专题15常量与变量与认识函数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦常量与变量的相对性、函数“唯一对应”判定法则、三种表示法（解析法、列表法、图象法）、描点法作图流程、自变量取值范围及函数值计算等核心知识点，构建从概念辨析到技能应用的学习支架。 该资料通过“重点辨析”明确常量变量相对性等关键要点，“标准化步骤”规范函数值计算等操作，结合12类题型及拔高题，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过实例练习查漏补缺，强化函数基础思维。

专题15常量与变量与认识函数精讲学案 核心立意 辨析变化过程中常量与变量的相对性；掌握函数“唯一对应”的核心判定法则；精准掌握函数三种表示法的形式、优劣与适用场景；熟练掌握描点法作图标准流程；规范求解自变量取值范围、标准化计算函数值，建立完整的变量对应与函数基础思维。 常量与变量 1. 常量：指定变化过程中，数值恒定不变的量。 2. 变量：指定变化过程中，数值可发生改变的量。 3. 核心属性：常量与变量具有过程相对性，不可脱离具体变化过程单独判定；同一物理量，在不同变化过程中身份可互换。 函数定义与判定 在某一变化过程中，存在两个变量 x、y。若对于自变量 x 的每一个确定值，y 都有唯一确定值与之对应，则称 y 是 x 的函数。 判定铁律：多对一合法；一对多不构成函数。 函数三种表示方法（无笼统、全覆盖） （1）解析法 形式：用代数式等式表达变量对应关系。 优势：便于精确运算、规律推导；局限：复杂实际问题无法列式。 （2）列表法 形式：用表格罗列自变量与函数值的对应数据。 优势：可直接读取精准对应值；局限：只能呈现有限数据，无法体现整体变化规律。 （3）图象法 形式：在坐标系中用图形呈现变量变化关系。 优势：直观展示整体增减趋势；局限：读数存在误差，无法精准取值。 重要结论：同一函数的三种表达方式可相互转化、互为补充。 描点法画函数图象（本节必考核心） 标准三步规范流程： ①列表：选取合理自变量取值，代入解析式，计算对应函数值； ②描点：在平面直角坐标系中精准标出所有 (x,y) 对应点； ③连线：按自变量从小到大顺序，用平滑曲线顺次连接所有点。 自变量取值范围（四类硬性规则） ①整式型函数：自变量取值为全体实数； ②分式型函数：保证分母不为0； ③二次根式型函数：保证被开方数非负； ④实际应用型函数：同时满足式子有意义、实际物理意义合理（数量、长度、人数为非负数）。 函数值计算（重点升级、删除笼统、标准化步骤） 定义：给定自变量合法取值，代入解析式运算得到的唯一对应 y 值，即为函数值。 标准解题步骤： ①校验自变量取值在合法取值范围内； ②将已知自变量数值整体代入函数解析式； ③按整式、分式、根式运算法则化简计算； ④输出唯一对应的函数结果。 函数关系快速判定方法 ①任取定义域内自变量，检验是否一值对一值； ②出现一个 x 对应两个及以上 y 值，直接判定不是函数； ③多个自变量对应同一函数值，不违背函数定义。 重点辨析 1. 常量、变量无固定属性，判定依据是当前变化过程。 2. 函数唯一对应是单向约束：约束 xy，不约束 y x。 3. 自变量取值范围是代数意义+实际意义双重约束。 4. 描点作图必须有序连线、曲线平滑，禁止折线、乱序连线。 5. 函数是变量对应关系，函数值是具体运算数值，二者概念不可混淆。 1. 脱离变化过程，盲目判定常量与变量。 2. 误将“一对多”的对应关系判定为函数。 3. 求自变量范围遗漏分式分母不为0、根式非负、实际限制条件。 4. 描点作图顺序混乱、用折线代替平滑曲线。 5. 代入求函数值时，未整体代入、运算步骤出错。 6. 混淆三种函数表示法的优缺点与适用场景。 题型 考察方向 难度 题型一 用表格表示变量间的关系 ★★ 题型二 用关系式表示变量间的关系 ★★ 题型三 用图象表示变量间的关系 ★★ 题型四 函数的概念 ★ 题型五 函数解析式 ★★ 题型六 求自变量的取值范围 ★★ 题型七 求自变量的值或函数值 ★★ 题型八 函数的三种表示方法 ★ 题型九 函数图象识别 ★★ 题型十 从函数的图象获取信息 ★★★ 题型十一 用描点法画函数图象 ★★ 题型十二 动点问题的函数图象 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：用表格表示变量间的关系 解题思路：①分清表格中自变量、因变量；②读取表格中两组变量的对应数值；③观察变量变化趋势；④利用表格对应数据完成计算填空。 1．科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（     ） A．声速随温度的增大而减小 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声速为 D．当空气温度为时，声速为 【答案】A 【分析】先根据声速随温度的变化趋势判断A、B的正误，再验证对应温度下的声速判断C、D的正误． 【详解】解：∵由表格数据可知，温度升高时声速逐渐增大， ∴声速随温度的增大而增大，温度越高声速越快，A说法错误，符合题意；B说法正确，不符合题意． ∵由表格中对应数据可知，时声速为，声速为， ∴C、D说法均正确，不符合题意． 2．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度b(千米)与此高度处气温的关系，根据表格中两个变量之间的关系：当时，气温________． 海拔高度b：(千米) 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 【答案】 【分析】整理表格数据后可得，海拔高度每增加千米，气温下降，根据规律计算即可得到结果. 【详解】解： 将表格数据按海拔高度从小到大排序后，可得海拔高度每增加千米，气温下降 时， 当时， 3．夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香剩余长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 … 蚊香剩余长度 105 100 95 90 85 … 则以下说法错误的是（     ） A．在这个变化过程中，蚊香的燃烧时间t是自变量 B．当时， C．在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少 D．预计当时， 【答案】C 【分析】根据自变量和因变量的定义即可判断A；根据表格中数据即可判断B；根据表格中数据判断C；根据在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少，列出算式求出结果即可． 【详解】解：A．根据表格中数据可得：在这个变化过程中，蚊香的燃烧时间t是自变量，故A正确，不符合题意； B．根据表格可得：当时，，故B正确，不符合题意； C．根据表格可得：在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少，故C错误，符合题意； D．预计当时，，故D正确，不符合题意． 题型二：用关系式表示变量间的关系 解题思路：①分析题意找出两个变量的等量关系；②写出变量之间的等式关系式；③明确自变量与因变量；④代入自变量数值计算对应因变量的值。 4．在关系式中，常量和变量分别是（     ） A．常量是4，变量是 B．常量是，变量是 C．常量是3，变量是 D．常量是，变量是 【答案】D 【分析】根据常量与变量的定义，判断关系式中的固定量与变化量． 【详解】解：在关系式中，是常量，，是变量． 5．一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式可得，的关系，再根据，即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据长方形的周长公式可得：， ∴， ∴， ∵且，即且， ∴， 综上：． 6．参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，每一次握手会被两人各重复计算一次，据此计算出实际握手次数即可得到答案． 【详解】解：∵共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次， ∴实际握手次数为，即． 题型三：用图象表示变量间的关系 解题思路：①识别横轴、纵轴代表的变量；②观察图象线段升降、水平的实际含义；③读取图象上点的横、纵坐标；④结合图象信息解答问题。 7．小亮同学骑自行车上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为离家的路程，为行驶时间），符合上述情况的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实际运动情况分析离家的路程关于行驶时间的变化趋势，即可得到答案． 【详解】解：小亮刚开始匀速行驶：路程随时间增大，图像是倾斜上升直线，之后停下修车：时间增加，离家路程不变，图像是水平线段，最后加快速度：再次匀速，速度比原来大，直线倾斜程度比第一段更陡，逐一分析各选项： A选项：没有水平停车段，不满足题意； B选项：离家的路程出现下降（离家变近），不满足题意； C选项：离家的路程整体下降（离家越来越近），不满足题意； D选项：图象先斜向上，再水平停车，最后以更大的斜率的斜向上，满足题意． 故选：． 8．如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”；请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为_______． 【答案】155杯 【分析】观察趋势图，分析气温与冷饮杯数的变化规律，读取、时的数值，结合变化率进行推算． 【详解】解：观察统计图可知，卖出的冷饮杯数随气温的升高而增加，且呈线性趋势． 由图象可知，当最高气温为时，冷饮杯数约为140杯； 当最高气温为时，冷饮杯数约为150杯． 则气温每升高，冷饮杯数大约增加（杯）． 所以当最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（杯）． 9．小明的父亲饭后散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后，用15分钟返回家中，下列图形中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将小明的父亲的行程分为三个阶段：去报亭、看报纸、返回家中，分析每个阶段离家距离随时间的变化情况，结合图象特征进行判断 【详解】解：∵从家中走分钟到一个离家米的报亭， ∴至分钟内，离家距离随时间增加而增加，图象为上升线段； ∵看分钟的报纸， ∴至分钟（）内，离家距离保持米不变，图象为水平线段； ∵用分钟返回家中， ∴至分钟（）内，离家距离随时间增加而减小直至为，图象为下降线段，且总时间为分钟， 观察各选项：只有选项D符合题意． 题型四：函数的概念 解题思路：①确定两个变量；②判断对于自变量每一个确定的值，是否有唯一的因变量与之对应；③满足条件即为函数关系。 10．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【详解】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象． 11．下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是________（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 12．下列各曲线不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】解：A、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； B、对x的一个值y的值不是唯一的，因而不能表示y是x的函数，故此选项符合题意； C、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； D、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意． 题型五：函数解析式 解题思路：①梳理题目中的数量关系；②分清自变量和因变量；③写出含有两个变量的等式；④整理成标准函数解析式形式。 13．中国高铁运营速度处于全球领先水平，设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】根据路程等于速度乘以时间，即可解答． 【详解】解：由题意得，． 14．在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 【答案】 【分析】设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．据此即可列出函数关系式． 【详解】解：设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为． ∵在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为． ∴与的函数关系式为． 15．如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】篱笆总长应恰好为25米，据此列出等式．根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可知，， 所以． 题型六：求自变量的取值范围 解题思路：①看代数式限制：整式自变量取全体实数；分式分母不能等于0；二次根式被开方数大于等于0；②若是实际问题，再结合现实意义增加取值限制。 16．函数的定义域为_____． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围即函数的定义域；根据二次根式中被开方数非负即可求解． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故答案为：． 17．函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【详解】因为， 所以． 又因为， 所以， 所以自变量x的取值范围为． 故选：D． 18．函数中的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 19．若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于以及分式有意义的条件，进行计算即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：根据题意可知且， ， 解得：， 在数轴上表示如下：    故选：． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 题型七：求自变量的值或函数值 解题思路：①已知自变量，将数值代入函数解析式，计算得到函数值；②已知函数值，代入解析式列方程，解方程求出自变量。 20．下列各点中，不在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各点横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断点是否在图象上． 【详解】解：A、当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在函数图象上，不符合题意； B、当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在函数图象上，不符合题意； C、当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在函数图象上，不符合题意； D、当时，，与点的纵坐标不相等， ∴点不在函数的图象上，符合题意． 21．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 【答案】4 【分析】根据流程图，将代入相应的关系式进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 22．已知二次函数，如果那么______． 【答案】 【分析】本题考查求函数的函数值，先把代入可得到，然后代入解题即可． 【详解】解：当时，，解得， ∴当时，， 故答案为：． 23．若常数，，满足，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了函数的最值，熟练掌握数轴上两点之间的距离是关键． 根据表示在数轴上到表示，，c三个数的点的距离的和．根据数轴即可确定最小值． 【详解】解：∵，表示在数轴上到表示，，c三个数的点的距离的和．当在表示点的数的位置时距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选A． 题型八：函数的三种表示方法 解题思路：①区分表格法、关系式法、图象法；②根据题目要求选择对应表示方法；③可以在三种表示方法之间互相转化。 24．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 【答案】 【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系． 【详解】解：根据表格数据可知： 因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法． 25．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 26．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 题型九：函数图象识别 解题思路：①看清横纵轴代表的变量；②分析图象的上升、下降、水平段代表的变化；③排除不符合变量变化逻辑的图象。 27．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用18分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①分钟，②分钟，③分钟，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用18分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为48； 观察各选项图象，只有D选项符合． 28．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面上升越快，容器越细，据此分析判断即可． 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 29．如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0，而水池上宽下窄，则一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意． 题型十：从函数的图象获取信息 解题思路：①读取图象上关键点的横纵坐标；②分析图象变化趋势；③结合图象数据计算、比较；④结合题意解读图象实际意义。 30．如图，甲、乙两人步行的路程与所用的时间的关系图象，走得最快的是________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【详解】解：由函数图象可知相同时间甲走的路程多， 即走得最快的是甲． 31．王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离（单位：）与离家时间（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求． 【详解】解：A、从家中走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中，故本选项不符合题意； B、从家中走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中，故本选项不符合题意； C、从家中走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中，故本选项不符合题意； D、从家中走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中，故本选项符合题意． 32．某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 【答案】 【分析】从函数图象可求出七年级的速度，进而可求出总路程，再根据当时，七年级已到达终点，两个年级之间的距离，且八年级走了，可求出八年级的速度，最后即可求出八年级所需的时间． 【详解】解：根据图象可知，七年级的速度为：， 总路程为：， 当时，七年级已到达终点，两个年级之间的距离， 且八年级走了， 则八年级的速度为：， 则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是：． 33．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得快递车到达乙地时两车相距，即可判断；根据甲、乙两地之间的距离为，即可判断；设快递车从甲地到乙地的速度为，则，求出，即可判断；由于快递车到达乙地后卸完物品后再另装货物用了分钟，即可判断． 【详解】解：根据图象可得快递车到达乙地时两车相距，故正确； 甲、乙两地之间的距离为，故正确； 设快递车从甲地到乙地的速度为， 则， 解得，故错误； 因为快递车到达乙地后卸完物品再另装货物用了， 所以图中点的横坐标为，纵坐标为，故正确， 综上可得：正确的结论为． 题型十一：用描点法画函数图象 解题思路：①列表：选取若干自变量，算出对应函数值；②描点：在平面直角坐标系中标出对应坐标点；③连线：用平滑的直线或曲线依次连接各点。 34．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：______．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：______．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：______．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 35．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 36．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 题型十二：动点问题的函数图象 解题思路：①分析动点运动的分段过程，找准起点、转折点、终点；②判断每一段内两个变量的变化关系；③匹配每一段对应的图象形态；④综合选出符合题意的图象。 37．如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作先根据图像判断，，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵当时，取最小值，即， 当点P与点C 重合时取最大值，即， 作如图 ∵，， ∴． 38．将实心小圆柱放入无水的大圆柱形水杯中，然后向大圆柱形水杯中匀速加水（刚好加满为止），如图所示，则大圆柱形水杯中的水面高度h（）与注水时间t（）的函数图象大致为（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】水面没有没过实心小圆柱前，水面的底面积比水面没过实心小圆柱后水面的底面积小，故水面没有没过实心小圆柱前水面上升的速度比水面没过实心小圆柱后水面上升的速度快，据此可得答案． 【详解】解：水面的高度会随注水时间的增加而上升， 水面没有没过实心小圆柱前，水注入大圆柱与小圆柱之间的空隙，此时水面的底面积等于大圆柱的底面积减去小圆柱的底面积， 在水面没过实心小圆柱后，此时水面的底面积等于大圆柱的底面积， 由于匀速加水，故水面没有没过实心小圆柱前水面上升的速度比水面没过实心小圆柱后水面上升的速度快， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意． 39．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 【答案】 8 26 【分析】根据图象可知，，根据三角形的面积公式求出的长，再根据梯形的面积公式求出梯形的面积即可. 【详解】解：由题意和图象可知，当点运动到点时， ， ∴， 当点在上运动时，的面积保持不变， 由图象可知，， ∴梯形的面积为. 解答题 1．一辆长途汽车以的平均速度从甲地驶往乙地．已知甲、乙两地之间的路程为，求汽车距乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】函数关系式为，自变量的取值范围是 【分析】根据“距乙地的路程总路程已行驶路程”列函数关系式，结合时间与路程的实际意义确定自变量取值范围． 【详解】解：由题意得，汽车小时行驶的路程为． 甲、乙两地路程为， 距乙地的路程． 行驶时间非负，距乙地的路程非负， 且 解得． 综上所述，函数关系式为，自变量的取值范围是． 2．一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用下表表示： 时间 … 路程 … (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果汽车行驶的时间为，行驶的路程为，那么路程与时间之间的关系式为________． (3)按照这一行驶规律，当所花的时间是时，汽车行驶的路程是多少千米？ 【答案】(1)自变量是行驶时间，因变量是行驶路程． (2) (3)汽车行驶的路程为． 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义，判断主动变化的量和随动变化的量． （2）由表格中路程与时间的比值为定值，确定正比例关系式，结合实际意义写自变量取值范围． （3）将代入关系式计算得到路程． 【详解】（1）解：∵行驶时间是主动变化的量，行驶路程随的变化而变化． ∴自变量是行驶时间，因变量是行驶路程． （2）解：由表格数据可知，行驶路程与对应时间的比值恒为2． ∵行驶时间为非负数． ∴路程与时间的关系式为． （3）当时， ． 答：汽车行驶的路程是600千米． 3．如图，小红家、公园、早餐店在同一条直线上．小红周末从家出发，先匀速跑步到公园晨练，在公园锻炼一段时间后，步行到早餐店吃早餐，最后匀速散步回家．该图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题： (1)公园距离早餐店 ，小红从早餐店回家用时 ； (2)求小红从家到公园的平均速度是多少？ 【答案】(1)0.9，40 (2)小红从家到公园的平均速度是 【分析】（1）首先分析函数图象各阶段的实际意义：y轴表示离家距离，x轴表示出发后的时间，水平线段对应小红停留的状态，上升或下降线段对应移动状态．求公园到早餐店的距离：因为公园对应离家距离为，早餐店对应离家距离为，所以用两者的距离作差即可得到．求早餐店回家的用时：因为小红从早餐店出发的时间对应，到家的时间对应，所以用两个时间作差即可得到． （2）求从家到公园的平均速度：因为从家到公园的路程为，对应的时间为，所以根据速度公式计算即可． 【详解】（1）解：从图象可知：公园距离家，早餐店距离家， ∴公园到早餐店的距离为； ∵小红在第时结束吃早餐开始返程，第时回到家， ∴从早餐店回家用时为． （2）解：由图可知，小红家距离公园，小红从家到公园用了， ∴． 答：小红从家到公园的平均速度是． 4．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 m 1 0 1 2 n … 其中， ， ． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．根据函数图象，写出该图像的一条性质 (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则 ， ；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，则 ． (4)若直线与函数图象有且只有三个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2，1； (2)解：如图所示： 当时y随x的增大而减小； (3)①，；②0或或3； (4) 【分析】（1）把代入中即可求得的值；把，代入中，求得的值，然后代入即可求得的值； （2）描点连线即可得到函数的图象，观察图象可知当时随的增大而减小； （3）根据图象即可得到结论； （4）求得直线经过点，时的值，观察图象即可求得． 【详解】（1）解：将代入得，， ， 把，代入中得，， ， 把代入得，， ； （2）解：画函数图象略 由图象可知，当时随的增大而减小； （3）解：①由图象可知与在上，随的增大而减小， ∴； 与在上， ∴； ②当时，时，有， 或， 当时，时，有， ， 故或或； （4）解：把点代入得，，解得； 把点代入得，，解得； 由图象可知，若直线与函数图象有且只有三个交点，则． 5．如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点．图（2）是点运动时线段的长度随时间变化的关系图像，其中为曲线部分的最低点，且曲线部分成轴对称图形． (1)图（2）中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是___________，因变量是___________； (2)请求出边的长； (3)①当点在边上运动时，线段的最短长度为___________，此时线段与边的位置关系是___________； ②点在运动过程中，当的面积为时，请求出点的运动时间． 【答案】(1)时间；线段的长度 (2) (3)①6，；②或 【分析】（1）根据题意可得线段的长度随时间的变化而变化，据此可得答案； （2）根据函数图象可得，据此可求出点P的运动速度，再根据路程速度时间可得答案； （3）①由垂线段最短可知，当时，最短，由三线合一定理可得，结合图（2）中点M处的长度可得的最短长度；②分两种情况：点P在上和点P在上，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是时间，因变量是线段的长度 （2）解：由图（2）可知，点P运动到点C的时间为5秒，运动到点A的时间为13秒， ∴， ∴点P的运动速度为， ∴； （3）解：①由垂线段最短可知，当时，最短，即此时点P为线段的中点，故， 由图（2）可知，为曲线部分的最低点，此时， ∴线段最短长度为； ②由（3）①和（2）可得， 设点A到的距离为， ∴， ∴， 当点P在上时，则， ∴， ∴， ∴此时的运动时间为； 当点P在上时，则， ∴， ∴此时的运动时间为； 综上所述，点P的运动时间为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15常量与变量与认识函数精讲学案 核心立意 辨析变化过程中常量与变量的相对性；掌握函数“唯一对应”的核心判定法则；精准掌握函数三种表示法的形式、优劣与适用场景；熟练掌握描点法作图标准流程；规范求解自变量取值范围、标准化计算函数值，建立完整的变量对应与函数基础思维。 常量与变量 1. 常量：指定变化过程中，数值恒定不变的量。 2. 变量：指定变化过程中，数值可发生改变的量。 3. 核心属性：常量与变量具有过程相对性，不可脱离具体变化过程单独判定；同一物理量，在不同变化过程中身份可互换。 函数定义与判定 在某一变化过程中，存在两个变量 x、y。若对于自变量 x 的每一个确定值，y 都有唯一确定值与之对应，则称 y 是 x 的函数。 判定铁律：多对一合法；一对多不构成函数。 函数三种表示方法（无笼统、全覆盖） （1）解析法 形式：用代数式等式表达变量对应关系。 优势：便于精确运算、规律推导；局限：复杂实际问题无法列式。 （2）列表法 形式：用表格罗列自变量与函数值的对应数据。 优势：可直接读取精准对应值；局限：只能呈现有限数据，无法体现整体变化规律。 （3）图象法 形式：在坐标系中用图形呈现变量变化关系。 优势：直观展示整体增减趋势；局限：读数存在误差，无法精准取值。 重要结论：同一函数的三种表达方式可相互转化、互为补充。 描点法画函数图象（本节必考核心） 标准三步规范流程： ①列表：选取合理自变量取值，代入解析式，计算对应函数值； ②描点：在平面直角坐标系中精准标出所有 (x,y) 对应点； ③连线：按自变量从小到大顺序，用平滑曲线顺次连接所有点。 自变量取值范围（四类硬性规则） ①整式型函数：自变量取值为全体实数； ②分式型函数：保证分母不为0； ③二次根式型函数：保证被开方数非负； ④实际应用型函数：同时满足式子有意义、实际物理意义合理（数量、长度、人数为非负数）。 函数值计算（重点升级、删除笼统、标准化步骤） 定义：给定自变量合法取值，代入解析式运算得到的唯一对应 y 值，即为函数值。 标准解题步骤： ①校验自变量取值在合法取值范围内； ②将已知自变量数值整体代入函数解析式； ③按整式、分式、根式运算法则化简计算； ④输出唯一对应的函数结果。 函数关系快速判定方法 ①任取定义域内自变量，检验是否一值对一值； ②出现一个 x 对应两个及以上 y 值，直接判定不是函数； ③多个自变量对应同一函数值，不违背函数定义。 重点辨析 1. 常量、变量无固定属性，判定依据是当前变化过程。 2. 函数唯一对应是单向约束：约束 xy，不约束 y x。 3. 自变量取值范围是代数意义+实际意义双重约束。 4. 描点作图必须有序连线、曲线平滑，禁止折线、乱序连线。 5. 函数是变量对应关系，函数值是具体运算数值，二者概念不可混淆。 1. 脱离变化过程，盲目判定常量与变量。 2. 误将“一对多”的对应关系判定为函数。 3. 求自变量范围遗漏分式分母不为0、根式非负、实际限制条件。 4. 描点作图顺序混乱、用折线代替平滑曲线。 5. 代入求函数值时，未整体代入、运算步骤出错。 6. 混淆三种函数表示法的优缺点与适用场景。 题型 考察方向 难度 题型一 用表格表示变量间的关系 ★★ 题型二 用关系式表示变量间的关系 ★★ 题型三 用图象表示变量间的关系 ★★ 题型四 函数的概念 ★ 题型五 函数解析式 ★★ 题型六 求自变量的取值范围 ★★ 题型七 求自变量的值或函数值 ★★ 题型八 函数的三种表示方法 ★ 题型九 函数图象识别 ★★ 题型十 从函数的图象获取信息 ★★★ 题型十一 用描点法画函数图象 ★★ 题型十二 动点问题的函数图象 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：用表格表示变量间的关系 解题思路：①分清表格中自变量、因变量；②读取表格中两组变量的对应数值；③观察变量变化趋势；④利用表格对应数据完成计算填空。 1．科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（     ） A．声速随温度的增大而减小 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声速为 D．当空气温度为时，声速为 2．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度b(千米)与此高度处气温的关系，根据表格中两个变量之间的关系：当时，气温________． 海拔高度b：(千米) 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 3．夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香剩余长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 … 蚊香剩余长度 105 100 95 90 85 … 则以下说法错误的是（     ） A．在这个变化过程中，蚊香的燃烧时间t是自变量 B．当时， C．在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少 D．预计当时， 题型二：用关系式表示变量间的关系 解题思路：①分析题意找出两个变量的等量关系；②写出变量之间的等式关系式；③明确自变量与因变量；④代入自变量数值计算对应因变量的值。 4．在关系式中，常量和变量分别是（     ） A．常量是4，变量是 B．常量是，变量是 C．常量是3，变量是 D．常量是，变量是 5．一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 6．参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 题型三：用图象表示变量间的关系 解题思路：①识别横轴、纵轴代表的变量；②观察图象线段升降、水平的实际含义；③读取图象上点的横、纵坐标；④结合图象信息解答问题。 7．小亮同学骑自行车上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为离家的路程，为行驶时间），符合上述情况的是（     ）． A． B． C． D． 8．如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”；请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为_______． 9．小明的父亲饭后散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后，用15分钟返回家中，下列图形中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（     ） A． B． C． D． 题型四：函数的概念 解题思路：①确定两个变量；②判断对于自变量每一个确定的值，是否有唯一的因变量与之对应；③满足条件即为函数关系。 10．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B．C．D． 11．下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是________（填序号）． 12．下列各曲线不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 题型五：函数解析式 解题思路：①梳理题目中的数量关系；②分清自变量和因变量；③写出含有两个变量的等式；④整理成标准函数解析式形式。 13．中国高铁运营速度处于全球领先水平，设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系式为__________． 14．在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 15．如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 题型六：求自变量的取值范围 解题思路：①看代数式限制：整式自变量取全体实数；分式分母不能等于0；二次根式被开方数大于等于0；②若是实际问题，再结合现实意义增加取值限制。 16．函数的定义域为_____． 17．函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 18．函数中的取值范围为___________． 19．若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型七：求自变量的值或函数值 解题思路：①已知自变量，将数值代入函数解析式，计算得到函数值；②已知函数值，代入解析式列方程，解方程求出自变量。 20．下列各点中，不在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 21．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 22．已知二次函数，如果那么______． 23．若常数，，满足，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型八：函数的三种表示方法 解题思路：①区分表格法、关系式法、图象法；②根据题目要求选择对应表示方法；③可以在三种表示方法之间互相转化。 24．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 25．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 26．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 题型九：函数图象识别 解题思路：①看清横纵轴代表的变量；②分析图象的上升、下降、水平段代表的变化；③排除不符合变量变化逻辑的图象。 27．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用18分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（     ） A． B． C． D． 28．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C．D． 29．如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 题型十：从函数的图象获取信息 解题思路：①读取图象上关键点的横纵坐标；②分析图象变化趋势；③结合图象数据计算、比较；④结合题意解读图象实际意义。 30．如图，甲、乙两人步行的路程与所用的时间的关系图象，走得最快的是________（填“甲”或“乙”） 31．王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离（单位：）与离家时间（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 32．某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 33．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 题型十一：用描点法画函数图象 解题思路：①列表：选取若干自变量，算出对应函数值；②描点：在平面直角坐标系中标出对应坐标点；③连线：用平滑的直线或曲线依次连接各点。 34．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：______．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：______．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：______．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 35．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 36．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 题型十二：动点问题的函数图象 解题思路：①分析动点运动的分段过程，找准起点、转折点、终点；②判断每一段内两个变量的变化关系；③匹配每一段对应的图象形态；④综合选出符合题意的图象。 37．如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 38．将实心小圆柱放入无水的大圆柱形水杯中，然后向大圆柱形水杯中匀速加水（刚好加满为止），如图所示，则大圆柱形水杯中的水面高度h（）与注水时间t（）的函数图象大致为（     ） A． B． C．D． 39．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 解答题 1．一辆长途汽车以的平均速度从甲地驶往乙地．已知甲、乙两地之间的路程为，求汽车距乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 2．一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用下表表示： 时间 … 路程 … (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果汽车行驶的时间为，行驶的路程为，那么路程与时间之间的关系式为________． (3)按照这一行驶规律，当所花的时间是时，汽车行驶的路程是多少千米？ 3．如图，小红家、公园、早餐店在同一条直线上．小红周末从家出发，先匀速跑步到公园晨练，在公园锻炼一段时间后，步行到早餐店吃早餐，最后匀速散步回家．该图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题： (1)公园距离早餐店 ，小红从早餐店回家用时 ； (2)求小红从家到公园的平均速度是多少？ 4．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 m 1 0 1 2 n … 其中， ， ． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．根据函数图象，写出该图像的一条性质 (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则 ， ；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，则 ． (4)若直线与函数图象有且只有三个交点，请直接写出t的取值范围． 5．如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点．图（2）是点运动时线段的长度随时间变化的关系图像，其中为曲线部分的最低点，且曲线部分成轴对称图形． (1)图（2）中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是___________，因变量是___________； (2)请求出边的长； (3)①当点在边上运动时，线段的最短长度为___________，此时线段与边的位置关系是___________； ②点在运动过程中，当的面积为时，请求出点的运动时间． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $