等腰三角形 (2).∠ABC=65°，OB=OD,.∠D0B=180°-2×65°=50° .△OBD≈△OCE,.∠E0C=∠D0B=50°，∴.∠D0E=180°-2×50°=80° 8.B 解析：如图，连接ON,OA,点A,N在半圆上，.ON=OA.四边形 ABOC,DNM0均为矩形，.ON=MD,OA=BC,:BC=MD,即a=b故选 B. 9.C 解析：如图，连接 OD,OA=DE,OD=DE=0C,∠C=∠D,∠DOE=∠DE0=2180-∠D,∠DE 故选C. 10.(1) 2 8/12 解析：连接 OC,.∠BOD=3∠E=67.5°，∴.∠E=22.5°，∠D=45°=∠OCD,∴.∠COD=90°，∠E=∠ (2)18 解析：如图，连接DE,CE,设∠ABC=日，则 ∠2=0，∠5=∠6=28.∠5+∠6+∠1=180，.49+∠1=180①在△ACE 中， .AE=CE,∴.∠3=∠BAC=63°，.∠4=180°-∠3-∠BAC=180°-63°-63°=54°..·∠4+∠1+ ② 联立①②，解得0=18°，即∠ABC=18°， 11. 专斯 解析：如图，连接BE,过点B作BH⊥CE于点H,点E在以B为圆心的孤 AC上，BC=BE:BH⊥CE,EH=CH,∠HBC+∠HCB=90:四边形 ABCD是正方形， 9/12 ∴.∠BCD=∠BCH+∠DCE=90°，∴.∠HBC=∠DCE..BC=CD,∠BHC=∠DEC=90°，∴. 在RtACDE中，CD=CE+DE,4=2DE+DE,DE=号5浅 DE=音G(含去)故容案为号5， 12.(I)如图所示，连接AD,AE,OD,OE,AB=AC,∴.∠B=∠C. 又.BD=EC,∴.△ABD≈△ACE SAS,∴.AD=AE.又，OD=OE,.AF垂 直平分DE,AF⊥BC. (2) :AB=AC,AF⊥BC,BF=FC=号BC=9,BD=3,.DF=6.:∠AFB=90',AF= 2 设⊙O半径为r,则OF=12-r,在Rt△ODF中， 0F+DF产=0D,12-+6=,解得r=号，⊙0的半径长为号 B4 13.42-4 10/12 解析：如图，连接OD,由翻折得 OB=BD,AC=A1C,∠BOC=∠BDC=105°，OC=CD,.OB=OD,.∴.△OBD 是等边三角形， .∴.∠OBD=∠BOD=60°，∴.∠OCD=360°-105°-105°-60°=90°，∠COD=∠BOC-∠BOD=45° 是等腰直角三角形，设AC=A1C=a,则OC=4-a=CD,A10=4-2a,在Rt △C0D中，0C2+DC2=0D2,.4-a2+4-a=4,解得 a,=4-22,a,=4+22>4(舍去)，0A,=4-2a=4-2×4-22=492-4 14.这样的，点P共有3个 ①当点P在线段OA上时，使QP=OQ,如图①. 在△Q0C中，0C=OQ,∴.∠OQC=∠OCQ. 在△OPQ中，QP=QO,∴.∠QOP=∠QPO. 又 ∠QPO=∠OCQ+∠AOC,∠AOC=30°，∠QOP+∠QP0+∠OQC=180°，∴.3∠OCP=120°， 11/12 ② ②当点P在线段OA的延长线上时，使QP=OQ,如图②. :0C=0Q,∠0QP=180-Q0C0 2 :0Q=PQ,∠0P0=180-∠0QP@ 2 在△OQP中，30°+∠Q0C+∠OQP+∠OPQ=180°，③ 把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°，∴.∠OCP=100°. ③当点P在线段OA的反向延长线上时，使QP=OQ,如图3. OC=OQ,.∠OCP=∠OQC.OQ=PQ,.∠QP0=∠Q0P又 ∠OQC=∠QPO+∠QOP,∴.∠OCP=2∠OPQ,.∴.∠AOC=∠OCP+∠OPQ=3∠OPQ..∠ 综上，这样的点P共有3个，相应的∠OCP的度数分别为40°，100°和20°. 12/12