第13讲 一元一次不等式组 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第13讲 一元一次不等式组 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元一次不等式组的概念，能识别不等式组并判断其解集 · 掌握解一元一次不等式组的步骤，会求不等式组的解集 · 会在数轴上表示不等式组的解集，正确区分空心与实心、取交与取并 · 会求不等式组的整数解，并能解决含参不等式组的参数范围问题 · 能建立不等式组模型解决实际方案设计与最优化问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 不等式组中的每个不等式都含同一个未知数，且每个都是一元一次不等式 不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集 几个不等式没有公共部分时，不等式组无解 概念辨析例题：下列式子中，是一元一次不等式组的是（　）．A．{x＞1, y＜2}　B．{x＞1, x＜2}　C．{x2＞1, x＜2}　D．{x＞1, 2＞3} 解析：一元一次不等式组要求：各不等式含同一个未知数且都是一元一次不等式。A中两个不等式含不同未知数x、y，不是；C中x2＞1不是一元一次不等式；D中2＞3不含未知数不是不等式；只有B符合，故选B。 ☆ 2.解一元一次不等式组 步骤：先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找公共部分 解集的四种类型：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 数轴表示时，每个解集画对应的射线，公共部分即不等式组的解集 无解时直接写「不等式组无解」，不需画数轴 概念辨析例题：解不等式组：{2x+1＞x, x−1＜3}，并把解集在数轴上表示出来 解析：解第一个不等式得x＞−1，解第二个得x＜4，两个解集在数轴上取公共部分，得−1＜x＜4；在数轴上−1处空心向右、4处空心向左，中间重合部分即为解集。 ☆ 3.一元一次不等式组的整数解 不等式组的整数解就是解集范围内的所有整数 求整数解的步骤：先求不等式组解集，再在解集中取整数 含参不等式组给出整数解个数时，用数轴结合端点空心实心确定参数范围 端点是否取等是关键：边界点处实心则包含，空心则不包含 概念辨析例题：关于x的不等式组{3x−1＜x+5, x≥m}恰有两个整数解，则m的取值范围是______ 解析：解3x−1＜x+5得x＜3，结合x≥m，解集为m≤x＜3。恰有两个整数解即整数1、2（若含3则三个解），所以m不能超过0且要大于−1，即−1＜m≤0；注意m=0时含0、1、2共三个整数解，所以取m≤0需验证端点。 ☆ 4.一元一次不等式组的应用 审题找出两个以上的不等关系，分别列不等式组成不等式组 方案设计题：未知数取正整数，解集中的正整数即为可行方案 最优化问题：结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 注意「不超过」「不低于」「至少」等关键词对应不等号方向 概念辨析例题：某超市购进甲、乙两种有机蔬菜共100千克，投入资金不少于1160元又不多于1168元，甲每千克8元、乙每千克12元，购买甲种蔬菜x千克，求x的取值范围及购买方案 解析：由题意列不等式组：8x+12(100−x)≥1160 且 8x+12(100−x)≤1168，解得58≤x≤60，x为正整数可取58、59、60，共3种购买方案。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次不等式组 含同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 每个不等式都含同一未知数且次数为1 解集 各不等式解集的公共部分 无公共部分则不等式组无解 同大取大 x＞a 且 x＞b（a＞b）→ x＞a 同小取小，注意方向 大小小大中间找 x＞a 且 x＜b（a＜b）→ a＜x＜b 无公共部分时无解 整数解 解集范围内的整数 结合数轴端点空心实心判断 应用模型 由不等关系列不等式组 取正整数方案，最优化结合函数 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元一次不等式组的定义（第1-7题） · 判断不等式组：各不等式含同一未知数且都是一元一次不等式 · 理解「公共部分」：解集必须是所有不等式解集的交集 · 无公共部分即无解，直接作答 · 用数轴观察公共部分最直观 1．（2025春•武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 2．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【解答】解：根据一元一次不等式组定义逐个判断解答如下： A．，含有两个未知数，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 3．下列各不等式组中是一元一次不等式组的是 　③④　 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解答】解：①含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ③和④是一元一次不等式组； 是分式，不是整式，故⑤不是一元一次不等式组； 所以是一元一次不等式组的是③④． 故答案为：③④． 【点评】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力． 4．（2025春•同步）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 　③④　 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解答】解：①含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 叁和④是一元一次不等式组； 不是整式，故⑤不是一元一次不等式组； 所以是一元一次不等式组的是③④． 故答案为：③④． 【点评】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力． 5．（2025春•同步）下列各不等式组中是一元一次不等式组的有　③④　 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解答】解：①含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ③和④是一元一次不等式组； 不是整式，故⑤不是一元一次不等式组； 所以是一元一次不等式组的是③④． 故答案为：③④． 【点评】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力． 6．一元一次不等式组 一般地，由几个含有　未知数相同　 的　几个一元一次不等式　 所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 【分析】直接根据一元一次不等式组的定义解答即可． 【解答】解：一般地，由几个含有未知数相同的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 故答案为：未知数相同，几个一元一次不等式． 【点评】此题考查的是一元一次不等式组，掌握其定义是解决此题的关键． 【考点2】解一元一次不等式组（第8-15题） · 先分别解每个不等式，再取公共部分 · 记口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 · 数轴上每个解集画射线，重合区域为解集 · 解完把解集回代验证端点是否正确 7．（2025秋•贵阳期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式x﹣1≥0得x≥1， 解不等式2﹣x＞0得x＜2， ∴不等式组的解集为：1≤x＜2， 在数轴上表示如图： ． 故选：D． 【点评】本题考查的是解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 8．（2026春•伊金霍洛旗期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a≤2 D．﹣1≤a＜3 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于a的不等式求解即可． 【解答】解：解不等式x+3＞2，得x＞﹣1， 解不等式2x﹣1≤a，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得a≤﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 9．（2026春•启东市期末）已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是（　　） A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣6≤m＜﹣5 C．﹣5＜m≤﹣4 D．﹣6＜m≤﹣5 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：不等式组整理得， 由不等式组的整数解只有3个，得到整数解为﹣3，﹣4，﹣5， ∴﹣6≤m＜﹣5， 故选：B． 【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，明确不等式的整数解是解此题的关键． 10．（2025秋•青羊区校级期末）关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是﹣1＜x＜2，可得1，a＝2，再解一元一次方程可得答案． 【解答】解：， 由①得：x＜a， 由②得：x， ∵关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2， ∴1，a＝2， 解得：a＝2，b＝3， 则a﹣b＝2﹣3＝﹣1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，关键是正确计算出两个不等式的解集． 11．（2026•香坊区一模）不等式组的解集是 　　 ． 【分析】先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式2x+4≥0，得x≥﹣2， 解不等式4﹣2x＜﹣1，得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键． 12．（2026春•平原县期末）若不等式组的解集中的任意x都能使不等式4﹣x＞0成立，则a的取值范围是 a　 ． 【分析】先求出不等式组的解集得到xa，再根据不等式组的解集能使不等式4﹣x＞0成立，得到关于a的不等式，然后解关于a的不等式即可． 【解答】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中的任意x都能使不等式4﹣x＞0成立，即x＜4， ∴， 解得， 即a的取值范围为a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分． 13．（2025秋•沙坪坝区校级期末）（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）依据题意，设m＝x+1，n＝2y+3，则原方程组化为：，求出m，n然后再代入计算可以得解； （2）依据题意，解不等式组，由①得，3x﹣2x≤1，则x≤1，由②得，7x﹣2＞3﹣3x，则x，从而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，设m＝x+1，n＝2y+3， ∴原方程组化为：， 对第一个方程两边同乘6，得：2m﹣3n＝6 ①， 对第二个方程两边同除以2，得：2m+n＝2 ②， ∴②﹣①消去m：4n＝﹣4，则n＝﹣1， 代入②得， ∴；2y+3＝﹣1，则y＝﹣2． ∴方程组的解为：； （2）解不等式组， 由①得，3x﹣2x≤1，则x≤1， 由②得，7x﹣2＞3﹣3x，则x． ∴原不等式组的解集为． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 14．（2025秋•鄞州区期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． ． 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再确定整数解即可． 【解答】解： 解不等式①得：x＜10， 解不等式②得：， 所以不等式组的解为：， 所以整数解为：7，8，9． 【点评】本题考查的是求解不等式组的整数解，通过解不等式组求得x的取值范围是解题的关键． 【考点3】一元一次不等式组的整数解（第16-22题） · 先求解集再取整数，注意端点含不含 · 含参问题画数轴定位整数解个数 · 端点取等时多一个整数解，是易错点 · 整数解个数与端点实心空心一一对应 15．（2025秋•沭阳县校级期末）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意，得出关于a的不等式组，据此求出a的最大值即可． 【解答】解：由得，x＞1， 由得，x＜a， 因为该不等式组有且只有三个整数解， 则这三个整数解为2，3，4， 所以4＜a≤5， 则a的最大值为5． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 16．（2025秋•北林区期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣4≤a＜﹣3 B．﹣4＜a≤﹣3 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a≤﹣2 【分析】首先解不等式组得到解集为a≤x＜1，由于有且仅有4个整数解，且x＜1，因此整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，为确保仅这些整数解，需满足a≤﹣3，为不包括﹣4，需a＞﹣4． 【解答】解：若关于x的不等式组有且仅有4个整数解， ∵解不等式x﹣a≥0得x≥a， 解不等式3﹣2x＞1得x＜1， ∴不等式组的解集为a≤x＜1， ∵有且仅有4个整数解，且x＜1， ∴整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0， 为确保﹣3被包括，需a≤﹣3， 为确保﹣4不被包括，需a＞﹣4， ∴a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查解不等式组，易错点是a的取值边界，正确进行计算是解题关键． 17．（2026•南山区校级一模）不等式组的整数解为　3　 ． 【分析】分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥3； 解不等式②，得x＜4； 所以不等式组的解集为3≤x＜4， 所以不等式组的整数解为3； 故答案为：3． 【点评】本题考查求不等式组的整数解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．（2026•鼓楼区校级模拟）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣4＜a≤﹣3　 ． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据原不等式有5个整数解，写出这5个整数解，即可得到a的取值范围． 【解答】解：由不等式组得：， ∵不等式组有5个整数解， ∴这5个整数解为1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ∴﹣4＜a≤﹣3， 故答案为：﹣4＜a≤﹣3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 19．（2026•潼南区一模）解不等式组：，并求它的所有整数解． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜3， 不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1、2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（2025秋•桥东区期末）（1）解不等式2x+4≥4x，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式2﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）原不等式移项得2x﹣4x≥﹣4， 合并同类项得﹣2x≥﹣4， 系数化为1得x≤2， 数轴表示如下所示： （2）原不等式移项得：﹣x＜5﹣2， 合并同类项得：﹣x＜3， 系数化为1得：x＞﹣3， 数轴表示如下所示： （3）解不等式2x+4≥4x得：x≤2， 解不等式2﹣x＜5得：x＞﹣3， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2，最小整数解为﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． 21．（2025春•长沙期末）对于不等式组，根据它的解集是否能取到最大数与最小数，可分为四种类型，我们不妨约定： 既能取到最大数，也能取到最小数的不等式组称为“峰谷”不等式组，其中最大数称为峰值，最小数称为谷值； 只能取到最大数，不能取到最小数的不等式组称为“峰”不等式组，其中最大数称为峰值； 只能取到最小数，不能取到最大数的不等式组称为“谷”不等式组，其中最小数称为谷值； 既不能取到最大数，又不能取到最小数的不等式组称为“非峰非谷”不等式组． （1）判断下列不等式组的类型，将字母（A“峰谷”不等式组；B“峰”不等式组；C“谷”不等式组；D“非峰非谷”不等式组）写在括号内： ①不等式组； B ②不等式组； A ③不等式组． D （2）若关于x的不等式组是“谷”不等式，求关于x的不等式ax+1＞x+a的解集； （3）若关于x的不等式组是“峰谷”不等式组，且该不等式组的峰值、谷值均为整数，此时关于y的不等式组有4个整数解，求n的取值范围． 【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再根据新定义判断①②③； （2）根据一元一次不等式组的解法和新定义解答即可； （3）根据一元一次不等式组的解法和新定义解答即可． 【解答】解：（1）①， 解不等式x﹣1＞0得：x＞1； 解不等式2x≤4得：x≤2， ∴不等式组的解集为：1＜x≤2， ∴此不等式组为“峰”不等式组， 故答案为：B； ②， 解不等式x﹣2≤2x得：x≥﹣2． 解不等式x﹣1≤﹣x得：x， ∴不等式组的解集为：﹣2， ∴此不等式组为“峰谷”不等式组， 故答案为：A； ③， 解不等式x﹣1＞﹣1得：x＞0； 解不等式x+1＜2得：x＜1， ∴不等式组的解集为：0＜x＜1． ∴此不等式组为“非峰非谷”不等式组， 故答案为：D； （2）解不等式组得：， ①当2a﹣1＞2﹣a，即a＞1时， 不等式组的解集为x＞2a﹣1， ∴不等式组为“非峰非谷”不等式组，不满足题意，此时不等式无解； ②当2﹣a＞2a﹣1，即a＜1时， 不等式组的解集为x≥2﹣a， ∴不等式组为“谷”不等式组，符合题意， ∵ax+1＞x+a ∴（a﹣1）x＞a﹣1 ∵a﹣1＜0 解得：x＜1； （3）∵不等式组为峰谷不等式组， ∴m＞0， ∴不等式组的解集为， ∵峰值、谷值均为整数， 解得：m＝1， 不等式组化为：， 解不等式组得﹣1≤y＜2n﹣1， ∵有4个整数解， ∴y的整数解为﹣1，0，1，2， ∴2＜2n﹣1≤3， 解得：． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解和新定义，关键是掌握一元一次不等式组的解法． 【考点4】一元一次不等式组的应用（第23-35题） · 找全不等关系，每个不等关系列一个不等式 · 方案题：解集内的正整数就是可行方案 · 最省资金/利润最大：结合一次函数单调性 · 检查方案合理性，舍去不合题意的解 22．（2024春•碑林区校级月考）六一儿童节即将到来，苏老师给同学们准备了甜甜的糖果．在给八（6）班的同学分糖果时，若每人分4块，则剩下9块糖果：若每人分6块，则最后一名同学有分到糖果但少于3块．设八（6）班有x名同学，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最后一名同学有分到糖果但少于3块，可以得到不等式（4x+9）﹣6（x﹣1）＞0且（4x+9）﹣6（x﹣1）＜3，然后联立不等式组即可． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 23．（2025春•萍乡期中）莲花血鸭是江西十大赣菜之一，为确保肉质鲜嫩、入味均匀，对鸭子的选择有特定要求．鸭子的推荐重量x（kg），要求不低于1kg，不高于1.5kg．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　） A．1＜x＜1.5 B．1≤x≤1.5 C．1＜x≤1.5 D．1≤x＜1.5 【分析】根据不低于1kg表示为“1≤x”，不高于1.5kg表示为“1.5x≤1.5”，即可得出答案． 【解答】解：由条件可得1≤x≤1.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式，理解题意是关键． 24．（2025春•织金县期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为xmg，则x的取值范围是（　　） A．30≤x≤60 B．30＜x＜60 C．10≤x≤20 D．10＜x＜20 【分析】根据说明书上的用法用量，即可得出关于x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：30≤x≤60． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量，找出x的取值范围是解题的关键． 25．（2026春•江南区期末）老友粉是南宁特色美食，粉店收到一份大订单，需要打包分装辣椒包和酸笋包共有50袋，酸笋包数量设为x袋，满足条件：①辣椒包、酸笋包每一种至少有18袋；②辣椒包的袋数比酸笋包多，则列出不等式组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据①辣椒包、酸笋包每一种至少有18袋；②辣椒包的袋数比酸笋包多，列出一元一次不等式组即可． 【解答】解：酸笋包数量设为x袋，则辣椒包有（50﹣x）袋， 由题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 26．（2026春•禅城区期末）将2个等重圆球放在天平左边托盘．当右边托盘放1个20g砝码时，天平状态如图1：当右边托盘放2个20g砝码时，天平状态如图2．则1个圆球的重量m（g）的取值范围是　10＜m＜20　 ． 【分析】依据题意可得，，解不等式组即可得出答案． 【解答】解：由题意得，， ∴10＜m＜20． 故答案为：10＜m＜20． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，掌握解一元一次不等式的方法，不等式的性质是解题的关键． 27．（2026春•曲沃县期末）如图是高速公路的限速标志，该标志表明在此道路上行驶的小客车的最低车速为90km/h，最高车速为120km/h．如果用v（单位：km/h）表示此道路小客车的速度，则v的取值范围是 　90≤v≤120　 ． 【分析】根据图中的信息，可知：90≤v≤120． 【解答】解：由图可得， 90≤v≤120， 故答案为：90≤v≤120． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 28．（2026春•新城区校级期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组　　 ． 【分析】每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，列出不等式组即可． 【解答】解：由题意可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意，列出不等式组是关键． 29．（2026春•通州区期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为2m2和1m2，已知新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元．若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 【分析】设新建地上充电桩m个，则新建地下充电桩（60﹣m）个，根据该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论． 【解答】解：设新建地上充电桩m个，则新建地下充电桩（60﹣m）个， 根据题意得：， 解得：17≤m≤18， 又∵m为正整数， ∴m可以为17，18， ∴共有2种建造方案： ①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩； ②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 30．（2026春•宿城区期末）某学校的中国象棋社团，打算购买一批中国象棋供学生上社团课使用；了解到某商店有A、B两种品牌的中国象棋可供选择，且买A种中国象棋3副的价钱与买B种中国象棋4副的价钱一样多，买2副A种中国象棋与3副B种中国象棋的总价为255元． （1）求两种中国象棋的单价分别是多少元？ （2）若该社团打算采购这两种品牌的中国象棋共70副，要求买A种中国象棋不少于30副，且总费用不超过3650元，那么该社团有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设A种象棋的单价是x元，B种象棋的单价是y元，根据“买A种中国象棋3副的价钱与买B种中国象棋4副的价钱一样多，买2副A种中国象棋与3副B种中国象棋的总价为255元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种象棋m副，则购买B种象棋（70﹣m）副，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3650元，列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种象棋的单价是x元，B种象棋的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种象棋的单价是60元，B种象棋的单价是45元； （2）设购买A种象棋m副，则购买B种象棋（70﹣m）副， 根据题意得：， 解得：30≤m≤33， 又∵m为整数， ∴m＝30，31，32，33， ∴该社团有4种购买方案： ①购买A种象棋30副，B种象棋40副； ②购买A种象棋31副，B种象棋39副； ③购买A种象棋32副，B种象棋38副； ④购买A种象棋33副，B种象棋37副． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． 31．（2025秋•鄞州区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【分析】（1）根据题意列出方程组并求解即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【解答】解：（1）设A型充电桩单价为x万元，B型充电桩单价为y万元， 由题意列二元一次方程组得， ， 解得， 即A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元， 答：A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元； （2）设A型充电桩购入a个， 则根据题意列一元一次不等式得，， 解得10≤a≤12， 又∵a为整数， ∴a＝10或11或12． 答：共有3种购买方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 32．（2025秋•温岭市期末）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅12元，B种剪纸每幅9元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？ 【分析】设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸（100﹣x）幅，根据“购买预算不超过1100元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸（100﹣x）幅， 根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为34． 答：至少购进A种剪纸34幅． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 33．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段PQ．若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为﹣1，点M表示的数为2． 解答下列问题：如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是﹣5，﹣4，﹣3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为t（t＞0）秒，问当t在范围 　2≤t　 时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称． 【分析】当移动的时间为t（t＞0）时，点H表示的数为﹣5+t，点K表示的数为﹣4+3t，点L表示的数为﹣3+3t，进而可得出线段HK的中点表示的数为，线段HL的中点表示的数为，结合线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称，可列出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围． 【解答】解：当移动的时间为t（t＞0）时，点H表示的数为﹣5+t，点K表示的数为﹣4+3t，点L表示的数为﹣3+3t， ∴线段HK的中点表示的数为，线段HL的中点表示的数为， ∵线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称， ∴， ∴2≤t， ∴当2≤t时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称． 故答案为：2≤t． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 34．（2026春•青山区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 【分析】设共有x名同学，则这些书有（3x+8）本，根据“如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可确定x的值（即人数），再将其代入（3x+8）中，即可求出这些书的本数． 【解答】解：设共有x名同学，则这些书有（3x+8）本， 根据题意得：， 解得：5＜x≤6， ∵x为正整数， ∴x＝6， ∴3x+8＝3×6+8＝26（本）． 答：这些书有26本，共有6名同学． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•永寿县校级模拟）解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式2x﹣4≤3x得，x≥﹣4， 解不等式得，x＜1， 所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1． 数轴表示如下： ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【练习 2】（2026•天山区校级模拟）解不等式组：． 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【解答】解：， 解不等式得：x≤3； 解不等式x＜3（x+2）得：x＞﹣3； ∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键． 【练习 3】（2026春•开封期末）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是 　6≤m＜9　 ． 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出23，解之可得． 【解答】解：由3x﹣m＞0得：x， 由x﹣1≤5得：x≤6， ∵不等式组有四个整数解， ∴不等式组的整数解为6、5、4、3， 则23， 解得6≤m＜9， 故答案为：6≤m＜9． 【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键． 【练习 4】（2026春•渠县校级期末）关于x的不等式组恰有两个整数解，则实数a的取值范围为　1＜a≤2．　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的个数求解可得． 【解答】解：解不等式0得：x， 不等式x＜a， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴这两个整数解为0、1， ∴1＜a≤2， 故答案为：1＜a≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【练习 5】（2026•渠县校级模拟）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，由题意：购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”共需1020元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设制作m个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”，由题意：总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物，利润不低于2480元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元． （2）设制作m个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”， 依题意得：， 解得：48≤m≤50， ∵m为正整数， ∴m的值为48、49、50， ∴有3种制作方案： ①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”； ②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”； ③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 💯 课后巩固 复习建议 · 先分别解每个不等式，再取公共部分，不要直接合写 · 记牢口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 · 含参整数解问题，用数轴画图并重点检查端点是否取等 · 应用题找全不等关系再列不等式组，方案取正整数 · 最优化问题结合一次函数增减性，比较各方案费用取最值 【作业 1】（2026春•赤坎区期末）关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a＜﹣2 B．﹣3≤a≤﹣2 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2 【分析】先求出各个不等式的解集，然后根据不等式组由3个整数解，求出a的取值范围即可． 【解答】解：， 由①得：3x＞5x﹣10+8， 3x＞5x﹣2， 3x﹣5x＞﹣2， ﹣2x＞﹣2， x＜1， 由②得：﹣x≤﹣a， x≥a， ∵不等式组有解， ∴a≤x＜1， ∵关于x的不等式组整数解共有3个， ∴﹣3＜a≤﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 【作业 2】（2025秋•雁塔区校级期末）若关于x的不等式组无解，则a的值为（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 【分析】根据不等式组无解即可得到关于a的不等式，即可求得a的范围． 【解答】解：（1）由x+1≤2，得：x≤1， ∵关于x的不等式组无解， ∴a﹣2≥1， ∴a≥3； 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 【作业 3】（2025春•民权县校级期末）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：x， 解②得：x， ∵关于x的不等式组有且只有一个整数解， ∴12， 解得：20＜m≤23． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【作业 4】（2025秋•锦江区校级期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是a≤3　 ． 【分析】根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴a﹣1≤2， 解得：a≤3． 故答案为：a≤3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【作业 5】（2026•丰都县校级模拟）求不等式组：的所有整数解． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解． 【解答】解：， 由①得：x＜4， 由②得：x， ∴不等式组的解集为x＜4， ∴整数解为0，1，2，3． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【作业 6】（2025•济南一模）求不等式组的非负整数解． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣2， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业 7】（2026春•宿松县期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【分析】先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≤5， 解不等式②，得：x＞2， 故原不等式组的解集是2＜x≤5， 其解集在数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【作业 8】（2026春•兰州期中）为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 【分析】设八年级（1）班有x名学生，则这批图书有（2x+48）本，根据如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本），列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：设八年级（1）班有x名学生，则这批图书有（2x+48）本， 由题意得：， 解得：48＜x≤50， ∴八年级（1）班最少有49名学生，最多有50名学生， 答：八年级（1）班最多有50名学生． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•雁塔区校级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求该超市有哪几种购买方案？超市获得的最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据投入资金不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：m的值为10，n的值为14； （2）根据题意得：， 解得：58≤x≤60， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴该超市有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）， ∵516＜518＜520， ∴超市获得的最大利润为520元． 答：该超市有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜，超市获得的最大利润为520元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【作业 10】（2026•兴庆区校级一模）为了响应市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备共用52万元，购买5台A型设备和4台B型设备共用92万元． 设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 （1）求m、n的值． （2）经审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案所需的购买资金． 【分析】（1）根据“购买3台A型设备和2台B型设备共用52万元，购买5台A型设备和4台B型设备共用92万元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买x台A型设备，则购买（18﹣x）台B型设备，根据“该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，每月要求处理污水量不低于4600吨”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为非负整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需购买资金，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：m的值为12，n的值为8； （2）设购买x台A型设备，则购买（18﹣x）台B型设备， 根据题意得：， 解得：2≤x≤3， 又∵x为非负整数， ∴x可以为2，3， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买2台A型设备，16台B型设备，所需的购买资金为12×2+8×16＝152（万元）； 方案2：购买3台A型设备，15台B型设备，所需的购买资金为12×3+8×15＝156（万元）， ∵152＜156， ∴方案1最省钱． 答：当购买2台A型设备，16台B型设备时，最省钱，此时所需的购买资金为152万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【作业 11】（2026春•黄山期末）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【分析】（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元，根据“2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车，根据“公司投入的购车资金不超过340万元，且销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购车方案． 【解答】解：（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车， 根据题意得：， 解得：6≤m， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8， ∴该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【作业 12】（2025春•武汉期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元．当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元． （1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ （2）因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ （3）为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价a万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为　1　 ． 【分析】（1）设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是（40﹣x）万元，根据“当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价，再将其代入（40﹣x）中，即可求出该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价； （2）设购进m辆A型汽车，则购进（15﹣m）辆B型汽车，根据“该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，且全部售出后至少要获利11万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）根据（2）中所有方案获利相同，可列出关于a的一元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是（40﹣x）万元， 根据题意得：20×0.95x+20（40﹣x﹣0.5）＝775， 解得：x＝15， ∴40﹣x＝40﹣15＝25（万元）． 答：该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元； （2）设购进m辆A型汽车，则购进（15﹣m）辆B型汽车， 根据题意得：， 解得：9≤m≤11.5， 又∵m为正整数， ∴m可以为9，10，11， ∴该公司共有3种购进方案， 方案1：购进9辆A型汽车，6辆B型汽车； 方案2：购进10辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进11辆A型汽车，4辆B型汽车； （3）根据题意得：， 解得：a＝1， ∴a的值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【作业 13】今年3月12日植树节，某中学为了进一步绿化校园，计划购买甲、乙两种树苗，共计50棵．甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元；甲种树苗的成活率为90%，乙种树苗的成活率为95%．设购买甲种树苗x棵． （1）填表（用含x的式子表示）． 甲 乙 购买树苗的数量/棵 x 　50﹣x 购买树苗的费用/元 　50x 　80（50﹣x）　 （2）如果购买甲、乙两种树苗共用去2560元，那么甲、乙两种树苗各购买了多少棵？ （3）如果要使这批树苗的成活率不低于92%，请设计一种购买甲、乙两种树苗的方案，使购买甲、乙两种树苗的总费用最少，写出购买方案并计算出购买甲、乙两种树苗的总费用． 【分析】（1）根据题目中的数量关系即可求解； （2）由购买甲、乙两种树苗共用去2560元，可列出方程； （3）根据这批树苗的成活率不低于92%，可得出关于x的不等式，求出x的范围，然后根据购买费用与x的函数关系即可得出结论． 【解答】解：（1）∵甲、乙两种树苗共计50棵， ∴乙种树苗（50﹣x）棵， ：甲种树苗每棵50元， ∴购买甲种树苗费用50x元， ∵乙种树苗每棵80元， ∴购买乙种树苗费用80（50﹣x）元， 故答案为：x，50﹣x，50x，80（50﹣x）； （2）由题意可得， 50x+80（50﹣x）＝2560， 解得x＝48， 答：甲、乙两种树苗各购买了48棵和2棵． （3）， 解得 x≤30， 费用w＝50x+80（50﹣x） ＝﹣30×+4000， ∵w随x增大而减小， ∴当x＝30时，w最小，最小值为3100． 答：购买甲30棵，购买乙20棵时，总费用最少，最少为3100元． 【点评】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式及一次函数的应用，关键是搞清题目中的数量关系，列出方程和不等式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元一次不等式组 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元一次不等式组的概念，能识别不等式组并判断其解集 · 掌握解一元一次不等式组的步骤，会求不等式组的解集 · 会在数轴上表示不等式组的解集，正确区分空心与实心、取交与取并 · 会求不等式组的整数解，并能解决含参不等式组的参数范围问题 · 能建立不等式组模型解决实际方案设计与最优化问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 不等式组中的每个不等式都含同一个未知数，且每个都是一元一次不等式 不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集 几个不等式没有公共部分时，不等式组无解 概念辨析例题：下列式子中，是一元一次不等式组的是（　）．A．{x＞1, y＜2}　B．{x＞1, x＜2}　C．{x2＞1, x＜2}　D．{x＞1, 2＞3} 解析：一元一次不等式组要求：各不等式含同一个未知数且都是一元一次不等式。A中两个不等式含不同未知数x、y，不是；C中x2＞1不是一元一次不等式；D中2＞3不含未知数不是不等式；只有B符合，故选B。 ☆ 2.解一元一次不等式组 步骤：先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找公共部分 解集的四种类型：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 数轴表示时，每个解集画对应的射线，公共部分即不等式组的解集 无解时直接写「不等式组无解」，不需画数轴 概念辨析例题：解不等式组：{2x+1＞x, x−1＜3}，并把解集在数轴上表示出来 解析：解第一个不等式得x＞−1，解第二个得x＜4，两个解集在数轴上取公共部分，得−1＜x＜4；在数轴上−1处空心向右、4处空心向左，中间重合部分即为解集。 ☆ 3.一元一次不等式组的整数解 不等式组的整数解就是解集范围内的所有整数 求整数解的步骤：先求不等式组解集，再在解集中取整数 含参不等式组给出整数解个数时，用数轴结合端点空心实心确定参数范围 端点是否取等是关键：边界点处实心则包含，空心则不包含 概念辨析例题：关于x的不等式组{3x−1＜x+5, x≥m}恰有两个整数解，则m的取值范围是______ 解析：解3x−1＜x+5得x＜3，结合x≥m，解集为m≤x＜3。恰有两个整数解即整数1、2（若含3则三个解），所以m不能超过0且要大于−1，即−1＜m≤0；注意m=0时含0、1、2共三个整数解，所以取m≤0需验证端点。 ☆ 4.一元一次不等式组的应用 审题找出两个以上的不等关系，分别列不等式组成不等式组 方案设计题：未知数取正整数，解集中的正整数即为可行方案 最优化问题：结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 注意「不超过」「不低于」「至少」等关键词对应不等号方向 概念辨析例题：某超市购进甲、乙两种有机蔬菜共100千克，投入资金不少于1160元又不多于1168元，甲每千克8元、乙每千克12元，购买甲种蔬菜x千克，求x的取值范围及购买方案 解析：由题意列不等式组：8x+12(100−x)≥1160 且 8x+12(100−x)≤1168，解得58≤x≤60，x为正整数可取58、59、60，共3种购买方案。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次不等式组 含同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 每个不等式都含同一未知数且次数为1 解集 各不等式解集的公共部分 无公共部分则不等式组无解 同大取大 x＞a 且 x＞b（a＞b）→ x＞a 同小取小，注意方向 大小小大中间找 x＞a 且 x＜b（a＜b）→ a＜x＜b 无公共部分时无解 整数解 解集范围内的整数 结合数轴端点空心实心判断 应用模型 由不等关系列不等式组 取正整数方案，最优化结合函数 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元一次不等式组的定义（第1-7题） · 判断不等式组：各不等式含同一未知数且都是一元一次不等式 · 理解「公共部分」：解集必须是所有不等式解集的交集 · 无公共部分即无解，直接作答 · 用数轴观察公共部分最直观 1．（2025春•武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各不等式组中是一元一次不等式组的是 _______ ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 4．（2025春•同步）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 _______ ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 5．（2025春•同步）下列各不等式组中是一元一次不等式组的有_______ ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 6．一元一次不等式组 一般地，由几个含有__________ 的______________ 所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 【考点2】解一元一次不等式组（第8-15题） · 先分别解每个不等式，再取公共部分 · 记口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 · 数轴上每个解集画射线，重合区域为解集 · 解完把解集回代验证端点是否正确 7．（2025秋•贵阳期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026春•伊金霍洛旗期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a≤2 D．﹣1≤a＜3 9．（2026春•启东市期末）已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是（　　） A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣6≤m＜﹣5 C．﹣5＜m≤﹣4 D．﹣6＜m≤﹣5 10．（2025秋•青羊区校级期末）关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 11．（2026•香坊区一模）不等式组的解集是 ____________________ ． 12．（2026春•平原县期末）若不等式组的解集中的任意x都能使不等式4﹣x＞0成立，则a的取值范围是 ____________________ ． 13．（2025秋•沙坪坝区校级期末）（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 14．（2025秋•鄞州区期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． ． 【考点3】一元一次不等式组的整数解（第16-22题） · 先求解集再取整数，注意端点含不含 · 含参问题画数轴定位整数解个数 · 端点取等时多一个整数解，是易错点 · 整数解个数与端点实心空心一一对应 15．（2025秋•沭阳县校级期末）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2025秋•北林区期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣4≤a＜﹣3 B．﹣4＜a≤﹣3 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a≤﹣2 17．（2026•南山区校级一模）不等式组的整数解为_____ ． 18．（2026•鼓楼区校级模拟）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________ ． 19．（2026•潼南区一模）解不等式组：，并求它的所有整数解． 20．（2025秋•桥东区期末）（1）解不等式2x+4≥4x，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式2﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 21．（2025春•长沙期末）对于不等式组，根据它的解集是否能取到最大数与最小数，可分为四种类型，我们不妨约定： 既能取到最大数，也能取到最小数的不等式组称为“峰谷”不等式组，其中最大数称为峰值，最小数称为谷值； 只能取到最大数，不能取到最小数的不等式组称为“峰”不等式组，其中最大数称为峰值； 只能取到最小数，不能取到最大数的不等式组称为“谷”不等式组，其中最小数称为谷值； 既不能取到最大数，又不能取到最小数的不等式组称为“非峰非谷”不等式组． （1）判断下列不等式组的类型，将字母（A“峰谷”不等式组；B“峰”不等式组；C“谷”不等式组；D“非峰非谷”不等式组）写在括号内： ①不等式组； _____ ②不等式组； _____ ③不等式组． _____ （2）若关于x的不等式组是“谷”不等式，求关于x的不等式ax+1＞x+a的解集； （3）若关于x的不等式组是“峰谷”不等式组，且该不等式组的峰值、谷值均为整数，此时关于y的不等式组有4个整数解，求n的取值范围． 【考点4】一元一次不等式组的应用（第23-35题） · 找全不等关系，每个不等关系列一个不等式 · 方案题：解集内的正整数就是可行方案 · 最省资金/利润最大：结合一次函数单调性 · 检查方案合理性，舍去不合题意的解 22．（2024春•碑林区校级月考）六一儿童节即将到来，苏老师给同学们准备了甜甜的糖果．在给八（6）班的同学分糖果时，若每人分4块，则剩下9块糖果：若每人分6块，则最后一名同学有分到糖果但少于3块．设八（6）班有x名同学，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 23．（2025春•萍乡期中）莲花血鸭是江西十大赣菜之一，为确保肉质鲜嫩、入味均匀，对鸭子的选择有特定要求．鸭子的推荐重量x（kg），要求不低于1kg，不高于1.5kg．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　） A．1＜x＜1.5 B．1≤x≤1.5 C．1＜x≤1.5 D．1≤x＜1.5 24．（2025春•织金县期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为xmg，则x的取值范围是（　　） A．30≤x≤60 B．30＜x＜60 C．10≤x≤20 D．10＜x＜20 25．（2026春•江南区期末）老友粉是南宁特色美食，粉店收到一份大订单，需要打包分装辣椒包和酸笋包共有50袋，酸笋包数量设为x袋，满足条件：①辣椒包、酸笋包每一种至少有18袋；②辣椒包的袋数比酸笋包多，则列出不等式组是（　　） A． B． C． D． 26．（2026春•禅城区期末）将2个等重圆球放在天平左边托盘．当右边托盘放1个20g砝码时，天平状态如图1：当右边托盘放2个20g砝码时，天平状态如图2．则1个圆球的重量m（g）的取值范围是____________ ． 27．（2026春•曲沃县期末）如图是高速公路的限速标志，该标志表明在此道路上行驶的小客车的最低车速为90km/h，最高车速为120km/h．如果用v（单位：km/h）表示此道路小客车的速度，则v的取值范围是 _____________ ． 28．（2026春•新城区校级期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组____________________ ． 29．（2026春•通州区期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为2m2和1m2，已知新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元．若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 30．（2026春•宿城区期末）某学校的中国象棋社团，打算购买一批中国象棋供学生上社团课使用；了解到某商店有A、B两种品牌的中国象棋可供选择，且买A种中国象棋3副的价钱与买B种中国象棋4副的价钱一样多，买2副A种中国象棋与3副B种中国象棋的总价为255元． （1）求两种中国象棋的单价分别是多少元？ （2）若该社团打算采购这两种品牌的中国象棋共70副，要求买A种中国象棋不少于30副，且总费用不超过3650元，那么该社团有哪几种购买方案？ 31．（2025秋•鄞州区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 32．（2025秋•温岭市期末）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅12元，B种剪纸每幅9元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？ 33．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段PQ．若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为﹣1，点M表示的数为2． 解答下列问题：如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是﹣5，﹣4，﹣3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为t（t＞0）秒，问当t在范围 ____________________ 时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称． 34．（2026春•青山区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•永寿县校级模拟）解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【练习 2】（2026•天山区校级模拟）解不等式组：． 【练习 3】（2026春•开封期末）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是 __________ ． 【练习 4】（2026春•渠县校级期末）关于x的不等式组恰有两个整数解，则实数a的取值范围为___________ ． 【练习 5】（2026•渠县校级模拟）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 💯 课后巩固 复习建议 · 先分别解每个不等式，再取公共部分，不要直接合写 · 记牢口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 · 含参整数解问题，用数轴画图并重点检查端点是否取等 · 应用题找全不等关系再列不等式组，方案取正整数 · 最优化问题结合一次函数增减性，比较各方案费用取最值 【作业 1】（2026春•赤坎区期末）关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a＜﹣2 B．﹣3≤a≤﹣2 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2 【作业 2】（2025秋•雁塔区校级期末）若关于x的不等式组无解，则a的值为（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 【作业 3】（2025春•民权县校级期末）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【作业 4】（2025秋•锦江区校级期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是________ ． 【作业 5】（2026•丰都县校级模拟）求不等式组：的所有整数解． 【作业 6】（2025•济南一模）求不等式组的非负整数解． 【作业 7】（2026春•宿松县期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【作业 8】（2026春•兰州期中）为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 【作业 9】（2025秋•雁塔区校级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求该超市有哪几种购买方案？超市获得的最大利润为多少元？ 【作业 10】（2026•兴庆区校级一模）为了响应市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备共用52万元，购买5台A型设备和4台B型设备共用92万元． 设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 （1）求m、n的值． （2）经审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案所需的购买资金． 【作业 11】（2026春•黄山期末）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【作业 12】（2025春•武汉期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元．当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元． （1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ （2）因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ （3）为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价a万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为_____ ． 【作业 13】今年3月12日植树节，某中学为了进一步绿化校园，计划购买甲、乙两种树苗，共计50棵．甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元；甲种树苗的成活率为90%，乙种树苗的成活率为95%．设购买甲种树苗x棵． （1）填表（用含x的式子表示）． 甲 乙 购买树苗的数量/棵 _____ _________ 购买树苗的费用/元 ________ _____________ （2）如果购买甲、乙两种树苗共用去2560元，那么甲、乙两种树苗各购买了多少棵？ （3）如果要使这批树苗的成活率不低于92%，请设计一种购买甲、乙两种树苗的方案，使购买甲、乙两种树苗的总费用最少，写出购买方案并计算出购买甲、乙两种树苗的总费用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $