第15讲 图形与坐标 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册(doc版) (2)

第15讲 图形与坐标 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平面直角坐标系的概念，掌握象限与坐标轴上点的坐标特征 · 会用坐标表示平面内的点，能由点的位置确定坐标 · 掌握两点间的距离公式，会求点到坐标轴与原点的距离 · 掌握关于x轴、y轴对称与平移变换的坐标变化规律 · 能建立坐标系解决图形位置、距离与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系的引入 平面直角坐标系由互相垂直且原点重合的两条数轴组成，横轴（x轴）向右为正，纵轴（y轴）向上为正 点的坐标写成（x，y）的形式，括号内横坐标在前、纵坐标在后 象限划分：第一象限（+，+），第二象限（−，+），第三象限（−，−），第四象限（+，−） 坐标轴上的点：x轴上纵坐标为0，y轴上横坐标为0，原点坐标为（0，0） 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点A（−2，3）与点B（1，−3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，则直线l的方程形式为______ 解析：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，直线l经过A（−2，3），所以直线l上任意点的横坐标都是−2，即x=−2。 ☆ 2.简单图形的坐标表达 描点：根据坐标在平面内确定点的位置，先在x轴上找横坐标，再沿y轴方向找纵坐标 图形的坐标表达：用顶点坐标表示三角形、四边形等图形的位置 与坐标轴平行的线段：平行于x轴的线段上各点纵坐标相同，平行于y轴的线段上各点横坐标相同 求图形面积时，常把底边放在坐标轴上，用坐标差的绝对值作底或高 概念辨析例题：已知点A（a+1，3），点B（3，a+3），且直线AB∥y轴，则a的值为______ 解析：直线AB平行于y轴，则A、B两点的横坐标相同，即a+1=3，解得a=2；此时A（3，3）、B（3，5），两点纵坐标不同，符合平行y轴条件。 ☆ 3.物体位置的坐标表示 用一对有序数对（x，y）可以唯一确定平面内点的位置 确定位置的方法：坐标法、方位角+距离、经纬度、目标表示法（如雷达）等 实际问题中先建立适当的平面直角坐标系，再读出或写出位置坐标 坐标轴、原点的选取不同，点的坐标不同，但相对位置不变 概念辨析例题：雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，目标C，F的位置表示为C（2，120°）、F（5，210°），则目标A的位置表示为______ 解析：雷达目标表示法通常用（到中心的距离，方位角）表示：圆环刻度表示距离，角度表示方向。按此规定读出A到中心的距离与方位角即可写出坐标，注意角度按规定的起始方向计量。 ☆ 4.两点间的距离公式 坐标轴上两点距离：同横坐标的竖线段长=|y1−y2|，同纵坐标的横线段长=|x1−x2| 平面内两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的距离：AB= 点到x轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y轴的距离=横坐标的绝对值 点到原点的距离= 概念辨析例题：点A的坐标为（−3，−2），点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为______ 解析：点B在x轴上，到A（−3，−2）距离最短时，B为A向x轴所作垂线的垂足，即横坐标相同、纵坐标为0，所以B（−3，0），最短距离=2。 ☆ 5.平移与轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即（x，y）→（x，−y） 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即（x，y）→（−x，y） 左右平移横坐标变：向左平移a个单位横坐标减a，向右平移a个单位横坐标加a 上下平移纵坐标变：向上平移b个单位纵坐标加b，向下平移b个单位纵坐标减b 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称点的坐标是______ 解析：关于y轴对称时，纵坐标不变、横坐标变为相反数，所以（2，3）关于y轴对称的点为（−2，3）；若关于x轴对称则为（2，−3）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点的坐标 （x，y），横前纵后 顺序不能颠倒，写成（y，x）位置不同 象限特征 （+，+）（−，+）（−，−）（+，−） 坐标轴上点不属于任何象限 点到坐标轴距离 到x轴=|y|，到y轴=|x| 距离是绝对值，恒非负 两点距离公式 AB= 同轴线段长取坐标差绝对值 关于x轴对称 （x，y）→（x，−y） 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称 （x，y）→（−x，y） 纵坐标不变，横坐标变号 平移 左减右加变横，上增下减变纵 平移后图形形状大小不变 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系的引入（第1-6题） · 牢记点的坐标与象限、坐标轴的对应关系 · 横纵坐标的符号决定点所在象限，逐个判断 · 含字母系数的坐标，先判断系数的正负再定位 · 坐标轴上点：x轴纵为0，y轴横为0 1．在平面直角坐标系xOy中，点P（，﹣a2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知实数a，b满足ab＞0，a+b＜0，则点P（a，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m+3，﹣m+1），其中m为任意实数，点P不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣12）到x轴的距离为_______ ． 5．若点A（x，5）与点B（2，5）的距离为3，则x＝_________ ． 6．在平面直角坐标系xOy中，点P（m+1，3m﹣8）在第四象限内，且到x轴距离为2，则m的值为_____ ． 【考点2】简单图形的坐标表达（第7-18题） · 描点画图，把坐标转化为图形位置 · 平行于坐标轴的线段，长度等于坐标差的绝对值 · 直线平行y轴⇔各点横坐标相同；平行x轴⇔纵坐标相同 · 动点距离最短：作垂线找垂足 7．已知点P（3，﹣4），下列说法正确的是（　　） A．点P在第二象限 B．点P到x轴的距离为3 C．点P到y轴的距离为4 D．点P到原点的距离为5 8．已知点M（﹣2，5），点N为y轴上一动点，则MN的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），点B在y轴上，对于线段AB有如下四个结论： ①线段AB的最小值是2； ②线段AB的最大值是2； ③线段AB可能经过点（2，0）； ④线段AB可能经过点（1，3）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝6，点C为平面内一动点，BC＝1，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．则线段OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，点P（0，﹣3）、Q（t，2t﹣4）为平面直角坐标系内两点，线段MN两端点坐标分别为（4，﹣1）、（6，﹣4），若直线PQ与线段MN有交点，则t的取值范围是____________________ ． 12．如图，直线AB经过原点O，若A（2，m）、B（﹣3，n）、C（0，﹣2），D为线段AB上一动点．当CD取最小值时，AB＝_____ ． 13．在平面直角坐标系中，点A（m，n﹣1），B（m+4，n﹣1），C（﹣2，3），若CD∥AB且，则点D的坐标为 _________________ ． 14．如图，在数轴上，OA⊥AB且B（2，1），若以O为圆心，OB为半径画弧，则交点C表示的数是_______________ ． 15．在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣4，2﹣3a）． （1）若点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，求点P的坐标． （2）若点P到x轴的距离为3，求a的值． 16．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． （1）A（﹣1，0），B（4，2）， ①μ（A，B）的值是 _____ ； ②点K在y轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 _________________ ． （2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，PQ＝5，点M的坐标为（0，﹣4），求线段PQ在x轴上运动时，算出μ（M，PQ）的最小值． 17．在下面的平面直角坐标系中： （1）描出点A（4，0）、B（3，2），并画出△AOB； （2）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD； （3）在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 18．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【考点3】物体位置的坐标表示（第19-23题） · 建立坐标系：选适当原点与方向，使坐标简明 · 由点的位置读坐标：先读横坐标再读纵坐标 · 雷达等特殊表示法按题目规定（距离，方位角）读 · 实际问题注意单位与实际距离的换算 19．如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 20．辽宁省部分城市在地图上的位置如图所示，若锦州的位置坐标为（﹣1，0），抚顺的位置坐标为（3，2），则大连的位置坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（1，﹣3） C．（2，﹣2） D．（2，﹣3） 21．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点A（1，2），B（3，0），则点C的坐标为__________ ． 22．如图，棋盘中，若“帅”位于点（1，0），“相”位于点（3，0），则“炮”位于点 ___________ ． 23．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（45°）向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用（1，0°）表示，点B的位置用（3，225°）表示，则点C的位置可以表示为_____________ ． 【考点4】两点间的距离公式（第24-28题） · 同坐标轴上的点直接用坐标差绝对值求距离 · 一般两点用距离公式 · 点到坐标轴、原点的距离牢记绝对值与根式 · 最短距离问题：垂线段最短，找垂足坐标 24．已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 _____ ． 25．已知点A（m﹣1，3）和点B（﹣1，m），且AB∥x轴，则A，B两点间的距离为_____ ． 26．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 _________________ ． 27．A（4，5），B（0，b）是平面直角坐标系中的两点，连接AB，当线段AB长度最小时，b的值为 _____ ，线段AB长为 _____ ． 28．小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（_______ ，_______ ）， ∴AC＝____________ ， BC＝____________ ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝_____ ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为________________ ． 【考点5】平移与轴对称（第29-39题） · 对称变换记口诀：关于x轴对称纵变号，关于y轴对称横变号 · 平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加 · 对称与平移综合时先变坐标再描点 · 判断变换类型时观察对应点坐标变化规律 29．点P（﹣3，4）与点Q（3，4）在平面直角坐标系中关于哪条线对称（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 30．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4） 31．“灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，若将右面的灵宝剪纸放在平面直角坐标系中，点C（﹣3，2）与点D关于y轴对称，则点D的横坐标是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 32．嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点（x，y）处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到（x﹣2，y﹣1）；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到（x﹣1，y﹣2）；若平局，则将棋子下移三个单位到（x，y﹣3）．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（　　） A．35个 B．24个 C．18个 D．11个 33．在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，2），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为 __________ ． 34．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（﹣2，﹣5），则点M1的坐标为___________ ． 35．点A（m，3）和点B（2，n）关于y轴对称，则（m+n）2026的值为_____ ． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶点A（﹣4，0），B（﹣1，4），点C在y轴的正半轴上，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点A′的坐标为____________________ ． 37．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1），D（﹣1，4），将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A'B'C'D'． （1）四边形A'B'C'D'与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A'B'C'D'的坐标． （2）如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离． 38．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将△ABC进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．点A（0，a），点B（0，b），点，点． （1）若a＝1，求m的值； （2）若点，其中a＞0．直线CE交y轴于点M，且△BEM的面积为1，请比较AF与BF的大小，并说明理由． 39．已知点A（a﹣1，5）和B（2，b﹣1），试根据下列条件求出a，b的值． （1）A，B两点关于y轴对称； （2）A，B两点关于x轴对称． 💯 课后巩固 复习建议 · 点的坐标（x，y）横前纵后不能颠倒，坐标轴上的点不属于任何象限 · 两点距离、点到轴距离牢记公式：同轴取坐标差绝对值，一般用 · 对称规律别混淆：关于x轴对称纵变号，关于y轴对称横变号 · 直线平行y轴⇔横坐标相同，平行x轴⇔纵坐标相同，是高频条件 · 新定义题先理解定义再按规则逐项计算，写清步骤 【作业 1】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，1） 【作业 2】如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【作业 3】已知点A（a+1，3），点B（3，a+3），且直线AB∥y轴，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣4 【作业 4】已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0） 【作业 5】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），记dAB为线段AB的长度，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．下列结论： ①若点A与点B关于x轴对称，则dAB＝DAB； ②若dAB＝DAB，则点A与点B关于x轴对称； ③若动点P满足DOP＝1，则点P的运动路径所围成的图形面积为2； ④若dOA＝2dOB，则DOA＝2DOB． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【作业 6】平面直角坐标系中，有点P（2x﹣1，2x）与点Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为__________ ． 【作业 7】在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称点的坐标是___________ ． 【作业 8】在平面直角坐标系xOy中，A（3，2），B（0，m），当线段AB最短时，OB的长为_____ ． 【作业 9】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 _____ ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【作业 10】【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【作业 11】现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有_______ ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【作业 12】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C（6，120°），F（5，210°）． （1）按照此方法表示目标B的位置．B：____________ ； （2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A，D的实际位置； A：____________________ ； D：____________________ ． （3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，写出G的位置表示． G：_______________ ． 第48页（共48页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 图形与坐标 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平面直角坐标系的概念，掌握象限与坐标轴上点的坐标特征 · 会用坐标表示平面内的点，能由点的位置确定坐标 · 掌握两点间的距离公式，会求点到坐标轴与原点的距离 · 掌握关于x轴、y轴对称与平移变换的坐标变化规律 · 能建立坐标系解决图形位置、距离与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系的引入 平面直角坐标系由互相垂直且原点重合的两条数轴组成，横轴（x轴）向右为正，纵轴（y轴）向上为正 点的坐标写成（x，y）的形式，括号内横坐标在前、纵坐标在后 象限划分：第一象限（+，+），第二象限（−，+），第三象限（−，−），第四象限（+，−） 坐标轴上的点：x轴上纵坐标为0，y轴上横坐标为0，原点坐标为（0，0） 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点A（−2，3）与点B（1，−3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，则直线l的方程形式为______ 解析：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，直线l经过A（−2，3），所以直线l上任意点的横坐标都是−2，即x=−2。 ☆ 2.简单图形的坐标表达 描点：根据坐标在平面内确定点的位置，先在x轴上找横坐标，再沿y轴方向找纵坐标 图形的坐标表达：用顶点坐标表示三角形、四边形等图形的位置 与坐标轴平行的线段：平行于x轴的线段上各点纵坐标相同，平行于y轴的线段上各点横坐标相同 求图形面积时，常把底边放在坐标轴上，用坐标差的绝对值作底或高 概念辨析例题：已知点A（a+1，3），点B（3，a+3），且直线AB∥y轴，则a的值为______ 解析：直线AB平行于y轴，则A、B两点的横坐标相同，即a+1=3，解得a=2；此时A（3，3）、B（3，5），两点纵坐标不同，符合平行y轴条件。 ☆ 3.物体位置的坐标表示 用一对有序数对（x，y）可以唯一确定平面内点的位置 确定位置的方法：坐标法、方位角+距离、经纬度、目标表示法（如雷达）等 实际问题中先建立适当的平面直角坐标系，再读出或写出位置坐标 坐标轴、原点的选取不同，点的坐标不同，但相对位置不变 概念辨析例题：雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，目标C，F的位置表示为C（2，120°）、F（5，210°），则目标A的位置表示为______ 解析：雷达目标表示法通常用（到中心的距离，方位角）表示：圆环刻度表示距离，角度表示方向。按此规定读出A到中心的距离与方位角即可写出坐标，注意角度按规定的起始方向计量。 ☆ 4.两点间的距离公式 坐标轴上两点距离：同横坐标的竖线段长=|y1−y2|，同纵坐标的横线段长=|x1−x2| 平面内两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的距离：AB= 点到x轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y轴的距离=横坐标的绝对值 点到原点的距离= 概念辨析例题：点A的坐标为（−3，−2），点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为______ 解析：点B在x轴上，到A（−3，−2）距离最短时，B为A向x轴所作垂线的垂足，即横坐标相同、纵坐标为0，所以B（−3，0），最短距离=2。 ☆ 5.平移与轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即（x，y）→（x，−y） 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即（x，y）→（−x，y） 左右平移横坐标变：向左平移a个单位横坐标减a，向右平移a个单位横坐标加a 上下平移纵坐标变：向上平移b个单位纵坐标加b，向下平移b个单位纵坐标减b 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称点的坐标是______ 解析：关于y轴对称时，纵坐标不变、横坐标变为相反数，所以（2，3）关于y轴对称的点为（−2，3）；若关于x轴对称则为（2，−3）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点的坐标 （x，y），横前纵后 顺序不能颠倒，写成（y，x）位置不同 象限特征 （+，+）（−，+）（−，−）（+，−） 坐标轴上点不属于任何象限 点到坐标轴距离 到x轴=|y|，到y轴=|x| 距离是绝对值，恒非负 两点距离公式 AB= 同轴线段长取坐标差绝对值 关于x轴对称 （x，y）→（x，−y） 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称 （x，y）→（−x，y） 纵坐标不变，横坐标变号 平移 左减右加变横，上增下减变纵 平移后图形形状大小不变 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系的引入（第1-6题） · 牢记点的坐标与象限、坐标轴的对应关系 · 横纵坐标的符号决定点所在象限，逐个判断 · 含字母系数的坐标，先判断系数的正负再定位 · 坐标轴上点：x轴纵为0，y轴横为0 1．在平面直角坐标系xOy中，点P（，﹣a2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】只需判断点P横纵坐标的正负性，结合象限坐标特征即可求解． 【解答】解：∵点P的横坐标为，， ∴﹣a2﹣1＝﹣（a2+1）＜0， 即点P横坐标为正，纵坐标为负， 根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限， ∴点P在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 2．已知实数a，b满足ab＞0，a+b＜0，则点P（a，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据条件可得：a＜0，b＜0，进而即可判断点P所在的象限． 【解答】解：∵ab＞0， ∴a，b同号， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， 故点P（a，b）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题主要考查平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征，掌握各个象限的点的坐标特征，是解题的关键． 3．平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m+3，﹣m+1），其中m为任意实数，点P不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由P的坐标为（m+3，﹣m+1），设x＝m+3，y＝﹣m+1，可得x+y＝4，则y＝﹣x+4，根据一次函数图象的性质进行判断即可． 【解答】解：P的坐标为（m+3，﹣m+1）， 设x＝m+3，y＝﹣m+1， 所以x+y＝4， 则y＝﹣x+4， 故点P是直线y＝﹣x+4上的点， 因为k＝﹣1＜0，b＝4＞0， 故图象过一、二、四象限， 所以不过第三象限， 故答案选：C． 【点评】本题考查点的坐标与位置的关系、转化为一次函数利用一次函数图象的性质是解决问题的关键． 4．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣12）到x轴的距离为　12　 ． 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（5，﹣12）到x轴的距离为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．若点A（x，5）与点B（2，5）的距离为3，则x＝　﹣1或5　 ． 【分析】利用两点间的距离公式得到（x﹣2）2+（5﹣5）2＝32，然后解关于x的方程即可． 【解答】解：根据题意得（x﹣2）2+（5﹣5）2＝32， 解得x＝5或x＝﹣1． 故答案为：﹣1或5． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：利用两点间的距离公式直接计算直角坐标系内任意两点间的距离． 6．在平面直角坐标系xOy中，点P（m+1，3m﹣8）在第四象限内，且到x轴距离为2，则m的值为　2　 ． 【分析】根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程3m﹣8＝﹣2，进行求解，即可作答． 【解答】解：由条件可知3m﹣8＝﹣2， 解得m＝2， 当m＝2时，m+1＝2+1＝3＞0，符合题意，故m的值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．熟练掌握以上知识点是关键． 【考点2】简单图形的坐标表达（第7-18题） · 描点画图，把坐标转化为图形位置 · 平行于坐标轴的线段，长度等于坐标差的绝对值 · 直线平行y轴⇔各点横坐标相同；平行x轴⇔纵坐标相同 · 动点距离最短：作垂线找垂足 7．已知点P（3，﹣4），下列说法正确的是（　　） A．点P在第二象限 B．点P到x轴的距离为3 C．点P到y轴的距离为4 D．点P到原点的距离为5 【分析】根据点到坐标轴距离的计算公式及每个象限内点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为点P坐标为（3，﹣4）， 则点P在第四象限，到x轴的距离为4，到y轴的距离为3． 因为， 所以点P到原点的距离为5， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知点到坐标轴距离的计算公式及每个象限内点的坐标特征是解题的关键． 8．已知点M（﹣2，5），点N为y轴上一动点，则MN的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【分析】过M点做y轴的垂线，交y轴于点N，MN的长度即为所求． 【解答】解：如图， 当MN⊥y轴时，MN的长度最小，MN的最小值为2， 故选：B． 【点评】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握点到直线上的所有连线中，垂线段最短是解题的关键． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），点B在y轴上，对于线段AB有如下四个结论： ①线段AB的最小值是2； ②线段AB的最大值是2； ③线段AB可能经过点（2，0）； ④线段AB可能经过点（1，3）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【分析】根据点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，依次对四个结论进行判断即可． 【解答】解：∵点A（2，1）， ∴点A到y轴的距离为2， 又∵点B在y轴上， ∴线段AB的最小值是2． 故①正确． 显然线段AB无最大值， 故②错误． ∵点（2，1）和点（2，0）的横坐标相等， ∴过这两个点的线段与y轴平行， 又∵点B在y轴上， ∴线段AB不可能经过点（2，0）． 故③错误． ∵过点（1，3）和（2，1）的直线函数解析式为y＝﹣2x+5， 则当x＝0时，y＝5， ∴当点B坐标为（0，5）时，线段AB经过点（1，3）． 故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝6，点C为平面内一动点，BC＝1，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．则线段OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，1为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（﹣3，0），连接BD，分别过点C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足分别为F，E，先证△OAM∽△DAC，得，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后根据勾股定理求出BD后可逐步推得OM． 【解答】解：由题意可得点C在以点B为圆心，1为半径的⊙B上， 在x轴的负半轴上取点D（﹣3，0），连接BD， 分别过点C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足分别为F，E， ∴OD＝3， ∵OA＝6， ∴， ∵CM：MA＝1：2， 即， ∴， ∴△OAM∽△DAC， ∴， ∴当CD取得最大值时，OM取得最大值， 当D、B、C三点共线，且点B在DC上时，CD取得最大值， ∵Rt△BOD中，， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是通过构造相似三角形将OM的长度进行转化． 11．如图，点P（0，﹣3）、Q（t，2t﹣4）为平面直角坐标系内两点，线段MN两端点坐标分别为（4，﹣1）、（6，﹣4），若直线PQ与线段MN有交点，则t的取值范围是　　 ． 【分析】根据点Q的坐标得出点Q在直线y＝2x﹣4上，再分别求出直线PM及PN与直线y＝2x﹣4的交点横坐标即可解决问题． 【解答】解：因为点Q坐标为（t，2t﹣4）， 所以点Q在直线y＝2x﹣4上． 如图所示， 因为点P坐标为（0，﹣3），点M坐标为（4，﹣1）， 所以直线PM的函数解析式为y＝3， 由得， x＝， 则直线PM与y＝2x﹣4的交点横坐标为， 同理可得，直线PN与y＝2x﹣4的交点横坐标为， 所以当直线PQ与线段MN有交点时，t的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意分别求出直线PM及PN与y＝2x﹣4交点的横坐标是解题的关键． 12．如图，直线AB经过原点O，若A（2，m）、B（﹣3，n）、C（0，﹣2），D为线段AB上一动点．当CD取最小值时，AB＝　8　 ． 【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出AE＝2，BF＝3，OC＝2，最后利用S△ABC＝S△AOC+S△BOC代入求解即可． 【解答】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵A（2，m）、B（﹣3，n）、C（0，﹣2）， ∴AE＝2，BF＝3，OC＝2， ∵当CD⊥AB时，CD取最小值， ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC， ∴，即， 解得，AB＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解答本题的关键． 13．在平面直角坐标系中，点A（m，n﹣1），B（m+4，n﹣1），C（﹣2，3），若CD∥AB且，则点D的坐标为 　（0，3）或（﹣4，3）　 ． 【分析】根据A、B的点的坐标特征可知AB∥x轴，AB＝m+4﹣m＝4，再根据已知条件知CD∥x轴，CD＝＝2，从而求出点D的横纵坐标． 【解答】解：∵A（m，n﹣1），B（m+4，n﹣1）， ∴AB∥x轴，AB＝m+4﹣m＝4， ∵CD∥AB且， ∴CD∥x轴，CD＝＝2， ∵C（﹣2，3）， ∴点D的纵坐标为3， 横坐标为﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4， ∴D（0，3）或（﹣4，3） 故答案为：（0，3）或（﹣4，3）． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握点的坐标的特征是解题的关键． 14．如图，在数轴上，OA⊥AB且B（2，1），若以O为圆心，OB为半径画弧，则交点C表示的数是　　 ． 【分析】根据题意求出OB的长，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点B坐标为（2，1）， 所以OA＝2，AB＝1． 在Rt△OAB中， OB＝， 所以OC＝OB＝， 即点C表示的数是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及实数与数轴，能根据题意求出OB的长是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣4，2﹣3a）． （1）若点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，求点P的坐标． （2）若点P到x轴的距离为3，求a的值． 【分析】（1）根据平行于y轴的直线上点横坐标相同列方程求解a，即可求出坐标； （2）点到x轴的距离是纵坐标的绝对值列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，点P的坐标是（2a﹣4，2﹣3a）， ∴2a﹣4＝2， 解得a＝3， ∴2﹣3a＝2﹣9＝﹣7， ∴若点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，点P的坐标是（2，﹣7）； （2）∵点P到x轴的距离为3， ∴|2﹣3a|＝3， 2﹣3a＝3或2﹣3a＝﹣3， ∴或， ∴若点P到x轴的距离为3，或． 【点评】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离等知识点，解题的关键是熟练掌握平行于y轴的直线上点横坐标相同和点到x轴的距离是纵坐标的绝对值． 16．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． （1）A（﹣1，0），B（4，2）， ①μ（A，B）的值是 　3　 ； ②点K在y轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　（0，﹣2）或（0，6）　 ． （2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，PQ＝5，点M的坐标为（0，﹣4），求线段PQ在x轴上运动时，算出μ（M，PQ）的最小值． 【分析】（1）①根据μ（A，B）的定义，代入A，B的坐标，先求出dx和dy的值，再求μ（A，B）的值． ②根据点K在y轴上及μ（B，K）的值，设点K的坐标，并代入式子中求解，注意有绝对值时要分类讨论． （2）根据题干中μ（A，PQ）的定义，数形结合，正确求出μ（M，PQ）的最小值，即可得到点P的位置． 【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（4，2）， ∴dx＝|x1﹣x2|＝|﹣1﹣4|＝5，dy＝|0﹣2|＝2， ∴μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|5﹣2|＝3． 故答案为：3． ②∵点K在y轴上， ∴设点K的坐标为（0，a）． ∵μ（B，K）＝0， ∴4﹣|a﹣2|＝0， ∴|a﹣2|＝4， ∴a＝﹣2或a＝6， ∴点K的坐标为（0，﹣2）或（0，6）． 故答案为：（0，﹣2）或（0，6）． （2）设PQ上的点T的坐标为（t，0），点P的坐标为（p，0），则Q（p+5，0）， ∵点M的坐标为（0，﹣4）， ∴μ（M，T）＝||t|﹣4|． 当p≥1.5时，当t＝p+5时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|p+5﹣4|＝|p+1|≥2.5， 当p≤﹣6.5时，当t＝p时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|﹣p﹣4|＝|p+4|≥2.5， 当﹣5≤p≤0时，当t＝0时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|﹣4|＝4， 当﹣6.5＜p＜5时，t＝p+5时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|﹣p﹣5﹣4|＝|p+9|， ∴2.5＜μ（M，PQ）＜4， 当0＜p＜1.5时，t＝p时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|p﹣4|， ∴2.5＜μ（M，PQ）＜4， 综上所述，μ（M，PQ）的最小值为2.5． 【点评】本题考查了对于横纵偏差这一新定义的理解与运用，要注意数形结合及分类讨论．解答第（2）问的关键是求出μ（M，PQ）的最小值． 17．在下面的平面直角坐标系中： （1）描出点A（4，0）、B（3，2），并画出△AOB； （2）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD； （3）在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）先描出点A、B，再顺次连接即可得出△AOB； （2）根据关于原点对称的点的性质得出对应点的位置，再顺次连接即可得出答案； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，点P即为所求，由轴对称的性质可得：A′（﹣4，0），A′P＝AP，AP+PB＝A′P+PB，此时AP+PB的值最小，待定系数法求出直线A′B的解析式，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△AOB即为所作， ； （2）如图，△COD即为所作， ； （3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，点P即为所求， ， 由轴对称的性质可得：A′（﹣4，0），A′P＝AP， ∴AP+PB＝A′P+PB，此时AP+PB的值最小， 设直线A′B的解析式为y＝kx+b， 将A′（﹣4，0），B（3，2）代入解析式可得：， 解得：， ∴直线A′B的解析式为， 在中，当x＝0时，， ∴． 【点评】本题考查了坐标与图形、作图—中心对称图形、轴对称的性质、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得横坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，则点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴横纵坐标互为相反数， ∴2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，则a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝1+2024＝2025． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 【考点3】物体位置的坐标表示（第19-23题） · 建立坐标系：选适当原点与方向，使坐标简明 · 由点的位置读坐标：先读横坐标再读纵坐标 · 雷达等特殊表示法按题目规定（距离，方位角）读 · 实际问题注意单位与实际距离的换算 19．如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“马”所在点的坐标是（﹣3，0）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 20．辽宁省部分城市在地图上的位置如图所示，若锦州的位置坐标为（﹣1，0），抚顺的位置坐标为（3，2），则大连的位置坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（1，﹣3） C．（2，﹣2） D．（2，﹣3） 【分析】根据题意建立正确的直角坐标系，即可得出答案． 【解答】解：如图，建立直角坐标系， 则大连的坐标是（1，﹣3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查坐标确定位置，建立正确的直角坐标系是解题的关键． 21．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点A（1，2），B（3，0），则点C的坐标为　（4，1）　 ． 【分析】根据题意，先画出相应的平面直角坐标系，然后即可写出点C的坐标． 【解答】解：直角坐标系如下所示， 由上可得，点C的坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． 【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 22．如图，棋盘中，若“帅”位于点（1，0），“相”位于点（3，0），则“炮”位于点 　（﹣2，3）　 ． 【分析】根据“帅”位于点（1，0），“相”位于点（3，0），画出平面直角坐标系，再根据“炮”的位置即可写出“炮”位的坐标． 【解答】解：由题意可得，平面直角坐标系如图所示： ∴“炮”位于点（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 23．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（45°）向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用（1，0°）表示，点B的位置用（3，225°）表示，则点C的位置可以表示为　（2，135°）　 ． 【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案． 【解答】解：由题意可知，点A，B的位置分别表示为（1，0°），（3，225°）， ∴点C为（2，135°）， 故答案为：（2，135°）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标是解题关键． 【考点4】两点间的距离公式（第24-28题） · 同坐标轴上的点直接用坐标差绝对值求距离 · 一般两点用距离公式 · 点到坐标轴、原点的距离牢记绝对值与根式 · 最短距离问题：垂线段最短，找垂足坐标 24．已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 　4　 ． 【分析】根据平行于x轴的直线上点的特征可得点P与点Q的纵坐标相等，求得x＝1，P（﹣1，2），即可求解． 【解答】解：∵PQ∥x， ∴点P与点Q的纵坐标相等， ∴3﹣x＝2， 解得：x＝1， ∴P（﹣1，2）， ∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，点的坐标特征，熟练运用平行于x轴的直线上点的特征求得点P的坐标是解题的关键． 25．已知点A（m﹣1，3）和点B（﹣1，m），且AB∥x轴，则A，B两点间的距离为　3　 ． 【分析】平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此可求出m的值，进而求出点A的横坐标，再求出A、B两点的距离即可． 【解答】解：由条件可得m＝3， ∴m﹣1＝2， ∴AB＝2﹣（﹣1）＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握该知识点是关键． 26．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　2　 ． 【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：∵A（3，﹣2），B（5，4）， ∴AB＝＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 27．A（4，5），B（0，b）是平面直角坐标系中的两点，连接AB，当线段AB长度最小时，b的值为 　5　 ，线段AB长为 　4　 ． 【分析】先利用两点的距离公式得到AB＝，再根据非负数的性质得到（b﹣5）2≥0，从而确定b＝5时，线段AB长度最小，然后求出AB长度的最小值． 【解答】解：∵A（4，5），B（0，b）， ∴AB＝＝， ∵（b﹣5）2≥0， ∴当b＝5时，线段AB长度最小，最小值为＝4． 故答案为：5，4． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 28．小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（x1 ，y2 ）， ∴AC＝　|y1﹣y2|　 ， BC＝　|x2﹣x1|　 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝　5　 ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为　　 ． 【分析】（1）直接应用平面直角坐标系中两点间距离公式求出AB； （2）先确定平移的水平变化量，结合AA′＝10，用两点间距离公式列方程，求出纵坐标的变化量，再根据“线段上所有点平移的横、纵坐标变化量一致”，将B（6，﹣3）按对应变化量平移，得到B′的坐标； （3）因P在x轴上，故y＝0，式子表示“P到（0，3）和（4，1）的距离和”，作（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3），连接对称点与（4，1），用两点间距离公式计算该线段长度，即为距离和的最小值． 【解答】解：根据题意，可知C（x1，y2）， 则AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x2﹣x1|． 故答案为：x1，y2；|y1﹣y2|；|x2﹣x1|； （1）根据， 可知， 故答案为：5； （2）由题可知，横坐标变化为﹣8﹣（﹣2）＝﹣6，纵坐标变化为|a﹣4|，A（﹣2，4）到A′（﹣8，a）， 由AA′＝10，则， 解得a1＝12，a2＝﹣4， 当a＝﹣4，可知点B′由点B向左平移6个单位，向下平移8个单位，即B′的坐标为（0，﹣11）； 当a＝12，可知点B′由点B向左平移6个单位，向上平移8个单位，即B′的坐标为（0，5）； 故点B′的坐标为（0，5）或（0，﹣11）． （3）点P（x，y）在x轴上，则y＝0，令B（4，1），A（0，3）， 根据题意，可知表示PA+PB， 如图，作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣3），连接A′B，交x轴于点P， 根据对称的性质可知，PA＝PA′， 则PA+PB＝PA′+PB， 此时A′B即为PA+PB取得的最小值，， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面直角坐标系两点间距离公式，坐标的平移变换，最短路径问题，勾股定理的几何应用，将x轴上点到两定点的折线距离转化为直线距离是解题关键． 【考点5】平移与轴对称（第29-39题） · 对称变换记口诀：关于x轴对称纵变号，关于y轴对称横变号 · 平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加 · 对称与平移综合时先变坐标再描点 · 判断变换类型时观察对应点坐标变化规律 29．点P（﹣3，4）与点Q（3，4）在平面直角坐标系中关于哪条线对称（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【解答】解：∵点P与点Q的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴． 故选：B． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是关键． 30．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4） 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P′的坐标为（3，4）． 故选：D． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 31．“灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，若将右面的灵宝剪纸放在平面直角坐标系中，点C（﹣3，2）与点D关于y轴对称，则点D的横坐标是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行求解即可． 【解答】解：∵点C与点D关于y轴对称，点C（﹣3，2）， ∴D（3，2）． 故选：A． 【点评】本题考查的是坐标确定位置，关于x、y轴对称的点的坐标特征，熟知关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 32．嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点（x，y）处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到（x﹣2，y﹣1）；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到（x﹣1，y﹣2）；若平局，则将棋子下移三个单位到（x，y﹣3）．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（　　） A．35个 B．24个 C．18个 D．11个 【分析】设移动k次（1≤k≤5，含第5次），嘉嘉赢a次，淇淇赢b次，平局c次，根据移动规则推导坐标关系，证明不同参数对应不同点，计算每一次移动的可能个数的总数和即可． 【解答】解：设移动次数为k，其中1≤k≤5，k为整数，设嘉嘉赢a次，淇淇赢b次，平局c次， 则a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c＝k， 根据移动规则，最终棋子纵坐标y＝﹣a﹣2b﹣3c，横坐标x＝﹣2a﹣b， ∵c＝k﹣a﹣b，代入y，得y＝﹣a﹣2b﹣3（k﹣a﹣b）＝﹣（3k﹣2a﹣b）＝（2a+b）﹣3k， 令s＝2a+b，得坐标为（﹣s，s﹣3k），0≤s≤2k， 若两个坐标相同，则由x相同得s相同，代入纵坐标关系得k相同， 因此不同的s，k对应不同的点， 对任意0≤s≤2k，都存在满足条件的a，b： 若s＞k，取a＝s﹣k，b＝k﹣a，满足a+b＝k，且0≤a≤k， 若s≤k，取a＝0，b＝s，满足a+b＝s≤k； 因此每个k对应2k+1个不同的点， ∴总和为3+5+7+9+11＝35． 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，坐标确定位置，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，2），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为 　（1，2）　 ． 【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，再根据平移的性质即可求出A2的坐标． 【解答】解：A（﹣2，1），B（﹣1，2），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣2），C1（﹣4，﹣4）， ∵B2（2，1）， ∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移3个单位， ∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+3），即（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． 34．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（﹣2，﹣5），则点M1的坐标为　（2，﹣5）　 ． 【分析】根据关于y轴对称的两个点的坐标的特征进行解答即可． 【解答】解：由题意得，点M与点M1关于y轴对称，而点M的坐标为（﹣2，﹣5）， 所以点M1的坐标为（2，﹣5）， 故答案为：（2，﹣5）． 【点评】本题考查关于x轴，y轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变是正确解答的关键． 35．点A（m，3）和点B（2，n）关于y轴对称，则（m+n）2026的值为　1　 ． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣2，n＝3， 则（m+n）2026＝12026＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶点A（﹣4，0），B（﹣1，4），点C在y轴的正半轴上，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点A′的坐标为　　 ． 【分析】先求出OA，AC的长，可求出点C的坐标，再求出直线AB的解析式，再结合平移的性质可得到直线A′B′的解析式，即可求解． 【解答】解：∵点B（﹣1，4），A（﹣4，0）， ∴OA＝4，， ∵AB＝AC， ∴AC＝5， ∴， ∴点C（0，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把B（﹣1，4），点A（﹣4，0），代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′， ∴AB∥A′B′， ∴可设直线A′B′的解析式为， 把点C（0，3）代入得：m＝3， ∴直线A′B′的解析式为， 当y＝0时，， 解得：， ∴点A′的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 37．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1），D（﹣1，4），将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A'B'C'D'． （1）四边形A'B'C'D'与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A'B'C'D'的坐标． （2）如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离． 【分析】（1）根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题； （2）根据题意，得出平移的方向和距离即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为四边形A'B'C'D'由四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 所以四边形A'B'C'D'比四边形ABCD对应点的横坐标大4，纵坐标大3． 因为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1），D（﹣1，4）， 所以A'（1，8），B'（0，6），C'（3，4），D'（3，7）； （2）因为A（﹣3，5），A'（1，8）， 所以AA'＝， 则如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么平移的方向是由A到A'的方向，平移距离为5． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 38．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将△ABC进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．点A（0，a），点B（0，b），点，点． （1）若a＝1，求m的值； （2）若点，其中a＞0．直线CE交y轴于点M，且△BEM的面积为1，请比较AF与BF的大小，并说明理由． 【分析】（1）从点A和点D的坐标确定平移方式，从而表示出点E的坐标，对比后求出m的值； （2）仿照（1）的解法，先确定平移方式，再求出b＝a+4，m＝2a+4，则点，，从而判断出CE∥x轴，因此点M的坐标为．利用坐标计算出，EM＝a，再结合△BEM的面积为1，求出a＝2，从而得到A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5），F（0，4），因此AF＝BF＝2． 【解答】解：（1）∵a＝1， ∴点D的坐标为，点E的坐标为，点A的坐标为（0，1）， ∴平移方式为向右平移1个单位，再向下平移个单位， ∵点B（0，b）， ∴点E的坐标为， ∴m﹣b＝1，， ∴b＝5，m＝6； （2）∵点A（0，a），点， ∴平移方式为向右平移a个单位，再向下平移个单位， ∵点B（0，b）， ∴点E的坐标为， ∴m﹣b＝a，， ∴b＝a+4，m＝2a+4， ∴点B的坐标为（0，a+4），点E的坐标为，点C的坐标为， ∵， ∴CE∥x轴， ∴点M的坐标为， ∴，EM＝a﹣0＝a， ∵， ∴， 解得a＝2（负值，舍去）， ∴点A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5）， ∵点F由点C向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ∴点F（0，4）， ∵AF＝4﹣2＝2，BF＝6﹣4＝2， ∴AF＝BF． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 39．已知点A（a﹣1，5）和B（2，b﹣1），试根据下列条件求出a，b的值． （1）A，B两点关于y轴对称； （2）A，B两点关于x轴对称． 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． （2）关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【解答】解：（1）∵点A（a﹣1，5）和B（2，b﹣1）关于y轴对称， ∴a﹣1＝﹣2，b﹣1＝5， ∴a＝﹣1，b＝6． （2）∵点A（a﹣1，5）和B（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， ∴a＝3，b＝﹣4． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 点的坐标（x，y）横前纵后不能颠倒，坐标轴上的点不属于任何象限 · 两点距离、点到轴距离牢记公式：同轴取坐标差绝对值，一般用 · 对称规律别混淆：关于x轴对称纵变号，关于y轴对称横变号 · 直线平行y轴⇔横坐标相同，平行x轴⇔纵坐标相同，是高频条件 · 新定义题先理解定义再按规则逐项计算，写清步骤 【作业 1】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，1） 【分析】根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（﹣2，3），直线l经过点A且与y轴平行， 所以直线l上任意一点的横坐标都为﹣2． 又因为点B坐标为（1，﹣3），点C在直线l上， 根据垂线段最短可知， 当BC⊥l时，线段BC的长度最短， 则此时点C的纵坐标为﹣3， 所以点C的坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及垂线段最短，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【作业 2】如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【分析】根据平面直角坐标系中坐标的特征判断即可． 【解答】解：∵这个点在第二象限， ∴这个点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴这个点的坐标可能是（﹣2，5）． 故选：B． 【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． 【作业 3】已知点A（a+1，3），点B（3，a+3），且直线AB∥y轴，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据AB∥y轴得到a+1＝3，解方程求解即可． 【解答】解：∵直线AB∥y轴，点A（a+1，3），点B（3，a+3）， ∴a+1＝3， 解得：a＝2， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等． 【作业 4】已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0） 【分析】根据当AB⊥x轴于点B时，A、B两点间的距离最短，即可得到答案． 【解答】解：由条件可知：当AB⊥x轴于点B时，A、B两点间的距离最短， 此时点B与点A的横坐标相同， ∴点B的坐标是（﹣3，0）， 故选：D． 【点评】此题考查了点的坐标、垂线段最短，熟练掌握点的坐标规律是解题的关键． 【作业 5】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），记dAB为线段AB的长度，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．下列结论： ①若点A与点B关于x轴对称，则dAB＝DAB； ②若dAB＝DAB，则点A与点B关于x轴对称； ③若动点P满足DOP＝1，则点P的运动路径所围成的图形面积为2； ④若dOA＝2dOB，则DOA＝2DOB． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据两点间距离公式dAB和新定义DAB，逐个验证四个结论，即可得到答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2）， 由定义得，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． ①∵点A与点B关于x轴对称， ∴x1＝x2，y2＝﹣y1， ∴，DAB＝|0|+|y1﹣（﹣y1）|＝2|y1|， ∴dAB＝DAB，①正确； ②取A（0，0），B（0，1），此时dAB＝1，DAB＝0+1＝1，满足dAB＝DAB，但A，B不关于x轴对称． ②错误； ③设P（x，y），由DOP＝1 得|x|+|y|＝1， 该图形是以（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1）为顶点的菱形，两条对角线长分别为2和2， ∴图形面积 ，③正确； ④取A（2，0），， 则，，满足dOA＝2dOB， DOA＝|2|+|0|＝2，，，④错误． 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离公式，正确进行计算是解题关键． 【作业 6】平面直角坐标系中，有点P（2x﹣1，2x）与点Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为　（5，6）　 ． 【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相同建立方程求解，即可解题． 【解答】解：∵PQ∥y轴，点Q（5，8），点P（2x﹣1，2x）， ∴2x﹣1＝5， 解得x＝3， 则2x＝2×3＝6， ∴点P的坐标为（5，6）； 故答案为：（5，6）． 【点评】本题考查了平行于y轴的直线上点的坐标特点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 7】在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称点的坐标是　（﹣2，3）　 ． 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【作业 8】在平面直角坐标系xOy中，A（3，2），B（0，m），当线段AB最短时，OB的长为　2　 ． 【分析】根据垂线段最短，得出AB⊥y轴时AB最短，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点B坐标为（0，m）， 所以点B在y轴上． 又因为当AB⊥y轴时，线段AB最短，且点A坐标为（3，2）， 所以当m＝2时，线段AB最短， 此时OB＝2﹣0＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及垂线段最短，熟知垂线段最短是解题的关键． 【作业 9】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　2　 ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得|2a﹣3|＝|﹣5|，求出答案； （3）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）， ∴点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是1， ∴点A（﹣1，2）的“长距”为2； 故答案为：2； （2）∵点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”， ∴|2a﹣3|＝|﹣5|， ∴2a﹣3＝5或2a﹣3＝﹣5， 解得a＝4或a＝﹣1； （3）∵点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4且点C在第四象限内， ∴3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝9﹣4＝5， ∴点D的坐标为（﹣5，5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键． 【作业 10】【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【分析】（1）通过表示四边形ACED的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设AP长度为未知数，利用PC＝PD结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【解答】解：（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．如图： ． 又∵， ∴， 展开得， 化简得a2+b2＝c2． （2）设AP＝x千米，则BP＝（30﹣x）千米． ∵PC＝PD，AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD2+AP2＝BC2+BP2， 即182+x2＝122+（30﹣x）2， ∴x＝12，即AP＝12千米． （3）设AB＝12，点P在AB上，AP＝x，PB＝12﹣x，作AD⊥AB且AD＝2，BC⊥AB且BC＝3，则代数式． 作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，过F作FE⊥AD于点E，则PC＝PF， ∴PD+PC＝PD+PF≤DF， ∴DF的长为PD+PC的最小值． 在Rt△DEF中，DE＝AD+AE＝5，EF＝AB＝12， ∴， ∴代数式的最小值为13． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 【作业 11】现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　①④　 ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【分析】（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出a，b，c的关系，进而可求出m，n的值． 【解答】解：（1）①2×1+1×1＝3， ∴（1，1）被（2，1，3）“关联”； ②2×（﹣4）+1×6＝﹣2≠3 ∴（﹣4，6）未被（2，1，3）“关联”； ③2×（﹣1）+1×3＝1≠3 ∴（﹣1，3）未被（2，1，3）“关联”； ④2×5+1×（﹣7）＝3 ∴（5，﹣7）被（2，1，3）“关联”； 故答案为：①④； （2）由条件可得： ， 解得； （3）由条件可得： ， ②﹣①得a+b＝0，即b＝﹣a， 将b＝﹣a代入①得c＝﹣a， 将b＝﹣a和c＝﹣a代入③得， m﹣n＝﹣1， 由条件可知2027m﹣2026n＝﹣1， 2027（m﹣n）+n＝﹣1， ∴m﹣2026＝﹣1， 解得m＝2025， ∴数对（m，n）为（2025，2026）． 【点评】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． 【作业 12】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C（6，120°），F（5，210°）． （1）按照此方法表示目标B的位置．B：　（2，90°）　 ； （2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A，D的实际位置； A：　北偏东60°距观测站1500米　 ； D：　南偏西30°距观测站1200米　 ． （3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，写出G的位置表示． G：　（2.5，315°）　 ． 【分析】（1）根据图上位置直接写出坐标即可； （2）根据坐标计算出距离，再根据角度写出方向即可； （3）同（2）反向计算即可． 【解答】解：（1）由图知表示目标B的位置为（2，90°）， 故答案为（2，90°）； （2）根据上北下南左西右东确定角度，用横坐标乘300确定距离， ∴目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500米，目标D的实际位置为南偏西30°距观测站1200米； 故答案为：北偏东60°距观测站1500米，南偏西30°距观测站1200米； （3）用（2）的反向方法计算可得G（2.5，315°）． 故答案为：（2.5，315°）． 【点评】本题考查用坐标表示位置，弄清题中定义的方法确定坐标和位置的对应方法是解题的关键． 第48页（共48页） 学科网（北京）股份有限公司 $