专题45 一次函数与几何综合（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以9类几何存在性问题为载体，构建“问题情境-方法提炼-变式迁移”三阶训练体系，强化数形结合与分类讨论思想，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|1典例+3变式|“两圆一线”法、代数几何双解法|从定点定线到动态存在性，渗透方程思想| |直角三角形存在性|1典例+3变式|“两线一圆”分类模型、勾股定理应用|与等腰三角形存在性形成方法对比，强化分类讨论| |角度/面积/最值问题|各含1典例+3变式|特殊角构造、铅锤高水平宽、轴对称转化|从定性分析到定量计算，构建函数与几何量的对应关系| |翻折与旋转|1典例+3变式|坐标变换规律、全等模型应用|体现图形变换本质，衔接动态几何综合能力|

专题45 一次函数与几何综合 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形存在性问题 题型02 等腰直角三角形存在性问题 题型03 角度存在性问题 题型04 直角三角形存在性问题 题型05 最值问题 题型06 面积存在性问题 题型07 含有绝对值的函数 题型08 新定义 题型09 一次函数中的翻折与旋转 ▌题型01 等腰三角形存在性问题 已知两点，在轴上存在点，使得是等腰三角形 “两圆一线”得坐标： （1）以点为圆心，为半径作圆，与轴的交点即为满足条件的点，有； （2）以点为圆心，为半径作圆，与轴的交点即为满足条件的点，有； （3）作的垂直平分线，与轴的交点即为满足条件的点，有． 几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股定理求线段长，由线段长得点坐标． 代数法： （1）表示出三个点坐标、C； （2）由点坐标表示出三条线段：、、； （3）分类讨论①、②、③； （4）列出方程求解． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一条直线l与x轴相交于点A（2，0），与正比例函数y＝kx（k≠0，且k为常数）的图象相交于点P（1，1）． （1）求k的值； （2）求△AOP的面积； （3）在x轴上找一点M，使△AMP是等腰三角形，求出点M的坐标． 【变式1-1】（2026春•凉州区校级期末）已知一次函数图象经过点A（﹣2，0），B（0，4）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）直线AB上存在点P，使，求点P的坐标； （3）点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C坐标． 【变式1-2】（2025秋•芝罘区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x+5的图象与x轴交于点A，直线yx+b与x轴交于点B（2，0），与直线y＝x+5交于点C． （1）求b的值和点C的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）点P是x轴上一点，且△BCP是以CP为底的等腰三角形，求点P的坐标． 【变式1-3】（2026春•商都县期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标． （4）在x轴上是否存在一点P，使得△OAP是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型02 等腰直角三角形存在性问题 第一步：易证，所以，。 第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 【典例1】（2026春•温江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线l2：与x轴交于点E，与l1交于点F（2，m）． （1）求m的值和l1的解析式； （2）若直线l2与y轴交于C点，求四边形AOCF的面积； （3）点M为x轴一动点，点P是直线l2上一动点，是否存在△FPM以PM为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2025秋•萍乡期末）综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△OAF的面积时， ①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由； ②第一象限内存在一点P，使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【变式1-2】（2025秋•莱芜区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴的负半轴上，若将△ABC沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处． （1）点A的坐标是　 　 ，点B的坐标是　 　 ，AB的长为　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2025秋•高州市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与l1交于点F（2，m）． （1）求m的值和l1的解析式； （2）当点C为直线l1上一动点，且△CEF的面积为8，求点C的坐标； （3）点M为x轴一动点，点P是直线l2上一动点，是否存在△FPM以PM为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． ▌题型03 角度存在性问题 1.角度的存在性问题 角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括、、、等． 几何法：利用（特殊）角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解． 工具： 角 、角 角 2．角度关系的存在性问题 角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题． 几何法：构造全等三角形进行求解． 和差关系 （） 等量关系 大小关系 转化为三角形全等 找临界值，即找等量关系 3. 解题六步 （1）标出定点，画出草图，确定动点在哪条直线； （2）翻译角度条件： - 45°→等腰直角； - 两角相等→角平分线/平行； - 二倍角→构造等腰外角； （3）设动点坐标； （4）几何转化为边长等式（勾股/全等）； （5）解方程求坐标； （6）检验：三点不共线、点在题目限定线段/直线范围，舍去增根。 【典例1】（2026春•松滋市期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B两点，一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，两直线相交于点C，已知AD＝4OD，OA＝2OB． （1）点D的坐标为　 　 ，点A的坐标为　 　 ；直线AB的函数表达式为　 　 ； （2）如图2，过点H（﹣3，0）作平行于y轴的直线交直线AB于点F，交直线CD于点G，连接BG．点P是直线CD上一动点，设△CFP的面积为S1，△BCG的面积为S2，若S1＝S2，求出点P的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GM⊥AF交FD于Q． ①求证：∠CGQ+∠BAO＝∠ADC． ②直线FD上是否还存在点Q′，使∠CGQ′+∠BAO＝∠ADC，若存在，请直接写出点Q′的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2026春•分宜县期末）【基础知识】 将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥ED交于点D，过点B作BE⊥ED交于点E．直接写出AD与EC的数量关系　 　 ． 【基本技能】 （2）已知：直线y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°，求直线BE的表达式； ②如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角△ABN，∠ABN＝90°，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点C在x轴上，且∠ABC＝45°，请直接写出点C的坐标． 【变式1-2】（2026春•荣昌区期末）如图，已知一次函数l1图象分别与x，y轴交于点A（﹣2，0），B两点，正比例函数y图象与l1交于点C，已知点C的横坐标是﹣1． （1）求该一次函数l1的解析式； （2）将正比例函数的图象沿x轴向右平移4个单位长度得到直线l2，点C对应点为D，直线l2与直线l1交点为点E，y轴上有一动点F，x轴上有一动点G，连接EF，FG，DG，当EF+FG+DG取最小值时，求点G的坐标及EF+FG+DG的最小值； （3）在（2）的条件下，点M为直线l2上一点，若∠MGD＝45°，请直接写出点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 【变式1-3】（2026春•云阳县校级期末）如图1，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）交x、y轴于点A（﹣2，0）、B（0，4）两点，正比例函数y＝x的图象与直线AB交于点C． （1）求直线AB的解析式和点C的坐标； （2）y轴负半轴上有一动点E，连接EC．点F是x轴上有一动点，当S△BCE＝12时，求FC+FE的最小值； （3）如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线y＝x交于点M，点P在x轴上．当∠MGO＝∠MPO时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． ▌题型04 直角三角形存在性问题 1.无图需分类讨论：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论． 2.“两定一动”直角三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外） 3.代数解法，利用勾股定理进行求解 在中， ①当时，； ②当时，； ③当时，。 【典例1】（2026春•英山县期末）已知直线经过第一、二、三象限，且k为整数． （1）求k的值； （2）在如图平面直角坐标系中画出该直线； （3）若该直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，现有一点C（﹣1，2），连接AC，BC，试判断△ABC是否为直角三角形？并说明理由． 【变式1-1】（2026春•长春校级期末）在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，点P是该直线上一点，点P的横坐标为m，直线y＝﹣2与y轴交于点B，点Q是该直线上一点，点Q的横坐标为3m，作△ABP和△ABQ． （1）A点的坐标是　 　，B点的坐标是　 　 ； （2）当点P落在直线y＝﹣2上时，求△ABP的面积； （3）当△ABQ是直角三角形时，求m的值； （4）当△ABP的面积是△ABQ面积的一半时，直接写出m的值． 【变式1-2】（2026春•玉州区期末）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点． （1）求A点与B点坐标． （2）如图1，点A关于y轴的对称点为点C，点E在x轴上，连接BE，将△BEC沿BE翻折得到△BED，直线BD与x轴相交于点F． ①当点D落在第四象限时，求CE的取值范围； ②若△EFD是直角三角形，求点D的坐标． 【变式1-3】（2026春•文山市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式． （2）将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，求线段CD的长． （3）直线AB上是否存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型05 最值问题 一、求线段之和的最小值 1、在一条直线上，求一点，使最小； （1）点、在直线两侧： （2）点、在直线同侧： 、是关于直线m的对称点。 2、在直线、上分别找两点、，使最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： 二、求线段之差的最值 （1）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大； （2）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大； （3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小． 【典例1】（2026春•和平区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形OABC沿CD折叠，点O恰好落在AC上． （1）求点D的坐标； （2）点M在第一象限，若△AMC是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； （3）若△AMC是（2）中以AC为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，△CON的面积为3，求DMN的周长最小时，点N的坐标和△DMN的面积． 【变式1-1】（2026春•临沭县期末）平面直角坐标系中，有一动点P（a，a+2），线段MN的端点为M（15，26），N（﹣12，﹣10）． （1）求MN所在直线的解析式； （2）淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”淇淇的说法对吗？请说明理由； （3）设线段MN分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当PM+PN取得最小值时，求a的值； ②若点P在△AOB的内部（不含边界），直接写出a的取值范围． 【变式1-2】（2026春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1；与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线l1和直线l2交于点，OA＝2OC． （1）如图1，请求出直线l2的解析式； （2）如图2，点P是线段AB上一点（不与A，B重合），点M，N是直线l2上两动点（点M在点N的上方），且 MN＝2，点Q是x轴上一动点，连接DP，PM，NQ．当四边形AODP的面积为时，求PM+MN+NQ的最小值； （3）如图3，点G为y轴负半轴上一点，且OG＝OC，点K为直线l1上一动点，连接CK．若∠ACK+∠OGA＝90°，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【变式1-3】（2026春•芜湖校级期末）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A，B两点，与过点C（4，0）的直线l2交于点D，且AD＝AB． （1）求点D的坐标及直线l2的解析式； （2）若点P（t，y1）在线段BD上，点Q（t﹣1，y2）在直线l2上，求y1﹣y2的最小值； （3）在y轴上是否存在一点P，使|PC﹣PD|最大．若存在，请直接写出点P的坐标，并求出|PC﹣PD|的最大值；若不存在，请说明理由． ▌题型06 面积存在性问题 一、知识点 1. 一次函数：，会求直线解析式、直线与坐标轴交点坐标。 2. 两点坐标求线段长度：水平线段长，竖直线段长。 3. 面积计算核心方法 - 基础：三角形面积×底×高 - 铅锤高水平宽：×铅锤高×水平宽 - 割补法：补成矩形减去周围直角三角形面积 4. 绝对值方程：面积是正数，坐标差要带绝对值，一般会得到两个解。 二、解题思路 1. 求定点：求出所有固定点坐标，画出草图； 2. 设动点：根据动点所在直线，设动点坐标； 3. 列面积表达式：优先铅锤高水平宽，面积等于给定数值； 4. 解方程：含绝对值，一般得到两组解； 5. 检验取舍： ①三点不能共线； ②动点是否在题目限定范围（线段/射线/直线），不符合舍去。 【典例1】（2026春•汝南县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△ABD沿AD对折，点B恰好落在x轴的正半轴上的点C处． （1）求点A和点B的坐标，及线段AB的长度； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△OCD，若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2026春•泸州期末）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝3x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与直线l1平行，且经过点C（0，3）． （1）求点A、B的坐标及直线l2的解析式； （2）若点P是直线l2上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； （3）设点Q为直线l1上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使△ADQ的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2026春•牧野区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线AB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图1，点M是直线AB上的动点，是否存在点M，使得S△ACM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QD，请直接写出当BQ+QD最小时Q点坐标． 【变式1-3】（2026春•巴南区期末）如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点Q是直线AB上一点，且∠BDQ＝45°，请直接写出点Q的坐标． ▌题型07 含有绝对值的函数 1. 化简解析式，分段写函数 （1）令绝对值内代数式等于0，求出零点； （2）根据零点划分的取值范围； （3）在每一段内去掉绝对值符号，写出对应一次函数。 2. 画含绝对值函数的图像 （1）求零点； （2）分两段写出直线解析式； （3）分别画出两条射线； （4）标出型顶点。 3. 已知函数值，求自变量（解方程 ） （1）若：方程无解； （2）若：仅有1个解； （3）若：得到两个解。 【典例1】（2026春•遂平县期末）综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象． 【探究】 （1）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 m ﹣1 ﹣3 ﹣1 n 3 … 表格中m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）在右边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象．请写出当x为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式2|x+1|﹣3≤1的解集是　 　 ； ②方程2|x+1|﹣3＝x+1的解是　 　 ． 【变式1-1】（2026春•金凤区校级期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数y＝2|x﹣2|﹣4的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 ﹣2 b ﹣2 0 … 根据表格中的信息可得b＝ 　 　． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数y＝2|x﹣2|﹣4的一条性质　 　　 　　 　　 　　 　 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为 　 　 ． （5）若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【变式1-2】（2026春•龙华区同步）探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数y＝a|x﹣1|+b（a，b为常数，且a≠0）的性质，探究过程如下，请解决下列问题： （1）绘制函数图象： ①列表：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 m … ②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点（x，y），现已描出部分点，请补充表中未描出的各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． （2）探索函数性质： 当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而 　 　 ； （3）运用函数性质： ①不等式a|x﹣1|+b≥5的解集是 　 　 ； ②当x＞4时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝a|x﹣1|+b的值且小于7，则t的取值范围是 　 　 ． 【变式1-3】（2026春•垦利区期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ 　 　； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象，观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是 　 　 ，当x＜2时，y随x的增大而 　 　 ； （3）进一步探究：不等式|x﹣2|≥2的解集是　 　 ； （4）拓展延伸：①请在平面直角坐标系内画出函数y＝|x﹣2|﹣2的图象． ②不等式|x﹣2|﹣2≤0的解集是　 　 ． ▌题型08 新定义 1. 精读题干：圈出新定义的文字、公式、限制条件； 2. 翻译转化：把文字描述，写成代数式、等式或不等式； 3. 设元列式：动点设坐标，结合一次函数解析式代入； 4. 计算求解：解方程/不等式，分类讨论； 5. 回代检验：结果必须完全符合新定义全部条件，不符合直接舍去。 【典例1】（2026春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），点Q（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的值较大的为点P，Q的“未来距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“未来距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3． （1）已知点A（﹣2，0），点B为y轴上的一个动点． ①若d（A，B）＝5，则点B的坐标为　 　； ②d（A，B）的最小值为 　 　 ； ③若动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为100，求r的值． （2）对于点A（﹣2，0），点E（1，1），若有动点M（m，n）使得|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3． 请在图1平面直角坐标系中用阴影表示出符合条件的所有点M（m，n）覆盖的区域． 【变式1-1】（2026春•福建校级期末）在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点A（3，0），B（0，2），C（2，4）　 　 3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　 　； （2）如图2，A（6，0），B在y轴上，C在一次函数y＝3x﹣6上，若一次函数y＝3x﹣6上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”C的坐标； （3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个10的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝8，OP＝6，连接MP，设EM＝a，则△EPM的面积S关于a的表达式为　 　 ． 【变式1-2】（2026春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）给出如下定义：若点Q（x，y）在直线y＝x+a﹣b上，称点Q是点P的“和谐点”．已知，点P（4，0）． （1）在Q1（﹣3，1），Q2（﹣2，2），Q3（1，4）中，点P的“和谐点”有　 　 ； （2）点A在直线y＝2x+3上，若点P的“和谐点”也是点A的“和谐点”，求点A的坐标； （3）已知点B（b，0）和线段MN，点C在以（b﹣1，1），（b﹣1，﹣1），（b+1，﹣1），（b+1，1）为顶点的四边形上，且﹣5≤b≤﹣3，若线段MN上总存在线段PC上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段MN的最小值． 【变式1-3】（2026春•娄底期末）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“亮点”．例如求y＝﹣2x﹣1的“亮点”，联立方程：，解得，则y＝﹣2x﹣1的“亮点”为（﹣1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为　 　 ． （2）一次函数y＝px+q的“亮点”为（2，q﹣3），求p，q的值． （3）若直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx+3上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ▌题型09 一次函数中的翻折与旋转 1. 知识点 （1）一次函数：求解析式、求交点、几何含义； （2）翻折（轴对称）性质： - 对应点连线被对称轴垂直平分； - 对应线段相等，对应角相等； （3）旋转性质： - 旋转前后图形全等，对应线段相等、夹角等于旋转角； - 坐标系旋转90°优先用型一线三垂直模型； （4）两点距离公式、中点坐标公式； （5）90°旋转坐标规律、勾股定理。 2. 解题步骤 （1）找关键点：标记变换前的定点坐标； （2）明确变换：分清是翻折还是旋转，顺时针/逆时针，旋转角度； （3）求变换后的对应点坐标（翻折用中点+垂直；90°旋转优先型全等）； （4）利用变换后的点，求新直线解析式； （5）联立方程，求交点； （6）数形结合，计算面积或者判断存在性，检验取舍。 【典例1】（2026春•建华区期末）已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，4），点D为射线CO上的一个动点，将△AOD沿AD翻折，得到△AED． （1）如图1，若点D为OC的中点，延长DE交BC于点F，猜想EF与BF的关系为　 　 ；证明你的猜想，进而求出直线DF的解析式； （2）如图2，在（1）的条件下，连BE并延长交OC于点H，BH的长为　 　 ； （3）如图3，若点M为BC边上一点，且∠BAM＝30°，点N为AE的中点，连MN． ①MN的取值范围是　 　； ②当MN取最大值时，点D的坐标为　 　 ． 【变式1-1】（2026春•奉节县期末）如图，一次函数y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，将线段OB以点O为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点C处，且点C的坐标为（﹣4，3）． （1）求直线BC的表达式； （2）点M是线段AB上一点，过原点O的直线OM将四边形ABCO的面积分为1：2的两部分，请求出点M的坐标； （3）点D是直线AB上第二象限内一点，在△BCD中有一个内角是45°，请直接写出点D的坐标． 【变式1-2】（2025秋•海州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． （1）求线段AC的长； （2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（s）． ①当△BPO的面积为6时，请求出t的值； ②在线段BC上取一点D，当△BPD为等腰直角三角形时，请求出t的值． （3）将一次函数先沿着射线BA方向平移，再绕点（1，1）顺时针旋转90°，经过变换后的函数图象是否经过点（2，1），请说明理由． 【变式1-3】（2026春•衡阳期中）给出如下定义：在平面内，对于线段AB，若点C满足，CA＝CB，称C是线段AB的“美好点”；特别地，若满足∠ACB＝90°，称C是线段AB的“黄金美好点”． （1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数是直线上一点，已知点A（5，0）； ①若P的横坐标为9，则点A　 　 （填写“是”或“不是”）线段OP的“美好点”； ②若P是线段OA的美好点，求P的坐标； （2）如图2，若直线y＝﹣x+t与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将△OBC沿直线BC翻折到△DBC，若平面直角坐标系上一点M（m，1），满足M是线段BD的“黄金美好点”，求△MBD的面积； （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数是直线上一点，A（5，0），N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段OP的“黄金美好点”，且N是线段OA的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题45 一次函数与几何综合 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形存在性问题 题型02 等腰直角三角形存在性问题 题型03 角度存在性问题 题型04 直角三角形存在性问题 题型05 最值问题 题型06 面积存在性问题 题型07 含有绝对值的函数 题型08 新定义 题型09 一次函数中的翻折与旋转 ▌题型01 等腰三角形存在性问题 已知两点，在轴上存在点，使得是等腰三角形 “两圆一线”得坐标： （1）以点为圆心，为半径作圆，与轴的交点即为满足条件的点，有； （2）以点为圆心，为半径作圆，与轴的交点即为满足条件的点，有； （3）作的垂直平分线，与轴的交点即为满足条件的点，有． 几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股定理求线段长，由线段长得点坐标． 代数法： （1）表示出三个点坐标、C； （2）由点坐标表示出三条线段：、、； （3）分类讨论①、②、③； （4）列出方程求解． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一条直线l与x轴相交于点A（2，0），与正比例函数y＝kx（k≠0，且k为常数）的图象相交于点P（1，1）． （1）求k的值； （2）求△AOP的面积； （3）在x轴上找一点M，使△AMP是等腰三角形，求出点M的坐标． 【分析】（1）将P点坐标代入y＝kx中求k的值即可； （2）已知A点横坐标和P点纵坐标，根据三角形面积公式，可求△AOP的面积； （3）分别以P、A两点为圆心，PA长为半径画弧与x轴相交，作线段PA的垂直平分线与x轴相交，可求M点的坐标． 【解答】解：（1）将点P（1，1）代入直线y＝kx中，得k＝1； （2）如图，S△AOP2×1＝1； （3）由勾股定理，得PA， 以P为圆心，PA长为半径画弧与x轴相交，交点M（0，0）， 以A为圆心，PA长为半径画弧与x轴相交，交点M（2，0）或（2，0）， 作线段PA的垂直平分线与x轴相交，交点M（1，0）， 故满足条件的M点坐标为：（0，0），（2，0），（2，0），（1，0）． 【变式1-1】（2026春•凉州区校级期末）已知一次函数图象经过点A（﹣2，0），B（0，4）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）直线AB上存在点P，使，求点P的坐标； （3）点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C坐标． 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点A（﹣2，0）和点B（0，4）代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点P在直线AB上，设出点P的坐标，再根据，求出点P的坐标； （3）根据点C在x轴上设出C点坐标，分类讨论以AB为腰的等腰三角形△ABC的两种情况，求出对应的点C坐标． 【解答】解：（1）一次函数图象经过点A（﹣2，0），B（0，4）．设一次函数的表达式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为y＝2x+4； （2）如图1，设点P（x，2x+4）， ∵， ∴， ∴， ∵yp＝2x+4，OB＝4， ∴， ∴2x+4＝±1， 解得：或， 当时，得：2x+4＝1； 当时，得：2x+4＝﹣1， ∴点或； （3）点C的坐标为或或（2，0）．理由如下： ∵点C在x轴上， ∴设C（m，0）， ∵△ABC是以AB为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：AB＝AC或AB＝BC， 当AB＝AC时，在Rt△ABO中，AO＝2，BO＝4， 由勾股定理得：， ∴， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， ∴或； 当AB＝BC时， 在Rt△ABO和Rt△CBO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO， ∴|m|＝2， 解得：m＝2或﹣2（此时点A和点C重合，不符合题意，舍去）， ∴C（2，0）． 综上所述，点C的坐标为或或（2，0）． 【变式1-2】（2025秋•芝罘区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x+5的图象与x轴交于点A，直线yx+b与x轴交于点B（2，0），与直线y＝x+5交于点C． （1）求b的值和点C的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）点P是x轴上一点，且△BCP是以CP为底的等腰三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）将B（2，0）代入yx+b求出b的值，再由x+5x，求出C点坐标； （2）求出A点坐标，再由三角形面积公式求解即可； （3）由题意可知BC＝BP＝5，再求P点坐标即可． 【解答】解：（1）当x＝2时，b＝0， 解得b， ∴yx， 当x+5x时，解得x＝﹣1， ∴C（﹣1，4）； （2）y＝x+5与x轴交点A（﹣5，0）， ∴AB＝7， ∴△ABC的面积14； （3）∵△BCP是以CP为底的等腰三角形， ∴BC＝BP， ∵BC＝5， ∴BP＝5， ∴P（7，0）或（﹣3，0）． 【变式1-3】（2026春•商都县期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标． （4）在x轴上是否存在一点P，使得△OAP是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标； （4）由点P、O、A的坐标得，PA2＝（x﹣4）2+4，PO2＝x2，AO2＝20，当PA＝PO时，则（x﹣4）2+4＝x2，即可求解；当PA＝AO或PO＝AO时，同理可解． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得， 则直线的解析式是：y＝﹣x+6； （2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6， S△OAC6×4＝12； （3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2， 解得：m， 则直线的解析式是：yx， ∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时， ∴M的横坐标是4＝1， 在yx中，当x＝1时，y，则M的坐标是（1，）； 在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）． 则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）； （4）存在，理由：设点P（x，0）， 由点P、O、A的坐标得，PA2＝（x﹣4）2+4，PO2＝x2，AO2＝20， 当PA＝PO时，则（x﹣4）2+4＝x2，则x＝2.5，即点P（2.5，0）； 当PA＝AO或PO＝AO时，则x2＝20或20＝（x﹣4）2+4，则x＝0（舍去）或±2或8，即点P（2，0）或（﹣2，0）或P（8，0）， 综上，点P（2，0）或（﹣2，0）或P（8，0）或（2.5，0）． ▌题型02 等腰直角三角形存在性问题 第一步：易证，所以，。 第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 【典例1】（2026春•温江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线l2：与x轴交于点E，与l1交于点F（2，m）． （1）求m的值和l1的解析式； （2）若直线l2与y轴交于C点，求四边形AOCF的面积； （3）点M为x轴一动点，点P是直线l2上一动点，是否存在△FPM以PM为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把F（2，m）代入yx+2得：m＝﹣1+2＝1，把F（2，1）代入y＝kx+4得：1＝2k+4，故k，直线l1的解析式为yx+4； （2）解方程得到C（0，2），E（4，0），A（，0），过F作FH⊥x轴于H，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设M（m，0），P（p，p+2），当PF为直角边时，过P作NQ∥x轴，过M作MN⊥NQ于N，过F作FQ⊥NQ于Q，证明△MPN≌△PFQ（AAS），有MN＝PQ，即|p+2|＝|2﹣p|，解得点P的横坐标为0或；当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，同理可得△PHM≌△MGF（AAS），知PH＝MG，HM＝FG＝2，故，解得p＝﹣2或p＝2（此时P，F重合，舍去）或p． 【解答】解：（1）把F（2，m）代入yx+2得：m＝﹣1+2＝1， ∴F（2，1）， 把F（2，1）代入y＝kx+4得：1＝2k+4， 解得k， ∴l1的解析式为yx+4； （2）在中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝4， ∴C（0，2），E（4，0）， 在yx+4中，令y＝0，则x， ∴A（，0）， 过F作FH⊥x轴于H， ∵F（2，1）， ∴四边形AOCF的面积＝S△OEC﹣S△AEF4×21×（4）； （3）存在△FPM是以PM为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设M（m，0），P（p，p+2）， 当PF为直角边时，过P作NQ∥x轴，过M作MN⊥NQ于N，过F作FQ⊥NQ于Q，如图： ∵△FPM为等腰直角三角形， ∴MP＝FP，∠MPF＝90°， ∴∠MPN＝90°﹣∠QPF＝∠PFQ， ∵∠N＝90°＝∠Q， ∴△MPN≌△PFQ（AAS）， ∴MN＝PQ， ∴|p+2|＝|2﹣p|， 解得p＝0或p， ∴此时点P的横坐标为0或； 当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，如图： 同理可得△PHM≌△MGF（AAS）， ∴PH＝MG，HM＝FG＝2， ∴， 解得p＝﹣2或p＝2（此时P，F重合，舍去）或p， 综上所述，P的横坐标为0或或﹣2或． 【变式1-1】（2025秋•萍乡期末）综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△OAF的面积时， ①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由； ②第一象限内存在一点P，使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求出两点坐标即可．； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得OF与AB的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【解答】解：（1）平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B， 当y＝0时，得：， 解得：x＝10； 当x＝0时，得：y＝5， ∴A（10，0），B（0，5）； （2）∵点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作FE⊥x轴，如图1， ∴F点坐标为， ∴△OAF的面积：， ∴△OAF的面积S与x之间的函数关系式为； （3）①．理由如下： 当△OAF的面积时，得：， 解得：x＝5， ∴F点坐标为， 由勾股定理得：， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∴； ②点P的坐标为或．理由如下： 过点F作FN⊥x轴交x轴于点E，过点P作PG⊥OA于点G，过点P′作PH⊥FE于点H，分两种情况： 如图2， 情况一：∵△AFP是等腰直角三角形， ∴AF＝PA，∠FEA＝∠FAP＝∠PGA＝90°， ∴∠AFE+∠FAE＝∠FAE+∠PAG＝90°， ∴∠AFE＝∠PAG， 在△FAE和△PAG中， ， ∴△AFE≌△PAG（AAS）， ∴，AE＝PG＝OA﹣OE＝5， ∴点； 情况二：∵△AFP′是等腰直角三角形， 同理△P′HF≌△FEA（AAS）， ∴FH＝AE＝5，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1-2】（2025秋•莱芜区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴的负半轴上，若将△ABC沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处． （1）点A的坐标是　（4，0）　 ，点B的坐标是　（0，3）　 ，AB的长为　5　 ； （2）求点C的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A（4，0），B（0，3），再利用勾股定理求得AB＝5即可； （2）设C（n，0），则OC＝n，AC＝4﹣n，DC＝AC＝4﹣n，DB＝AB＝5，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分三种情况：当∠PAB＝90°，AP＝AB时，当∠PBA＝90°，BP＝AB时，当∠APB＝90°，AP＝BP时，分别求出点P的坐标即可． 【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0， 解得：x＝4， ∴A（4，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴AB5， 故答案为：（4，0），（0，3），5； （2）将△ABC沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，如图1， 设C（n，0），则OC＝n，AC＝4﹣n， ∴DC＝AC＝4﹣n，DB＝AB＝5， ∴OD＝OB+DB＝3+5＝8， 在Rt△CDO中，OC2+OD2＝CD2， ∴n2+82＝（4﹣n）2， 解得：n＝﹣6， ∴点C的坐标为（﹣6，0）； （3）存在， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴AB5， 当∠PAB＝90°，AP＝AB时，如图，过点P作PH⊥x轴于H， 则∠PHA＝∠AOB＝90°， ∴∠PAH+∠APH＝90°， ∵∠PAH+∠BAO＝90°， ∴∠APH＝∠BAO， 在△APH和△BAO中， ， ∴△APH≌△BAO（AAS）， ∴AH＝OB＝3，PH＝OA＝4， ∴OH＝OA+AH＝4+3＝7， ∴P（7，4）； 当∠PBA＝90°，BP＝AB时，如图，过点P作PH⊥y轴于H， 同理可得：P（3，7）； 当∠APB＝90°，AP＝BP时，如图，过点P作PH⊥x轴于H，PK⊥y轴于点K， ∴∠PKB＝∠PHA＝∠HPK＝90°，∴∠BPK+∠BPH＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠BPH+∠APH＝90°，∴∠APH＝∠BPK， 在△APH和△BPK中， ， ∴△APH≌△BPK（AAS），∴AH＝BK，PH＝PK，由PH＝PK设点P的坐标为（p，p），∴OH＝OK＝p，∴BK＝OK﹣OB＝p﹣3，AH＝OA﹣OH＝4﹣p，∴4﹣p＝p﹣3， 解得：p， ∴点P的坐标为（，）， 综上可知，第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，点P的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）． 【变式1-3】（2025秋•高州市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与l1交于点F（2，m）． （1）求m的值和l1的解析式； （2）当点C为直线l1上一动点，且△CEF的面积为8，求点C的坐标； （3）点M为x轴一动点，点P是直线l2上一动点，是否存在△FPM以PM为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把F（2，m）代入yx+2得：m＝﹣1+2＝1，把F（2，1）代入y＝kx+4得：1＝2k+4，故k，直线l1的解析式为yx+4； （2）过C作CK∥EF交x轴于K，连接FK，求出E（4，0），由CK∥EF，可得S△KEF＝S△CEF＝8，即EK×1＝8，可得EK＝16，当K在E右侧时，K（20，0），可得直线CK解析式为yx+10，联立，解得C（﹣6，13）；当K在E左侧时，K（﹣12，0），同理可得C（10，﹣11）； （3）设M（m，0），P（p，p+2），当PF为直角边时，过P作NQ∥x轴，过M作MN⊥NQ于N，过F作FQ⊥NQ于Q，证明△MPN≌△PFQ（AAS），有MN＝PQ，即||＝|2﹣p|，解得点P的横坐标为0或；当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，同理可得△PHM≌△MGF（AAS），知PH＝MG，HM＝FG＝1，故，解得p＝﹣2或p＝2（此时P，F重合，舍去）或p． 【解答】解：（1）把F（2，m）代入yx+2得：m＝﹣1+2＝1， ∴F（2，1）， 把F（2，1）代入y＝kx+4得：1＝2k+4， 解得k， ∴l1的解析式为yx+4； （2）过C作CK∥EF交x轴于K，连接FK，如图： 在yx+2中，令y＝0得x＝4， ∴E（4，0）， ∵CK∥EF， ∴S△KEF＝S△CEF＝8， ∴EK•yF＝8，即EK×1＝8， ∴EK＝16， 当K在E右侧时，K（20，0）， 设直线CK解析式为yx+b，把K（20，0）代入得：0＝﹣10+b， ∴b＝10， ∴直线CK解析式为yx+10， 联立， 解得， ∴C（﹣6，13）； 当K在E左侧时，K（﹣12，0）， 同理可得C（10，﹣11）； ∴点C的坐标为（﹣6，13）或（10，﹣11）； （3）存在△FPM是以PM为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设M（m，0），P（p，p+2）， 当PF为直角边时，过P作NQ∥x轴，过M作MN⊥NQ于N，过F作FQ⊥NQ于Q，如图： ∵△FPM为等腰直角三角形， ∴MP＝FP，∠MPF＝90°， ∴∠MPN＝90°﹣∠QPF＝∠PFQ， ∵∠N＝90°＝∠Q， ∴△MPN≌△PFQ（AAS）， ∴MN＝PQ， ∴||＝|2﹣p|， 解得p＝0或p， ∴此时点P的横坐标为0或； 当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，如图： 同理可得△PHM≌△MGF（AAS）， ∴PH＝MG，HM＝FG＝1， ∴， 解得p＝﹣2或p＝2（此时P，F重合，舍去）或p， 综上所述，P的横坐标为0或或﹣2或． ▌题型03 角度存在性问题 1.角度的存在性问题 角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括、、、等． 几何法：利用（特殊）角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解． 工具： 角 、角 角 2．角度关系的存在性问题 角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题． 几何法：构造全等三角形进行求解． 和差关系 （） 等量关系 大小关系 转化为三角形全等 找临界值，即找等量关系 3. 解题六步 （1）标出定点，画出草图，确定动点在哪条直线； （2）翻译角度条件： - 45°→等腰直角； - 两角相等→角平分线/平行； - 二倍角→构造等腰外角； （3）设动点坐标； （4）几何转化为边长等式（勾股/全等）； （5）解方程求坐标； （6）检验：三点不共线、点在题目限定线段/直线范围，舍去增根。 【典例1】（2026春•松滋市期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B两点，一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，两直线相交于点C，已知AD＝4OD，OA＝2OB． （1）点D的坐标为　（1，0）　 ，点A的坐标为　（5，0）　 ；直线AB的函数表达式为yx　 ； （2）如图2，过点H（﹣3，0）作平行于y轴的直线交直线AB于点F，交直线CD于点G，连接BG．点P是直线CD上一动点，设△CFP的面积为S1，△BCG的面积为S2，若S1＝S2，求出点P的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GM⊥AF交FD于Q． ①求证：∠CGQ+∠BAO＝∠ADC． ②直线FD上是否还存在点Q′，使∠CGQ′+∠BAO＝∠ADC，若存在，请直接写出点Q′的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得到点D的坐标和点A的坐标，根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）解方程得到点F（﹣3，4），点G（﹣3，﹣4），根据轴对称的性质得到∠FDO＝45°，即∠FDG＝90°，解方程组得到xC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①根据垂直的定义得到∠GMC＝90°，得到∠MGC+∠MCG＝90°，根据对顶角的性质得到∠ADC＝∠EDO＝45°，求得∠CGM＝45°，于是得到∠CGQ+∠BAO＝∠ADC； ②连接AG，交DF的延长线于点Q，则点Q为所求点，由点G、F的坐标知，∠CAD＝∠DAG，求得直线AG的表达式为：y（x﹣5），同理可得，直线DF的表达式为：y＝﹣x+1，解方程得到Q（，），根据中点坐标公式得到Q′（，），于是得到结论． 【解答】（1）解：一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，则点D、E的坐标分别为：（1，0）、（0，﹣1）， ∵AD＝4OD＝4，则点A（5，0）， ∵OA＝2OB，则点B（0，2.5）， 由点A、B的坐标得，直线BA的表达式为：yx， 故答案为：（1，0），（5，0），yx； （2）解：当x＝﹣3时，yx，即点F（﹣3，4），当x＝﹣3时，y＝x﹣1＝﹣4，即点G（﹣3，﹣4）， 则点G、F关于x轴对称， ∵∠ODE＝45°，则∠FDO＝45°，即∠FDG＝90°， 联立DE和AB的表达式得：x﹣1x；，则x，即xC， 若S1＝S2，即S△FGC﹣S△FGPFG×|xC﹣xP|＝S2BE×（xC﹣xG），即（4+4）×|xP|＝（1）×（3）， 解得：xP＝0或， 即点P（0，﹣1）或（，）； （3）∠CGQ+∠BAO＝∠ADC， ①证明：∵GM⊥AF， ∴∠GMC＝90°， ∴∠MGC+∠MCG＝90°， ∵∠MCG＝∠BAO+∠ADC， ∴∠BAO+∠ADC+∠CGM＝90°， ∵∠ADC＝∠EDO＝45°， ∴∠∠CGM＝45°， ∴∠CGQ+∠BAO＝∠ADC； ②解：存在，理由： 连接AG，交DF的延长线于点Q，则点Q为所求点， 由点G、F的坐标知，∠CAD＝∠DAG， ∵∠CGQ+∠BAO＝∠ADC，即∠CDA＝∠DAG+∠DGQ， 由点A、G的坐标得，直线AG的表达式为：y（x﹣5）， 同理可得，直线DF的表达式为：y＝﹣x+1， 联立上式和DF的表达式得：（x﹣5）﹣x+1，则x， 即点Q（，）， 当点Q（Q′）在CD的上方时， ∵DF⊥CD，则Q、Q关于点D对称， 由中点坐标公式得：Q′（，）， 综上，Q（，）或（，） 【变式1-1】（2026春•分宜县期末）【基础知识】 将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥ED交于点D，过点B作BE⊥ED交于点E．直接写出AD与EC的数量关系AD＝EC ． 【基本技能】 （2）已知：直线y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°，求直线BE的表达式； ②如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角△ABN，∠ABN＝90°，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点C在x轴上，且∠ABC＝45°，请直接写出点C的坐标． 【分析】（1）根据∠ACB＝90°，过点A作AD⊥ED交于点D，过点B作BE⊥ED交于点E，得出∠EBC＝∠ACD，证明△BEC≌△CDA（AAS），即可证出AD＝EC． （2）①当时，则直线y＝kx+4（k≠0）为直线，先求出B（0，4），A（3，0），则OA＝3，OB＝4，过点E作ED⊥OB于D，如图所示：证明△BED≌△ABO（AAS），得出DE＝OB＝4，BD＝OA＝3，求出点E的坐标为（4，7），待定系数法求出直线BE的解析式为． ②根据当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动，得出k＞0，过点N作NM⊥OB于M，证明△BMN≌△AOB（AAS），得出MN＝OB＝4，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过A作AE⊥AB轴交BC于点E，过E作ED⊥x轴于点D，先求出点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，4），得出OA＝2，OB＝4，根据∠ABC＝45°，得出∠1＝∠ABC＝45°，则AB＝AE，证明△ABO≌△EAD（AAS），则AO＝DE＝2，BO＝AD＝4，求出E（﹣6，2），待定系数法求出直线BE的解析式为，再令y＝0，即可求出C（﹣12，0）； ②如图，过C作CD⊥BC交AB于点D，过C作CE⊥x轴，过B作BE⊥CE交CE于点E，过D作DF⊥CE交CE于点F，根据∠ABC＝45°，得出∠4＝∠ABC＝45°，证出BC＝DC，证明△BCE≌△CDF（AAS），则BE＝CF，CE＝DF＝4，设C（c，0），则OC＝BE＝CF＝c，得出D（c﹣4，﹣c），根据点D（c﹣4，﹣c）在直线y＝2x+4的图象上，代入求解即可． 【解答】解：（1）AD与EC的数量关系：AD＝EC． 证明：∵∠ACB＝90°，过点A作AD⊥ED交于点D，过点B作BE⊥ED交于点E， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠ACD， 在△BEC和△CDA中 ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）， ∴AD＝EC， 故答案为：AD＝EC； （2）①当时，则直线y＝kx+4（k≠0）为直线， 当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）， ∴OA＝3，OB＝4， 过点E作ED⊥OB于D，如图所示： ∴∠BDE＝∠AOB＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△BED≌△ABO（AAS）， ∴DE＝OB＝4，BD＝OA＝3， ∴OD＝OB+BD＝7， ∴点E的坐标为（4，7）， 设直线BE的解析式为y＝k1x+b1， 把B（0，4）与E（4，7）代入得：， 解得：， ∴直线BE的解析式为． ②当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝8， 理由如下： ∵当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动， ∴k＞0， 过点N作NM⊥OB于M， ∴∠NMB＝∠AOB＝90°， ∵∠1+∠3＝90°， ∵BN⊥AB， ∴∠ABN＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， ∵BN＝BA，∠NMB＝∠AOB＝90°， ∴△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB＝4， ∴， ∴k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝8； （3）如图， 如图，过C作CD⊥BC交AB于点D，过C作CE⊥x轴，过B作BE⊥CE交CE于点E，过D作DF⊥CE交CE于点F， ∵∠ABC＝45°， ∴∠4＝∠ABC＝45°， ∴BC＝DC， ∵∠BEC＝∠BCD＝90°， ∴∠2+∠3＝∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△BCE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝DF＝4， 设C（c，0）， 则OC＝BE＝CF＝c， ∴D（c﹣4，﹣c）， ∵点D（c﹣4，﹣c）在直线y＝2x+4的图象上， ∴2（c﹣4）+4＝﹣c， ∴， ∴． 如图，过A作AE⊥AB轴交BC于点E，过E作ED⊥x轴于点D， ∵直线y＝2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵∠ABC＝45°， ∴∠1＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AE， ∵∠EAB＝∠AOB＝90°， ∴∠2+∠3＝∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝∠4， ∴△ABO≌△EAD（AAS）， ∴AO＝DE＝2，BO＝AD＝4， ∴OD＝2+4＝6， ∴E（﹣6，2）， 设直线BE的解析式为y＝k2x+4， 把E（﹣6，2）代入得：﹣6k2+4＝2， 解得：， ∴直线BE的解析式为， 令y＝0，则，解得：x＝﹣12， 则C（﹣12，0）； 综上，C（﹣12，0）或． 【变式1-2】（2026春•荣昌区期末）如图，已知一次函数l1图象分别与x，y轴交于点A（﹣2，0），B两点，正比例函数y图象与l1交于点C，已知点C的横坐标是﹣1． （1）求该一次函数l1的解析式； （2）将正比例函数的图象沿x轴向右平移4个单位长度得到直线l2，点C对应点为D，直线l2与直线l1交点为点E，y轴上有一动点F，x轴上有一动点G，连接EF，FG，DG，当EF+FG+DG取最小值时，求点G的坐标及EF+FG+DG的最小值； （3）在（2）的条件下，点M为直线l2上一点，若∠MGD＝45°，请直接写出点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作E点关于y轴的对称点E'，作D点关于x轴的对称点D'（3，），连接E'D'交y轴于F点，交x轴于G点，EF+FG+DG的最小值为D'E'； （3）分两种情况讨论：当M点在GD的下方时，过点D作DN⊥GD交GM于点N，过点D作KH∥x轴，过点N作NH⊥KH交于H点，过点G作GK⊥KH交K点，证明△KDG≌△HND（AAS），求出点N（，），则直线GN的解析式为yx，直线DM与直线DG的交点为M点；当M点在GD的上方时，同理可求M点坐标． 【解答】解：（1）∵点C的横坐标是﹣1， ∴C（﹣1，）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+3； （2）由平移可得直线l2的解析式为6，D（3，）， 作E点关于y轴的对称点E'，作D点关于x轴的对称点D'（3，），连接E'D'交y轴于F点，交x轴于G点， ∴EF＝E'F，DG＝GD'， ∴EF+FG+DG＝E'F+FG+GD'≥D'E'， ∴EF+FG+DG的最小值为D'E'， 当6x+3时，解得x＝1， ∴E（1，）， ∴E'（﹣1，）， ∴D'E'＝2， ∴EF+FG+DG的最小值为2， 直线D'E'的解析式为yx+3， ∴G（2，0）； （3）当M点在GD的下方时，过点D作DN⊥GD交GM于点N，过点D作KH∥x轴，过点N作NH⊥KH交于H点，过点G作GK⊥KH交K点， ∵∠DGM＝45°， ∴DG＝DN， ∵∠GDN＝90°， ∴∠KDG+∠DHN＝90°， ∵∠KDG+∠DGK＝90°， ∴∠DHN＝∠DGK， ∴△KDG≌△HND（AAS）， ∴KD＝NH＝1，KG＝DH， ∴N（，）， ∴直线GN的解析式为yx， 当x+6x时，解得x， ∴M（，）； 当M点在GD的上方时，过D点作DT⊥GD交GM于T点，过点D作PQ⊥x轴交于P点，过点T作TQ⊥PQ交于Q点， ∴△DTQ≌△GDP（AAS）， ∴TQ＝PD，DQ＝GP＝1， ∴T（，）， ∴直线GM的解析式为y＝﹣5x+10， 当﹣5x+10x+6时，解得x， ∴M（，）； 综上所述：M点坐标为（，）或（，）． 【变式1-3】（2026春•云阳县校级期末）如图1，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）交x、y轴于点A（﹣2，0）、B（0，4）两点，正比例函数y＝x的图象与直线AB交于点C． （1）求直线AB的解析式和点C的坐标； （2）y轴负半轴上有一动点E，连接EC．点F是x轴上有一动点，当S△BCE＝12时，求FC+FE的最小值； （3）如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线y＝x交于点M，点P在x轴上．当∠MGO＝∠MPO时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）先求出直线AB解析式，再联立y＝x即可求解； （2）设E（0，a），则BE＝|4﹣a|，再根据△BCE的面积求出点E坐标，进而利用将军饮马模型求解即可； （3）易得G（0，﹣3），分两种情况讨论，依次画出图形求解即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b中得， ，解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+4， ∵点C是正比例函数y＝x和直线AB的交点， ∴联立方程组得， 解得， ∴C（﹣4，﹣4）； （2）设E（0，a）， ∴BE＝|4﹣a|， 过点C作CD垂直y轴交于点D， ∵B（0，4），C（﹣4，﹣4）， ∴CD＝4， ∵S△BCE＝12， ∴ 解得：a＝﹣2或a＝10（舍去）， ∴E（0，﹣2）， 作点E关于x轴的对称点E'（0，2）， ∴DE'＝6，CD＝4， 连接CE'，则与x轴交点G是使得GC+GE'的值最小； 在Rt△CDE'中，根据勾股定理可得， ∴FC+FE的值最小是； （3）∵直线l：y＝2x+4向下平移7个单位长度后， ∴直线MG的解析式为：y＝2x﹣3， ∴G（0，﹣3）， 当∠MGO＝∠MPO时， 第一种情况①如图：在x轴上取点P，连接PM， ∴PM与MG关于直线y＝x对称， ∴OM＝OM，∠PMO＝∠GMO，MG＝MP， ∴△MPO≌△MGO（SAS）， ∴OP＝OG， ∴P（﹣3，0）． 第二种情况②如图：过点M的垂直于x轴的直线ME，点P关于直线ME的对称点P'，连接P′M， ∵直线y＝2x﹣3与y＝x交于点M， ∴， 解得， ∴M（3，3）， ∵点P′是关于直线ME为对称轴的点P（﹣3，0）的对称点， ∴P（9，0）； 综上，P的坐标为（﹣3，0）或（9，0）． ▌题型04 直角三角形存在性问题 1.无图需分类讨论：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论． 2.“两定一动”直角三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外） 3.代数解法，利用勾股定理进行求解 在中， ①当时，； ②当时，； ③当时，。 【典例1】（2026春•英山县期末）已知直线经过第一、二、三象限，且k为整数． （1）求k的值； （2）在如图平面直角坐标系中画出该直线； （3）若该直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，现有一点C（﹣1，2），连接AC，BC，试判断△ABC是否为直角三角形？并说明理由． 【分析】（1）根据题意可知k＞0，3﹣2k＞0，再由k为整数，求出k的值即可； （2）根据函数解析式画出函数图象即可； （3）利用勾股定理逆定理判断即可． 【解答】解：（1）∵直线经过第一、二、三象限， ∴k＞0，3﹣2k＞0， ∴0＜k， ∵k为整数， ∴k＝1； （2）∵k＝1， ∴yx+1， （3）△ABC是直角三角形，理由如下： 当x＝0时，y＝1， ∴B（0，1）， 当y＝0时，x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∴AB2＝10，AC2＝8，BC2＝2， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【变式1-1】（2026春•长春校级期末）在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，点P是该直线上一点，点P的横坐标为m，直线y＝﹣2与y轴交于点B，点Q是该直线上一点，点Q的横坐标为3m，作△ABP和△ABQ． （1）A点的坐标是　（﹣1，0）　 ，B点的坐标是　（0，﹣2）　 ； （2）当点P落在直线y＝﹣2上时，求△ABP的面积； （3）当△ABQ是直角三角形时，求m的值； （4）当△ABP的面积是△ABQ面积的一半时，直接写出m的值． 【分析】（1）根据交点坐标即可求解； （2）根据题意可得P（﹣2，﹣2），作AH⊥PB，即可求解； （3）当∠Q1AB＝90°时，∠AQ1B＝90°时，分类讨论即可； （4）由题意得，，根据等式化简求值即可． 【解答】解：（1）直线y＝2x+2与x轴交于点A， 当y＝0时，得：0＝2x+2， 解得：x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）； ∵直线y＝﹣2与y轴交于点B， ∴B（0，﹣2）， 故答案为：（﹣1，0）；（0，﹣2）； （2）∵点P落在直线y＝﹣2上， ∴P（m，﹣2）， 将P（m，﹣2）代入直线y＝2x+2得：﹣2＝2m+2， 解得：m＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣2）． 如图1，作AH⊥PB， ∴AH＝2，BP＝2， ∴； （3）∵△ABQ是直角三角形时，则Q（3m，﹣2），A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ①当∠Q1AB＝90°时，， ∵AB2＝（﹣1）2+（﹣2）2＝5，，， ∴9m2＝9m2+6m+5+5， 解得：， ②当∠AQ2B＝90°时， ∴Q2（﹣1，﹣2）， ∴3m＝﹣1，则， 综上所述，，； （4）m＝﹣4或．理由如下： 由题意得：， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为 y＝﹣2x﹣2， 设直线AB与直线x＝m交于点D，则D（m，﹣2m﹣2）， ∵P（m，2m+2）， ∴PD＝|（2m+2）﹣（﹣2m﹣2）|＝|4m+4|， ∴； ∵， ∴，即4m+4＝3m或4m+4＝﹣3m， 解得：m＝﹣4或． 【变式1-2】（2026春•玉州区期末）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点． （1）求A点与B点坐标． （2）如图1，点A关于y轴的对称点为点C，点E在x轴上，连接BE，将△BEC沿BE翻折得到△BED，直线BD与x轴相交于点F． ①当点D落在第四象限时，求CE的取值范围； ②若△EFD是直角三角形，求点D的坐标． 【分析】（1）分别令y＝0，令x＝0，即可解答； （2）①如图，当D落在y轴上时，求解C（4，0），勾股定理求出BC，再进一步利用轴对称的性质与勾股定理求解即可； ②分当∠DEF＝90°时，当∠EFD＝90°时，当∠DFE＝90°时，分别求解即可． 【解答】解：（1）直线与x轴交于A点，与y轴交于B点， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣4； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（﹣4，0），B（0，3）； （2）①如图1，当D落在y轴上时， ∵点A关于y轴的对称点为点C， ∴C（4，0）， ∴OB＝3，OC＝4， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：BC＝BD＝5，DE＝CE， ∴OD＝5﹣3＝2， 设DE＝CE＝m， ∴OE＝4﹣m， ∴m2＝22+（4﹣m）2， 解得：， 当E在C右侧时，点D在第一象限； 当E与C重合时，CE＝0，D与C（4，0）重合且在x轴上，不满足第四象限； 当E与O重合时，CE＝4，D（﹣4，0）在x轴负半轴，不满足第四象限； 故当D落在第四象限时，E在线段OC上（O为原点），不与O、C重合， ∴当点D落在第四象限时，CE的取值范围为：； ②如图2，当∠DEF＝90°时， 由折叠的性质得：DE＝CE，∠DEB＝∠CEB＝45°， ∵∠EOB＝90°， ∴OE＝OB＝3， ∴DE＝CE＝7， ∴D（﹣3，7）； 如图3，当∠EFD＝90°时，结合①可得：D（0，﹣2）， 如图4，当∠DEF＝90°时，∠CED＝90°， 由折叠的性质得：， ∴∠BEO＝135°﹣90°＝45°， ∵∠EOB＝90°， ∴OB＝OE＝3， ∴CE＝DE＝4﹣3＝1， ∴D（3，﹣1）； 如图5，当∠DFE＝90°时，此时D在y轴正半轴， 由折叠的性质得：BD＝BC＝5， ∴OD＝8， ∴D（0，8）； 综上所述，点D的坐标为（3，﹣1）或（﹣3，7）或（0，8）或（0，﹣2）． 【变式1-3】（2026春•文山市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式． （2）将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，求线段CD的长． （3）直线AB上是否存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的平移规律得到直线CD的解析式，得到D（0，3），C（3，0），进而根据两点间的距离公式计算即可； （3）设P（a，﹣a﹣2），根据两点间的距离公式求出CD2＝18，CP2＝（a﹣3）2+（a+2）2，DP2＝a2+（a+5）2，分∠PDC＝90°、∠PCD＝90°两种情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2； （2）∵将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2+5＝﹣x+3， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（3，0），D（0，3）， ∴； （3）直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；理由如下： ∵， ∴CD2＝18， 设P（a，﹣a﹣2）， ∵C（3，0），D（0，3）， ∴CP2＝（a﹣3）2+（﹣a﹣2﹣0）2＝（a﹣3）2+（a+2）2，DP2＝（a﹣0）2+（﹣a﹣2﹣3）2＝a2+（a+5）2， 当∠PDC＝90°时，由勾股定理得：PD2+CD2＝PC2， 即a2+（a+5）2+18＝（a﹣3）2+（a+2）2， 解得：； ∴； 当∠PCD＝90°时，由勾股定理得：PC2+CD2＝PD2， 即（a﹣3）2+（a+2）2+18＝a2+（a+5）2， 解得：， ∴， 综上所述，直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；或． ▌题型05 最值问题 一、求线段之和的最小值 1、在一条直线上，求一点，使最小； （1）点、在直线两侧： （2）点、在直线同侧： 、是关于直线m的对称点。 2、在直线、上分别找两点、，使最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： 二、求线段之差的最值 （1）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大； （2）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大； （3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小． 【典例1】（2026春•和平区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形OABC沿CD折叠，点O恰好落在AC上． （1）求点D的坐标； （2）点M在第一象限，若△AMC是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； （3）若△AMC是（2）中以AC为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，△CON的面积为3，求DMN的周长最小时，点N的坐标和△DMN的面积． 【分析】（1）求出A（8，0），C（0，6），再得到AO′＝AC﹣CO′＝4，设D（d，0），根据勾股定理求出d＝3，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设N（x，y），根据△CON的面积为3得x＝1，作点D关于直线x＝1的对称点D′，则D′（﹣1，0），连接MD′交直线x＝1于点N，则DN＝D′N，则DN+NM+DM＝D′N+MN+DM＝D′M+DM，此时△DMN的周长最小，即为D′M+DM，求出直线MD′的解析式为，即可得到，根据△DMN的面积即可求出答案． 【解答】解：（1）矩形OABC的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点， 当y＝0时，得：， 解得：x＝8； 当x＝0时，得：y＝6， ∴A（8，0），C（0，6）， ∴OA＝8，OC＝6， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ∵CO′＝CO＝6， ∴AO′＝AC﹣CO′＝4， 设D（d，0），则OD＝d， ∴AD＝8﹣d，O′D＝d， ∴d2+42＝（8﹣d）2， 解得：d＝3， ∴D（3，0）； （2）点M的坐标为（6，14）或（14，8）或（7，7）；理由如下： △AMC是等腰直角三角形，分三种情况： ①当∠ACM＝90°，AC＝CM时，过点M作MF⊥y轴于点F，如图1， ∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠FCM＝90°， ∴∠CAO＝∠FCM， ∵∠AOC＝∠CFM＝90°，AC＝CM， ∴△AOC≌△CFM（AAS）， ∴CF＝OA＝8，MF＝OC＝6， ∴OF＝OC+CF＝14， ∴M（6，14）； ②当∠CAM＝90°，AC＝AM时，过点M作MG⊥x轴于点G，如图2， 同理可得，△AOC≌△MGA（AAS）， 则AG＝OC＝6，MG＝OA＝8， ∴GO＝OA+AG＝14， ∴M（14，8）； ③当∠AMC＝90°，如图3，时，设M（x，y）， ∴， 解得：x＝y＝7， ∴M（7，7）， 综上所述，点M的坐标为（6，14）或（14，8）或（7，7）； （3）△AMC是（2）中以AC为斜边的等腰直角三角形， ∴M（7，7）， 设N（x，y）， ∵△CON的面积为3， ∴， 解得：x＝1， 如图4，作点D关于直线x＝1的对称点D′，则D′（﹣1，0）， 连接MD′交直线x＝1于点N，则DN＝D′N， 则DN+NM+DM＝D′N+MN+DM＝D′M+DM， 此时△DMN的周长最小，即为D′M+DM， 设直线MD′的解析式为y＝kx+b，把D′（﹣1，0），M（7，7）代入得到， ， 解得：， 即直线MD′的解析式为， 当x＝1时，， ∴， ∴△DMN的面积＝S△DD′M﹣S△DD′NDD′×7DD′4×74． 【变式1-1】（2026春•临沭县期末）平面直角坐标系中，有一动点P（a，a+2），线段MN的端点为M（15，26），N（﹣12，﹣10）． （1）求MN所在直线的解析式； （2）淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”淇淇的说法对吗？请说明理由； （3）设线段MN分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当PM+PN取得最小值时，求a的值； ②若点P在△AOB的内部（不含边界），直接写出a的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法即可求出MN的直线解析式； （2）根据点P的坐标特征，可推出点P在定直线上，即可判断说法； （3）①由（2）知点P在直线y＝x+2上，联立两直线方程解得交点N（﹣12，﹣10），故当P与N重合时PM+PN最小，此时a＝﹣12； ②先求出△AOB的顶点坐标，再求出点P所在直线与△AOB边界的交点，即可得到a的取值范围． 【解答】解：（1）设MN所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵M（15，26），N（﹣12，﹣10）在直线MN上， ∴， 解得， ∴MN所在直线的解析式为． （2）淇淇的说法正确，理由如下： 动点P的坐标为P（a，a+2），即横坐标x＝a，纵坐标y＝a+2， 消去a得y＝x+2， ∴无论a怎样变化，点P都满足y＝x+2，即点P在直线y＝x+2上， ∴淇淇的说法正确． （3）①由（2）可知，点P恒在直线y＝x+2上， 如图， 联立， 解得， ∴两直线的交点为N（﹣12，﹣10）， ∵PM+PN≥MN， ∴当点P与点N重合时，此时PM+PN取得最小值， ∴此时a的值为﹣12． ②对于直线，令y＝0，得，即， 令x＝0，得y＝6，即B（0，6）， 原点O（0，0），点P恒在直线y＝x+2上， 令y＝0，得x＝﹣2，交点为（﹣2，0），在OA边上； 令x＝0，得y＝2，交点为（0，2），在OB边上； 若点P在△AOB的内部（不含边界）， 则a的取值范围是﹣2＜a＜0． 【变式1-2】（2026春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1；与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线l1和直线l2交于点，OA＝2OC． （1）如图1，请求出直线l2的解析式； （2）如图2，点P是线段AB上一点（不与A，B重合），点M，N是直线l2上两动点（点M在点N的上方），且 MN＝2，点Q是x轴上一动点，连接DP，PM，NQ．当四边形AODP的面积为时，求PM+MN+NQ的最小值； （3）如图3，点G为y轴负半轴上一点，且OG＝OC，点K为直线l1上一动点，连接CK．若∠ACK+∠OGA＝90°，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）先求出，，推导出，设直线l2解析式：y＝kx+b（k≠0），将，代入，求出，即可解答； （2）先求出D（0，1），连接OP，设，推导出，推导出△ABE是直角三角形，且∠AEC＝90°，作点P关于直线l2的对称点P1连接P1M，此时点P1在直线l1上，且点E为PP1的中点，求出，过点P1作P1P2W2交y轴于点P2求出直线P1P2的解析式为，推导出四边形P1P2NM为平行四边形，得到P2N+NQ取得最小值为P2Q，此时点P2、N、Q在同一直线上，且当P2Q⊥x轴，即点Q与点O重合时，PM+MN+NC取得最小值，y＝P2Q+MN＝P2O+MN＝4即可解答； （3）推导出，∠ACK＝∠OAG，分类讨论：①当点K在x轴的上方时，②当点K在x轴下方时，逐项分析求解即可． 【解答】解：（1）在中，当y＝0时，， 解得， ∴，即， 又∵OA＝2OC， ∴， ∴， 将点代入直线l1中， 可得， ∴， 设直线l2解析式：y＝kx+b（k≠0）， 将，E代入y＝kx+b（k≠0）中得：， ∴， ∴y； （2）在y中， 当x＝0时，y＝1， ∴D（0，1）， 连接OP，如图， 设， ∴S四边形AODP＝S△DOP+S△OAP ， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴△ACE是直角三角形，且∠AEC＝90°， 作点P关于直线l2的对称点P1，连接P1M，如图， 此时点P1在直线l1上，且点E为PP1的中点， ∴，即， 过点P1作P1P2∥l2交y轴于点P2，如图，设直线P1P2的解析式为， 将代入，得， 解得b1＝2， ∴直线P1P2的解析式为， 当x＝0时，y＝2， ∴P2（0，2）， ∴， ∴P1P2＝MN＝2， ∵P1P2＝MN＝2，P1P2∥MN， ∴四边形P1P2NM为平行四边形， ∴P2N＝P1M， ∴P2N＝P1M， ∴PM+NQ＝P2N+NQ≥P2Q， ∵PM+MN+NQ取得最小值， ∴P2N+NQ取得最小值为P2Q，此时点P2、N、Q在同一直线上，且当P2Q⊥x轴，即点Q与点O重合时，PM+MN+NQ取得最小值，y＝P2Q+MN＝P2O+MN＝4． （3）或，理由如下： OG＝OC， ∴G（0，）， ∵∠OGA+∠OAG＝90°，∠OGA+∠ACK＝90°， ∴∠ACK＝∠OAG； ①当点K在x轴的上方时，如图， ∵∠ACK＝∠OAG， ∴CK∥AG， 设直线CK的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线CK的解析式为， 令， 解得， ∴； ②当点K在x轴下方时，如图， 令CK交AG于点F，过点G作GH∥x轴，交CK于点H，过点F作FR⊥x轴于点R，交GH于点S， ∴∠AGH＝∠CAG，∠CHG＝∠ACF，FR⊥RH， ∵∠ACK＝∠CAG， ∴∠AGH＝∠CAG＝∠CHG＝∠ACF， ∴CF＝AF，GF＝HF， ∵FR⊥x，FR⊥RH， ∴CR＝AR，GS＝SH， ∴点F横坐标为， 即， ， 同理，可得直线CH的解析式为， 令， 解得， 综上所述，或． 【变式1-3】（2026春•芜湖校级期末）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A，B两点，与过点C（4，0）的直线l2交于点D，且AD＝AB． （1）求点D的坐标及直线l2的解析式； （2）若点P（t，y1）在线段BD上，点Q（t﹣1，y2）在直线l2上，求y1﹣y2的最小值； （3）在y轴上是否存在一点P，使|PC﹣PD|最大．若存在，请直接写出点P的坐标，并求出|PC﹣PD|的最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，首先求出OB＝3，OA＝1，证明△DAE≌△BAO（AAS），得到DE＝OB＝3，OE＝2，即可得到点D的坐标为（2，﹣3）；然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意表示出，然后结合0≤t≤2利用一次函数的性质求解； （3）连接PC，PD，由|PC﹣PD|≤CD得到当点P，C，D三点共线时，|PC﹣PD|取得最大值，即CD的长度，如图，将x＝0代入求出点P的坐标为（0，﹣6）；然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A，B两点，过点D作DE⊥x轴于点E， 当y＝0时，得：﹣3x+3＝0， 解得：x＝1； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（1，0），B（0，3）， ∴OA＝1，OB＝3， 在△DAE和△BAO中， ， ∴△DAE≌△BAO（AAS）， ∴AE＝OA＝1，DE＝OB＝3， ∴OE＝2， ∴点D的坐标为（2，﹣3）， 设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线l2的解析表达式为； （2）∵点P（t，y1）在线段BD上，点Q（t﹣1，y2）在直线l2上， ∴y1＝﹣3t+3，，0≤t≤2， ∴， ∵， ∴y1﹣y2随t的增大而减小， ∴当t取得最大值时，y1﹣y2取得最小值， ∴当t＝2时，y1﹣y2的最小值为； （3）在y轴上存在一点P，使|PC﹣PD|最大；点P的坐标为（0，﹣6），|PC﹣PD|的最大值为．理由如下： 如图2，连接PC，PD， ∵|PC﹣PD|≤CD， ∴当点P，C，D三点共线时，|PC﹣PD|取得最大值，即CD的长度，如图3， 将x＝0代入，得：y＝﹣6， ∴点P的坐标为（0，﹣6）； 将y＝0代入，得：， 解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∴CE＝4﹣2＝2， ∵DE⊥x轴， ∠CDE＝90°， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：． 综上所述，在y轴上存在一点P，使|PC﹣PD|最大；点P的坐标为（0，﹣6），|PC﹣PD|的最大值为． ▌题型06 面积存在性问题 一、知识点 1. 一次函数：，会求直线解析式、直线与坐标轴交点坐标。 2. 两点坐标求线段长度：水平线段长，竖直线段长。 3. 面积计算核心方法 - 基础：三角形面积×底×高 - 铅锤高水平宽：×铅锤高×水平宽 - 割补法：补成矩形减去周围直角三角形面积 4. 绝对值方程：面积是正数，坐标差要带绝对值，一般会得到两个解。 二、解题思路 1. 求定点：求出所有固定点坐标，画出草图； 2. 设动点：根据动点所在直线，设动点坐标； 3. 列面积表达式：优先铅锤高水平宽，面积等于给定数值； 4. 解方程：含绝对值，一般得到两组解； 5. 检验取舍： ①三点不能共线； ②动点是否在题目限定范围（线段/射线/直线），不符合舍去。 【典例1】（2026春•汝南县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△ABD沿AD对折，点B恰好落在x轴的正半轴上的点C处． （1）求点A和点B的坐标，及线段AB的长度； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△OCD，若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别令x＝0、y＝0求出点A和点B坐标，进而利用勾股定理求出AB的长； （2）由题易得AB＝AC＝5，即可得OC＝8，设设OD＝x，则CD＝DB＝x+4，在Rt△OCD中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出△PAB的面积，进而求出PB的长，据此求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝3，∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， 则AB5， （2）由A（3，0）得AO＝3， 又∵由题意得：AC＝AB＝5， ∴OC＝AO+AC＝3+5＝8， 故点C（8，0）， 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4， 在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2， ∴x2+82＝（x+4）2 解得x＝6， ∴点D的坐标为（0，﹣6）； （3）由（2）知OC＝8，OD＝6， ∴S△PABS△OCDOC•OD＝12， ∵S△PABPB＝12， ∴PB＝8， ∵B（0，4）， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【变式1-1】（2026春•泸州期末）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝3x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与直线l1平行，且经过点C（0，3）． （1）求点A、B的坐标及直线l2的解析式； （2）若点P是直线l2上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； （3）设点Q为直线l1上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使△ADQ的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先分别令x＝0和y＝0求出点B坐标为（0，﹣6），点A坐标为（2，0），然后根据直线l2与直线l1平行，设直线l2的表达式为y＝3x+b，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点P的纵坐标为9或﹣9，然后分别将（n，9）和（n，﹣9）代入y＝3x+3求解即可； （3）首先求出点Q的坐标为（3，3），然后根据题意得到，求出AD＝8，然后分两种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝3x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝3×0﹣6＝﹣6， ∴点B坐标为（0，﹣6）， 当y＝0时，0＝3x﹣6， ∴x＝2， ∴点A坐标为（2，0）， ∵直线l2与直线l1平行， ∴设直线l2的表达式为y＝3x+b， 将C（0，3）代入得，b＝3， ∴设直线l2的表达式为y＝3x+3； （2）∵点P到x轴的距离为9， ∴点P的纵坐标为9或﹣9， ∴当y＝9时，9＝3n+3， 解得n＝2； 当y＝﹣9时，﹣9＝3n+3， 解得n＝﹣4； 综上所述，n＝2或n＝﹣4； （3）∵点Q为直线l1上的动点，且点Q的纵坐标为3， ∴3＝3x﹣6， 解得x＝3， ∴点Q的坐标为（3，3）， ∵点D在x轴上，△ADQ的面积为12， ∴， ∴AD＝8， ∴点D的横坐标为2+8＝10或2﹣8＝﹣6， ∴点D的坐标为（10，0）或（﹣6，0）． 【变式1-2】（2026春•牧野区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线AB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图1，点M是直线AB上的动点，是否存在点M，使得S△ACM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QD，请直接写出当BQ+QD最小时Q点坐标． 【分析】（1）设直线AB的解析式为 y＝kx+b，解方程组即可得到结论； （2）解方程得到C（﹣2，0），由B（0，6），C（﹣2，0），得到OB＝6，OC＝2，求得OA＝6，得到AC＝OA+OC＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）如图2，设P（a，0），连接BD，当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小，过Q作QH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH＝OB＝6，QH＝OP＝a，求得Q（6+a，a），得到直线BD的解析式为yx+6，把Q（6+a，a）代入yx+6得，即可得到结论． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝6， ∴B（0，6）， 设直线AB的解析式为 y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6； （2）当y＝0时，3x+6＝0， 解得x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∵B（0，6），C（﹣2，0）， ∴OB＝6，OC＝2， ∵A（6，0）， ∴OA＝6， ∴AC＝OA+OC＝8， ∴， ∴S△ACMS△ABC， ∴AC•|yM|＝12， ∴|yM|＝3， ∴当yM＝3时，﹣x+6＝3， 解得x＝3， 即点M的坐标为（3，3）； 当yM＝﹣3时，﹣x+6＝﹣3， 解得x＝9， 即点M的坐标为（9，﹣3）； 综上所述，存在点M的坐标为（3，3）或（9，﹣3）使得S△ACMS△ABC； （3）如图2，设P（a，0）， 连接BD， ∵BQ+DQ≥BD， ∴当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小， 过Q作QH⊥x轴于H， ∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PHQ＝90°， ∴∠OBP+∠BPO＝∠BPO+∠QPH＝90°， ∴∠OBP＝∠QPH， ∵PB＝PQ， ∴△OBP≌△HPQ（AAS）， ∴PH＝OB＝6，QH＝OP＝a， ∴Q（6+a，a）， ∵B（0，6），D（10，0）， ∴直线BD的解析式为yx+6， 把Q（6+a，a）代入yx+6得，（6+a）+6＝a， 解得a， ∴Q（，）． 【变式1-3】（2026春•巴南区期末）如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点Q是直线AB上一点，且∠BDQ＝45°，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）将C（﹣8，m）代入y＝2x+8，得出C（﹣8，﹣8），再代入y＝kx﹣4，即可求解； （2）由（1）可得l1的解析式为，进而求得A（8，0），设l1交y轴于点M，得出M（0，﹣4），进而求得△ABC面积为96，根据得出BP＝12，即可求解； （3）当点Q在点B下方时，将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E，则△DBG是等腰直角三角形，则Q直线为AB，DG的交点，证明△BDF≌△GBE（AAS），求出G（8，4），求出直线DG与直线AB的交点坐标即可；当点Q在点B上方时，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BG，连接DG，同理求出点G的坐标，再求出直线DG与直线AB的交点坐标即可． 【解答】解：（1）将C（﹣8，m）代入y＝2x+8，得m＝2×（﹣8）+8＝﹣8， ∴C（﹣8，﹣8）， 将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4得，﹣8＝﹣8k﹣4， 解得； （2）由（1）可得直线l1的解析式为， 在中，当y＝0时，， 解得x＝8， ∴A（8，0）； 如图，设直线l1交y轴于点M， y＝2x+8中，当x＝0时，y＝8，则B（0，8）， ∴OB＝8， 在中，当x＝0时，y＝﹣4， ∴M（0，﹣4）， ∴OM＝4； ∴BM＝OB+OM＝8+4＝12， ∵A（8，0），C（﹣8，﹣8）， ∴S△ABC＝S△ABM+S△BCM ＝96， ∵， ∴ 解得BP＝12， ∴点P的纵坐标为8+12＝20，点P的纵坐标为8﹣12＝﹣4， ∴点P的坐标为（0，﹣4）或（0，20）； （3）如图所示，当点Q在点B下方时，将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG交AB于点Q，过点B作EF∥x轴，过点G作GE⊥EF交于E，过点D作DF⊥EF交于F点，则△DBG是等腰直角三角形， ∴∠DBG＝90°，∠BDG＝45°＝∠BDQ，BD＝BG， ∴Q为直线AB，DG的交点， 在y＝2x+8中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴D（﹣4，0）， ∴BF＝OD＝4， ∵B（0，8）， ∴DF＝OB＝8， ∵∠FBD+∠EBG＝90°，∠FBD+∠FDB＝90°， ∴∠EBG＝∠FDB， ∵BD＝BG，∠F＝∠E＝90°， ∴△BDF≌△GBE（AAS）， ∴DF＝BE＝8，BF＝EG＝4， ∴G（8，4）； 设直线DG的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 则， 解得， ∴直线DG的解析式为， 同理可得直线AB的解析式为y＝﹣x+8， 联立， 解得； ∴Q（5，3）； 如图所示，当点Q在点B上方时，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BG，连接DG， 同理可得G（﹣8，12），且Q为直线AB，DG的交点， 同理可得直线DG的解析式为y＝﹣3x﹣12， 联立， 解得， ∴Q（﹣10，18）； 综上所述，点Q的坐标为（5，3）或（﹣10，18）． ▌题型07 含有绝对值的函数 1. 化简解析式，分段写函数 （1）令绝对值内代数式等于0，求出零点； （2）根据零点划分的取值范围； （3）在每一段内去掉绝对值符号，写出对应一次函数。 2. 画含绝对值函数的图像 （1）求零点； （2）分两段写出直线解析式； （3）分别画出两条射线； （4）标出型顶点。 3. 已知函数值，求自变量（解方程 ） （1）若：方程无解； （2）若：仅有1个解； （3）若：得到两个解。 【典例1】（2026春•遂平县期末）综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象． 【探究】 （1）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 m ﹣1 ﹣3 ﹣1 n 3 … 表格中m＝　1　 ，n＝　1　 ； （2）在右边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象．请写出当x为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式2|x+1|﹣3≤1的解集是　﹣3≤x≤1　 ； ②方程2|x+1|﹣3＝x+1的解是x1＝﹣2，x2＝2　 ． 【分析】（1）依据题意，将x＝﹣3和x＝1分别代入解析式计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）中表格数据可以作图得解； （3）依据题意，由（2）图象即可判断得解； （4）①依据题意得，不等式2|x+1|﹣3≤1的解集可以看作是y＝2|x+1|﹣3的函数值小于等于1的自变量的范围，从而即可判断得解； ②依据题意得，方程2|x+1|﹣3＝x+1的解可以看作是y＝2|x+1|﹣3与y＝x+1的两图象的交点的横坐标，又在同一坐标系中画出y＝2|x+1|﹣3与y＝x+1的图象如下，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵y＝2|x+1|﹣3， ∴当x＝﹣3时，y＝m＝2×2﹣3＝1；当x＝1时，y＝n＝4﹣3＝1． 故答案为：1，1； （2）由题意，结合（1）中表格数据可以作图如下： ； （3）由（2）可得，当x＝﹣1时，y取最小值，最小值为﹣3； （4）①由题意结合函数的图象可得，不等式2|x+1|﹣3≤1的解集是﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1； ②由题意得，方程2|x+1|﹣3＝x+1的解可以看作是y＝2|x+1|﹣3与y＝x+1的两图象的交点的横坐标， 在同一坐标系中画出y＝2|x+1|﹣3与y＝x+1的图象如下， ∴两图象的交点为（﹣2，﹣1），（2，3）， ∴方程2|x+1|﹣3＝x+1的解为x1＝﹣2，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 【变式1-1】（2026春•金凤区校级期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数y＝2|x﹣2|﹣4的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 ﹣2 b ﹣2 0 … 根据表格中的信息可得b＝ 　﹣4　 ． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数y＝2|x﹣2|﹣4的一条性质 　当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大　 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为 　0＜x＜3　 ． （5）若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）根据（4）所画函数图象即可得到答案． 【解答】解：（1）把x＝2代入y＝2|x﹣2|﹣4得，y＝﹣4， ∴b＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）如图所示即为所求； （3）由函数图象可得，当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大； （4）在y＝2|x﹣2|﹣4中，当x≥2时，y＝2x﹣8，当x＜2时，y＝﹣2x， 联立方程组， ∴； 联立方程组， ∴； ∴结合函数图象可得，的解集为：0＜x＜3； （5）由函数图象可知，当m＞0时，y＝2|x﹣2|﹣4与有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， ∴有且只有一个正数解和一个负数解， ∴m＞0． 【变式1-2】（2026春•龙华区同步）探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数y＝a|x﹣1|+b（a，b为常数，且a≠0）的性质，探究过程如下，请解决下列问题： （1）绘制函数图象： ①列表：a＝ 　2　 ，b＝ 　1　 ，m＝ 　7　 ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 m … ②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点（x，y），现已描出部分点，请补充表中未描出的各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． （2）探索函数性质： 当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而 　增大　 ； （3）运用函数性质： ①不等式a|x﹣1|+b≥5的解集是 x≤﹣1或x≥3　 ； ②当x＞4时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝a|x﹣1|+b的值且小于7，则t的取值范围是 t＜10　 ． 【分析】（1）将x＝0时，y＝3；x＝1，y＝1分别代入y＝a|x﹣1|+b即可求a与b的值，然后把x＝4代入y＝2|x﹣1|+1即可求得m的值；然后描点，连线画出函数图象即可； （2）根据图象得出函数的性质即可； （3）①根据图象即可求解即可； ②先求出当x＝4，y＝7时，t的值，然后根据函数图象，得出答案即可． 【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1， ∴ 解得， ∵函数的解析式为y＝2|x﹣1|+1， 把x＝4代入得y＝2×3+1＝7， ∴m＝7； 故答案为：2，1，7； ②描点； ③画出函数图象，如图所示： （2）根函数图象可知：当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； （3）①根据函数图象可知，当x≤﹣1或x≥3时，y＝a|x﹣1|+b的函数值大于等于5， ∴不等式a|x﹣1|+b≥5的解集为：x≤﹣1或x≥3； 故答案为：x≤﹣1或x≥3； ②把x＝4代入y＝2|x﹣1|+1得：y＝7， 把（4，7）代入yx+t得：74+t， 解得：t＝10， 如图，当x＞4时，对于x的每一个值，函数yx+t的值小于函数y＝a|x﹣1|+b的值且小于7，t的值应该满足t＜10． 故答案为：t＜10． 【变式1-3】（2026春•垦利区期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ 　3　 ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象，观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是 　（2，0）　 ，当x＜2时，y随x的增大而 　减小　 ； （3）进一步探究：不等式|x﹣2|≥2的解集是 x≤0或x≥4　 ； （4）拓展延伸：①请在平面直角坐标系内画出函数y＝|x﹣2|﹣2的图象． ②不等式|x﹣2|﹣2≤0的解集是 　0≤x≤4　 ． 【分析】（1）将点（﹣1，m）代入函数解析式求解即可； （2）观察函数图象即可得； （3）结合函数图象即可得； （4）①将函数y＝|x﹣2|的图象向下平移2个单位长度可得函数y＝|x﹣2|﹣2的图象； ②结合函数图象即可得． 【解答】解：（1）将（﹣1，m）代入函数y＝|x﹣2|得：m＝|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3． 故答案为：3； （2）观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是（2，0）， 当x＜2时，y随x的增大而减小． 故答案为：（2，0），减小； （3）令|x﹣2|＝2，解得x＝0或x＝4， 画出图形如下： 结合函数图象可知，不等式|x﹣2|≥2的解集是x≤0或x≥4． 故答案为：x≤0或x≥4； （4）①将函数y＝|x﹣2|的图象向下平移2个单位长度可得函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，作图略； ②令|x﹣2|﹣2＝0，解得x＝0或x＝4， 结合函数图象可知，不等式|x﹣2|﹣2≤0的解集是0≤x≤4． 故答案为：0≤x≤4． ▌题型08 新定义 1. 精读题干：圈出新定义的文字、公式、限制条件； 2. 翻译转化：把文字描述，写成代数式、等式或不等式； 3. 设元列式：动点设坐标，结合一次函数解析式代入； 4. 计算求解：解方程/不等式，分类讨论； 5. 回代检验：结果必须完全符合新定义全部条件，不符合直接舍去。 【典例1】（2026春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），点Q（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的值较大的为点P，Q的“未来距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“未来距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3． （1）已知点A（﹣2，0），点B为y轴上的一个动点． ①若d（A，B）＝5，则点B的坐标为 　（0，﹣5）或（0，5）　 ； ②d（A，B）的最小值为 　2　 ； ③若动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为100，求r的值． （2）对于点A（﹣2，0），点E（1，1），若有动点M（m，n）使得|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3． 请在图1平面直角坐标系中用阴影表示出符合条件的所有点M（m，n）覆盖的区域． ⊈ 【分析】（1）①设B（0，b），根据d（A，B）＝5可得|b﹣0|＝5，求出b即可得到点B的坐标；②根据点A、B的横坐标之差的绝对值是2可得d（A，B）的最小值为2；③判断出点C在以A（﹣2，0）为中心，以2r为边长的正方形上，然后根据点C组成的图形面积为100计算即可； （2）根据A（﹣2，0），点E（1，1），M（m，n），有动点M（m，n），使得|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3，得出|m+2|﹣|m﹣1|＝3或|m+2|﹣|m﹣1|＝﹣3，然后分情况进行讨论，得出答案即可． 【解答】解：（1）①设B（0，b）， ∵A（﹣2，0），d（A，B）＝5， ∴|b﹣0|＝5， ∴b＝±5， ∴点B的坐标为（0，﹣5）或（0，5）， 故答案为：（0，﹣5）或（0，5）； ②∵A（﹣2，0），设B（0，b）， ∴|﹣2﹣0|＝2， ∴d（A，B）的最小值为2， 故答案为：2； ③∵A（﹣2，0），点C（x，y）满足d（A，C）＝r， ∴点C在以A（﹣2，0）为中心，以2r为边长的正方形上，如图所示： ∴（2r）2＝100， ∴r＝5； （2）解：∵A（﹣2，0），点E（1，1），M（m，n）， ∴1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1， ∴点A、E的横坐标之差的绝对值为3， ∵有动点M（m，n），使得|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3， ∴|m+2|﹣|m﹣1|＝3或|m+2|﹣|m﹣1|＝﹣3， 当﹣2＜m＜1时，|m+2|﹣|m﹣1|＝m+2﹣1+m＝2m+1， 当2m+1＝±3时，m＝1或m＝﹣2，不符合题意， 当m≤﹣2时，|m+2|﹣|m﹣1|＝﹣2﹣m﹣1+m＝﹣3， 当m≥1时，|m+2|﹣|m﹣1|＝2+m+1﹣m＝3， ∴当m≤﹣2或m≥1时，|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3， ①当m≤﹣2时，|n﹣0|≤|m+2|，|n﹣1|≤|1﹣m| 0≤n≤1时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≤﹣m﹣2，|n﹣1|≤|1﹣m|一定成立， n＞1时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≤﹣m﹣2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≤﹣m+2， n＜0时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≥m+2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≥m， ∵n≥m+2时，n≥m一定成立， ∴n＜0时，n≥m+2， ∴当m≤﹣2时，点M在直线n＝﹣m﹣2的下方，在直线n＝m+2的上方； ②当m≥1时，|n﹣0|≤|m+2|，|n﹣1|≤|1﹣m|， 0≤n≤1时，|n﹣0|≤|m+2|一定成立，|n﹣1|≤|1﹣m|可化为n≥﹣m+2， n＞1时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≤m+2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≤m， ∵n≤m时，n≤m+2一定成立， ∴n＞1时，n≤m， n＜0时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≥﹣m﹣2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≥﹣m+2， ∵n≥﹣m+2时，n≥﹣m﹣2一定成立， ∴n＜0时，n≥﹣m+2， ∴当m≥1时，点M在直线n＝m的下方，在直线n＝﹣m+2的上方； ∴符合条件的所有点M（m，n）覆盖的区域，如图所示： 【变式1-1】（2026春•福建校级期末）在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点A（3，0），B（0，2），C（2，4）　不是　 3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　（3，7）或（﹣3，﹣1）　 ； （2）如图2，A（6，0），B在y轴上，C在一次函数y＝3x﹣6上，若一次函数y＝3x﹣6上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”C的坐标； （3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个10的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝8，OP＝6，连接MP，设EM＝a，则△EPM的面积S关于a的表达式为　　 ． 【分析】（1）①根据“等垂点”的定义，进行判断即可； ②分两种情况：C点在B点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当n＞0时，当n≤0时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求△EPO的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【解答】解：（1）①∵点A（3，0），B（0，2），C（2，4）， ∴，，， ∴AB2+BC2≠AC2，AB≠BC， 则C（2，4）不是3的“等垂点”， 故答案为：不是； ②当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E，如图1， ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， ∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠ABO＝90°， ∴∠BCE＝∠ABO， ∵AB＝BC， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴BE＝OA＝4，CE＝BO＝3， ∴CF＝OE＝OB+BE＝3+4＝7， ∴C（3，7）； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作CF⊥BF于点F，CH⊥y轴于点H，过点A作AE⊥BF于点E，如图2， ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， 同理得：△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF＝OA＝4，BF＝AE＝BO＝3， ∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝3， ∴OH＝BH﹣OB＝4﹣3＝1， ∴C（﹣3，﹣1）， 综上所述，点C的坐标为（3，7）或（﹣3，﹣1）， 故答案为：（3，7）或（﹣3，﹣1）； （2）设A（6，0），B（0，n）， 当n＞0时，如图3，过C作CE⊥y轴于点E， ∵CE⊥y轴， ∴∠CEB＝∠AOB＝90°， ∵∠CBA＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABO＝∠BAO， ∵AB＝BC， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵A（6，0），B（0，n）， ∴CE＝OB＝n，BE＝AO＝6， 即C（n，n+6）， ∵点C在y＝3x﹣6上， ∴n+6＝3n﹣6， 解得n＝6， ∴C（6，12）． 当n≤0时，如图4， ∵y＝3x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），记为点C， 此时∠AOC＝90°＝∠ABC，AB＝BC＝6， ∴C（0，﹣6）满足题意． 综上所述，6的“等垂点”C的坐标为（6，12）或（0，﹣6）； （3）∵直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个10的“等垂点”，如图4， 过C作CT⊥y轴于T，设C（x，y），B（0，n），而A（10，0）， 同理可得：△ABO≌△BCT（AAS）， ∴BO＝CT，OA＝BT， ∴x＝n，y﹣n＝10， ∴y﹣x＝10，即y＝x+10， ∴C在直线y＝x+10上， ∴E（﹣10，0），F（0，10）， ∴， 如图5，过点P分别作PQ⊥x轴于点Q，PH⊥y轴于点H，PN⊥EF交EF于点N， ∵EP＝8，OP＝6，OE＝10， ∴EP2+OP2＝OE2， ∴△EPO为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2026春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）给出如下定义：若点Q（x，y）在直线y＝x+a﹣b上，称点Q是点P的“和谐点”．已知，点P（4，0）． （1）在Q1（﹣3，1），Q2（﹣2，2），Q3（1，4）中，点P的“和谐点”有Q1，Q2 ； （2）点A在直线y＝2x+3上，若点P的“和谐点”也是点A的“和谐点”，求点A的坐标； （3）已知点B（b，0）和线段MN，点C在以（b﹣1，1），（b﹣1，﹣1），（b+1，﹣1），（b+1，1）为顶点的四边形上，且﹣5≤b≤﹣3，若线段MN上总存在线段PC上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段MN的最小值． 【分析】（1）根据“和谐点”的定义判断即可； （2）设点A的坐标为（a，2a+3），则点A的“和谐点”在直线y＝x﹣a﹣3上．设点P（4，0）的一个“和谐点”为（m，n），根据“和谐点”的定义得到n＝m+4，根据点P的“和谐点”也是点A的“和谐点”得到点（m，n）在直线y＝x﹣a﹣3上，从而可求出a的值，即可解答； （3）点P的“和谐点”在直线y＝x+4上，通过分析得到点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣1之间的区域，因此线段MN的最小值为直线y＝x﹣7和直线y＝x+4的距离，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵点P（4，0）， ∴a＝4，b＝0， 即点P的“和谐点”在直线y＝x+4上， 当x＝﹣3时，y＝﹣3+4＝1， ∴点Q1（﹣3，1）在直线y＝x+4上， ∴点Q1（﹣3，1）是点P的“和谐点”； 当x＝﹣2时，y＝﹣2+4＝2， ∴点Q2（﹣2，2）在直线y＝x+4上， ∴Q2（﹣2，2）是点P的“和谐点”； 当x＝1时，y＝1+4＝5， ∴点Q3（1，4）不在直线y＝x+4上， ∴Q3（1，4）不是点P的“和谐点”； 综上所述，点P的“和谐点”有Q1，Q2； 故答案为：Q1，Q2； （2）∵A在直线y＝2x+3上， ∴设点A的坐标为（a，2a+3）， ∴点A的“和谐点”在直线y＝x+a﹣（2a+3）＝x﹣a﹣3上． 设点P（4，0）的一个“和谐点”为（m，n），则点（m，n）在直线y＝x+4上， ∴n＝m+4， ∴m﹣n＝﹣4点P的“和谐点”也是点A的“和谐点”， ∴点（m，n）在直线y＝x﹣a﹣3上， ∴n＝m﹣a﹣3， ∴a＝m﹣n﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7， ∴点A的坐标为（﹣7，﹣11）． （3）∵点P（4，0）， ∴点P的“和谐点”在直线y＝x+4上． ∵﹣5≤b≤﹣3， ∴﹣6≤b﹣1≤﹣4，﹣4≤b+1≤﹣2， 设以（b﹣1，1），（b﹣1，﹣1），（b+1，﹣1），（b+1，1）为顶点的四边形为四边形EFGH． ①当点C在边EF上时，设点C（c，1），其中b﹣1≤c≤b+1，即﹣6≤c≤﹣2， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+c﹣1上，即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣3之间的区域． ②当点C在边FG上时，设点C（b+1，d），其中﹣1≤d≤1， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+b+1﹣d上， ∵﹣4≤b+1≤﹣2，﹣1≤d≤1， ∴﹣5≤b+1﹣d≤﹣1； 即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣5和直线y＝x﹣1之间的区域． ③当点C在边HG上时，设点C（c，﹣1），其中b﹣1≤c≤b+1，即﹣6≤c≤﹣2， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+C+1上， ∵﹣6≤c≤﹣2， ∴﹣5≤c+1≤﹣1， 即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣5和直线y＝x﹣1之间的区域． ④当点C在边EH上时，设点C（b﹣1，d'），其中﹣1≤d'≤1， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+b﹣1﹣d'上， ∵﹣6≤b﹣1≤﹣4，﹣1≤d'≤1， ∴﹣7≤b﹣1﹣d'≤﹣3， 即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣3之间的区域． 综上所述，点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣1之间的区域． ∵线段MN上总存在线段PC上任意一个点的“和谐点”， ∴线段MN的最小值为直线y＝x﹣7和直线y＝x+4的距离． 如图，设直线y＝x+4交x轴于点J，交y轴于点l． 令y＝0，则x+4＝0，解得x＝﹣4， 令x＝0，则y＝4， ∴I（0，4），J（﹣4，0）， ∴IO＝JO＝4， ∴△IOJ是等腰直角三角形， ∴∠IJO＝45°， 设直线y＝x﹣7与x轴的交点为Q， 令y＝0，则x﹣7＝0，解得x＝7， ∴Q（7，0）， ∴JQ＝7﹣（﹣4）＝11， 过点Q作QK垂直于直线y＝x+4，垂足为点K，则∠JKQ＝90°， ∴∠KQJ＝90°﹣∠KJQ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠KQJ＝∠KJQ， ∴KQ＝KJ， ∴KQ2+KJ2＝JQ2＝112， ∴， ∴直线y＝x﹣7和直线y＝x+4的距离为，即线段MN的最小值为． 【变式1-3】（2026春•娄底期末）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“亮点”．例如求y＝﹣2x﹣1的“亮点”，联立方程：，解得，则y＝﹣2x﹣1的“亮点”为（﹣1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为　　 ． （2）一次函数y＝px+q的“亮点”为（2，q﹣3），求p，q的值． （3）若直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx+3上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）联立一次函数解析式y＝3x﹣2与正比例函数y＝﹣x，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为（2，q﹣3），代入y＝﹣x求得q，进而代入y＝px+q求得p即可； （3）根据题意可得k＝﹣1，进而设P（x，0），根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为一次函数解析式y＝3x﹣2与正比例函数y＝﹣x的交点， 即， 解得， ∴一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为； 故答案为：； （2）根据定义可得，点（2，q﹣3）在y＝﹣x上， ∴q﹣3＝﹣2， 解得q＝1， 点（2，q﹣3）又在y＝px+q上， ∴q﹣3＝2p+q， 又∵q＝1， ∴1﹣3＝2p+1， 解得， ∴． （3）由题意可得： ∴直线y＝kx+3与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， 设P（x，0）， ∵， ， ∴， ∴， 即x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， ∴满足条件的点P的坐标为：P（5，0）或（1，0）． ▌题型09 一次函数中的翻折与旋转 1. 知识点 （1）一次函数：求解析式、求交点、几何含义； （2）翻折（轴对称）性质： - 对应点连线被对称轴垂直平分； - 对应线段相等，对应角相等； （3）旋转性质： - 旋转前后图形全等，对应线段相等、夹角等于旋转角； - 坐标系旋转90°优先用型一线三垂直模型； （4）两点距离公式、中点坐标公式； （5） 90°旋转坐标规律、勾股定理。 2. 解题步骤 （1）找关键点：标记变换前的定点坐标； （2）明确变换：分清是翻折还是旋转，顺时针/逆时针，旋转角度； （3）求变换后的对应点坐标（翻折用中点+垂直；90°旋转优先型全等）； （4）利用变换后的点，求新直线解析式； （5）联立方程，求交点； （6）数形结合，计算面积或者判断存在性，检验取舍。 【典例1】（2026春•建华区期末）已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，4），点D为射线CO上的一个动点，将△AOD沿AD翻折，得到△AED． （1）如图1，若点D为OC的中点，延长DE交BC于点F，猜想EF与BF的关系为EF＝BF ；证明你的猜想，进而求出直线DF的解析式； （2）如图2，在（1）的条件下，连BE并延长交OC于点H，BH的长为　　 ； （3）如图3，若点M为BC边上一点，且∠BAM＝30°，点N为AE的中点，连MN． ①MN的取值范围是　　 ； ②当MN取最大值时，点D的坐标为　　 ． 【分析】（1）连接AF，证明Rt△AEF≌Rt△ABF，即可证明EF＝BF；求出AB＝BC＝OC＝OA＝4，得到，则DE＝OD＝2，D（0，2）；设BF＝EF＝t，则CF＝4﹣t，DF＝DE+EF＝2+t，由勾股定理得22+（4﹣t）2＝（2+t）2，解方程求出；利用待定系数法可得直线DF的解析式为； （2）设，根据DE＝2，D（0，2）可得方程，解方程求出点E的坐标，进而求出直线BE的解析式，再求出点H的坐标即可得到答案； （3）①求出AM的长，由折叠的性质可得AE＝OA＝4，则，根据AM﹣AN≤MN≤AM+AN可得答案； ②当M、A、N三点共线，且点A在MN上时，MN有最大值，可求出∠ODA＝30°，则AD＝2OA＝8，进而求出，则． 【解答】解：（1）EF＝BF，直线DF的解析式为，证明如下： 如图所示，连接AF， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝AB＝OC，∠AOD＝∠ABF＝∠OCB＝90°； 由折叠的性质可得AE＝OA，∠AED＝∠AOD＝90°，OD＝DE； ∴AE＝AB，∠AEF＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠AEF＝∠ABF， 又∵AF＝AF， ∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL）， ∴EF＝BF； ∵B（4，4）， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝4， ∵点D为OC的中点， ∴， ∴DE＝OD＝2，D（0，2）； 设BF＝EF＝t，则CF＝4﹣t， ∴DF＝DE+EF＝2+t， 在Rt△CDF中，由勾股定理得CD2+CF2＝DF2， ∴22+（4﹣t）2＝（2+t）2， 解得， ∴， ∴； 设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， ∴， ∴直线DF的解析式为， 故答案为：EF＝BF； （2）设， 由（1）得DE＝2，D（0，2）， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设直线BE的解析式为y＝k′x+b′（k′≠0）， ∴， ∴， ∴直线BE的解析式为； 在中，当x＝0时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）①∵四边形OABC是正方形， ∴∠B＝90°， ∵∠BAM＝30°， ∴AM＝2BM， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得AE＝OA＝4， ∵点N为AE的中点， ∴， ∵AM﹣AN≤MN≤AM+AN， ∴， 故答案为：； ②由（3）①得当M、A、N三点共线，且点A在MN上时，MN有最大值， 由正方形的性质可得∠OAB＝90°， ∴∠OAM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠OAE＝180°﹣60°＝120°， 由折叠的性质可得， ∴∠ODA＝30°， ∴AD＝2OA＝8， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（2026春•奉节县期末）如图，一次函数y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，将线段OB以点O为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点C处，且点C的坐标为（﹣4，3）． （1）求直线BC的表达式； （2）点M是线段AB上一点，过原点O的直线OM将四边形ABCO的面积分为1：2的两部分，请求出点M的坐标； （3）点D是直线AB上第二象限内一点，在△BCD中有一个内角是45°，请直接写出点D的坐标． 【分析】（1）由y＝﹣x+5求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求解； （2）先求得四边形ABCO的面积，设M点坐标为（n，5﹣n），分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）令，解得x＝﹣10，设直线BC交x轴于点H，则H（﹣10，0），在△BCD中有一个内角是45°，这个角不可能是∠DBC，分两种情况画出图形，若∠DCB＝45°，过点H作RH⊥BC交DC延长线于点R，过点H作y轴的平行线NM，交过点R与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，求出点R的坐标为（﹣7，﹣6），直线CR的表达式为y＝3x+15，即可得点D的坐标为；若∠CDB＝45°，延长DC交x轴于K，由∠DAK＝45°，知D′K∥y轴，可得D′（﹣4，9）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点， ∴点A、B的坐标分别为（5，0）、（0，5）， 设BC的表达式为y＝kx+b， 把B（0，5），C（﹣4，3）代入得：， 解得， ∴直线BC的表达式为； （2）∵点A、B的坐标分别为（5，0）、（0，5）， ∴OA＝OB＝5， ∵C点坐标为（﹣4，3）， ∴四边形ABCO的面积， ∵直线OM将四边形ABCO的面积分为1：2的两部分， 设M点坐标为（n，5﹣n）， ∴或， 即或， 解得n＝﹣1（不合题意，舍去），n＝2； ∴M点坐标为（2，3）； （3）令，解得x＝﹣10， ∴设直线BC交x轴于点H，则H（﹣10，0）， 在△BCD中有一个内角是45°，这个角不可能是∠DBC． ①当∠DCB＝45°，过点H作RH⊥BC交DC延长线于点R，过点H作y轴的平行线NM，交过点R与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，如图①， ∵∠HCR＝∠DCB＝45°， ∴△CHR为等腰直角三角形，即∠CHR＝90°，CH＝HR， ∵∠RHM+∠CHN＝90°，∠CHN+∠HCN＝90°， ∴∠RHM＝∠HCN．， ∵∠HMR＝∠CNH＝90°， ∴△HMR≌△CNH（AAS）， ∴HM＝CN＝﹣4+10＝6，MR＝NH＝3， ∴点R的坐标为（﹣7，﹣6）， 由点C（﹣4，3）、R（﹣7，﹣6）得直线CR的表达式为y＝3x+15， 解，得， ∴点D的坐标为； 若∠CDB＝45°，延长DC交x轴于K，如图②： 由点A（5，0）、B（0，5）可知OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠DAK＝45°， ∵∠CDB＝45°， ∴∠DKA＝90°， ∴D′K∥y轴， 在y＝﹣x+5中，令x＝﹣4得y＝9， ∴D（﹣4，9）； 综上，点D的坐标为或（﹣4，9）． 【变式1-2】（2025秋•海州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． （1）求线段AC的长； （2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（s）． ①当△BPO的面积为6时，请求出t的值； ②在线段BC上取一点D，当△BPD为等腰直角三角形时，请求出t的值． （3）将一次函数先沿着射线BA方向平移，再绕点（1，1）顺时针旋转90°，经过变换后的函数图象是否经过点（2，1），请说明理由． 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，将B点的代入yx+b中，确定函数的解析式，求出C点坐标，即可求AC的长； （2）①根据点的运动情况可知P（﹣6+t，0），则△BPO的面积3|﹣t+6|＝6，解得t＝2或t＝10； ②分5种情况讨论：设D（m，m+3），当∠DBP＝90°时；当∠BPD＝90°时，P点在y轴左侧；当∠BPD＝90°时，P点在y轴右侧；当∠PBD＝90°时，P点在y轴左侧；当∠PBD＝90°时，P点在y轴右侧；分别利用三角形全等求t的值即可； （3）先求出平移之后的直线解析式，再任取两点，求出绕点（1，1）旋转之后的坐标，进而可求解析式，即可得解． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）， 将B点代入yx+b， ∴b＝3， ∴yx+3， 当y＝0时，x＝﹣6， ∴C（﹣6，0）， ∴AC＝9； （2）①∵动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动， ∴P（﹣6+t，0）， ∴△BPO的面积OP×OB3|﹣t+6|＝6， 解得t＝2或t＝10； ②设D（m，m+3）， 当∠DBP＝90°时，过点B作EF⊥y轴，过点P作PF⊥EF交于F点，过点D作DE⊥EF交于E点， ∵∠DBP＝90°， ∴∠EBD+∠FBP＝90°， ∵∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠FBP＝∠EDB， ∵BD＝BP， ∴△BED≌△PFB（AAS）， ∴DE＝BD，BF＝PF＝3， ∴m＝﹣3， 此时m+3， ∴D（﹣3，）， ∴DE＝BF， ∴﹣6+t， 解得t； 当∠BPD＝90°时，P点在y轴左侧，过D点作DE⊥x轴交于E， 同理△DEP≌△POB（AAS）， ∴EP＝OB＝3，OP＝DE＝6﹣t， ∴D（﹣9+t，6﹣t）， ∴6﹣t（﹣9+t）+3， 解得t＝5； 当∠BPD＝90°时，P点在y轴右侧，过点D作DE⊥x轴交于E， 同理△BOP≌△PED（AAS）， ∴OP＝DE＝﹣6+t，BO＝PE＝3， ∴D（﹣3+t，﹣6+t）， ∴﹣6+t（﹣3+t）+3， 解得t＝15； 当∠PBD＝90°时，P点在y轴左侧，过点D作EF⊥x轴交于E，过点B作BF⊥EF交于F， 同理△BDF≌△DPE（AAS）， ∴BF＝ED，DF＝EP， ∴m+3＝﹣m， 解得m＝﹣2， ∴D（﹣2，2）， ∴DF＝EP＝1， ∴OP＝1， ∴6﹣t＝1， 解得t＝5； 当∠PBD＝90°时，P点在y轴右侧，过点D作EF⊥y轴交于F，过点P作PE⊥EF交于E， 同理△BDF≌△DPE（AAS）， ∴DF＝EP，BF＝ED， ∴mm+3， 解得m＝6， ∴m＝﹣6+t， 解得t＝15； 此时点D不在线段BC上，不符合题意； 综上所述：t的值为或5； （3）经过变换后的函数图象经过点（2，1）． 理由：由题可知OA＝OB＝3， ∴∠OBA＝45°， 则射线BA方向平移，即分别向下平移1个单位，向右平移1个单位， ∴平移之后的直线解析式为y（x﹣1）+3﹣1x， 如图，记平移后的解析式与y轴交于点M，与x轴交于点N， 对于直线MN：yx，分别令x＝0，y＝0， 可得M（0，），N（﹣3，0）， 记点M、N绕点（1，1）顺时针旋转后的点为M'、N'， 由第二问等腰直角三角形构造全等思路可得M'（，2），N'（0.5）， 则直线M'N'的解析式为y＝﹣2x+5， ∴y直线BC平移、旋转后的直线解析式为y＝﹣2x+5， 当x＝2时，y＝1， ∴点（2，1）在该直线上， 故经过变换后的函数图象经过点（2，1）． 【变式1-3】（2026春•衡阳期中）给出如下定义：在平面内，对于线段AB，若点C满足，CA＝CB，称C是线段AB的“美好点”；特别地，若满足∠ACB＝90°，称C是线段AB的“黄金美好点”． （1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数是直线上一点，已知点A（5，0）； ①若P的横坐标为9，则点A　是　 （填写“是”或“不是”）线段OP的“美好点”； ②若P是线段OA的美好点，求P的坐标； （2）如图2，若直线y＝﹣x+t与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将△OBC沿直线BC翻折到△DBC，若平面直角坐标系上一点M（m，1），满足M是线段BD的“黄金美好点”，求△MBD的面积； （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数是直线上一点，A（5，0），N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段OP的“黄金美好点”，且N是线段OA的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 【分析】（1）①求得点P（9，3），计算长度即可解答；②设，可得P在线段OA的垂直平分线上，可得，代入解析式即可解答； （2）证明∠OBD＝90°，根据题意以BD为底构建等腰直角三角形，利用点M（m，1）即可解答； （3）分两种情况，即N在OP上方或OP下方两种情况，利用全等三角形的判定和性质可得点N的坐标． 【解答】解：（1）①把x＝9代入，可得y＝3， ∴P（9，3），根据勾股定理可得， ∵AP＝AO＝5， ∴点A是线段OP的“美好点”， 故答案为：是； ②设， ∵P是线段OA的美好点， ∴P在线段OA的垂直平分线上， ∵A（5，0）， ∴， 将，代入直线得，； 即； （2）当y＝0时，0＝﹣x+t，解得x＝t， ∴OB＝t， 当x＝0时，y＝t， ∴OE＝t， ∴△EOB为等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°，且B（t，0）， 由折叠的性质，可知∠DBO＝90°且D（0，t）， ∵M是线段BD的“黄金美好点”，则以BD为斜边，构建等腰Rt△MBD， ∴，， ∴， ∵M（m，1）， ∴，即t＝2， ∴M1（1，1），M2（3，1）， ∴． （3）∵点N是线段OP的“黄金美好点”，且N是线段OA的“美好点”， ∴N在线段OA的垂直平分线上，即，且△ONP是以OP为斜边的等腰直角三角形， 当N在OP上方时，如图，作NT⊥y轴交y轴于点T，作PQ⊥NT交直线NT于点Q， ∵∠TNO+∠QNP＝90°，∠QNP+∠NPQ＝90°， ∴∠TNO＝∠NPQ， ∵∠OTN＝∠NQP＝90°，且ON＝NP， ∴△TNO≌△QPN（AAS）， ∴， ∴， 设OT＝NQ＝a，得， 将点P代入得，， 解得a＝5， 即； 当N在OP下方时，如图，作NT⊥y轴交y轴于点T，作PQ⊥NT交直线NT于点Q， 同理可得， 将点P代入得，， 解得， 即； 综上，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题45 一次函数与几何综合 （题型突破·举一反三） ▌题型01 等腰三角形存在性问题 【典例1】 【分析】（1）将P点坐标代入y＝kx中求k的值即可； （2）已知A点横坐标和P点纵坐标，根据三角形面积公式，可求△AOP的面积； （3）分别以P、A两点为圆心，PA长为半径画弧与x轴相交，作线段PA的垂直平分线与x轴相交，可求M点的坐标． 【解答】解：（1）将点P（1，1）代入直线y＝kx中，得k＝1； （2）如图，S△AOP2×1＝1； （3）由勾股定理，得PA， 以P为圆心，PA长为半径画弧与x轴相交，交点M（0，0）， 以A为圆心，PA长为半径画弧与x轴相交，交点M（2，0）或（2，0）， 作线段PA的垂直平分线与x轴相交，交点M（1，0）， 故满足条件的M点坐标为：（0，0），（2，0），（2，0），（1，0）． 【变式1-1】 【解答】解：（1）一次函数图象经过点A（﹣2，0），B（0，4）．设一次函数的表达式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为y＝2x+4； （2）如图1，设点P（x，2x+4）， ∵， ∴， ∴， ∵yp＝2x+4，OB＝4， ∴， ∴2x+4＝±1， 解得：或， 当时，得：2x+4＝1； 当时，得：2x+4＝﹣1， ∴点或； （3）点C的坐标为或或（2，0）．理由如下： ∵点C在x轴上， ∴设C（m，0）， ∵△ABC是以AB为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：AB＝AC或AB＝BC， 当AB＝AC时，在Rt△ABO中，AO＝2，BO＝4， 由勾股定理得：， ∴， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， ∴或； 当AB＝BC时， 在Rt△ABO和Rt△CBO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO， ∴|m|＝2， 解得：m＝2或﹣2（此时点A和点C重合，不符合题意，舍去）， ∴C（2，0）． 综上所述，点C的坐标为或或（2，0）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）当x＝2时，b＝0， 解得b， ∴yx， 当x+5x时，解得x＝﹣1， ∴C（﹣1，4）； （2）y＝x+5与x轴交点A（﹣5，0）， ∴AB＝7， ∴△ABC的面积14； （3）∵△BCP是以CP为底的等腰三角形， ∴BC＝BP， ∵BC＝5， ∴BP＝5， ∴P（7，0）或（﹣3，0）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得， 则直线的解析式是：y＝﹣x+6； （2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6， S△OAC6×4＝12； （3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2， 解得：m， 则直线的解析式是：yx， ∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时， ∴M的横坐标是4＝1， 在yx中，当x＝1时，y，则M的坐标是（1，）； 在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）． 则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）； （4）存在，理由：设点P（x，0）， 由点P、O、A的坐标得，PA2＝（x﹣4）2+4，PO2＝x2，AO2＝20， 当PA＝PO时，则（x﹣4）2+4＝x2，则x＝2.5，即点P（2.5，0）； 当PA＝AO或PO＝AO时，则x2＝20或20＝（x﹣4）2+4，则x＝0（舍去）或±2或8，即点P（2，0）或（﹣2，0）或P（8，0）， 综上，点P（2，0）或（﹣2，0）或P（8，0）或（2.5，0）． ▌题型02 等腰直角三角形存在性问题 【典例1】 【解答】解：（1）把F（2，m）代入yx+2得：m＝﹣1+2＝1， ∴F（2，1）， 把F（2，1）代入y＝kx+4得：1＝2k+4， 解得k， ∴l1的解析式为yx+4； （2）在中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝4， ∴C（0，2），E（4，0）， 在yx+4中，令y＝0，则x， ∴A（，0）， 过F作FH⊥x轴于H， ∵F（2，1）， ∴四边形AOCF的面积＝S△OEC﹣S△AEF4×21×（4）； （3）存在△FPM是以PM为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设M（m，0），P（p，p+2）， 当PF为直角边时，过P作NQ∥x轴，过M作MN⊥NQ于N，过F作FQ⊥NQ于Q，如图： ∵△FPM为等腰直角三角形， ∴MP＝FP，∠MPF＝90°， ∴∠MPN＝90°﹣∠QPF＝∠PFQ， ∵∠N＝90°＝∠Q， ∴△MPN≌△PFQ（AAS）， ∴MN＝PQ， ∴|p+2|＝|2﹣p|， 解得p＝0或p， ∴此时点P的横坐标为0或； 当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，如图： 同理可得△PHM≌△MGF（AAS）， ∴PH＝MG，HM＝FG＝2， ∴， 解得p＝﹣2或p＝2（此时P，F重合，舍去）或p， 综上所述，P的横坐标为0或或﹣2或． 【变式1-1】 【解答】解：（1）平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B， 当y＝0时，得：， 解得：x＝10； 当x＝0时，得：y＝5， ∴A（10，0），B（0，5）； （2）∵点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作FE⊥x轴，如图1， ∴F点坐标为， ∴△OAF的面积：， ∴△OAF的面积S与x之间的函数关系式为； （3）①．理由如下： 当△OAF的面积时，得：， 解得：x＝5， ∴F点坐标为， 由勾股定理得：， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∴； ②点P的坐标为或．理由如下： 过点F作FN⊥x轴交x轴于点E，过点P作PG⊥OA于点G，过点P′作PH⊥FE于点H，分两种情况： 如图2， 情况一：∵△AFP是等腰直角三角形， ∴AF＝PA，∠FEA＝∠FAP＝∠PGA＝90°， ∴∠AFE+∠FAE＝∠FAE+∠PAG＝90°， ∴∠AFE＝∠PAG， 在△FAE和△PAG中， ， ∴△AFE≌△PAG（AAS）， ∴，AE＝PG＝OA﹣OE＝5， ∴点； 情况二：∵△AFP′是等腰直角三角形， 同理△P′HF≌△FEA（AAS）， ∴FH＝AE＝5，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1-2】 【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0， 解得：x＝4， ∴A（4，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴AB5， 故答案为：（4，0），（0，3），5； （2）将△ABC沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，如图1， 设C（n，0），则OC＝n，AC＝4﹣n， ∴DC＝AC＝4﹣n，DB＝AB＝5， ∴OD＝OB+DB＝3+5＝8， 在Rt△CDO中，OC2+OD2＝CD2， ∴n2+82＝（4﹣n）2， 解得：n＝﹣6， ∴点C的坐标为（﹣6，0）； （3）存在， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴AB5， 当∠PAB＝90°，AP＝AB时，如图，过点P作PH⊥x轴于H， 则∠PHA＝∠AOB＝90°， ∴∠PAH+∠APH＝90°， ∵∠PAH+∠BAO＝90°， ∴∠APH＝∠BAO， 在△APH和△BAO中， ， ∴△APH≌△BAO（AAS）， ∴AH＝OB＝3，PH＝OA＝4， ∴OH＝OA+AH＝4+3＝7， ∴P（7，4）； 当∠PBA＝90°，BP＝AB时，如图，过点P作PH⊥y轴于H， 同理可得：P（3，7）； 当∠APB＝90°，AP＝BP时，如图，过点P作PH⊥x轴于H，PK⊥y轴于点K， ∴∠PKB＝∠PHA＝∠HPK＝90°，∴∠BPK+∠BPH＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠BPH+∠APH＝90°，∴∠APH＝∠BPK， 在△APH和△BPK中， ， ∴△APH≌△BPK（AAS），∴AH＝BK，PH＝PK，由PH＝PK设点P的坐标为（p，p），∴OH＝OK＝p，∴BK＝OK﹣OB＝p﹣3，AH＝OA﹣OH＝4﹣p，∴4﹣p＝p﹣3， 解得：p， ∴点P的坐标为（，）， 综上可知，第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，点P的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）把F（2，m）代入yx+2得：m＝﹣1+2＝1， ∴F（2，1）， 把F（2，1）代入y＝kx+4得：1＝2k+4， 解得k， ∴l1的解析式为yx+4； （2）过C作CK∥EF交x轴于K，连接FK，如图： 在yx+2中，令y＝0得x＝4， ∴E（4，0）， ∵CK∥EF， ∴S△KEF＝S△CEF＝8， ∴EK•yF＝8，即EK×1＝8， ∴EK＝16， 当K在E右侧时，K（20，0）， 设直线CK解析式为yx+b，把K（20，0）代入得：0＝﹣10+b， ∴b＝10， ∴直线CK解析式为yx+10， 联立， 解得， ∴C（﹣6，13）； 当K在E左侧时，K（﹣12，0）， 同理可得C（10，﹣11）； ∴点C的坐标为（﹣6，13）或（10，﹣11）； （3）存在△FPM是以PM为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设M（m，0），P（p，p+2）， 当PF为直角边时，过P作NQ∥x轴，过M作MN⊥NQ于N，过F作FQ⊥NQ于Q，如图： ∵△FPM为等腰直角三角形， ∴MP＝FP，∠MPF＝90°， ∴∠MPN＝90°﹣∠QPF＝∠PFQ， ∵∠N＝90°＝∠Q， ∴△MPN≌△PFQ（AAS）， ∴MN＝PQ， ∴||＝|2﹣p|， 解得p＝0或p， ∴此时点P的横坐标为0或； 当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，如图： 同理可得△PHM≌△MGF（AAS）， ∴PH＝MG，HM＝FG＝1， ∴， 解得p＝﹣2或p＝2（此时P，F重合，舍去）或p， 综上所述，P的横坐标为0或或﹣2或． ▌题型03 角度存在性问题 【典例1】 【解答】（1）解：一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，则点D、E的坐标分别为：（1，0）、（0，﹣1）， ∵AD＝4OD＝4，则点A（5，0）， ∵OA＝2OB，则点B（0，2.5）， 由点A、B的坐标得，直线BA的表达式为：yx， 故答案为：（1，0），（5，0），yx； （2）解：当x＝﹣3时，yx，即点F（﹣3，4），当x＝﹣3时，y＝x﹣1＝﹣4，即点G（﹣3，﹣4）， 则点G、F关于x轴对称， ∵∠ODE＝45°，则∠FDO＝45°，即∠FDG＝90°， 联立DE和AB的表达式得：x﹣1x；，则x，即xC， 若S1＝S2，即S△FGC﹣S△FGPFG×|xC﹣xP|＝S2BE×（xC﹣xG），即（4+4）×|xP|＝（1）×（3）， 解得：xP＝0或， 即点P（0，﹣1）或（，）； （3）∠CGQ+∠BAO＝∠ADC， ①证明：∵GM⊥AF， ∴∠GMC＝90°， ∴∠MGC+∠MCG＝90°， ∵∠MCG＝∠BAO+∠ADC， ∴∠BAO+∠ADC+∠CGM＝90°， ∵∠ADC＝∠EDO＝45°， ∴∠∠CGM＝45°， ∴∠CGQ+∠BAO＝∠ADC； ②解：存在，理由： 连接AG，交DF的延长线于点Q，则点Q为所求点， 由点G、F的坐标知，∠CAD＝∠DAG， ∵∠CGQ+∠BAO＝∠ADC，即∠CDA＝∠DAG+∠DGQ， 由点A、G的坐标得，直线AG的表达式为：y（x﹣5）， 同理可得，直线DF的表达式为：y＝﹣x+1， 联立上式和DF的表达式得：（x﹣5）﹣x+1，则x， 即点Q（，）， 当点Q（Q′）在CD的上方时， ∵DF⊥CD，则Q、Q关于点D对称， 由中点坐标公式得：Q′（，）， 综上，Q（，）或（，） 【变式1-1】 【解答】解：（1）AD与EC的数量关系：AD＝EC． 证明：∵∠ACB＝90°，过点A作AD⊥ED交于点D，过点B作BE⊥ED交于点E， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠ACD， 在△BEC和△CDA中 ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）， ∴AD＝EC， 故答案为：AD＝EC； （2）①当时，则直线y＝kx+4（k≠0）为直线， 当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）， ∴OA＝3，OB＝4， 过点E作ED⊥OB于D，如图所示： ∴∠BDE＝∠AOB＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△BED≌△ABO（AAS）， ∴DE＝OB＝4，BD＝OA＝3， ∴OD＝OB+BD＝7， ∴点E的坐标为（4，7）， 设直线BE的解析式为y＝k1x+b1， 把B（0，4）与E（4，7）代入得：， 解得：， ∴直线BE的解析式为． ②当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝8， 理由如下： ∵当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动， ∴k＞0， 过点N作NM⊥OB于M， ∴∠NMB＝∠AOB＝90°， ∵∠1+∠3＝90°， ∵BN⊥AB， ∴∠ABN＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， ∵BN＝BA，∠NMB＝∠AOB＝90°， ∴△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB＝4， ∴， ∴k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝8； （3）如图， 如图，过C作CD⊥BC交AB于点D，过C作CE⊥x轴，过B作BE⊥CE交CE于点E，过D作DF⊥CE交CE于点F， ∵∠ABC＝45°， ∴∠4＝∠ABC＝45°， ∴BC＝DC， ∵∠BEC＝∠BCD＝90°， ∴∠2+∠3＝∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△BCE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝DF＝4， 设C（c，0）， 则OC＝BE＝CF＝c， ∴D（c﹣4，﹣c）， ∵点D（c﹣4，﹣c）在直线y＝2x+4的图象上， ∴2（c﹣4）+4＝﹣c， ∴， ∴． 如图，过A作AE⊥AB轴交BC于点E，过E作ED⊥x轴于点D， ∵直线y＝2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵∠ABC＝45°， ∴∠1＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AE， ∵∠EAB＝∠AOB＝90°， ∴∠2+∠3＝∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝∠4， ∴△ABO≌△EAD（AAS）， ∴AO＝DE＝2，BO＝AD＝4， ∴OD＝2+4＝6， ∴E（﹣6，2）， 设直线BE的解析式为y＝k2x+4， 把E（﹣6，2）代入得：﹣6k2+4＝2， 解得：， ∴直线BE的解析式为， 令y＝0，则，解得：x＝﹣12， 则C（﹣12，0）； 综上，C（﹣12，0）或． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵点C的横坐标是﹣1， ∴C（﹣1，）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+3； （2）由平移可得直线l2的解析式为6，D（3，）， 作E点关于y轴的对称点E'，作D点关于x轴的对称点D'（3，），连接E'D'交y轴于F点，交x轴于G点， ∴EF＝E'F，DG＝GD'， ∴EF+FG+DG＝E'F+FG+GD'≥D'E'， ∴EF+FG+DG的最小值为D'E'， 当6x+3时，解得x＝1， ∴E（1，）， ∴E'（﹣1，）， ∴D'E'＝2， ∴EF+FG+DG的最小值为2， 直线D'E'的解析式为yx+3， ∴G（2，0）； （3）当M点在GD的下方时，过点D作DN⊥GD交GM于点N，过点D作KH∥x轴，过点N作NH⊥KH交于H点，过点G作GK⊥KH交K点， ∵∠DGM＝45°， ∴DG＝DN， ∵∠GDN＝90°， ∴∠KDG+∠DHN＝90°， ∵∠KDG+∠DGK＝90°， ∴∠DHN＝∠DGK， ∴△KDG≌△HND（AAS）， ∴KD＝NH＝1，KG＝DH， ∴N（，）， ∴直线GN的解析式为yx， 当x+6x时，解得x， ∴M（，）； 当M点在GD的上方时，过D点作DT⊥GD交GM于T点，过点D作PQ⊥x轴交于P点，过点T作TQ⊥PQ交于Q点， ∴△DTQ≌△GDP（AAS）， ∴TQ＝PD，DQ＝GP＝1， ∴T（，）， ∴直线GM的解析式为y＝﹣5x+10， 当﹣5x+10x+6时，解得x， ∴M（，）； 综上所述：M点坐标为（，）或（，）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b中得， ，解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+4， ∵点C是正比例函数y＝x和直线AB的交点， ∴联立方程组得， 解得， ∴C（﹣4，﹣4）； （2）设E（0，a）， ∴BE＝|4﹣a|， 过点C作CD垂直y轴交于点D， ∵B（0，4），C（﹣4，﹣4）， ∴CD＝4， ∵S△BCE＝12， ∴ 解得：a＝﹣2或a＝10（舍去）， ∴E（0，﹣2）， 作点E关于x轴的对称点E'（0，2）， ∴DE'＝6，CD＝4， 连接CE'，则与x轴交点G是使得GC+GE'的值最小； 在Rt△CDE'中，根据勾股定理可得， ∴FC+FE的值最小是； （3）∵直线l：y＝2x+4向下平移7个单位长度后， ∴直线MG的解析式为：y＝2x﹣3， ∴G（0，﹣3）， 当∠MGO＝∠MPO时， 第一种情况①如图：在x轴上取点P，连接PM， ∴PM与MG关于直线y＝x对称， ∴OM＝OM，∠PMO＝∠GMO，MG＝MP， ∴△MPO≌△MGO（SAS）， ∴OP＝OG， ∴P（﹣3，0）． 第二种情况②如图：过点M的垂直于x轴的直线ME，点P关于直线ME的对称点P'，连接P′M， ∵直线y＝2x﹣3与y＝x交于点M， ∴， 解得， ∴M（3，3）， ∵点P′是关于直线ME为对称轴的点P（﹣3，0）的对称点， ∴P（9，0）； 综上，P的坐标为（﹣3，0）或（9，0）． ▌题型04 直角三角形存在性问题 【典例1】 【解答】解：（1）∵直线经过第一、二、三象限， ∴k＞0，3﹣2k＞0， ∴0＜k， ∵k为整数， ∴k＝1； （2）∵k＝1， ∴yx+1， （3）△ABC是直角三角形，理由如下： 当x＝0时，y＝1， ∴B（0，1）， 当y＝0时，x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∴AB2＝10，AC2＝8，BC2＝2， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【变式1-1】 【解答】解：（1）直线y＝2x+2与x轴交于点A， 当y＝0时，得：0＝2x+2， 解得：x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）； ∵直线y＝﹣2与y轴交于点B， ∴B（0，﹣2）， 故答案为：（﹣1，0）；（0，﹣2）； （2）∵点P落在直线y＝﹣2上， ∴P（m，﹣2）， 将P（m，﹣2）代入直线y＝2x+2得：﹣2＝2m+2， 解得：m＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣2）． 如图1，作AH⊥PB， ∴AH＝2，BP＝2， ∴； （3）∵△ABQ是直角三角形时，则Q（3m，﹣2），A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ①当∠Q1AB＝90°时，， ∵AB2＝（﹣1）2+（﹣2）2＝5，，， ∴9m2＝9m2+6m+5+5， 解得：， ②当∠AQ2B＝90°时， ∴Q2（﹣1，﹣2）， ∴3m＝﹣1，则， 综上所述，，； （4）m＝﹣4或．理由如下： 由题意得：， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为 y＝﹣2x﹣2， 设直线AB与直线x＝m交于点D，则D（m，﹣2m﹣2）， ∵P（m，2m+2）， ∴PD＝|（2m+2）﹣（﹣2m﹣2）|＝|4m+4|， ∴； ∵， ∴，即4m+4＝3m或4m+4＝﹣3m， 解得：m＝﹣4或． 【变式1-2】 【解答】解：（1）直线与x轴交于A点，与y轴交于B点， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣4； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（﹣4，0），B（0，3）； （2）①如图1，当D落在y轴上时， ∵点A关于y轴的对称点为点C， ∴C（4，0）， ∴OB＝3，OC＝4， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：BC＝BD＝5，DE＝CE， ∴OD＝5﹣3＝2， 设DE＝CE＝m， ∴OE＝4﹣m， ∴m2＝22+（4﹣m）2， 解得：， 当E在C右侧时，点D在第一象限； 当E与C重合时，CE＝0，D与C（4，0）重合且在x轴上，不满足第四象限； 当E与O重合时，CE＝4，D（﹣4，0）在x轴负半轴，不满足第四象限； 故当D落在第四象限时，E在线段OC上（O为原点），不与O、C重合， ∴当点D落在第四象限时，CE的取值范围为：； ②如图2，当∠DEF＝90°时， 由折叠的性质得：DE＝CE，∠DEB＝∠CEB＝45°， ∵∠EOB＝90°， ∴OE＝OB＝3， ∴DE＝CE＝7， ∴D（﹣3，7）； 如图3，当∠EFD＝90°时，结合①可得：D（0，﹣2）， 如图4，当∠DEF＝90°时，∠CED＝90°， 由折叠的性质得：， ∴∠BEO＝135°﹣90°＝45°， ∵∠EOB＝90°， ∴OB＝OE＝3， ∴CE＝DE＝4﹣3＝1， ∴D（3，﹣1）； 如图5，当∠DFE＝90°时，此时D在y轴正半轴， 由折叠的性质得：BD＝BC＝5， ∴OD＝8， ∴D（0，8）； 综上所述，点D的坐标为（3，﹣1）或（﹣3，7）或（0，8）或（0，﹣2）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2； （2）∵将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2+5＝﹣x+3， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（3，0），D（0，3）， ∴； （3）直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；理由如下： ∵， ∴CD2＝18， 设P（a，﹣a﹣2）， ∵C（3，0），D（0，3）， ∴CP2＝（a﹣3）2+（﹣a﹣2﹣0）2＝（a﹣3）2+（a+2）2，DP2＝（a﹣0）2+（﹣a﹣2﹣3）2＝a2+（a+5）2， 当∠PDC＝90°时，由勾股定理得：PD2+CD2＝PC2， 即a2+（a+5）2+18＝（a﹣3）2+（a+2）2， 解得：； ∴； 当∠PCD＝90°时，由勾股定理得：PC2+CD2＝PD2， 即（a﹣3）2+（a+2）2+18＝a2+（a+5）2， 解得：， ∴， 综上所述，直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；或． ▌题型05 最值问题 【典例1】 【解答】解：（1）矩形OABC的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点， 当y＝0时，得：， 解得：x＝8； 当x＝0时，得：y＝6， ∴A（8，0），C（0，6）， ∴OA＝8，OC＝6， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ∵CO′＝CO＝6， ∴AO′＝AC﹣CO′＝4， 设D（d，0），则OD＝d， ∴AD＝8﹣d，O′D＝d， ∴d2+42＝（8﹣d）2， 解得：d＝3， ∴D（3，0）； （2）点M的坐标为（6，14）或（14，8）或（7，7）；理由如下： △AMC是等腰直角三角形，分三种情况： ①当∠ACM＝90°，AC＝CM时，过点M作MF⊥y轴于点F，如图1， ∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠FCM＝90°， ∴∠CAO＝∠FCM， ∵∠AOC＝∠CFM＝90°，AC＝CM， ∴△AOC≌△CFM（AAS）， ∴CF＝OA＝8，MF＝OC＝6， ∴OF＝OC+CF＝14， ∴M（6，14）； ②当∠CAM＝90°，AC＝AM时，过点M作MG⊥x轴于点G，如图2， 同理可得，△AOC≌△MGA（AAS）， 则AG＝OC＝6，MG＝OA＝8， ∴GO＝OA+AG＝14， ∴M（14，8）； ③当∠AMC＝90°，如图3，时，设M（x，y）， ∴， 解得：x＝y＝7， ∴M（7，7）， 综上所述，点M的坐标为（6，14）或（14，8）或（7，7）； （3）△AMC是（2）中以AC为斜边的等腰直角三角形， ∴M（7，7）， 设N（x，y）， ∵△CON的面积为3， ∴， 解得：x＝1， 如图4，作点D关于直线x＝1的对称点D′，则D′（﹣1，0）， 连接MD′交直线x＝1于点N，则DN＝D′N， 则DN+NM+DM＝D′N+MN+DM＝D′M+DM， 此时△DMN的周长最小，即为D′M+DM， 设直线MD′的解析式为y＝kx+b，把D′（﹣1，0），M（7，7）代入得到， ， 解得：， 即直线MD′的解析式为， 当x＝1时，， ∴， ∴△DMN的面积＝S△DD′M﹣S△DD′NDD′×7DD′4×74． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设MN所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵M（15，26），N（﹣12，﹣10）在直线MN上， ∴， 解得， ∴MN所在直线的解析式为． （2）淇淇的说法正确，理由如下： 动点P的坐标为P（a，a+2），即横坐标x＝a，纵坐标y＝a+2， 消去a得y＝x+2， ∴无论a怎样变化，点P都满足y＝x+2，即点P在直线y＝x+2上， ∴淇淇的说法正确． （3）①由（2）可知，点P恒在直线y＝x+2上， 如图， 联立， 解得， ∴两直线的交点为N（﹣12，﹣10）， ∵PM+PN≥MN， ∴当点P与点N重合时，此时PM+PN取得最小值， ∴此时a的值为﹣12． ②对于直线，令y＝0，得，即， 令x＝0，得y＝6，即B（0，6）， 原点O（0，0），点P恒在直线y＝x+2上， 令y＝0，得x＝﹣2，交点为（﹣2，0），在OA边上； 令x＝0，得y＝2，交点为（0，2），在OB边上； 若点P在△AOB的内部（不含边界）， 则a的取值范围是﹣2＜a＜0． 【变式1-2】 【解答】解：（1）在中，当y＝0时，， 解得， ∴，即， 又∵OA＝2OC， ∴， ∴， 将点代入直线l1中， 可得， ∴， 设直线l2解析式：y＝kx+b（k≠0）， 将，E代入y＝kx+b（k≠0）中得：， ∴， ∴y； （2）在y中， 当x＝0时，y＝1， ∴D（0，1）， 连接OP，如图， 设， ∴S四边形AODP＝S△DOP+S△OAP ， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴△ACE是直角三角形，且∠AEC＝90°， 作点P关于直线l2的对称点P1，连接P1M，如图， 此时点P1在直线l1上，且点E为PP1的中点， ∴，即， 过点P1作P1P2∥l2交y轴于点P2，如图，设直线P1P2的解析式为， 将代入，得， 解得b1＝2， ∴直线P1P2的解析式为， 当x＝0时，y＝2， ∴P2（0，2）， ∴， ∴P1P2＝MN＝2， ∵P1P2＝MN＝2，P1P2∥MN， ∴四边形P1P2NM为平行四边形， ∴P2N＝P1M， ∴P2N＝P1M， ∴PM+NQ＝P2N+NQ≥P2Q， ∵PM+MN+NQ取得最小值， ∴P2N+NQ取得最小值为P2Q，此时点P2、N、Q在同一直线上，且当P2Q⊥x轴，即点Q与点O重合时，PM+MN+NQ取得最小值，y＝P2Q+MN＝P2O+MN＝4． （3）或，理由如下： OG＝OC， ∴G（0，）， ∵∠OGA+∠OAG＝90°，∠OGA+∠ACK＝90°， ∴∠ACK＝∠OAG； ①当点K在x轴的上方时，如图， ∵∠ACK＝∠OAG， ∴CK∥AG， 设直线CK的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线CK的解析式为， 令， 解得， ∴； ②当点K在x轴下方时，如图， 令CK交AG于点F，过点G作GH∥x轴，交CK于点H，过点F作FR⊥x轴于点R，交GH于点S， ∴∠AGH＝∠CAG，∠CHG＝∠ACF，FR⊥RH， ∵∠ACK＝∠CAG， ∴∠AGH＝∠CAG＝∠CHG＝∠ACF， ∴CF＝AF，GF＝HF， ∵FR⊥x，FR⊥RH， ∴CR＝AR，GS＝SH， ∴点F横坐标为， 即， ， 同理，可得直线CH的解析式为， 令， 解得， 综上所述，或． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A，B两点，过点D作DE⊥x轴于点E， 当y＝0时，得：﹣3x+3＝0， 解得：x＝1； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（1，0），B（0，3）， ∴OA＝1，OB＝3， 在△DAE和△BAO中， ， ∴△DAE≌△BAO（AAS）， ∴AE＝OA＝1，DE＝OB＝3， ∴OE＝2， ∴点D的坐标为（2，﹣3）， 设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线l2的解析表达式为； （2）∵点P（t，y1）在线段BD上，点Q（t﹣1，y2）在直线l2上， ∴y1＝﹣3t+3，，0≤t≤2， ∴， ∵， ∴y1﹣y2随t的增大而减小， ∴当t取得最大值时，y1﹣y2取得最小值， ∴当t＝2时，y1﹣y2的最小值为； （3）在y轴上存在一点P，使|PC﹣PD|最大；点P的坐标为（0，﹣6），|PC﹣PD|的最大值为．理由如下： 如图2，连接PC，PD， ∵|PC﹣PD|≤CD， ∴当点P，C，D三点共线时，|PC﹣PD|取得最大值，即CD的长度，如图3， 将x＝0代入，得：y＝﹣6， ∴点P的坐标为（0，﹣6）； 将y＝0代入，得：， 解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∴CE＝4﹣2＝2， ∵DE⊥x轴， ∠CDE＝90°， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：． 综上所述，在y轴上存在一点P，使|PC﹣PD|最大；点P的坐标为（0，﹣6），|PC﹣PD|的最大值为． ▌题型06 面积存在性问题 【典例1】 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝3，∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， 则AB5， （2）由A（3，0）得AO＝3， 又∵由题意得：AC＝AB＝5， ∴OC＝AO+AC＝3+5＝8， 故点C（8，0）， 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4， 在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2， ∴x2+82＝（x+4）2 解得x＝6， ∴点D的坐标为（0，﹣6）； （3）由（2）知OC＝8，OD＝6， ∴S△PABS△OCDOC•OD＝12， ∵S△PABPB＝12， ∴PB＝8， ∵B（0，4）， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝3x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝3×0﹣6＝﹣6， ∴点B坐标为（0，﹣6）， 当y＝0时，0＝3x﹣6， ∴x＝2， ∴点A坐标为（2，0）， ∵直线l2与直线l1平行， ∴设直线l2的表达式为y＝3x+b， 将C（0，3）代入得，b＝3， ∴设直线l2的表达式为y＝3x+3； （2）∵点P到x轴的距离为9， ∴点P的纵坐标为9或﹣9， ∴当y＝9时，9＝3n+3， 解得n＝2； 当y＝﹣9时，﹣9＝3n+3， 解得n＝﹣4； 综上所述，n＝2或n＝﹣4； （3）∵点Q为直线l1上的动点，且点Q的纵坐标为3， ∴3＝3x﹣6， 解得x＝3， ∴点Q的坐标为（3，3）， ∵点D在x轴上，△ADQ的面积为12， ∴， ∴AD＝8， ∴点D的横坐标为2+8＝10或2﹣8＝﹣6， ∴点D的坐标为（10，0）或（﹣6，0）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝6， ∴B（0，6）， 设直线AB的解析式为 y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6； （2）当y＝0时，3x+6＝0， 解得x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∵B（0，6），C（﹣2，0）， ∴OB＝6，OC＝2， ∵A（6，0）， ∴OA＝6， ∴AC＝OA+OC＝8， ∴， ∴S△ACMS△ABC， ∴AC•|yM|＝12， ∴|yM|＝3， ∴当yM＝3时，﹣x+6＝3， 解得x＝3， 即点M的坐标为（3，3）； 当yM＝﹣3时，﹣x+6＝﹣3， 解得x＝9， 即点M的坐标为（9，﹣3）； 综上所述，存在点M的坐标为（3，3）或（9，﹣3）使得S△ACMS△ABC； （3）如图2，设P（a，0）， 连接BD， ∵BQ+DQ≥BD， ∴当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小， 过Q作QH⊥x轴于H， ∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PHQ＝90°， ∴∠OBP+∠BPO＝∠BPO+∠QPH＝90°， ∴∠OBP＝∠QPH， ∵PB＝PQ， ∴△OBP≌△HPQ（AAS）， ∴PH＝OB＝6，QH＝OP＝a， ∴Q（6+a，a）， ∵B（0，6），D（10，0）， ∴直线BD的解析式为yx+6， 把Q（6+a，a）代入yx+6得，（6+a）+6＝a， 解得a， ∴Q（，）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）将C（﹣8，m）代入y＝2x+8，得m＝2×（﹣8）+8＝﹣8， ∴C（﹣8，﹣8）， 将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4得，﹣8＝﹣8k﹣4， 解得； （2）由（1）可得直线l1的解析式为， 在中，当y＝0时，， 解得x＝8， ∴A（8，0）； 如图，设直线l1交y轴于点M， y＝2x+8中，当x＝0时，y＝8，则B（0，8）， ∴OB＝8， 在中，当x＝0时，y＝﹣4， ∴M（0，﹣4）， ∴OM＝4； ∴BM＝OB+OM＝8+4＝12， ∵A（8，0），C（﹣8，﹣8）， ∴S△ABC＝S△ABM+S△BCM ＝96， ∵， ∴ 解得BP＝12， ∴点P的纵坐标为8+12＝20，点P的纵坐标为8﹣12＝﹣4， ∴点P的坐标为（0，﹣4）或（0，20）； （3）如图所示，当点Q在点B下方时，将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG交AB于点Q，过点B作EF∥x轴，过点G作GE⊥EF交于E，过点D作DF⊥EF交于F点，则△DBG是等腰直角三角形， ∴∠DBG＝90°，∠BDG＝45°＝∠BDQ，BD＝BG， ∴Q为直线AB，DG的交点， 在y＝2x+8中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴D（﹣4，0）， ∴BF＝OD＝4， ∵B（0，8）， ∴DF＝OB＝8， ∵∠FBD+∠EBG＝90°，∠FBD+∠FDB＝90°， ∴∠EBG＝∠FDB， ∵BD＝BG，∠F＝∠E＝90°， ∴△BDF≌△GBE（AAS）， ∴DF＝BE＝8，BF＝EG＝4， ∴G（8，4）； 设直线DG的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 则， 解得， ∴直线DG的解析式为， 同理可得直线AB的解析式为y＝﹣x+8， 联立， 解得； ∴Q（5，3）； 如图所示，当点Q在点B上方时，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BG，连接DG， 同理可得G（﹣8，12），且Q为直线AB，DG的交点， 同理可得直线DG的解析式为y＝﹣3x﹣12， 联立， 解得， ∴Q（﹣10，18）； 综上所述，点Q的坐标为（5，3）或（﹣10，18）． ▌题型07 含有绝对值的函数 【典例1】 【解答】解：（1）由题意，∵y＝2|x+1|﹣3， ∴当x＝﹣3时，y＝m＝2×2﹣3＝1；当x＝1时，y＝n＝4﹣3＝1． 故答案为：1，1； （2）由题意，结合（1）中表格数据可以作图如下： ； （3）由（2）可得，当x＝﹣1时，y取最小值，最小值为﹣3； （4）①由题意结合函数的图象可得，不等式2|x+1|﹣3≤1的解集是﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1； ②由题意得，方程2|x+1|﹣3＝x+1的解可以看作是y＝2|x+1|﹣3与y＝x+1的两图象的交点的横坐标， 在同一坐标系中画出y＝2|x+1|﹣3与y＝x+1的图象如下， ∴两图象的交点为（﹣2，﹣1），（2，3）， ∴方程2|x+1|﹣3＝x+1的解为x1＝﹣2，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 【变式1-1】 【解答】解：（1）把x＝2代入y＝2|x﹣2|﹣4得，y＝﹣4， ∴b＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）如图所示即为所求； （3）由函数图象可得，当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大； （4）在y＝2|x﹣2|﹣4中，当x≥2时，y＝2x﹣8，当x＜2时，y＝﹣2x， 联立方程组， ∴； 联立方程组， ∴； ∴结合函数图象可得，的解集为：0＜x＜3； （5）由函数图象可知，当m＞0时，y＝2|x﹣2|﹣4与有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， ∴有且只有一个正数解和一个负数解， ∴m＞0． 【变式1-2】 【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1， ∴ 解得， ∵函数的解析式为y＝2|x﹣1|+1， 把x＝4代入得y＝2×3+1＝7， ∴m＝7； 故答案为：2，1，7； ②描点； ③画出函数图象，如图所示： （2）根函数图象可知：当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； （3）①根据函数图象可知，当x≤﹣1或x≥3时，y＝a|x﹣1|+b的函数值大于等于5， ∴不等式a|x﹣1|+b≥5的解集为：x≤﹣1或x≥3； 故答案为：x≤﹣1或x≥3； ②把x＝4代入y＝2|x﹣1|+1得：y＝7， 把（4，7）代入yx+t得：74+t， 解得：t＝10， 如图，当x＞4时，对于x的每一个值，函数yx+t的值小于函数y＝a|x﹣1|+b的值且小于7，t的值应该满足t＜10． 故答案为：t＜10． 【变式1-3】 【解答】解：（1）将（﹣1，m）代入函数y＝|x﹣2|得：m＝|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3． 故答案为：3； （2）观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是（2，0）， 当x＜2时，y随x的增大而减小． 故答案为：（2，0），减小； （3）令|x﹣2|＝2，解得x＝0或x＝4， 画出图形如下： 结合函数图象可知，不等式|x﹣2|≥2的解集是x≤0或x≥4． 故答案为：x≤0或x≥4； （4）①将函数y＝|x﹣2|的图象向下平移2个单位长度可得函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，作图略； ②令|x﹣2|﹣2＝0，解得x＝0或x＝4， 结合函数图象可知，不等式|x﹣2|﹣2≤0的解集是0≤x≤4． 故答案为：0≤x≤4． ▌题型08 新定义 【典例1】 【解答】解：（1）①设B（0，b）， ∵A（﹣2，0），d（A，B）＝5， ∴|b﹣0|＝5， ∴b＝±5， ∴点B的坐标为（0，﹣5）或（0，5）， 故答案为：（0，﹣5）或（0，5）； ②∵A（﹣2，0），设B（0，b）， ∴|﹣2﹣0|＝2， ∴d（A，B）的最小值为2， 故答案为：2； ③∵A（﹣2，0），点C（x，y）满足d（A，C）＝r， ∴点C在以A（﹣2，0）为中心，以2r为边长的正方形上，如图所示： ∴（2r）2＝100， ∴r＝5； （2）解：∵A（﹣2，0），点E（1，1），M（m，n）， ∴1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1， ∴点A、E的横坐标之差的绝对值为3， ∵有动点M（m，n），使得|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3， ∴|m+2|﹣|m﹣1|＝3或|m+2|﹣|m﹣1|＝﹣3， 当﹣2＜m＜1时，|m+2|﹣|m﹣1|＝m+2﹣1+m＝2m+1， 当2m+1＝±3时，m＝1或m＝﹣2，不符合题意， 当m≤﹣2时，|m+2|﹣|m﹣1|＝﹣2﹣m﹣1+m＝﹣3， 当m≥1时，|m+2|﹣|m﹣1|＝2+m+1﹣m＝3， ∴当m≤﹣2或m≥1时，|d（A，M）﹣d（E，M）|＝3， ①当m≤﹣2时，|n﹣0|≤|m+2|，|n﹣1|≤|1﹣m| 0≤n≤1时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≤﹣m﹣2，|n﹣1|≤|1﹣m|一定成立， n＞1时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≤﹣m﹣2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≤﹣m+2， n＜0时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≥m+2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≥m， ∵n≥m+2时，n≥m一定成立， ∴n＜0时，n≥m+2， ∴当m≤﹣2时，点M在直线n＝﹣m﹣2的下方，在直线n＝m+2的上方； ②当m≥1时，|n﹣0|≤|m+2|，|n﹣1|≤|1﹣m|， 0≤n≤1时，|n﹣0|≤|m+2|一定成立，|n﹣1|≤|1﹣m|可化为n≥﹣m+2， n＞1时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≤m+2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≤m， ∵n≤m时，n≤m+2一定成立， ∴n＞1时，n≤m， n＜0时，|n﹣0|≤|m+2|化简为n≥﹣m﹣2，|n﹣1|≤|1﹣m|化简为n≥﹣m+2， ∵n≥﹣m+2时，n≥﹣m﹣2一定成立， ∴n＜0时，n≥﹣m+2， ∴当m≥1时，点M在直线n＝m的下方，在直线n＝﹣m+2的上方； ∴符合条件的所有点M（m，n）覆盖的区域，如图所示： 【变式1-1】 【解答】解：（1）①∵点A（3，0），B（0，2），C（2，4）， ∴，，， ∴AB2+BC2≠AC2，AB≠BC， 则C（2，4）不是3的“等垂点”， 故答案为：不是； ②当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E，如图1， ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， ∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠ABO＝90°， ∴∠BCE＝∠ABO， ∵AB＝BC， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴BE＝OA＝4，CE＝BO＝3， ∴CF＝OE＝OB+BE＝3+4＝7， ∴C（3，7）； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作CF⊥BF于点F，CH⊥y轴于点H，过点A作AE⊥BF于点E，如图2， ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， 同理得：△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF＝OA＝4，BF＝AE＝BO＝3， ∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝3， ∴OH＝BH﹣OB＝4﹣3＝1， ∴C（﹣3，﹣1）， 综上所述，点C的坐标为（3，7）或（﹣3，﹣1）， 故答案为：（3，7）或（﹣3，﹣1）； （2）设A（6，0），B（0，n）， 当n＞0时，如图3，过C作CE⊥y轴于点E， ∵CE⊥y轴， ∴∠CEB＝∠AOB＝90°， ∵∠CBA＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABO＝∠BAO， ∵AB＝BC， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵A（6，0），B（0，n）， ∴CE＝OB＝n，BE＝AO＝6， 即C（n，n+6）， ∵点C在y＝3x﹣6上， ∴n+6＝3n﹣6， 解得n＝6， ∴C（6，12）． 当n≤0时，如图4， ∵y＝3x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），记为点C， 此时∠AOC＝90°＝∠ABC，AB＝BC＝6， ∴C（0，﹣6）满足题意． 综上所述，6的“等垂点”C的坐标为（6，12）或（0，﹣6）； （3）∵直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个10的“等垂点”，如图4， 过C作CT⊥y轴于T，设C（x，y），B（0，n），而A（10，0）， 同理可得：△ABO≌△BCT（AAS）， ∴BO＝CT，OA＝BT， ∴x＝n，y﹣n＝10， ∴y﹣x＝10，即y＝x+10， ∴C在直线y＝x+10上， ∴E（﹣10，0），F（0，10）， ∴， 如图5，过点P分别作PQ⊥x轴于点Q，PH⊥y轴于点H，PN⊥EF交EF于点N， ∵EP＝8，OP＝6，OE＝10， ∴EP2+OP2＝OE2， ∴△EPO为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵点P（4，0）， ∴a＝4，b＝0， 即点P的“和谐点”在直线y＝x+4上， 当x＝﹣3时，y＝﹣3+4＝1， ∴点Q1（﹣3，1）在直线y＝x+4上， ∴点Q1（﹣3，1）是点P的“和谐点”； 当x＝﹣2时，y＝﹣2+4＝2， ∴点Q2（﹣2，2）在直线y＝x+4上， ∴Q2（﹣2，2）是点P的“和谐点”； 当x＝1时，y＝1+4＝5， ∴点Q3（1，4）不在直线y＝x+4上， ∴Q3（1，4）不是点P的“和谐点”； 综上所述，点P的“和谐点”有Q1，Q2； 故答案为：Q1，Q2； （2）∵A在直线y＝2x+3上， ∴设点A的坐标为（a，2a+3）， ∴点A的“和谐点”在直线y＝x+a﹣（2a+3）＝x﹣a﹣3上． 设点P（4，0）的一个“和谐点”为（m，n），则点（m，n）在直线y＝x+4上， ∴n＝m+4， ∴m﹣n＝﹣4点P的“和谐点”也是点A的“和谐点”， ∴点（m，n）在直线y＝x﹣a﹣3上， ∴n＝m﹣a﹣3， ∴a＝m﹣n﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7， ∴点A的坐标为（﹣7，﹣11）． （3）∵点P（4，0）， ∴点P的“和谐点”在直线y＝x+4上． ∵﹣5≤b≤﹣3， ∴﹣6≤b﹣1≤﹣4，﹣4≤b+1≤﹣2， 设以（b﹣1，1），（b﹣1，﹣1），（b+1，﹣1），（b+1，1）为顶点的四边形为四边形EFGH． ①当点C在边EF上时，设点C（c，1），其中b﹣1≤c≤b+1，即﹣6≤c≤﹣2， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+c﹣1上，即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣3之间的区域． ②当点C在边FG上时，设点C（b+1，d），其中﹣1≤d≤1， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+b+1﹣d上， ∵﹣4≤b+1≤﹣2，﹣1≤d≤1， ∴﹣5≤b+1﹣d≤﹣1； 即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣5和直线y＝x﹣1之间的区域． ③当点C在边HG上时，设点C（c，﹣1），其中b﹣1≤c≤b+1，即﹣6≤c≤﹣2， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+C+1上， ∵﹣6≤c≤﹣2， ∴﹣5≤c+1≤﹣1， 即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣5和直线y＝x﹣1之间的区域． ④当点C在边EH上时，设点C（b﹣1，d'），其中﹣1≤d'≤1， ∴点C的“和谐点”在直线y＝x+b﹣1﹣d'上， ∵﹣6≤b﹣1≤﹣4，﹣1≤d'≤1， ∴﹣7≤b﹣1﹣d'≤﹣3， 即点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣3之间的区域． 综上所述，点C的“和谐点”在直线y＝x﹣7和直线y＝x﹣1之间的区域． ∵线段MN上总存在线段PC上任意一个点的“和谐点”， ∴线段MN的最小值为直线y＝x﹣7和直线y＝x+4的距离． 如图，设直线y＝x+4交x轴于点J，交y轴于点l． 令y＝0，则x+4＝0，解得x＝﹣4， 令x＝0，则y＝4， ∴I（0，4），J（﹣4，0）， ∴IO＝JO＝4， ∴△IOJ是等腰直角三角形， ∴∠IJO＝45°， 设直线y＝x﹣7与x轴的交点为Q， 令y＝0，则x﹣7＝0，解得x＝7， ∴Q（7，0）， ∴JQ＝7﹣（﹣4）＝11， 过点Q作QK垂直于直线y＝x+4，垂足为点K，则∠JKQ＝90°， ∴∠KQJ＝90°﹣∠KJQ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠KQJ＝∠KJQ， ∴KQ＝KJ， ∴KQ2+KJ2＝JQ2＝112， ∴， ∴直线y＝x﹣7和直线y＝x+4的距离为，即线段MN的最小值为． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为一次函数解析式y＝3x﹣2与正比例函数y＝﹣x的交点， 即， 解得， ∴一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为； 故答案为：； （2）根据定义可得，点（2，q﹣3）在y＝﹣x上， ∴q﹣3＝﹣2， 解得q＝1， 点（2，q﹣3）又在y＝px+q上， ∴q﹣3＝2p+q， 又∵q＝1， ∴1﹣3＝2p+1， 解得， ∴． （3）由题意可得： ∴直线y＝kx+3与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， 设P（x，0）， ∵， ， ∴， ∴， 即x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， ∴满足条件的点P的坐标为：P（5，0）或（1，0）． ▌题型09 一次函数中的翻折与旋转 【典例1】 【解答】解：（1）EF＝BF，直线DF的解析式为，证明如下： 如图所示，连接AF， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝AB＝OC，∠AOD＝∠ABF＝∠OCB＝90°； 由折叠的性质可得AE＝OA，∠AED＝∠AOD＝90°，OD＝DE； ∴AE＝AB，∠AEF＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠AEF＝∠ABF， 又∵AF＝AF， ∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL）， ∴EF＝BF； ∵B（4，4）， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝4， ∵点D为OC的中点， ∴， ∴DE＝OD＝2，D（0，2）； 设BF＝EF＝t，则CF＝4﹣t， ∴DF＝DE+EF＝2+t， 在Rt△CDF中，由勾股定理得CD2+CF2＝DF2， ∴22+（4﹣t）2＝（2+t）2， 解得， ∴， ∴； 设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， ∴， ∴直线DF的解析式为， 故答案为：EF＝BF； （2）设， 由（1）得DE＝2，D（0，2）， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设直线BE的解析式为y＝k′x+b′（k′≠0）， ∴， ∴， ∴直线BE的解析式为； 在中，当x＝0时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）①∵四边形OABC是正方形， ∴∠B＝90°， ∵∠BAM＝30°， ∴AM＝2BM， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得AE＝OA＝4， ∵点N为AE的中点， ∴， ∵AM﹣AN≤MN≤AM+AN， ∴， 故答案为：； ②由（3）①得当M、A、N三点共线，且点A在MN上时，MN有最大值， 由正方形的性质可得∠OAB＝90°， ∴∠OAM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠OAE＝180°﹣60°＝120°， 由折叠的性质可得， ∴∠ODA＝30°， ∴AD＝2OA＝8， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点， ∴点A、B的坐标分别为（5，0）、（0，5）， 设BC的表达式为y＝kx+b， 把B（0，5），C（﹣4，3）代入得：， 解得， ∴直线BC的表达式为； （2）∵点A、B的坐标分别为（5，0）、（0，5）， ∴OA＝OB＝5， ∵C点坐标为（﹣4，3）， ∴四边形ABCO的面积， ∵直线OM将四边形ABCO的面积分为1：2的两部分， 设M点坐标为（n，5﹣n）， ∴或， 即或， 解得n＝﹣1（不合题意，舍去），n＝2； ∴M点坐标为（2，3）； （3）令，解得x＝﹣10， ∴设直线BC交x轴于点H，则H（﹣10，0）， 在△BCD中有一个内角是45°，这个角不可能是∠DBC． ①当∠DCB＝45°，过点H作RH⊥BC交DC延长线于点R，过点H作y轴的平行线NM，交过点R与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，如图①， ∵∠HCR＝∠DCB＝45°， ∴△CHR为等腰直角三角形，即∠CHR＝90°，CH＝HR， ∵∠RHM+∠CHN＝90°，∠CHN+∠HCN＝90°， ∴∠RHM＝∠HCN．， ∵∠HMR＝∠CNH＝90°， ∴△HMR≌△CNH（AAS）， ∴HM＝CN＝﹣4+10＝6，MR＝NH＝3， ∴点R的坐标为（﹣7，﹣6）， 由点C（﹣4，3）、R（﹣7，﹣6）得直线CR的表达式为y＝3x+15， 解，得， ∴点D的坐标为； 若∠CDB＝45°，延长DC交x轴于K，如图②： 由点A（5，0）、B（0，5）可知OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠DAK＝45°， ∵∠CDB＝45°， ∴∠DKA＝90°， ∴D′K∥y轴， 在y＝﹣x+5中，令x＝﹣4得y＝9， ∴D（﹣4，9）； 综上，点D的坐标为或（﹣4，9）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）， 将B点代入yx+b， ∴b＝3， ∴yx+3， 当y＝0时，x＝﹣6， ∴C（﹣6，0）， ∴AC＝9； （2）①∵动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动， ∴P（﹣6+t，0）， ∴△BPO的面积OP×OB3|﹣t+6|＝6， 解得t＝2或t＝10； ②设D（m，m+3）， 当∠DBP＝90°时，过点B作EF⊥y轴，过点P作PF⊥EF交于F点，过点D作DE⊥EF交于E点， ∵∠DBP＝90°， ∴∠EBD+∠FBP＝90°， ∵∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠FBP＝∠EDB， ∵BD＝BP， ∴△BED≌△PFB（AAS）， ∴DE＝BD，BF＝PF＝3， ∴m＝﹣3， 此时m+3， ∴D（﹣3，）， ∴DE＝BF， ∴﹣6+t， 解得t； 当∠BPD＝90°时，P点在y轴左侧，过D点作DE⊥x轴交于E， 同理△DEP≌△POB（AAS）， ∴EP＝OB＝3，OP＝DE＝6﹣t， ∴D（﹣9+t，6﹣t）， ∴6﹣t（﹣9+t）+3， 解得t＝5； 当∠BPD＝90°时，P点在y轴右侧，过点D作DE⊥x轴交于E， 同理△BOP≌△PED（AAS）， ∴OP＝DE＝﹣6+t，BO＝PE＝3， ∴D（﹣3+t，﹣6+t）， ∴﹣6+t（﹣3+t）+3， 解得t＝15； 当∠PBD＝90°时，P点在y轴左侧，过点D作EF⊥x轴交于E，过点B作BF⊥EF交于F， 同理△BDF≌△DPE（AAS）， ∴BF＝ED，DF＝EP， ∴m+3＝﹣m， 解得m＝﹣2， ∴D（﹣2，2）， ∴DF＝EP＝1， ∴OP＝1， ∴6﹣t＝1， 解得t＝5； 当∠PBD＝90°时，P点在y轴右侧，过点D作EF⊥y轴交于F，过点P作PE⊥EF交于E， 同理△BDF≌△DPE（AAS）， ∴DF＝EP，BF＝ED， ∴mm+3， 解得m＝6， ∴m＝﹣6+t， 解得t＝15； 此时点D不在线段BC上，不符合题意； 综上所述：t的值为或5； （3）经过变换后的函数图象经过点（2，1）． 理由：由题可知OA＝OB＝3， ∴∠OBA＝45°， 则射线BA方向平移，即分别向下平移1个单位，向右平移1个单位， ∴平移之后的直线解析式为y（x﹣1）+3﹣1x， 如图，记平移后的解析式与y轴交于点M，与x轴交于点N， 对于直线MN：yx，分别令x＝0，y＝0， 可得M（0，），N（﹣3，0）， 记点M、N绕点（1，1）顺时针旋转后的点为M'、N'， 由第二问等腰直角三角形构造全等思路可得M'（，2），N'（0.5）， 则直线M'N'的解析式为y＝﹣2x+5， ∴y直线BC平移、旋转后的直线解析式为y＝﹣2x+5， 当x＝2时，y＝1， ∴点（2，1）在该直线上， 故经过变换后的函数图象经过点（2，1）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）①把x＝9代入，可得y＝3， ∴P（9，3），根据勾股定理可得， ∵AP＝AO＝5， ∴点A是线段OP的“美好点”， 故答案为：是； ②设， ∵P是线段OA的美好点， ∴P在线段OA的垂直平分线上， ∵A（5，0）， ∴， 将，代入直线得，； 即； （2）当y＝0时，0＝﹣x+t，解得x＝t， ∴OB＝t， 当x＝0时，y＝t， ∴OE＝t， ∴△EOB为等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°，且B（t，0）， 由折叠的性质，可知∠DBO＝90°且D（0，t）， ∵M是线段BD的“黄金美好点”，则以BD为斜边，构建等腰Rt△MBD， ∴，， ∴， ∵M（m，1）， ∴，即t＝2， ∴M1（1，1），M2（3，1）， ∴． （3）∵点N是线段OP的“黄金美好点”，且N是线段OA的“美好点”， ∴N在线段OA的垂直平分线上，即，且△ONP是以OP为斜边的等腰直角三角形， 当N在OP上方时，如图，作NT⊥y轴交y轴于点T，作PQ⊥NT交直线NT于点Q， ∵∠TNO+∠QNP＝90°，∠QNP+∠NPQ＝90°， ∴∠TNO＝∠NPQ， ∵∠OTN＝∠NQP＝90°，且ON＝NP， ∴△TNO≌△QPN（AAS）， ∴， ∴， 设OT＝NQ＝a，得， 将点P代入得，， 解得a＝5， 即； 当N在OP下方时，如图，作NT⊥y轴交y轴于点T，作PQ⊥NT交直线NT于点Q， 同理可得， 将点P代入得，， 解得， 即； 综上，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $