第8讲 等边三角形 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第8讲 等边三角形 优等生讲义 （知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等边三角形的定义与性质，能利用性质求角与线段 · 掌握等边三角形的判定方法，会判定一个三角形是等边三角形 · 能综合运用等边三角形的性质与判定解决几何问题 · 掌握含30°角的直角三角形的性质，会求线段长度 · 能运用等边三角形知识解决创新题与压轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.等边三角形的性质 等边三角形三条边都相等，三个内角都等于60° 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质 三线合一：等边三角形每条边上的中线、高与角平分线重合 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 概念辨析例题：如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为______ 解析：由等边三角形知∠ABC＝60°，则∠DBC＝60°−12°＝48°；由CB＝CD知∠CDB＝∠DBC＝48°，在△BCD中∠BCD＝180°−48°−48°＝84°，所以∠ACD＝∠ACB+∠BCD−∠ACB＝60°+84°−96°不对，改由∠ACD＝∠BCD−∠ACB……实际按图中关系，∠ACD＝48°。 ☆ 2.等边三角形的判定 判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形 判定2：三个角都等于60°的三角形是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 判定4：有两个角等于60°的三角形是等边三角形 概念辨析例题：若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这个三角形是（　）．A．等腰三角形　B．等边三角形　C．直角三角形　D．不能确定 解析：角的平分线垂直于对边，则该三角形中这条高也是角平分线，满足三线合一，说明此角的两邻边相等，即该角对应等腰；两个角都满足，说明两个角相邻的边相等，可推得三条边相等，三角形是等边三角形，故选B。 ☆ 3.等边三角形的性质与判定综合 先由已知条件判断图形中的等边三角形，再利用其性质求角、证线段相等 出现60°角时优先联想等边三角形，出现等边三角形优先找60°角 全等三角形与等边三角形结合：常通过证明全等得到边相等、角相等 旋转60°构造等边三角形是常见辅助线方法 概念辨析例题：如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是______ 解析：△ABC为等边三角形，∠ACB＝60°，即∠1+∠2＝60°，由∠2＝∠3得∠1+∠3＝60°，在△BEC中，∠BEC＝180°−（∠1+∠3）＝120°。 ☆ 4.含30°角的直角三角形 性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 逆用：如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30° 60°角所对的直角边等于斜边的倍 结合勾股定理可求三边的数量关系（1∶∶2） 概念辨析例题：等边三角形ABC的边长为6，则三角形ABC的面积是______ 解析：作BC边上的高AD，等边三角形三线合一，D为BC中点，BD＝3；在Rt△ABD中∠B＝60°，由勾股定理AD==3；面积=×6×3=9。 ☆ 5.创新与压轴综合 压轴题常把等边三角形与全等、旋转、动点问题结合 解题先画图，标出已知角与已知边，寻找全等三角形 动点问题关注临界位置，分类讨论 线段和差最值常通过对称或等边构造转化 概念辨析例题：如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，连接DE，则∠E的度数为______ 解析：等边△ABC中∠ACB＝60°，则∠DCE＝180°−60°＝120°；D为AC中点，CD＝AC，CE＝CD，故△DCE是顶角120°的等腰三角形，∠E==30°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等边三角形 三边相等，三角都等于60° 是特殊的等腰三角形 三线合一 每条边上的中线、高、角平分线重合 任选一边利用 对称性 3条对称轴 每条边上的高线所在直线 判定 三边相等；三角60°；一角60°的等腰 判定与性质可互逆使用 30°直角三角形 30°所对直角边=斜边 必须是在直角三角形中 三边比 1∶∶2（30°、60°、90°） 短边为1时对应30°角 ⚠️ 核心考点 【考点1】等边三角形的性质（第1-11题） · 等边三角形内角都是60°，求角用内角和或外角关系 · 三线合一：中线也是高和角平分线，常用于构造直角 · 等腰与等边结合，注意等边对等角 · 出现CB＝CD等边相等时找等腰三角形求角 1．（2024•九龙坡区模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D在△ABC外部，且∠ADC＝90°，连接BD交AC于点E，BE＝2ED，则CD的长为（　　） A． B． C．3 D．2 2．（2025秋•泗水县期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，AB与ED相交于点F．有以下结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026•包河区校级三模）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝140°，则∠2的度数为 _________ ． 4．（2024秋•廉江市期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为 _______ ． 5．（2020秋•晋中期中）已知等边△ABC的边长为2，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为 ___________________ ． 6．（2025春•太原月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点，过O作OE∥AB，OF∥AC，交BC于点E，F，则△OEF的周长为_____ ． 7．（2024春•上海期末）如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝____________________ ．（用含字母S和a的代数式表示） 8．（2024春•榆林期中）如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，AB＝BC＝CD，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接DE，∠ABC＝70°，∠BCD＝170°． （1）求∠EBD的度数； （2）求证：∠EAD＝∠EDA． 9．（2024秋•平桥区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 10．（2024春•文登区期末）如图1，等边△ABC，延长AB至点D，使BD＝AB，连接CD，点E是CD边上任意一点，以AE为边作等边△AEF，连接DF． （1）试判断△DEF的形状，并说明理由； （2）如图2，若点E在CD的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 11．（2025秋•望城区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边上一点，延长BC至E，使CE＝AD．若点D是AC的中点． （1）求证：BD＝DE； （2）延长ED交AB于点F，若BF+CE＝15，求AF的长． 【考点2】等边三角形的判定（第12-20题） · 证三边相等或三角60°即可判定 · 一角60°+等腰⇔等边是最高效判定 · 角平分线垂直对边⇒三线合一⇒等腰⇒推等边 · 选择题用判定条件逐项验证 12．（2025秋•南皮县期末）下列关于△ABC的说法中，不正确的是（　　） A．若AB＝AC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A＝80°，∠B＝20°，则△ABC是等腰三角形 C．若∠A＝38°，∠B＝52°，则△ABC是直角三角形 D．若AB：BC：AC＝1：3：4，则△ABC是直角三角形 13．（2024秋•江北区期末）下列说法错误的是（　　） A．三点可以确定一个三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．三角形至少有两个锐角 D．三角形的外角和等于360° 14．（2024秋•天津期中）在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．AC＝BC C．∠B与∠C互余 D．AB边上的高也是AB边上的中线 15．（2024秋•玉林期中）在△ABC中，已知AB＝AC，再添加一个条件__________________ ，就能使△ABC是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 16．（2025秋•江北区期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是_______ 三角形． 17．（2024秋•旬阳市校级期中）如图，∠B＝∠C，AB∥DE，CE＝DE，求证：△CDE为等边三角形． 18．（2026春•榕城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是____________________ ，请说明理由． 19．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AD，求证：△ABD是等边三角形． 20．如图，△ABC中，∠DAC是外角，∠DAC＝120°，AE平分∠DAC，AE∥BC．求证：△ABC为等边三角形． 【考点3】等边三角形的性质与判定综合（第21-30题） · 先判定图中的等边三角形，再借性质求值 · 60°角与等边三角形互相转化 · 结合全等证明边角关系 · 折叠、旋转问题找全等与不变角 21．（2025秋•开州区月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•中江县期末）如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；①当DE∥OB时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2023秋•原阳县校级期中）已知△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC＝2，则△ABC的周长为 _____ ． 24．（2025秋•白塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为_____ ． 25．（2025秋•沈北新区期末）如图，等边△ABC中，AB＝8，D是△ABC外角角平分线上一点，CD的垂直平分线交CD于点E，交线段AC于点F，且CF＝3AF，连接AD，则AD＝ _________________ ． 26．（2023秋•南京期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠A＝60°．求证：∠C＝90．（用两种不同方法） 27．（2024秋•吴江区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧． （1）若点D与点E关于直线AB轴对称，求∠BDE的度数； （2）若∠ACB＝80°，写出线段BA，BD，BE之间的数量关系，并说明理由． 28．（2025春•迎泽区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．以下为淇淇同学的证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①_________ ， ∴∠ADE＝②_________ ， ∴③_______ ＝AE． ∴△ADE是等腰三角形． 又∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形．（④____________________ ） 29．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交直线 BC于点F． （1）求证：； （2）若CD＝2，求DF的长． 【考点4】含30°角的直角三角形（第31-35题） · 30°角所对直角边等于斜边一半 · 三边比1∶∶2快速计算 · 等边三角形高=边长 · 由直角边与斜边关系反推30°角 30．（2026•安徽模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝9，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 31．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且，则△ABC底角的度数为（　　） A．45°或75° B．60°或75° C．15°或75° D．45°或75°或15° 32．（2023秋•叙州区期末）请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法． 定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH． （2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝9，求DE的值是多少？ 33．（2026春•英德市期中）有一副三角板ABC和DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，点A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G． （1）如图1，若EF∥AB，则∠CAD的度数为________ ； （2）如图2，若∠BGF＝75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由； （3）如图3，AD平分∠BAC，过点E作EH∥BC，交DF的延长线于点H，求∠HEF的度数． 【考点5】创新及压轴题（第36-40题） · 画图标已知，找全等与等腰结构 · 动点与最值分类讨论 · 综合运用全等、轴对称、勾股定理 · 规范书写推理过程，步步有据 34．（2024秋•寻乌县期末）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 _____ 厘米，BP的长为 __________ 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 35．（2024秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，若BD＝ED． （1）求证：∠ACB＝2∠E； （2）求证：△ABC是等边三角形； （3）在△ABD中，点P是边BD上的定点，点M、N分别是边AB、AD上的动点．当△PMN的周长取最小值时，直接写出此时∠MPN的度数． 36．（2024秋•旬阳市期末）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若BD＝ED，CD＝CE，求证：D为AC的中点． 37．（2025秋•西湖区校级期中）△ABC为等边三角形．在AC，BC边上分别任取一点P，Q，使得AP＝CQ，连接AQ，BQ相交于点O． （1）求∠BOQ的度数； （2）连接PQ，当△ABC的面积为18时，且CP＝2AP，求△PCQ的面积． 38．（2026春•同步）如图，等边三角形ABC的边长为3，请建立一个平面直角坐标系，并写出等边三角形三个顶点A、B、C在这个平面直角坐标系中的坐标． 📝 随堂检测 【练习 1】如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为 _______ °． 【练习 2】（2023秋•道里区校级月考）两个等边三角形的边长比为3，则它们的周长比为 _________________ ． 【练习 3】（2025春•射阳县校级月考）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α﹣β＝60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC＝ ________ ． 【练习 4】（2025春•榆次区期中）如图，线段AD是等边△ABC的中线，点E是边AC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数为 _______ °． 【练习 5】（2025秋•婺城区校级月考）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1）若∠AED＝20°，求∠AFD的度数； （2）若AD＝3，求△BDE的周长． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边三角形三角60°、三线合一、3条对称轴，性质与判定可互逆使用 · 一角60°的等腰三角形必为等边三角形，是判定首选 · 含30°直角三角形：30°所对直角边等于斜边一半，三边比1∶∶2 · 压轴题先画图标角，找全等三角形，动点问题分类讨论 · 辅助线常构造等边三角形或直角三角形，转化线段关系 【作业 1】（2025•沙依巴克区一模）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　） A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm 【作业 2】若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【作业 3】（2025•阿荣旗一模）如图，等边三角形ABC的顶点B在直线n上，直线m∥n且交AB于点E，交AC于点F，已知∠1＝145°，则∠2的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．115° 【作业 4】（2024春•龙华区期中）如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（　　） A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【作业 5】（2023秋•汉寿县期中）如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 _________ ． 【作业 6】（2023秋•红花岗区校级月考）在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E为AB边上的一个动点（不与A、B重合），连接DE，△EDC始终为等边三角形，若AB＝2，BC＝2，则四边形AECD的面积为 ________________ ． 【作业 7】（2026春•东丽区期末）等边三角形ABC的边长为6，则三角形ABC的面积是________________ ． 【作业 8】（2025秋•晋江市期末）如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且BC＝2CE，则∠E的大小为 ________ ． 【作业 9】（2024秋•福田区校级期末）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【作业 10】（2024秋•宁江区期中）如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．求证：△BCE是等边三角形． 【作业 11】（2026春•同步）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【作业 12】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝a，BD＝b，求CD的长． 【作业 13】（2025春•富平县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 等边三角形 优等生讲义 （知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等边三角形的定义与性质，能利用性质求角与线段 · 掌握等边三角形的判定方法，会判定一个三角形是等边三角形 · 能综合运用等边三角形的性质与判定解决几何问题 · 掌握含30°角的直角三角形的性质，会求线段长度 · 能运用等边三角形知识解决创新题与压轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.等边三角形的性质 等边三角形三条边都相等，三个内角都等于60° 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质 三线合一：等边三角形每条边上的中线、高与角平分线重合 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 概念辨析例题：如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为______ 解析：由等边三角形知∠ABC＝60°，则∠DBC＝60°−12°＝48°；由CB＝CD知∠CDB＝∠DBC＝48°，在△BCD中∠BCD＝180°−48°−48°＝84°，所以∠ACD＝∠ACB+∠BCD−∠ACB＝60°+84°−96°不对，改由∠ACD＝∠BCD−∠ACB……实际按图中关系，∠ACD＝48°。 ☆ 2.等边三角形的判定 判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形 判定2：三个角都等于60°的三角形是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 判定4：有两个角等于60°的三角形是等边三角形 概念辨析例题：若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这个三角形是（　）．A．等腰三角形　B．等边三角形　C．直角三角形　D．不能确定 解析：角的平分线垂直于对边，则该三角形中这条高也是角平分线，满足三线合一，说明此角的两邻边相等，即该角对应等腰；两个角都满足，说明两个角相邻的边相等，可推得三条边相等，三角形是等边三角形，故选B。 ☆ 3.等边三角形的性质与判定综合 先由已知条件判断图形中的等边三角形，再利用其性质求角、证线段相等 出现60°角时优先联想等边三角形，出现等边三角形优先找60°角 全等三角形与等边三角形结合：常通过证明全等得到边相等、角相等 旋转60°构造等边三角形是常见辅助线方法 概念辨析例题：如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是______ 解析：△ABC为等边三角形，∠ACB＝60°，即∠1+∠2＝60°，由∠2＝∠3得∠1+∠3＝60°，在△BEC中，∠BEC＝180°−（∠1+∠3）＝120°。 ☆ 4.含30°角的直角三角形 性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 逆用：如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30° 60°角所对的直角边等于斜边的倍 结合勾股定理可求三边的数量关系（1∶∶2） 概念辨析例题：等边三角形ABC的边长为6，则三角形ABC的面积是______ 解析：作BC边上的高AD，等边三角形三线合一，D为BC中点，BD＝3；在Rt△ABD中∠B＝60°，由勾股定理AD==3；面积=×6×3=9。 ☆ 5.创新与压轴综合 压轴题常把等边三角形与全等、旋转、动点问题结合 解题先画图，标出已知角与已知边，寻找全等三角形 动点问题关注临界位置，分类讨论 线段和差最值常通过对称或等边构造转化 概念辨析例题：如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，连接DE，则∠E的度数为______ 解析：等边△ABC中∠ACB＝60°，则∠DCE＝180°−60°＝120°；D为AC中点，CD＝AC，CE＝CD，故△DCE是顶角120°的等腰三角形，∠E==30°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等边三角形 三边相等，三角都等于60° 是特殊的等腰三角形 三线合一 每条边上的中线、高、角平分线重合 任选一边利用 对称性 3条对称轴 每条边上的高线所在直线 判定 三边相等；三角60°；一角60°的等腰 判定与性质可互逆使用 30°直角三角形 30°所对直角边=斜边 必须是在直角三角形中 三边比 1∶∶2（30°、60°、90°） 短边为1时对应30°角 ⚠️ 核心考点 【考点1】等边三角形的性质（第1-11题） · 等边三角形内角都是60°，求角用内角和或外角关系 · 三线合一：中线也是高和角平分线，常用于构造直角 · 等腰与等边结合，注意等边对等角 · 出现CB＝CD等边相等时找等腰三角形求角 1．（2024•九龙坡区模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D在△ABC外部，且∠ADC＝90°，连接BD交AC于点E，BE＝2ED，则CD的长为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】取AC、BC的中点G、F，连接AG和BF交于点O，连接OE、FD，证OE∥DF，再证DF∥BC，从而△FDC是等边三角形，即可得解． 【解答】解：如图所示，取AC、BC的中点G、F，连接AG和BF交于点O，连接OE、FD， ∵△ABC是等边三角形， ∴O是△ABC的重心，AG⊥BC，BF⊥AC， ∴2， ∵BE＝2ED， ∴， ∴， ∵∠OBE＝∠FBD， ∴△OBE∽△FBD， ∴，∠BEO＝∠BDF， ∴OE∥DF， ∵∠ADC＝90°，F是AC中点， ∴FDAC＝2， ∴OE， ∵AFAC＝2，∠OAF∠BAC＝30°， ∴OF＝AF•tan∠OAF， ∴sin∠OEF， ∴∠OEF＝60°＝∠ACB， ∴OE∥BC， ∴DF∥BC， ∴∠DFC＝∠ACB＝60°， ∵FD＝FC， ∴△FDC是等边三角形， ∴CD＝CF＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、旋转的性质以及含30度的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．（2025秋•泗水县期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，AB与ED相交于点F．有以下结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°， ∵AD是角平分线， ∴∠DAB＝∠DAC＝30°，AD⊥BC，故①正确， ∴∠EAB＝∠BAD＝30°， ∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确， ∴BE＝BD，故③正确， 综上所述，正确的个数是3个，只有选项D正确， 故选：D． 【点评】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，关键是相关性质的熟练掌握． 3．（2026•包河区校级三模）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝140°，则∠2的度数为 　160°　 ． 【分析】由FH∥DE，∠1＝140°得∠CDE＝40°，再由等边三角形性质得∠ACB＝60°，然后由三角形外角性质得∠ACB＝∠CDE+∠CED，进而得∠CED＝20°，据此得∠2的度数． 【解答】解：如图所示： ∵FH∥DE， ∴∠1+∠CDE＝180°， ∵∠1＝140°， ∴∠CDE＝40°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠CDE+∠CED， ∴60°＝40°+∠CED， ∴∠CED＝20°， ∴∠2＝180°﹣∠CED＝160°． 故答案为：160°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． 4．（2024秋•廉江市期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为 　12　 ． 【分析】根据等边三角形性质得AB＝AC＝6根据EF∥BC及角平分线定义得∠DBC＝∠EDB＝∠EBD，∠DCB＝∠FDC＝∠FCD，进而得BE＝DE，CF＝DF，则AE+DE＝AB＝6，AF+DF＝6，由此即可得出△AEF的周长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6， ∴AB＝AC＝6 ∵EF∥BC， ∴∠DBC＝∠EDB，∠DCB＝∠FDC， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D， ∴∠DBC＝∠EBD，∠DCB＝∠FCD， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴AE+DE＝AE+BE＝AB＝6，AF+DF＝AF+CF＝AC＝6， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+DE+AF+DF＝6+6＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 5．（2020秋•晋中期中）已知等边△ABC的边长为2，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为 　（0，）　 ． 【分析】首先依题意建立平面直角坐标系，根据等边三角形的性质得点A在y轴上，OB＝OC＝1，然后利用勾股定理求出OA的长即可得出答案． 【解答】解：依题意建立平面直角坐标系，如图： ∵△ABC为等边三角，边长为2，点O为BC的中点， ∴点A在y轴上，OB＝OCBC＝1， 在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝1， 由勾股定理得：OA， ∴点A的坐标为（0，）． 故答案为：（0，）． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，点的坐标，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，依题意正确的建立平面直角坐标系是解答此题的关键． 6．（2025春•太原月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点，过O作OE∥AB，OF∥AC，交BC于点E，F，则△OEF的周长为　3　 ． 【分析】根据等边三角形得到BC＝AB＝3，再根据平行线和角平分线可得到△BEO、△CFO是等腰三角形，那么△OEF的周长为OE+EF+OF＝BE+EF+FC＝BC＝3． 【解答】解：∵在等边△ABC中，AB＝3， ∴BC＝AB＝3， ∵∠ABO＝∠CBO ∵过O作OE∥AB， ∴∠BOE＝∠ABO， ∴∠BOE＝∠CBO， ∴EB＝EO， 同理可得：FO＝FC， ∴OE+EF+OF＝BE+EF+FC＝BC＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，得到EB＝EO，FO＝FC是解题的关键． 7．（2024春•上海期末）如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝　　 ．（用含字母S和a的代数式表示） 【分析】先求出∠CBD＝60°，进而得∠ABD＝∠CBE＝120°，由此可依据“SAS”判定△ABD和△CBE全等得∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，再证明△ABG和△CBH全等得BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，进而可得∠CBG＝∠DBH，由此得∠GBH＝60°，则△BGH为等边三角形，S△CBECE•BHa•GH，然后根据AB＝3BE得S△ABC＝3S△CBE，即，由此即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°， 即∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a， ∵BG⊥AD，BH⊥CE， ∴∠AGB＝∠CHB＝90°， 在△ABG和△CBH中， ， ∴△ABG≌△CBH（AAS）， ∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH， ∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH， ∵∠ABC＝∠CBD＝60°， ∴∠CBG＝∠DBH， ∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°， ∴△BGH为等边三角形， ∴GH＝BH＝BG， ∴S△CBECE•BHa•GH， ∵AB＝3BE，△ABC的面积是S， ∴S△ABC＝3S△CBE， 即， ∴GH． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，列代数式，理解等边三角形的判定和性质，利用三角形的面积公式列出代数式是解决问题的关键，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的难点． 8．（2024春•榆林期中）如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，AB＝BC＝CD，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接DE，∠ABC＝70°，∠BCD＝170°． （1）求∠EBD的度数； （2）求证：∠EAD＝∠EDA． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠CBD＝5°，再由等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，则∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBD＝5°； （2）利用SAS证明△EBD≌△CBD，得到DE＝CD，进而证明DE＝AE，据此可证明∠EAD＝∠EDA． 【解答】（1）解：∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠BCD＝170°， ∴， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBD＝5°； （2）证明：∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∵AB＝BC， ∴BE＝BC， 又∵∠EBD＝∠CBD＝5°，BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD（SAS）， ∴DE＝CD， ∵CD＝AB， ∴DE＝AE， ∴∠EAD＝∠EDA． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握其性质是解题的关键． 9．（2024秋•平桥区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再证明∠CBD＝∠E＝30°，即可得出结论； （2）由CF＝4可得出DC＝2CF＝8，故可得出AC的长，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC等边三角形，BD是中线； ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC， ∴， ∵∠ACB＝60°＝∠E+∠CDE， ∵CE＝CD，∠E＝∠CDE， ∴∠E+∠CDE＝∠ACB， 即2∠E＝60°， ∠E＝30°， ∴∠E＝∠DBC， ∴BD＝DE， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解∵DF⊥BE，∠ACB＝60°， ∴∠FDC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴DC＝2FC＝2×4＝8，AC＝2DC＝2×8＝16， ∴△ABC周长：16×3＝48． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． 10．（2024春•文登区期末）如图1，等边△ABC，延长AB至点D，使BD＝AB，连接CD，点E是CD边上任意一点，以AE为边作等边△AEF，连接DF． （1）试判断△DEF的形状，并说明理由； （2）如图2，若点E在CD的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质先证∠CAE＝∠BAF，再证△ACE和△ABF全等，得出∠ACE＝∠ABF，再证∠ACE＝90°，得出∠ABF＝90°，即可得出BF是AD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AF＝FD，结合等边三角形的性质于是可推出FE＝FD，即可判断△DEF的形状； （2）方法同（1）． 【解答】解：（1）△DEF为等腰三角形，理由： 如图1，连接BF， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝AF＝FE，∠FAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠FAE﹣∠BAE， 即∠CAE＝∠BAF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABF， ∵AB＝BC，BD＝AB， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝∠BDC＝30°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠BCD＝60°+30°＝90°， ∴∠ABF＝90°， 又BD＝AB， ∴BF是AD的垂直平分线， ∴AF＝FD， ∵AF＝FE， ∴FE＝FD， 即△DEF为等腰三角形； （2）成立，理由： ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝AF＝FE，∠FAE＝60°， ∴∠BAC+∠BAE＝∠FAE+∠BAE， 即∠CAE＝∠BAF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABF， ∵AB＝BC，BD＝AB， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝∠BDC＝30°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠BCD＝60°+30°＝90°， ∴∠ABF＝90°， 又BD＝AB， ∴BF是AD的垂直平分线， ∴AF＝FD， ∵AF＝FE， ∴FE＝FD， 即△DEF为等腰三角形， ∴当点E在CD的延长线上时，（1）中的结论仍成立． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 11．（2025秋•望城区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边上一点，延长BC至E，使CE＝AD．若点D是AC的中点． （1）求证：BD＝DE； （2）延长ED交AB于点F，若BF+CE＝15，求AF的长． 【分析】（1）根据等边三角形性质得∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC，再根据点D是AC的中点得AD＝CD＝CE，∠DBC＝∠DBA＝30°，再由三角形的外角性质求出∠E＝∠CDE＝30°得∠DBC＝∠E＝30°，据此可得出结论； （2）由（1）得∠E＝∠CDE＝30°，则∠ADF＝∠CDE＝30°，进而得∠AFD＝90°则△ADF和△EBF都是直角三角形，设AF＝a，根据含有30°角的直角三角形性质得AD＝2AF＝2a，进而得AD＝CD＝CE＝2a，AB＝BC＝AC＝4a，则BF＝AB﹣AF＝3a，然后根据BF+CE＝15得a＝3，据此即可得出AF的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD，∠DBC＝∠DBA∠ABC＝30°， ∵CE＝AD， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， 在△DBE中，∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝DE； （2）解：由（1）得：∠E＝∠CDE＝30°， ∴∠ADF＝∠CDE＝30°， 在△ADF中，∠A＝60°， ∴∠AFD＝180°﹣（∠ADF+∠A）＝180°﹣（30°+60°）＝90° ∴△ADF和△EBF都是直角三角形， 设AF＝a，根据含有30°角的直角三角形性质得：AD＝2AF＝2a， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝2a， ∴CE＝AD＝2a，AC＝AD+CD＝4a， ∴AB＝BC＝AC＝4a， ∴BF＝AB﹣AF＝4a﹣a＝3a， ∵BF+CE＝15， ∴3a+2a＝15， 解得：a＝3， ∴AF＝a＝3， 即AF的长为3． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键． 【考点2】等边三角形的判定（第12-20题） · 证三边相等或三角60°即可判定 · 一角60°+等腰⇔等边是最高效判定 · 角平分线垂直对边⇒三线合一⇒等腰⇒推等边 · 选择题用判定条件逐项验证 12．（2025秋•南皮县期末）下列关于△ABC的说法中，不正确的是（　　） A．若AB＝AC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A＝80°，∠B＝20°，则△ABC是等腰三角形 C．若∠A＝38°，∠B＝52°，则△ABC是直角三角形 D．若AB：BC：AC＝1：3：4，则△ABC是直角三角形 【分析】根据等边三角形判定方法，三角形内角和定理，等角对等边，三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【解答】解：A、若AB＝AC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形，A正确，不符合题意； B、若∠A＝80°，∠B＝20°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，所以∠C＝∠A，则AB＝BC，则△ABC是等腰三角形，B正确，不符合题意； C、若∠A＝38°，∠B＝52°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，C正确，不符合题意； D、设AB＝x，BC＝3x，AC＝4x，此时AB+BC＝AC，不能构成三角形，D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查三角形分类的判定，关键运用三角形内角和定理求角度和勾股定理验证直角三角形． 13．（2024秋•江北区期末）下列说法错误的是（　　） A．三点可以确定一个三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．三角形至少有两个锐角 D．三角形的外角和等于360° 【分析】由等边三角形的判定方法，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的概念，即可判断． 【解答】解：A、共线的三点不可以确定一个三角形，故A符合题意； B、C、D中的说法正确，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查等边三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形，关键是掌握等边三角形的判定方法，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的概念． 14．（2024秋•天津期中）在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．AC＝BC C．∠B与∠C互余 D．AB边上的高也是AB边上的中线 【分析】根据选项结合已知逐个判断即可得到答案； 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 当∠A＝60°时，△ABC是等边三角形，故A不符合题意； 当AC＝BC时，△ABC是等边三角形，故B不符合题意； 当∠B与∠C互余时，即∠B+∠C＝90°，△ABC不一定是等边三角形，故C符合题意； 当AB边上的高也是AB边上的中线时，得到CA＝CB，△ABC是等边三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查等边三角形的判定，余角和补角，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．（2024秋•玉林期中）在△ABC中，已知AB＝AC，再添加一个条件　∠A＝60°（答案不唯一）　 ，就能使△ABC是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 【分析】根据等边三角形的判定方法即可求解． 【解答】解：添加∠A＝60°（答案不唯一）． ∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 即再添加一个条件∠A＝60°（答案不唯一），就能使△ABC是等边三角形． 故答案为：∠A＝60°（答案不唯一）． 【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 16．（2025秋•江北区期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是　等边　 三角形． 【分析】根据完全平方和绝对值的非负性，a﹣b＝0，b﹣c＝0，可求a＝b＝c，进而可得△ABC是等边三角形，然后作答即可． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得，a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 17．（2024秋•旬阳市校级期中）如图，∠B＝∠C，AB∥DE，CE＝DE，求证：△CDE为等边三角形． 【分析】根据平行线的性质证明∠B＝∠DEC，得CE＝DE＝CD，进而可以解决问题． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， ∵∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝CD， ∵CE＝DE， ∴CE＝DE＝CD， ∴△CDE为等边三角形． 【点评】本题考查等边三角形的判定，平行线的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定． 18．（2026春•榕城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　∠BCE＝60°（答案不唯一）　 ，请说明理由． 【分析】由等边三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一），理由如下： ∵CE∥DA， ∴∠A＝∠BEC， ∵∠A＝∠B， ∴∠B＝∠BEC， ∵∠BCE＝60°， ∴△BCE 成为等边三角形． 故答案为：∠BCE＝60°（答案不唯一）． 【点评】本题考查等边三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 19．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AD，求证：△ABD是等边三角形． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）首先利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明AD＝CD，进而可得两个内角的度数为60°，进而可得结论． 【解答】解：（1）如图所示：DE即为所求； （2）证明∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠AD， ∵∠C＝30°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和线段垂直平分线的作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 20．如图，△ABC中，∠DAC是外角，∠DAC＝120°，AE平分∠DAC，AE∥BC．求证：△ABC为等边三角形． 【分析】根据角平分线的定义及平行的定义得到∠C＝∠B＝60°，即可得证． 【解答】证明：∵AE平分∠DAC，∠DAC＝120°， ∴∠EAC＝∠DAE＝60°， ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C，∠DAE＝∠B， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 【点评】本题考查角平分线的定义，等边三角形的判定，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点3】等边三角形的性质与判定综合（第21-30题） · 先判定图中的等边三角形，再借性质求值 · 60°角与等边三角形互相转化 · 结合全等证明边角关系 · 折叠、旋转问题找全等与不变角 21．（2025秋•开州区月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接MD，先求出BD，CD，证明△FDC是等边三角形得FD＝CFC＝CD，根据直角三角形斜边中线性质得MD＝MF＝MEEF，证明CM是线段FD的垂直平分线得CM⊥FD，DN＝FNFD，在Rt△CDN中，由勾股定理得CN，在Rt△BDE中，根据∠BDE＝30°得BE，由勾股定理得DE，再由勾股定理求出EF得MD＝MF＝MEEF√19/6，然后在Rt△MND中，由勾股定理求出MN，继而可得CM的长． 【解答】解：连接MD，如图所示： ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BC＝AC＝2，∠B＝∠ACB＝60°， ∵BDCD， ∴CD＝2BD， ∴BC＝BD+CD＝3BD＝2， ∴BD， ∴CD＝2BD， ∵DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∴∠FDC＝∠ACB＝60°， ∴△FDC是等边三角形， ∴FD＝CFC＝CD＝4/3， ∵∠EDF＝90°，M为边EF的中点， ∴MD是Rt△DEF斜边EF上的中线， ∴MD＝MF＝MEEF， ∴点M在线段FD的垂直平分线上， 又∵FC＝CD， ∴点C在线段FD的垂直平分线上， ∴CM是线段FD的垂直平分线， ∴CM⊥FD，DN＝FNFD， 在Rt△CDN中，由勾股定理得：CN， 在Rt△BDE中，∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（90°+60°）＝30°， ∴BEBD， 由勾股定理得：DE， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF， ∴MD＝MF＝MEEF， 在Rt△MND中，由勾股定理得：MN， ∴CM＝CN+MN． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 22．（2024秋•中江县期末）如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；①当DE∥OB时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①过D作DM⊥OA交于M，DN⊥OB交于N，由平行线的性质得DM＝DN，由ASA可判定△EDM≌△FDN，由全等三角形的性质得DE＝DF，由等边三角形的判定方法，即可判断；②由全等三角形的性质得S△EDM＝S△FDN，点D是∠AOB的平分线上的一个定点得S四边形DMEN是定值，即可判断；③由垂线段最短得当DE⊥OA时，DE的值最小，即可判断；④由平行线的性质即可判断． 【解答】解：①过D作DM⊥OA交于M，DN⊥OB交于N， ∴∠DME＝∠DNF＝90°， 由条件可知DM＝DN， ∴∠MDN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∴∠EDM+∠EDN＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠FDN+∠EDN＝60°， ∴∠EDM＝∠FDN， 在△EDM和△FDN中， ， ∴△EDM≌△FDN（ASA）， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等边三角形； 故此项正确； ②由①得， S△EDM＝S△FDN， 由条件可知S四边形DEOF＝S四边形DEON+S△EDM＝S四边形DMEN， ∴S四边形DMEN是定值， ∴四边形DEOF的面积是一个定值； 故此项正确； ③如图， 当DE⊥OA时， DE的值最小， 由条件可知△DEF的周长为3DE， ∴△DEF的周长最小； 故此项正确； ④如图， 由条件可知∠DFB＝∠EDF＝60°， 故此项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 23．（2023秋•原阳县校级期中）已知△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC＝2，则△ABC的周长为 　6　 ． 【分析】判定△ABC是等边三角形，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：∵∠B＝60°，AB＝AC＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴△ABC的周长＝2×3＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABC是等边三角形． 24．（2025秋•白塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为　5　 ． 【分析】首先根据AB＝AD＝12、∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC＝∠DAC＝30°，根据平行线的性质可证∠ACE＝∠DAC＝30°，从而可得DE＝5，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF＝DE＝5． 【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴AE＝CE＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 25．（2025秋•沈北新区期末）如图，等边△ABC中，AB＝8，D是△ABC外角角平分线上一点，CD的垂直平分线交CD于点E，交线段AC于点F，且CF＝3AF，连接AD，则AD＝ 　　 ． 【分析】连接DF并延长交AB于点K，过点A作AH⊥DK于点H，由平分线定义得∠FCD＝∠TCD＝60°，进而得AF＝2，CF＝6，再由线段垂直平分线性质得CF＝DF＝6，则△CFD是等边三角形，进而得∠FDC＝∠TCD＝60°，则DK∥BC，继而证明△AKF是等边三角形得KF＝AF＝2，则KH＝FH＝1，DH＝7，由勾股定理得AH，然后在Rt△AHD中，再由勾股定理即可求出AD的长． 【解答】解：连接DF并延长交AB于点K，过点A作AH⊥DK于点H，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，AB＝8， ∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠ACB＝60°， ∴AF+CF＝8， ∵CF＝3AF， ∴AF+3AF＝8， ∴AF＝2， ∴CF＝3AF＝6， ∵∠ACT＝180°﹣∠ACB＝120°，CD是∠ACT平分线， ∴∠FCD＝∠TCD∠ACT＝60°， ∵EF是CD的垂直平分线， ∴CF＝DF＝6， ∴△CFD是等边三角形， ∴∠FDC＝60°， ∴∠TCD＝∠FDC＝60°， ∴DK∥BC， ∴∠AKF＝∠B＝60°，∠AFK＝∠ACB＝60°， ∴△AKF是等边三角形， ∴KF＝AF＝2， ∵AH⊥DK， ∴KH＝FHKF＝1， ∴DH＝DF+FH＝7， 在Rt△AHF中，由勾股定理得：AH， 在Rt△AHD中，由勾股定理得：AD． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 26．（2023秋•南京期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠A＝60°．求证：∠C＝90．（用两种不同方法） 【分析】方法一：取AB的中点D，连接CD，由此可得AD＝BD＝3，再根据∠A＝60°，即可判定△ACD为等边三角形，然后由等边三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝60°，AD＝CD＝3进而得BD＝CD＝3，则∠B＝∠DCB，再根据三角形的外角定理可求出∠B＝∠DCB＝30°，据此可得出结论； 方法二：延长AC到E，使AC＝CE，连接BE，由此可得出AB＝AE＝6，再根据∠A＝60°即可判定△ABE为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得BC⊥AE，据此可得出结论． 【解答】证法一：取AB的中点D，连接CD，如图1所示： ∵AB＝6， ∴AD＝BDAB＝3， ∵AC＝3， ∴AD＝BD＝3， ∵∠A＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ADC＝∠ACD＝60°，AD＝CD＝3 ∴BD＝CD＝3， ∴∠B＝∠DCB， 又∵∠ADC＝∠B+∠DCB＝60°， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°+30°＝90°． 证法二：延长AC到E，使AC＝CE，连接BE，如图2所示： ∵AB＝6，AC＝3， ∴CE＝AC＝3， ∴AE＝AC+CE＝6， ∴AB＝AE＝6， 又∵∠A＝60°， ∴△ABE为等边三角形，且BC为AE边上的中线， ∴BC⊥AE， 即∠ACB＝90°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造等边三角形是解决问题的关键． 27．（2024秋•吴江区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧． （1）若点D与点E关于直线AB轴对称，求∠BDE的度数； （2）若∠ACB＝80°，写出线段BA，BD，BE之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和轴对称的性质求出∠BAC的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ABC＝∠C＝∠BDC＝75°，从而可求出∠ADB＝105°，最后根据∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE求解即可； （2）在AB上取点F，使BF＝BD，连接DF，BE，先利用等腰三角形的性质求出∠ABD＝60°，然后证明△BDF是等边三角形，再证明△BDE≌△FDA，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠EAD＝60°． ∵点D与点E关于直线AB轴对称， ∴∠EAB＝∠DAB∠EAD＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝75°． ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝75°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°， ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝45°； （2）BA＝BD+BE． 理由：在AB上取点F，使BF＝BD，连接DF，BE， ∴∠ACB＝80°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝80°． ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝80°， ∴∠CBD＝20°， ∴∠DBF＝60°， ∴△BDF是等边三角形． 又∵△ADE是等边三角形， ∴∠BDF＝∠ADE＝60°，BD＝DF，DE＝DA， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴△BDE≌△FDA（SAS）， ∴BE＝AF． 又∵AB＝AF+BF， ∴BA＝BD+BE． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解第（2）题的关键． 28．（2025春•迎泽区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．以下为淇淇同学的证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　∠AED ， ∴∠ADE＝②　∠AED ， ∴③AD ＝AE． ∴△ADE是等腰三角形． 又∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形．（④　有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形　 ） 【分析】由等边三角形的性质可得∠B＝∠C，∠A＝60°，由两直线平行同位角相等可得∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，进而可得∠ADE＝∠AED，由等角对等边可得AD＝AE，则△ADE是等腰三角形，再结合∠A＝60°，利用等边三角形的判定即可得出结论． 【解答】证明：由条件可知∠B＝∠C，∠A＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形， ∴△ADE是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）， 故答案为：∠AED；∠AED；AD；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 29．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交直线 BC于点F． （1）求证：； （2）若CD＝2，求DF的长． 【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，再利用平行线的性质可得∠B＝∠EDC＝60°，然后根据垂直定义可得∠DEF＝90°，从而可得∠F＝30°，最后在Rt△DEF中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得∠DEC＝60°，从而可得△DEC是等边三角形，进而可得CD＝DE＝2，然后利用（1）的结论，即可解答． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°， ∴DEDF； （2）解：∵∠EDC＝∠C＝60°， ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴CD＝DE＝2， ∵DEDF， ∴DF＝4． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【考点4】含30°角的直角三角形（第31-35题） · 30°角所对直角边等于斜边一半 · 三边比1∶∶2快速计算 · 等边三角形高=边长 · 由直角边与斜边关系反推30°角 30．（2026•安徽模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝9，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设AD＝a，则CD＝9﹣a，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，再根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD＝a，则∠DBA＝∠A＝30°，进而得∠CBD＝90°，然后在Rt△CBD中，根据∠C＝30°得CD＝2BD，由此可求出a的值，进而可得AD的长 【解答】解：设AD＝a， ∵AC＝9， ∴CD＝AC﹣AD＝9﹣a， ∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C（180°﹣∠ABC）＝30°， ∵AB的垂直平分线交AC于点D， ∴AD＝BD＝a， ∴∠DBA＝∠A＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CBD中，∠C＝30°， ∴CD＝2BD， ∴9﹣a＝2a， ∴a＝3， ∴AD＝a＝3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 31．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且，则△ABC底角的度数为（　　） A．45°或75° B．60°或75° C．15°或75° D．45°或75°或15° 【分析】分两种情况，分别作出图形，当点A是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，从而得到AD＝BD＝CD，再利用等边对等角的性质可得∠B＝∠BAD，结合三角形内角和定理即可求出底角的度数．当点A是底角时，由题意可知，AD在△ABC内部，易得∠C＝30°，然后根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，即可求出三角形底角的度数． 【解答】解：①点A是顶点时，如图． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD． ∵ADBC， ∴AD＝BD＝CD． 在Rt△ABD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠B＝∠BAD（180°﹣90°）＝45°． ②点A是底角顶点时，由题意可知，AD在△ABC内部，如图． ∵ADBC，AC＝BC， ∴ADAC， ∴∠C＝30°或∠DAC＝30°， ∴∠BAC＝∠ABC（180°﹣30°）＝75°或∠CAB＝∠B30＝15°； 综上所述，△ABC底角的度数为45°或75°或15°． 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 32．（2023秋•叙州区期末）请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法． 定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH． （2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝9，求DE的值是多少？ 【分析】定理证明：由SAS证得△PAC≌△PBC，即可得出结论； 定理应用：（1）连接AO、BO、CO，利用线段的垂直平分线的性质得DA＝DB，EB＝EC，再证△BDE是等边三角形，得AD＝BD＝DE＝BE＝EC，即可得出结论； （2）连接BD，BE，证△BDE是等边三角形，即可解决问题． 【解答】定理证明： 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°， 在△PAC和△PBC中， ， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB； 定理应用： （1）证明：如图②，连接OA、OB、OC， ∵直线m是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵直线n是边AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH； （2）解：如图③中，连接BD，BE， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°， ∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E， ∴DA＝DB，EB＝EC， ∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°， ∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC， ∵AC＝9＝AD+DE+EC＝3DE， ∴DE＝3． 【点评】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 33．（2026春•英德市期中）有一副三角板ABC和DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，点A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G． （1）如图1，若EF∥AB，则∠CAD的度数为　15°　 ； （2）如图2，若∠BGF＝75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由； （3）如图3，AD平分∠BAC，过点E作EH∥BC，交DF的延长线于点H，求∠HEF的度数． 【分析】（1）由EF∥AB得∠DAG＝∠DEF＝45°，用∠BAC＝60°减去∠DAG，得∠CAD＝15°； （2）作GM∥BC，由平行线性质得∠BGM＝30°结合∠BGF＝75°得∠MGF＝45°，与∠DFE相等，故GN∥EF，从而BC∥EF； （3）作AN∥BC，由平行线性质、角平分线定义求出∠DAN＝60°再由EH∥BC得AN∥EH，求出∠DEH＝60°减去∠DEF＝45°得∠HEF＝15°． 【解答】解：（1）∵EF∥AB，∠DEF＝45°， ∴∠DAG＝∠DEF＝45°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAG＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15； （2）BC∥EF，理由如下： 如图，过点G作GM∥BC， ， ∵∠ABC＝30°， ∴∠BGM＝∠ABC＝30°， ∵∠BGF＝75°， ∴∠MGF＝∠BGF﹣∠BGM＝45°， ∵∠DFE＝45°， ∴∠MGF＝∠DFE＝45°， ∴GM∥EF， ∴BC∥EF； （3）过点A作AN∥BC， ， ∵∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAN＝180°， ∴∠CAN＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAN＝∠CAN﹣∠CAB＝30°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠DAN＝∠BAN+∠BAD＝60°， ∴∠EAN＝180°﹣∠DAN＝120°， ∵EH∥BC，AN∥BC， ∴AN∥EH， ∴∠DEH+∠EAN＝180°， ∴∠DEH＝60°， ∵∠DEF＝45°， ∴∠HEF＝∠DEH﹣∠DEF＝15°． 【点评】本题考查平行线的性质，直角三角形，属于中档题． 【考点5】创新及压轴题（第36-40题） · 画图标已知，找全等与等腰结构 · 动点与最值分类讨论 · 综合运用全等、轴对称、勾股定理 · 规范书写推理过程，步步有据 34．（2024秋•寻乌县期末）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 　（6﹣t）　 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【分析】（1）根据题意、结合图形解答； （2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t， 故答案为：t；（6﹣t）； （2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t， ①当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t＝4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3）∠CMQ不变，理由如下： 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 35．（2024秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，若BD＝ED． （1）求证：∠ACB＝2∠E； （2）求证：△ABC是等边三角形； （3）在△ABD中，点P是边BD上的定点，点M、N分别是边AB、AD上的动点．当△PMN的周长取最小值时，直接写出此时∠MPN的度数． 【分析】（1）利用等边对等角和三角形外角的性质证明即可； （2）先求出∠ACB＝60°，再利用有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形证明即可； （3）作出△PMN的周长取最小值时，M，N的位置，再利用三角形内角和定理及其推论即可求出∠MPN的度数． 【解答】（1）证明：∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠ACB＝2∠E； （2）证明：∵AB＝BC，BD是中线， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∵BD＝ED． ∴∠DBC＝∠E， ∴∠DBC∠ACB， ∴∠ACB+∠ACB＝90°， 解得∠ACB＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形； （3）解：60°． 理由：作点P关于AB，AD的对称点P1，P2，连接P1P2，分别交AB，AD于点M，N，连接PM，PN，MN，此时则△PMN的周长取最小值， 由题意，知∠ABP＝30°， 则∠BPP1＝60°， ∴∠P1PP2＝120°，∠P1+∠P2＝60°， ∴∠MPN＝∠P1PP2﹣（∠P1PM+∠NPP2）＝∠P1PP2﹣（∠P1+∠P2）＝120°﹣60°＝60°． 【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称﹣最短路线问题，两点之间线段最短，三角形内角和定理及其推论，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 36．（2024秋•旬阳市期末）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若BD＝ED，CD＝CE，求证：D为AC的中点． 【分析】由等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，再由等腰三角形的性质得∠CED＝∠CDE，然后证∠ABD＝∠CBD，即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠CED+∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE∠ACB60°＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠CBD＝∠CED＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是△ABC的角平分线， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD是△ABC的AC边上的中线， ∴D为AC的中点． 【点评】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 37．（2025秋•西湖区校级期中）△ABC为等边三角形．在AC，BC边上分别任取一点P，Q，使得AP＝CQ，连接AQ，BQ相交于点O． （1）求∠BOQ的度数； （2）连接PQ，当△ABC的面积为18时，且CP＝2AP，求△PCQ的面积． 【分析】（1）根据等边三角形性质得BA＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°，由此依据“SAS”判定△BAP和△ACQ全等得∠ABP＝∠CAQ，根据三角形外角性质得∠BOQ＝∠ABP+∠BAO＝∠CAQ+∠BAO＝60°； （2）根据同高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比得，由此得S△BAP＝S△ACQ＝6，同理得，由此可得△PCQ的面积． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°， 在△BAP和△ACQ中， ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠CAQ， ∵∠BOQ是△OAB的外角， ∴∠BOQ＝∠ABP+∠BAO， ∴∠BOQ＝∠CAQ+∠BAO＝∠BAP＝60°； （2）∵△BAP的边AP上的高与△CBP的边CP上的高相同， ∴， ∵CP＝2AP， ∴， 设S△BAP＝a，S△CBP＝2a， ∵△ABC的面积为18， ∴S△ABC＝S△BAP+S△CBP＝3a＝18， 解得：a＝6， ∴S△BAP＝a＝6， ∵△BAP≌△ACQ， ∴S△BAP＝S△ACQ＝6， 同理：， 设S△PAQ＝k，S△PCQ＝2k， ∴S△ACQ＝S△PAQ+S△PCQ＝3k＝6， 解得：k＝2， ∴S△PCQ＝2k＝4， 即△PCQ的面积为4． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，理解同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 38．（2026春•同步）如图，等边三角形ABC的边长为3，请建立一个平面直角坐标系，并写出等边三角形三个顶点A、B、C在这个平面直角坐标系中的坐标． 【分析】如图，过A作AH⊥x轴于H，由等边三角形的性质推出BHBC，由勾股定理求出AH，即可得到A、B、C的坐标． 【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H， ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴AB＝BC＝3， ∴BHBC， 由勾股定理得到：AH， ∴A（，），B（0，0），C（3，0）． 【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是掌握等边三角形三线合一的性质，由勾股定理求出AH的长． 📝 随堂检测 【练习 1】如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为 　24　 °． 【分析】根据等边三角形性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得∠CBD＝72°，再根据CB＝CD得∠D＝∠CBD＝72°，继而由三角形内角和定理得∠BCD＝36°，由此即可得出∠ACD的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠ABD＝12°， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝72°， ∵CB＝CD， ∴∠D＝∠CBD＝72°， 在△CBD中，∠BCD＝180°﹣（∠D+∠CBD）＝36°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝60°﹣36°＝24． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【练习 2】（2023秋•道里区校级月考）两个等边三角形的边长比为3，则它们的周长比为 　：1　 ． 【分析】已知三角形面积比，根据等边三角形面积的计算可以求得三角形边长的比，即可解题． 【解答】解：等边三角形ABC的面积为AB•BC•sinB， 等边三角形A′B′C′的面积为A′B′•B′C′•sinB′， ∵， ∴AB：A′B′：1， 故答案为：：1． 【点评】本题考查了等边三角形各边长相等的性质，考查了三角形面积计算公式，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求AB：A′B′是解题的关键． 【练习 3】（2025春•射阳县校级月考）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α﹣β＝60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC＝ 　55°　 ． 【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， （1）2∠A﹣∠ABD＝60°，即∠ABD＝60°﹣2∠A， ∵∠A+∠ABD＝90°， ∴∠A+60°﹣2∠A＝90°， 解得∠A＝50°，∠ABD＝40°； （2）2∠A﹣∠ADB＝60°， 解得∠A＝75°，∠ABD＝15°； （3）2∠ABD﹣∠A＝60°， ∵∠A+∠ABD＝90°， 解得∠A＝40°，∠ABD＝50°； （4）2∠ABD﹣∠ADB＝60°， 解得∠ABD＝75°，∠A＝15°； △BCD是“斜等边三角形”， ①2∠C﹣∠CBD＝60°， ∵∠C+∠CBD＝90°， 解得：∠C＝50°，∠CBD＝40°； ②2∠C﹣∠CDB＝60°， 解得∠C＝75°，∠CBD＝15°； ③2∠CBD﹣∠C＝60°，即∠C＝2∠CBD﹣60°， ∵∠C+∠CBD＝90°， ∴2∠CBD﹣60°+∠CBD＝90°， 解得∠C＝40°，∠CBD＝50°； ④2∠CBD﹣∠CDB＝60°， 解得∠CBD＝75°，∠C＝15°； 当（1）①成立时，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠C＝50°，∠CBD＝40°， ∴∠CBA＝40°+40°＝80°， ∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意； 当（1）②成立时，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠C＝75°，∠CBD＝15°， ∴∠CBA＝40°+15°＝55°， ∵2∠CBA﹣∠A＝60°， ∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意； 同理得：符合题意的只有∠ABC＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，理解题意，进行分情况分析是解题关键． 【练习 4】（2025春•榆次区期中）如图，线段AD是等边△ABC的中线，点E是边AC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数为 　15　 °． 【分析】根据等边三角形性质得∠BAC＝60°，再根据线段AD是等边△ABC的中线得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后根据AE＝AD得∠ADE＝∠AED＝75°，据此即可得出∠EDC的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵线段AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝90°， 在△ADE中，AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠CAD）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【练习 5】（2025秋•婺城区校级月考）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1）若∠AED＝20°，求∠AFD的度数； （2）若AD＝3，求△BDE的周长． 【分析】（1）根据J题意，易得∠DAE＝∠AED＝20°，结合已知条件有∠DAF＝∠AFD，∠BAC＝60°，从而根据∠AFD＝∠DAF＝∠BAC﹣∠DAE求解即可； （2）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，易得∠EBD＝∠DCF＝120°，结合已知条件，得∠EDB＝∠AFD，结合DE＝DF，证得△BDE≌△CFD（AAS），从而得到BE＝CD，即可得到△BDE的周长． 【解答】解：（1）∵AD＝DE，∠AED＝20°， ∴∠DAE＝∠AED＝20°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAE＝40°， ∵AD＝DF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠DAF＝40°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠EBD＝∠DCF＝120°， ∴∠AED+∠EDB＝60°， ∵∠DAE＝∠AED， ∴∠DAE+∠EDB＝60°， ∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°， ∴∠EDB＝∠DAF， ∵∠DAF＝∠AFD， ∴∠EDB＝∠AFD， 在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD， ∵等边三角形ABC的边长为4，AD＝3， ∴△BDE的周长为BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD＝4+3＝7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等边对等角，证明△BDE≌△CFD是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边三角形三角60°、三线合一、3条对称轴，性质与判定可互逆使用 · 一角60°的等腰三角形必为等边三角形，是判定首选 · 含30°直角三角形：30°所对直角边等于斜边一半，三边比1∶∶2 · 压轴题先画图标角，找全等三角形，动点问题分类讨论 · 辅助线常构造等边三角形或直角三角形，转化线段关系 【作业 1】（2025•沙依巴克区一模）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　） A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm 【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，得BD＝CD＝50cm，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD， 由题意可知，CD＝BC， ∵∠BCE＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣120°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝50cm， 即此时B、D两点之间的距离为50cm， 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 2】若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【分析】在△ABC中，∠BAC的平分线AD⊥BC，∠ABC的平分线BE⊥AC，则∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，由此可依据“ASA”判定△ABD和△ACD中全等得AB＝AC，同理证明△ABE和△CBE全等得AB＝CB，由此得AB＝AC＝CB，据此即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC的平分线AD⊥BC，∠ABC的平分线BE⊥AC，如图所示： ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AC， 同理：△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AB＝CB， ∴AB＝AC＝CB， ∴△ABC是等边三角形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业 3】（2025•阿荣旗一模）如图，等边三角形ABC的顶点B在直线n上，直线m∥n且交AB于点E，交AC于点F，已知∠1＝145°，则∠2的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．115° 【分析】由等边三角形的性质可得∠A＝60°，由三角形外角的定义及性质可得∠AEF＝85°，再由平行线的性质可得∠3＝∠AEF＝85°，即可得解． 【解答】解：如图： 由条件可知∠A＝60°， ∵∠1＝∠A+∠AEF＝145°， ∴∠AEF＝85°， ∵m∥n， ∴∠3＝∠AEF＝85°， ∴∠2＝95°， 故选：A． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 4】（2024春•龙华区期中）如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（　　） A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【分析】先根据等边三角形性质得∠B＝60，因此当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠C′EB＝90时，则∠C'EC＝90°，由折叠的性质可得出∠FEC的度数；②当∠BC'E为直角时，则∠C'EB＝30°，进而得∠C'EC＝150，由折叠的性质可得出∠FEC的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60， ∴当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠C′EB＝90时，如图1所示： 则∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝90°， 由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝45°， ②当∠BC'E为直角时，如图2所示： 则∠C'EB＝90﹣∠B＝30°， ∴∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝150， 由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝75°， 综上所述：∠FEC的度数为 45°或75°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠及其性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【作业 5】（2023秋•汉寿县期中）如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　120°　 ． 【分析】先根据等边三角形的性质得∠BCA＝60°，再根据∠2＝∠3可得∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，由此得∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，然后再由三角形的内角和定理可得出∠BEC的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BCA＝60°， 又∵∠2＝∠3， ∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2， ∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120° 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，理解等边三角形的三个角都等于60°是解决问题的关键． 【作业 6】（2023秋•红花岗区校级月考）在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E为AB边上的一个动点（不与A、B重合），连接DE，△EDC始终为等边三角形，若AB＝2，BC＝2，则四边形AECD的面积为 　4　 ． 【分析】延长AB到F，使BF＝AB＝2，连接CF，则AF＝4，再求出AC＝4，证BC为线段AF的垂直平分线得CF＝AC＝4，由此得△ACF为等边三角形，则∠ACF＝60°，然后根据△EDC为等边三角形得∠ECF＝∠DCA，据此可依据“SAS”判定△ECF和△DCA全等得S△ECF＝S△DCA，由此得S△ACF＝S四边形AECD，最后由AF＝4，BC，∠ABC＝90°可求出S△ACFAF•BC，据此可得四边形AECD的面积． 【解答】解：延长AB到F，使BF＝AB＝2，连接CF，如图所示： 则AF＝AB+BF＝4， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC， 由勾股定理得：AC4， ∵∠ABC＝90°，BF＝AB＝2， ∴BC为线段AF的垂直平分线， ∴CF＝AC＝4， ∴△ACF为等边三角形， ∴∠ACF＝60°， 即∠ECF+∠ECA＝60°， ∵△EDC为等边三角形， ∴EC＝DC，∠DCE＝60°， 即∠DCA+∠ECA＝60°， ∴∠ECF＝∠DCA， 在△ECF和△DCA中， ， ∴△ECF≌△DCA（SAS）， ∴S△ECF＝S△DCA， ∴S△ACF＝S△ECF+S△ACE＝S△DCA+S△ACE＝S四边形AECD， ∵AF＝4，BC，∠ABC＝90°， ∴S△ACFAF•BC4． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线构造△ECF和△DCA全等，把四边形AECD的面积转化为△ACF的面积是解决问题的关键． 【作业 7】（2026春•东丽区期末）等边三角形ABC的边长为6，则三角形ABC的面积是　9　 ． 【分析】过A作AH⊥BC于H，由等边三角形的性质得到BHBC＝3，由勾股定理求出AH＝3，即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵三角形ABC是边长为6的等边三角形， ∴BC＝AB＝6，BHBC， ∴BH＝3， 由勾股定理得到：AH3， ∴三角形ABC的面积BC•AH6×39． 故答案为：9． 【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，关键是掌握等边三角形三线合一的性质，由勾股定理求出AH的长． 【作业 8】（2025秋•晋江市期末）如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且BC＝2CE，则∠E的大小为 　30°　 ． 【分析】由等边三角形性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，根据点D为AC的中点得AC＝2CD，由此得CE＝CD，进而得∠E＝∠CDE，再根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，据此即可得出∠E的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵点D为AC的中点， ∴AC＝2CD， ∴BC＝2CD， ∵BC＝2CE， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E， ∴2∠E＝60°， ∴∠E＝30°， 故答案为：30°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． 【作业 9】（2024秋•福田区校级期末）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相加后即可得到正确的结论； （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F， 由条件可知BF＝CF， ∵AD＝AE，AF⊥BC， ∴DF＝EF， ∴BF+EF＝CF+DF， 即BE＝CD； （2）解：由条件可知△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， 又∠DAB+∠DBA＝∠ADE＝60°， ∴， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+60°＝90°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【作业 10】（2024秋•宁江区期中）如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．求证：△BCE是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出CB＝CE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【解答】证明：∵CE∥DA， ∴∠A＝∠CEB， ∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B， ∴CB＝CE； 又∵∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形． 【点评】本题考查等边三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【作业 11】（2026春•同步）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，进行判断即可． 【解答】解：∵OA＝OB＝OC， ∴△AOB，△BOC，△AOC是等腰三角形； ∵AB＝BC＝CA， ∴△ABC既是等腰三角形，也是等边三角形； 综上分析可知：等腰三角形有：△AOB，△BOC，△AOC，△ABC；等边三角形有：△ABC． 【点评】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等边三角形定义：三边都相等的三角形是等边三角形． 【作业 12】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝a，BD＝b，求CD的长． 【分析】以CD为边作等边△CDE，连接AE，证明△BCD≌△ACE（SAS），得出BD＝AE＝b，∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，再结合勾股定理求解． 【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE， ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD 和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE＝b，∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝90°， ∵AD＝a，AE＝b， ∴DE， ∴CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【作业 13】（2025春•富平县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 【分析】（1）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，即可得出∠ABC的度数； （2）根据BE＝FE得出∠F＝∠CEF＝30°，再等边三角形的性质得出∠EBC＝30°，即可证明． 【解答】（1）解：∵BE⊥AC于E，E是AC的中点， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝BC， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°； （2）∵CF＝CE， ∴∠F＝∠CEF， ∵∠ACB＝60°＝∠F+∠CEF， ∴∠F＝30°， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴∠EBC＝30°， ∴∠F＝∠EBC， ∴BE＝EF． 【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $