精品解析：江苏无锡市宜兴市东氿中学2026-2027学年第一学期八年级数学第一次小练习试题

宣兴市东氿中学2026-2027学年第一学期 初二数学第一次小练习（试题卷） 一、选择题：（共10小题，30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 3. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 4. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 5. 如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD是公用边这个条件. 【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，依据SAS可得△ABD≌△CDB，故A选项正确； B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误； C.若添加，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项正确； D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D选项正确； 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边. 6. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，上，且满足，，则∠FDE的度数为（　　） A. 75° B. 80° C. 65° D. 95° 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用三角形内角和为得，由得，再由，，利用得到，利用全等三角形对应角相等得到，利用三角形内角和即可得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 8. 如图，，，则下列判断正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定， 依据“”判定和全等，根据全等三角形性质得，再说明是线段的垂直平分线，即可判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 可知B正确； 不能说明平分，所以A不正确； ∵， ∴是线段的垂直平分线， 所以C，D不正确. 故选：B． 9. 如图：在等腰中，D、E分别为腰、边上的动点，，连接，以为边在内作等腰，使顶角，连接，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取，连接，由题意得，，根据等腰三角形的性质得，，，进而证得，得，，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得，由三角形的内角和求得，进而求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设运动运动的时间为时，则，，根据题意，得，，根据三角形全等，分类解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为时，则，， ∵，， ∴，， 当点到达终点时，运动时间为：， 点Q到达C的运动时间为：， ∵以、、三点为顶点的三角形与全等， 得到， 故， ∴或， 解得或， 故选：D． 二、填空题：（共8小题，24分） 11. 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系作答即可． 【详解】∵长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 _____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：这种方法是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 13. 如图，， ， 则 ____________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 14. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④；能判定的_____________。（填序号） 【答案】①、③、④ 【解析】 【分析】根据题干信息，结合全等三角形的判定方法进行依次分析判断即可． 【详解】解：因为∠ABC=∠DCB，BC=CB，①AB=CD，根据SAS可以判定△ABC≌△DCB． ②AC=DB，无法判断△ABC≌△DCB．③∠A=∠D，根据AAS可以判定△ABC≌△DCB． ④∠ACB=∠DBC，根据ASA可以判定△ABC≌△DCB． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小， ∵BD⊥DC，∠A=90°， ∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°， ∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴在△ABD和△EBD中 ， ∴DE=AD=4， 即DP的最小值为4． 故答案为：4． 16. 如图，长方形中，为中点，将点沿着翻折到点处，连接，记，，则与之间的数量关系为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用翻折的性质证明△≌△，再通过互余互补求解即可． 【详解】解：∵E为中点， ∴， 在△和△中 ∴△≌△ ()， ∴， ∵将点D沿着CE翻折到点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质及折叠的性质、三角形内角和定义、直角三角形两个锐角互余，能够证明三角形全等是解题关键． 17. 如图所示，长方形的面积为36平方厘米，、、分别为边、、的中点，为边上任意一点，则阴影部分的面积是___________平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了长方形的性质，以及三角形的中线性质，利用了等量代换及转化的思想，由等底同高得到：三角形的中线将三角形分成的两三角形面积相等，熟练运用此性质是解本题的关键． 连接，，由为的中点，得到，再由长方形的性质得到与垂直，可利用等底同高得到三角形与三角形面积相等，同理得到三角形与三角形面积相等，三角形与三角形面积相等，而这六个三角形面积之和为长方形的面积，等量代换可得出阴影部分为其中的三个不同的三角形面积之和，为长方形面积的一半，求出即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的中点， ， ， 同理得到，， ， ． 故答案为． 18. 如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当___________时，是等腰三角形． 【答案】8或 【解析】 【分析】分点P在OC上和点P在OB上，然后分别根据等腰三角形的定义建立等式求解即可． 【详解】由题意得，点P运动至点O所需时间为， 分以下两种情况： （1）点P在OC上，此时 要使是等腰三角形，则，即 解得（符合题设） （2）点P在OB上，此时 当是等腰三角形时，为等边三角形 则，即 解得（符合题设） 综上，当或时，是等腰三角形 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的判定，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 三、解答题：（共8小题，66分） 19. 如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD． ​ 【答案】 证明：∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA，AC=BD， ∴OA=OB， ∴AC﹣OA=BD﹣OB， 即：OC=OD． 【解析】 【分析】由△ABC≌△BAD，根据全等三角形的性质得出∠CAB=∠DBA，AC=BD，利用等角对等边得到OA=OB，那么AC﹣OA=BD﹣OB，即：OC=OD． 【详解】略 20. 已知a， b， c为的三边长， 若a， b满足， （1）求c的取值范围． （2）若c是整数，且为等腰三角形，求的周长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和完全平方的非负数的性质求出a、b，再根据三角形三边关系确定c的取值范围； （2）结合c的取值范围和等腰三角形的定义，对腰进行分类讨论确定c的值，进而求三角形周长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵a， b， c为的三边长， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵c是整数，且为等腰三角形， ∴当a、c为腰时，即时，满足，的周长为：， 当b、c为腰时，即时，满足，的周长为：， ∴的周长为或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，三角形的三边关系，非负数的性质，以及等腰三角形的定义，解题关键是利用非负性求出a，b的值． 21. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接，再在l的另一边取了个点D，使得， 且， 同时， 若测得米，米， 求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 23. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 【答案】（1）∠DCB＝30°；（2）27． 【解析】 【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案； （2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过等量代换即可求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB70°， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°； （2）∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC，EC＝EA＝5， ∴AC＝2AE＝10， ∴△ABC的周长为：AC+BC+AB= AC+BC+BD+DA＝AC +BC+BD+DC＝10+17＝27． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键． 24. 如图：请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图．每个方格都是边长为1的正方形． （1）如图1：四边形的顶点都在格点上，请在边上找一点，使得； （2）如图2：点、、均为格点，请过点画出所有满足条件的直线，使得点、到直线的距离相等． （3）在图3中，长度为，请用无刻度的直尺找出一个格点，使平分（不写画法，保留画图痕迹） 【答案】（1）点即为所求作的点： （2）直线和直线即为所求作的直线： （3）点即为所求作的点： 【解析】 【分析】（1）四边形的顶点都在格点上，要在边上找一点，使得，所以点应在的垂直平分线上，且与相交．连接，则为等腰直角三角形，再连接、，则四边形为正方形；连接，交于点，则；延长交于点，此时，点即为所求作的点； （2）点、到直线 的距离相等，只有两种可能：点、在直线 同侧，则过点作的平行线；点、在直线 异侧，则过点作连接的中点的直线，连接、，交点即为的中点，连接直线，直线和直线即为所求作的直线； （3）延长到点，使，连接，则为等腰三角形；找到的中点，连接，即为平分的直线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为15米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 作，，可证，可得，，则米，且可求米，米，即可求的长． 【详解】解：如图，作，，则四边形是矩形，米，， ， 在和中， ， ， ，， 即米， 根据题意，米，米， （米，则米， 米， 则米， 米，米， 米， 答：旗杆的高度为15米． 26. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE， 理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE； （2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H， ∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AG＝AH， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AM平分∠BME． （3）∠B+∠C＝180°， 理由如下：如图③，延长 DC至点P，使DP＝AD， ∵∠ADP＝60°， ∴△ADP为等边三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAP， 在△BAD和△CAP中， ， ∴△BAD≌△CAP（SAS）， ∴∠B＝∠ACP， ∵∠ACD+∠ACP＝180°， ∴∠B+∠ACD＝180°． 【解析】 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣兴市东氿中学2026-2027学年第一学期 初二数学第一次小练习（试题卷） 一、选择题：（共10小题，30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 2. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 5. 如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，上，且满足，，则∠FDE的度数为（　　） A. 75° B. 80° C. 65° D. 95° 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 8. 如图，，，则下列判断正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 9. 如图：在等腰中，D、E分别为腰、边上的动点，，连接，以为边在内作等腰，使顶角，连接，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，度数（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：（共8小题，24分） 11. 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是___________． 12. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 _____． 13. 如图，， ， 则 ____________ ． 14. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④；能判定的_____________。（填序号） 15. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 16. 如图，长方形中，为中点，将点沿着翻折到点处，连接，记，，则与之间的数量关系为____________________． 17. 如图所示，长方形的面积为36平方厘米，、、分别为边、、的中点，为边上任意一点，则阴影部分的面积是___________平方厘米． 18. 如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当___________时，是等腰三角形． 三、解答题：（共8小题，66分） 19. 如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD． ​ 20. 已知a， b， c为的三边长， 若a， b满足， （1）求c的取值范围． （2）若c是整数，且为等腰三角形，求的周长． 21. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 22. 如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接，再在l的另一边取了个点D，使得， 且， 同时， 若测得米，米， 求的长． 23. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 24. 如图：请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图．每个方格都是边长为1的正方形． （1）如图1：四边形的顶点都在格点上，请在边上找一点，使得； （2）如图2：点、、均为格点，请过点画出所有满足条件的直线，使得点、到直线的距离相等． （3）在图3中，长度为，请用无刻度的直尺找出一个格点，使平分（不写画法，保留画图痕迹） 25. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 26. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $