第17讲 一次函数及其性质 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第17讲 一次函数及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正比例函数与一次函数的概念，能识别并确定参数取值 · 掌握正比例函数与一次函数图象的画法及特征 · 掌握一次函数的性质，能由k、b判断增减性与象限分布 · 理解一次函数、一次方程与一次不等式的关系，会用图象法解题 · 能综合运用一次函数解决比较大小、求交点与最值等问题 📚 知识梳理 ☆ 1.正比例函数的概念 形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫比例系数 判断要点：自变量x的指数是1，系数k≠0，且没有常数项 求k值：由函数定义列方程（如k2−4=0且k−2≠0） 正比例函数是特殊的一次函数（b=0的情形） 概念辨析例题：函数y＝（k−2）x+k2−4是正比例函数，求k的值 解析：由正比例函数定义知，一次项系数k−2≠0且常数项k2−4=0；k2−4=0得k=±2，又k≠2，所以k=−2。 ☆ 2.正比例函数的图象 正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线 k＞0时直线过一、三象限；k＜0时直线过二、四象限 |k|越大直线越陡（与x轴的夹角越大） 画图只需找两个点：原点和（1，k）即可画出直线 概念辨析例题：三个正比例函数的图象分别对应y＝ax、y＝bx、y＝cx，将a、b、c按从大到小排列 解析：正比例函数y=kx中，k的绝对值越大直线越靠近y轴；k＞0时图象在一、三象限，此时直线越陡k越大。按各直线倾斜程度从陡到缓排列即可。 ☆ 3.正比例函数的性质 k＞0时，y随x的增大而增大，图象从左到右上升 k＜0时，y随x的增大而减小，图象从左到右下降 图象经过原点，x、y同号（k＞0）或异号（k＜0） 由图象经过的象限可反推k的符号 概念辨析例题：如果正比例函数y=x的图象经过二、四象限，那么m的取值范围是______ 解析：图象经过二、四象限说明k＜0，即＜0，解得m＜2。 ☆ 4.一次函数的概念 形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数 当b=0时，y=kx+b就是正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例 判断要点：自变量x的指数为1，系数k≠0 一次函数中b是截距，表示图象与y轴交点的纵坐标 概念辨析例题：下列函数中，是一次函数的是（　）．A．y=x2　B．y=　C．y=3x−1　D．y= 解析：一次函数形如y=kx+b且k≠0。A中x的指数为2是二次函数；B是反比例函数；D含根号；只有C符合y=3x−1（k=3，b=−1）。 ☆ 5.一次函数的图像 一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（−，0）的一条直线 b决定图象与y轴的交点：b＞0交于正半轴，b＜0交于负半轴 平移规律：y=kx向上（下）平移b个单位得到y=kx+b（b＞0上移） 画图常用两点法：取（0，b）和（1，k+b）连线 概念辨析例题：一次函数y=kx+4（k＜0）的图象经过点A（1，2），则图象与x轴的交点坐标是______ 解析：把A（1，2）代入y=kx+4得k+4=2，k=−2，所以y=−2x+4；令y=0得−2x+4=0，x=2，与x轴交点（2，0）。 ☆ 6.一次函数的性质 k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小 增减性只由k决定，与b无关 k＞0、b＞0：过一、二、三象限；k＞0、b＜0：过一、三、四象限 k＜0、b＞0：过一、二、四象限；k＜0、b＜0：过二、三、四象限 概念辨析例题：已知点A（x1，y1）和点B（−2，y2）是一次函数y＝−4x+7图象上的点，比较y1与y2的大小 解析：y=−4x+7中k=−4＜0，y随x的增大而减小；横坐标越大函数值越小，比较两点的横坐标即可判断y1与y2的大小关系。 ☆ 7.一次函数、一次方程与一次不等式 一次方程kx+b=0的解⇔一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标 一次不等式kx+b＞0的解集⇔图象在x轴上方的部分对应的x范围 不等式kx1+b1＞kx2+b2的解集⇔直线y1在y2上方的x范围 两直线交点坐标⇔联立方程组y=kx+b与y=k′x+b′的解 概念辨析例题：关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝−2，则一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是______ 解析：方程kx+b=0的解是x=−2，说明当x=−2时y=kx+b=0，即图象过点（−2，0），这就是图象与x轴的交点坐标。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正比例函数 y=kx（k≠0） 无常数项，k≠0 正比例图象 过原点的直线 k＞0过一三象限，k＜0过二四 一次函数 y=kx+b（k≠0） b=0时即正比例函数 一次函数图象 过（0，b）的直线 b决定与y轴交点位置 增减性 k＞0递增，k＜0递减 只由k决定 与方程不等式关系 kx+b=0解即与x轴交点横坐标 图象上方对应大于0 ⚠️ 核心考点 【考点1】正比例函数的概念（第1-6题） · 判断正比例函数：y=kx且k≠0，无常数项 · 求参数：一次项系数≠0且常数项=0 · 字母系数注意符号与取值讨论 · 根据表达式直接代入点验证 1．（2026春•青秀区校级期中）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+n﹣3是正比例函数．则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．3或5 2．（2026春•双辽市期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝﹣3x B．y＝2﹣x C． D．y＝kx 3．如果y是x的正比例函数，x是z的一次函数，那么y是z的（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不构成函数关系 4．（2025秋•广饶县期末）已知函数y＝（m+3）x+m2﹣9，当m＝_____ 时，y是x的正比例函数． 5．（2024春•商南县期末）已知y关于x的函数y＝5x+m﹣1（m为常数）． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝6，求该函数图象与x轴的交点坐标． 6．（2024秋•蒲城县期中）已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3． （1）m取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 【考点2】正比例函数的图象（第7-12题） · 图象必过原点，|k|越大越陡 · k的符号决定象限分布 · 多个正比例图象比较k大小看倾斜程度 · 用（0，0）与（1，k）两点画图 7．（2024春•合江县月考）在直角坐标系中，函数y＝kx与的图象可以是（　　） A． B． C． D． 8．（2026春•冠县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a，b为常数，且ab≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•兴庆区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）和正比例函数y＝mx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•船营区校级期末）如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1_____ k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）y＝2x； （2）y＝2x+5； （3）y＝2x﹣5． 12．在同一直角坐标系内画出下列函数图象． （1）y＝4x； （2）； （3）； （4）． 【考点3】正比例函数的性质（第13-18题） · k＞0递增、k＜0递减 · 由图象所在象限反推k符号 · 经过特殊点代入求k · 结合不等式确定k范围 13．（2024秋•菏泽期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记为S2，四边形A2A3B3B2的面积记为S3，四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记为Sn，则S2024＝（　　） A．2023 B．2023.5 C．2024 D．2024.5 14．（2026•定边县模拟）已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜2 D．m＞2 15．（2026春•长宁区期末）已知一个正比例函数y＝kx（k为常数且k≠0），它的函数值y随着自变量x增大而增大，那么这个正比例函数的表达式可以是_______________ .（只需写出一个） 16．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax（a≠0）；②y＝bx（b≠0）；③y＝cx（c≠0），将a，b，c按从小到大的顺序排列为__________ （用“＜”连接）． 17．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，已知，直线l1：y＝x，直线l2：，在l1上有一动点M，在l2上有一动点N，连接AM、MN，则AM+MN的最小值为 __________________ ． 18．（2026春•辽阳校级期末）已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【考点4】一次函数的概念（第19-21题） · 识别：y=kx+b、k≠0、x指数为1 · 正比例是一次函数的特例 · 由定义列方程求参数（含分母、根式情形） · 排除法处理选择题 19．（2025秋•金凤区校级期中）若是一次函数，则m＝ _______ ． 20．（2025秋•莱阳市期末）若函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2﹣3是一次函数，则k的值为_______ ． 21．（2025秋•开江县校级期末）下列函数关系式中①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④；⑤y＝﹣x；是一次函数的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点5】一次函数的图像（第22-27题） · 两点法画图：取（0，b）和（1，k+b） · 图象过（0，b），b决定与y轴交点 · 待定系数法：代入两点求k、b · 平移：上下平移改变b，左右平移改变x 22．（2025秋•光明区期末）平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b是不等于0的常数）的图象如图所示，则y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 23．（2024秋•肥城市期末）一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象不可能为（　　） A． B． C． D． 24．（2026•模拟）已知四边形ABCD四个点的坐标分别为（0，0），（2，0），（3，3），（1，3），若一次函数y＝kx+1的图象将四边形分成面积相等的两部分，则k的值为__________________ ． 25．（2025秋•梅里斯区期末）①一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象关于x轴对称； ②坐标分别为（1，1）、（2，0）、（6，﹣4）的三点在同一直线上； ③一次函数y＝ax﹣a+1中a＜0，若﹣1≤x≤2时该函数值最大为2，则； ④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，若，则k＞0． 以上4个结论中，正确的是_______ （填序号）． 26．（2025春•浦东新区校级月考）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣2），如果y＞0，那么x的取值范围为_________ ． 27．（2025春•朝阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 __________ ； （2）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （3）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 【考点6】一次函数的性质（第28-35题） · 增减性由k决定：k＞0递增、k＜0递减 · 比较函数值大小：比横坐标结合增减性 · k、b符号组合判断图象过哪些象限 · 最值：在给定区间按增减性取端点 28．（2026春•同步）已知一次函数y＝kx+b，kb＜0，关于它的图象，下面四个示意图中，正确的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025春•沂南县期末）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．图象与y轴交于点（0，2） B．y随x的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当x＞0时，y＞﹣1 30．（2025秋•路桥区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为____________________ ． 31．（2025秋•南京期末）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则k的取值范围是____________________ ． 32．（2026•海门区校级模拟）如图所示是函数y＝|x+1|的图象，若，则x的取值范围为 ____________________ ． 33．（2026春•房山区期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数y＝|x+2|展开探究，过程如下． （1）根据函数表达式列表如下，则表中m＝_____ ； x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 3 m 1 0 1 2 3 … （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）方程的解为_________ ． 34．（2026春•无棣县期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数y＝|x+1|﹣1的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 ﹣1 0 1 2 3 4 … 其中m＝_____ ； （2）在图中的平面直角坐标系xOy中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数y＝|x+1|﹣1有最大值还是最小值？并直接写出当x为何值时，y的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数y＝|x+n|﹣1（其中n＞0），当自变量的取值范围是﹣3≤x≤3时，该函数的最大值为4﹣n，求n的值． 35．（2025秋•黑龙江校级期中）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当m＝﹣2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； （2）当m＝2时，求函数的最大值； （3）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【考点7】一次函数、一次方程与一次不等式（第36-42题） · kx+b=0的解就是图象与x轴交点横坐标 · kx+b＞0的解集即图象在x轴上方的x范围 · 两函数比较：交点上方者值大 · 联立方程组求交点坐标 36．（2025秋•林甸县期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 37．（2025•白云区一模）如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝7 38．（2024春•海安市期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程kx+b＝x+a的解是x＝5； 乙：当x＞5时，y1＞y2． 下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲，乙都正确 D．甲，乙都错误 39．（2025秋•东营期末）如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是 ____________________ ． 40．（2023春•吉安期中）如图，直线l1的表达式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）． （1）求m的值及直线l2的表达式； （2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集． 41．（2026春•天河区期末）已知一次函数y1＝m（x+1）+2（m为常数，m≠0）和y2＝x+3． （1）若y1的图象过点（3，﹣6），求m的值； （2）在（1）的条件下，求y1与y2的图象的交点坐标； （3）在（1）的条件下，当y1＞y2时，结合图象，直接写出x的取值范围． 42．（2025春•阳信县期末）著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，在《一次函数》的学习中，我们运用这种思想探究了一次函数的性质，经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合这些经验与方法，探究函数y＝2|x﹣1|+a（a为常数）的性质，解决下列问题： 【绘制函数图象】 （1）列表：下面是x与y的几组对应值，其中a＝_____ ，b＝_____ ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 b … （2）描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点（x，y），现已描出部分点，请继续补充描出其他各点； （3）连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象． 【探究函数性质】 （1）根据函数图象可得：该函数的最小值为_____ ； （2）当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而_______ ． 【运用函数性质】 （1）写出不等式2|x﹣1|+a≥3的解集_____________ ； （2）若方程2|x﹣1|+a＝m﹣1有两个实数解，求m的取值范围________ ． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025春•前郭县期末）如果正比例函数的图象经过二、四象限，那么m＝________________ ． 【练习 2】（2026秋•同步）函数y＝﹣kx+1（k≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx＝1的解是x＝_______ ． 【练习 3】（2026•萨尔图区校级模拟）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣4，则k的值为_________ ． 【练习 4】（1）已知关于x的方程mx+n＝0的解为x＝﹣3，则直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是 ___________ ． （2）已知关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝﹣2，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 __________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 正比例函数y=kx（k≠0）无常数项，是b=0的一次函数 · k的符号决定图象象限与增减性，|k|决定陡缓 · 一次函数y=kx+b过（0，b），b决定与y轴交点 · 方程kx+b=0的解就是图象与x轴交点横坐标，不等式看图象上下位置 · 待定系数法：代入已知点坐标列方程求k、b 【作业 1】（2026春•闵行区校级作业）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是y＝ax，y＝bx，y＝cx，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“＜”连接：__________ ． 【作业 2】（2025春•长海县期末）函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4是正比例函数． （1）求k的值； （2）当y＝﹣2时，求x的值． 【作业 3】（2026春•南昌期末）点和点（2，n）在直线y＝2x+b上，则m与n的大小关系是________ ． 【作业 4】（2026春•昆都仑区期末）如图，一次函数y＝kx+4（k＜0）的图象经过点A（1，2），则关于x的不等式kx+4＞2的解集为________ ． 【作业 5】（2026春•同步）已知点A（，y1）和点B（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣4x+7图象上的点，比较y1和y2的大小． 【作业 6】画出函数y＝2x﹣4的图象，借助图象找出： （1）直线上横坐标是3的点； （2）直线上纵坐标是﹣2的点； （3）直线上到x轴距离等于2的点． 【作业 7】（2025秋•沛县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1． （1）求k，b的值； （2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集； （3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 一次函数及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正比例函数与一次函数的概念，能识别并确定参数取值 · 掌握正比例函数与一次函数图象的画法及特征 · 掌握一次函数的性质，能由k、b判断增减性与象限分布 · 理解一次函数、一次方程与一次不等式的关系，会用图象法解题 · 能综合运用一次函数解决比较大小、求交点与最值等问题 📚 知识梳理 ☆ 1.正比例函数的概念 形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫比例系数 判断要点：自变量x的指数是1，系数k≠0，且没有常数项 求k值：由函数定义列方程（如k2−4=0且k−2≠0） 正比例函数是特殊的一次函数（b=0的情形） 概念辨析例题：函数y＝（k−2）x+k2−4是正比例函数，求k的值 解析：由正比例函数定义知，一次项系数k−2≠0且常数项k2−4=0；k2−4=0得k=±2，又k≠2，所以k=−2。 ☆ 2.正比例函数的图象 正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线 k＞0时直线过一、三象限；k＜0时直线过二、四象限 |k|越大直线越陡（与x轴的夹角越大） 画图只需找两个点：原点和（1，k）即可画出直线 概念辨析例题：三个正比例函数的图象分别对应y＝ax、y＝bx、y＝cx，将a、b、c按从大到小排列 解析：正比例函数y=kx中，k的绝对值越大直线越靠近y轴；k＞0时图象在一、三象限，此时直线越陡k越大。按各直线倾斜程度从陡到缓排列即可。 ☆ 3.正比例函数的性质 k＞0时，y随x的增大而增大，图象从左到右上升 k＜0时，y随x的增大而减小，图象从左到右下降 图象经过原点，x、y同号（k＞0）或异号（k＜0） 由图象经过的象限可反推k的符号 概念辨析例题：如果正比例函数y=x的图象经过二、四象限，那么m的取值范围是______ 解析：图象经过二、四象限说明k＜0，即＜0，解得m＜2。 ☆ 4.一次函数的概念 形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数 当b=0时，y=kx+b就是正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例 判断要点：自变量x的指数为1，系数k≠0 一次函数中b是截距，表示图象与y轴交点的纵坐标 概念辨析例题：下列函数中，是一次函数的是（　）．A．y=x2　B．y=　C．y=3x−1　D．y= 解析：一次函数形如y=kx+b且k≠0。A中x的指数为2是二次函数；B是反比例函数；D含根号；只有C符合y=3x−1（k=3，b=−1）。 ☆ 5.一次函数的图像 一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（−，0）的一条直线 b决定图象与y轴的交点：b＞0交于正半轴，b＜0交于负半轴 平移规律：y=kx向上（下）平移b个单位得到y=kx+b（b＞0上移） 画图常用两点法：取（0，b）和（1，k+b）连线 概念辨析例题：一次函数y=kx+4（k＜0）的图象经过点A（1，2），则图象与x轴的交点坐标是______ 解析：把A（1，2）代入y=kx+4得k+4=2，k=−2，所以y=−2x+4；令y=0得−2x+4=0，x=2，与x轴交点（2，0）。 ☆ 6.一次函数的性质 k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小 增减性只由k决定，与b无关 k＞0、b＞0：过一、二、三象限；k＞0、b＜0：过一、三、四象限 k＜0、b＞0：过一、二、四象限；k＜0、b＜0：过二、三、四象限 概念辨析例题：已知点A（x1，y1）和点B（−2，y2）是一次函数y＝−4x+7图象上的点，比较y1与y2的大小 解析：y=−4x+7中k=−4＜0，y随x的增大而减小；横坐标越大函数值越小，比较两点的横坐标即可判断y1与y2的大小关系。 ☆ 7.一次函数、一次方程与一次不等式 一次方程kx+b=0的解⇔一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标 一次不等式kx+b＞0的解集⇔图象在x轴上方的部分对应的x范围 不等式kx1+b1＞kx2+b2的解集⇔直线y1在y2上方的x范围 两直线交点坐标⇔联立方程组y=kx+b与y=k′x+b′的解 概念辨析例题：关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝−2，则一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是______ 解析：方程kx+b=0的解是x=−2，说明当x=−2时y=kx+b=0，即图象过点（−2，0），这就是图象与x轴的交点坐标。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正比例函数 y=kx（k≠0） 无常数项，k≠0 正比例图象 过原点的直线 k＞0过一三象限，k＜0过二四 一次函数 y=kx+b（k≠0） b=0时即正比例函数 一次函数图象 过（0，b）的直线 b决定与y轴交点位置 增减性 k＞0递增，k＜0递减 只由k决定 与方程不等式关系 kx+b=0解即与x轴交点横坐标 图象上方对应大于0 ⚠️ 核心考点 【考点1】正比例函数的概念（第1-6题） · 判断正比例函数：y=kx且k≠0，无常数项 · 求参数：一次项系数≠0且常数项=0 · 字母系数注意符号与取值讨论 · 根据表达式直接代入点验证 1．（2026春•青秀区校级期中）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+n﹣3是正比例函数．则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m﹣1|+n﹣3是正比例函数， ∴， 解得m＝0，n＝3， ∴m+n＝0+3＝3． 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数是解题的关键． 2．（2026春•双辽市期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝﹣3x B．y＝2﹣x C． D．y＝kx 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx（其中k为常数，且k≠0）的函数是x的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【解答】解：A、y＝﹣3x是正比例函数，符合题意； B、y＝2﹣x是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、y＝kx中未说明k≠0，当k＝0时不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 3．如果y是x的正比例函数，x是z的一次函数，那么y是z的（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不构成函数关系 【分析】根据y是x的正比例函数，x是z的一次函数，可以设出相应的函数解析式，然后变形，利用分类讨论的方法，即可得到y与z的函数关系，注意正比例函数是特殊的一次函数． 【解答】解：设y＝k1x（k1≠0），x＝k2z+b（k2≠0）， 故y＝k1（k2z+b）＝k1k2z+k1b， ∴当b≠0时，y是z的一次函数．当b＝0时，y是z的正比例函数， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的定义和正比例函数的定义，解答本题的关键是设出函数解析式，利用分类讨论的方法解答． 4．（2025秋•广饶县期末）已知函数y＝（m+3）x+m2﹣9，当m＝　3　 时，y是x的正比例函数． 【分析】根据正比例函数的定义列式求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（m+3）x+m2﹣9是正比例函数， ∴， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如y＝kx（其中k为常数，且k≠0），即常数项为零且一次项系数不为零， 5．（2024春•商南县期末）已知y关于x的函数y＝5x+m﹣1（m为常数）． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝6，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）利用正比例函数的定义即可求得答案； （2）由题意可得y＝5x+5，令y＝0，解得x的值即可． 【解答】解：（1）∵y是x的正比例函数， ∴m﹣1＝0， 解得：m＝1； （2）若m＝6， 则y关于x的函数y＝5x+5， 令y＝0，即5x+5＝0， 解得：x＝﹣1， 即该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题考查正比例函数的定义及图象性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．（2024秋•蒲城县期中）已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3． （1）m取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义得出关于m的方程，求出m的值即可； （2）根据正比例函数的定义得出关于m的方程，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3是关于x的一次函数， ∴|m|＝1，m+1≠0， ∴m＝1， ∴当m＝1时，该函数是关于x的一次函数； （2）由（1）知，m＝1， ∵该函数是关于x的正比例函数， ∴n﹣3＝0，所以n＝3， ∴当m＝1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数． 【点评】本题考查了一次函数的定义，正比例函数的定义，解题的关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． 【考点2】正比例函数的图象（第7-12题） · 图象必过原点，|k|越大越陡 · k的符号决定象限分布 · 多个正比例图象比较k大小看倾斜程度 · 用（0，0）与（1，k）两点画图 7．（2024春•合江县月考）在直角坐标系中，函数y＝kx与的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知分两种情况，k＞0和k＜0，然后分别写出两个函数图象经过的象限，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：当k＞0时， 函数y＝kx的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第一、三、四象限，故选项B不符合题意； 当k＜0时， 函数y＝kx的图象经过第二、四象限，函数的图象经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 由上可得，选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和正比例函数的性质解答． 8．（2026春•冠县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a，b为常数，且ab≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝ax+b图象分析可得k、b的符号，进而可得ab的符号，从而判断y＝abx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝ax+b图象可知a＜0，b＞0，则ab＜0；由正比例函数y＝abx的图象可知ab＜0，故此选项符合题意； B、由一次函数y＝ax+b图象可知a＜0，b＞0；即ab＜0，由正比例函数y＝abx的图象可知ab＞0，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝ax+b图象可知a＞0，b＞0；即ab＞0，由正比例函数y＝abx的图象可知ab＜0，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝ax+b图象可知a＞0，b＜0；即ab＜0，由正比例函数y＝abx的图象可知ab＞0，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝ax+b的图象有四种情况：①当a＞0，b＞0，函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限；②当a＞0，b＜0，函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限；③当a＜0，b＞0时，函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限；④当a＜0，b＜0时，函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限． 9．（2025秋•兴庆区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）和正比例函数y＝mx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据m的正负情况，分别写出函数y＝mx和y＝﹣mx+m经过的象限，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：当m＜0时， 正比例函数y＝mx的图象上y的值随x值的增大而减小，经过第二、四象限， ﹣m＞0，一次函数y＝﹣mx+m的图象过第一、三、四象限，故C不符合题意，A符合题意． 当m＞0时， 正比例函数y＝mx的图象上y的值随x值的增大而增大，经过第一、三象限， ﹣m＜0，一次函数y＝﹣mx+m的图象过第一、二、四象限，故B，D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的图象和一次函数的图象，解答本题的关键是明确它们的性质，写出函数经过的象限． 10．（2025春•船营区校级期末）如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　＜　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】根据图象结合性质直接解决即可． 【解答】解：如图： 当x＝a时，y1＝k1a，y2＝k2a，y1＜y2， ∴k1＜k2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查的是正比例函数的图象，时刻掌握图象与性质是关键． 11．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）y＝2x； （2）y＝2x+5； （3）y＝2x﹣5． 【分析】（1）确定每个函数经过的两个点，描点连线即可画出图象； （2）确定每个函数经过的两个点，描点连线即可画出图象； （3）确定每个函数经过的两个点，描点连线即可画出图象； 【解答】解：（1）列表如下：确定函数经过的两个点，描点连线即可画出图象如下： x … 0 1 … y＝2x … 0 2 … （2）列表如下： x … ﹣2.5 0 … y＝2x+5 … 0 5 … （3）列表如下： x … 0 2.5 … y＝2x﹣5 … ﹣5 0 … 函数图象如下： 【点评】本题考查了一次函数的图象画法，熟练掌握该知识点是关键． 12．在同一直角坐标系内画出下列函数图象． （1）y＝4x； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据两点法画出函数图象即可求解． 【解答】解：同一直角坐标平面内画出下列函数图象如图： 【点评】本题考查了画正比例函数图象，数形结合是解题的关键． 【考点3】正比例函数的性质（第13-18题） · k＞0递增、k＜0递减 · 由图象所在象限反推k符号 · 经过特殊点代入求k · 结合不等式确定k范围 13．（2024秋•菏泽期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记为S2，四边形A2A3B3B2的面积记为S3，四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记为Sn，则S2024＝（　　） A．2023 B．2023.5 C．2024 D．2024.5 【分析】根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1，AnBn的值，再根据直线ln﹣1与直线ln互相平行并判断出四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的表达式，然后把n＝2024代入表达式进行计算即可得解．据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1，AnBn的值，再根据直线ln﹣1与直线ln互相平行并判断出四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的表达式，然后把n＝2024代入表达式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意，An﹣1Bn﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝2n﹣2﹣n+1＝n﹣1， AnBn＝2n﹣n＝n， ∵直线ln﹣1⊥x轴于点（n﹣1，0），直线ln⊥x轴于点（n，0）， ∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且ln﹣1与ln间的距离为1， ∴四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形， ∴， 当n＝2024时，S2024＝（2×2024﹣1）＝2023.5． 故选：B． 【点评】本题是对一次函数的综合考查，读懂题意，根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1，AnBn的值是解题的关键． 14．（2026•定边县模拟）已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜2 D．m＞2 【分析】根据给定条件判断函数增减性，再结合正比例函数性质列不等式求解m的范围即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴2m﹣1＜0， 解得． 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 15．（2026春•长宁区期末）已知一个正比例函数y＝kx（k为常数且k≠0），它的函数值y随着自变量x增大而增大，那么这个正比例函数的表达式可以是y＝x（答案不唯一）　 .（只需写出一个） 【分析】根据正比例函数的性质判断出k的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵一个正比例函数y＝kx（k为常数且k≠0），它的函数值y随着自变量x增大而增大， ∴k＞0， ∴正比例函数的解析式可以为y＝x． 故答案为：y＝x（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 16．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax（a≠0）；②y＝bx（b≠0）；③y＝cx（c≠0），将a，b，c按从小到大的顺序排列为a＜c＜b （用“＜”连接）． 【分析】根据正比例函数的性质，可以判断a、b、c的正负情况，再根据图象越陡，|k|越大，即可判断a、b、c的大小情况． 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c． 则a＜c＜b． 故答案为：a＜c＜b． 【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大 17．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，已知，直线l1：y＝x，直线l2：，在l1上有一动点M，在l2上有一动点N，连接AM、MN，则AM+MN的最小值为 　　 ． 【分析】作点关于直线l1的对称点A'（，1），过A'作A'N⊥l2，垂足为N，交直线l1于M，则AM+MN的最小值即为A'N的长，过A'作A'P∥x轴，交直线l2于P，依据勾股定理求得A'N的长，即可得到AM+MN的最小值． 【解答】解：如图，作点关于直线l1的对称点A'（，1），过A'作A'N⊥l2，垂足为N，交直线l1于M， 则AM+MN的最小值即为A'N的长， 过A'作A'P∥x轴，交直线l2于P， 由直线l2解析式为yx，令y＝1，则x， ∴P（，1）， ∴A'P， ∵Rt△A'PN中，∠A'PN＝60°， ∴∠PA'N＝30°， ∴NPA'P（）， ∴A'N， ∴AM+MN的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 18．（2026春•辽阳校级期末）已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【分析】（1）先根据正比例函数表达式的定义，列出关于k的方程k2﹣3＝1，且k≠2，确定函数表达式为y＝﹣4x，然后画出图像； （2）依据正比例函数的增减性“系数为负时，y随x的增大而减小”，在x≤2的条件下，找到x的最大值为2，代入函数求出y的最小值为﹣8． 【解答】解：（1）由题意得，k2﹣3＝1且k≠2， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣4x， 函数的图象如图： ； （2）y＝﹣4x中， ∵k＝﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x≤2， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为y＝（﹣4）×2＝﹣8． 答：函数y的最小值﹣8． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义与正比例函数的性质，正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【考点4】一次函数的概念（第19-21题） · 识别：y=kx+b、k≠0、x指数为1 · 正比例是一次函数的特例 · 由定义列方程求参数（含分母、根式情形） · 排除法处理选择题 19．（2025秋•金凤区校级期中）若是一次函数，则m＝ 　﹣1　 ． 【分析】由一次函数的定义求解可得． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）（m+1）是一次函数， ∴m2＝1且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 20．（2025秋•莱阳市期末）若函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2﹣3是一次函数，则k的值为　﹣3　 ． 【分析】由一次函数的定义可得|k|﹣2＝1且k﹣3≠0，从而可得答案． 【解答】解：根据题意，得|k|﹣2＝1且k﹣3≠0， 解得k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟记一次函数的定义是解本题的关键． 21．（2025秋•开江县校级期末）下列函数关系式中①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④；⑤y＝﹣x；是一次函数的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一次函数的定义逐项判断可得： ①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）化简得y＝2x2﹣1﹣2x2﹣2x＝﹣2x﹣1，是一次函数，符合题意； ②y＝2x2+1不是一次函数，不符合题意； ③y＝2x﹣1是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝﹣x是一次函数，符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如y＝kx+b （k、b为常数，且k≠0）的函数是一次函数是解题的关键． 【考点5】一次函数的图像（第22-27题） · 两点法画图：取（0，b）和（1，k+b） · 图象过（0，b），b决定与y轴交点 · 待定系数法：代入两点求k、b · 平移：上下平移改变b，左右平移改变x 22．（2025秋•光明区期末）平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b是不等于0的常数）的图象如图所示，则y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象判断即可． 【解答】解：根据图中函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限可知，a＜0，b＞0， ∴y＝bx+a的图象经过一、三、四象限， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象的综合判断，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2024秋•肥城市期末）一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象不可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各个选项中的函数图象，可以分别写出一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx中的k、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：选项A中一次函数y＝﹣kx+b中k＞0，b＞0，正比例函数y＝kbx的图象中kb＜0，k和b异号，故选项A符合题意； 选项B中一次函数y＝﹣kx+b中k＞0，b＞0，正比例函数y＝kbx的图象中kb＞0，k和b同号，故选项B不符合题意； 选项C中一次函数y＝﹣kx+b中k＜0，b＜0，正比例函数y＝kbx的图象中kb＞0，k和b同号，故选项C不符合题意； 选项D中一次函数y＝﹣kx+b中k＜0，b＞0，正比例函数y＝kbx的图象中kb＜0，k和b异号，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 24．（2026•模拟）已知四边形ABCD四个点的坐标分别为（0，0），（2，0），（3，3），（1，3），若一次函数y＝kx+1的图象将四边形分成面积相等的两部分，则k的值为　　 ． 【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数y＝kx+1的图象经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得k值即可． 【解答】解：四边形ABCD四个点的坐标分别为（0，0），（2，0），（3，3），（1，3）， ∵A（0，0），B（2，0），C（3，3），D（1，3）， ∴AB∥CD，且AB＝CD＝2， ∴四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形的对称中心为对角线的中点，取对角线AC，其中点坐标为，即， ∵一次函数y＝kx+1将四边形分成面积相等的两部分， ∴一次函数图象经过对称中心， 将点代入解析式得， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的图象，正确进行计算是解题关键． 25．（2025秋•梅里斯区期末）①一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象关于x轴对称； ②坐标分别为（1，1）、（2，0）、（6，﹣4）的三点在同一直线上； ③一次函数y＝ax﹣a+1中a＜0，若﹣1≤x≤2时该函数值最大为2，则； ④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，若，则k＞0． 以上4个结论中，正确的是　②③　 （填序号）． 【分析】根据关于x轴对称的性质判断①；根据两点的坐标求出解析式，再将第三点代入解析式即可判断②；根据一次函数的增减性即可判断③，根据一次函数的定义得到y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，代入，根据不等式的性质即可判断④． 【解答】解：①联立， 解得：，即一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的交点在y轴上， ∴一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象与x轴对称没有公共交点， ∴一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象不关于x轴对称，故①错误； ②设过点（1，1）、（2，0）的直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得：， ∴过点（1，1）、（2，0）的直线的解析式为y＝﹣x+2， 将（6，﹣4）代入y＝﹣x+2，则﹣4＝﹣1×6+2 ∴坐标分别为（1，1）、（2，0）、（6，﹣4）的三点在同一直线上，故②正确； ③∵一次函数y＝ax﹣a+1中a＜0， ∴一次函数y＝ax﹣a+1中，y随x的增大而减小， 当x＝﹣1时，ymax＝﹣a﹣a+1＝1﹣2a， 当x＝2时，ymin＝2a﹣a+1＝a+1， ∵﹣1≤x≤2时该函数值最大为2，则1﹣2a＝2， ∴，故③正确； ④∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上， 即y1＝kx1+b，y2＝kx2+b， ∵，即， ∴k＜0，故④错误； 故答案为：②③． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 26．（2025春•浦东新区校级月考）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣2），如果y＞0，那么x的取值范围为x＜﹣3　 ． 【分析】依照题意，画出函数图象，观察函数图象，即可得出结论． 【解答】解：依照题意，画出函数图象，如图所示． 观察函数图象，可知：当y＞0时，x＜﹣3． 故答案为：x＜﹣3． 【点评】本题考查了一次函数的图象，画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 27．（2025春•朝阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　（3，5）　 ； （2）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （3）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 【分析】（1）利用平行四边形的性质，和平移思想，求出B点坐标即可； （2）根据一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，得到一次函数过原点，进行求解即可； （3）求出一次函数图象经过A点的k值，和一次函数经过C点的k值，再根据一次函数的性质，求出k的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴AB可由OC平移得到， ∵点A（﹣2，4），点C（5，1），O（0，0）， ∴B（5﹣2，1+4）， 即B（3，5）， 故答案为：（3，5）； （2）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， 将B（3，5）代入y＝kx+b，得3k+b＝5， ∴b＝5﹣3k， ∴y＝kx+5﹣3k， ∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， ∴当一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分时，图象必过（0，0）点， ∴5﹣3k＝0， ∴k； （3）当直线y＝kx+b经过A点时，得， 解得k， 当直线y＝kx+b经过C点时，得， 解得k＝﹣2， ∵一次函数y＝kx+b的图象与平行四边形OABC的边只有两个公共点， ∴k或k＜﹣2． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合的思想进行解题． 【考点6】一次函数的性质（第28-35题） · 增减性由k决定：k＞0递增、k＜0递减 · 比较函数值大小：比横坐标结合增减性 · k、b符号组合判断图象过哪些象限 · 最值：在给定区间按增减性取端点 28．（2026春•同步）已知一次函数y＝kx+b，kb＜0，关于它的图象，下面四个示意图中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象确定k、b的符号，然后求得kb的符号．与已知kb＜0一致的图象即为所求． 【解答】解：A、根据图象知，k＜0，b＜0，则kb＞0．与已知“kb＜0”相矛盾，故不符合题意； B、根据图象知，k＜0，b＝0，则kb＝0．与已知“kb＜0”相矛盾，故不符合题意； C、根据图象知，k＞0，b＞0，则kb＞0．与已知“kb＜0”相矛盾，故不符合题意； D、根据图象知，k＞0，b＜0，则kb＜0．与已知“kb＜0”相一致，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 29．（2025春•沂南县期末）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．图象与y轴交于点（0，2） B．y随x的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当x＞0时，y＞﹣1 【分析】根据一次函数的性质即可作答． 【解答】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项不符合题意； B．∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C．∵k＝2＞0，b＝﹣1＜0，∴图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D．∵图象与y轴交于点（0，﹣1），y随x的增大而增大， ∴当x＞0时，y＞﹣1，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 30．（2025秋•路桥区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　6或　 ． 【分析】需要分类讨论：当k＞1时，x＝﹣3时y＝﹣6；当k＜1时，x＝2时y＝﹣6，据此作答即可． 【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+2k﹣3，当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6， ∴①当k﹣1＞0，即k＞1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣6， ∴﹣3（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6， ∴k＝6， ②当k﹣1＜0，即k＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y＝﹣6， ∴2（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6， ∴k， ∴k的值为6或． 故答案为：6或． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题时需要对k的取值范围进行分类讨论，以防漏解． 31．（2025秋•南京期末）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则k的取值范围是　﹣2≤k且k≠﹣1　 ． 【分析】由y＝kx﹣2k+2（k＜0），得出直线经过点（2，2），如图，当直线经过（3，0）或（3，0）时，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（4，0）时，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的k的值，结合图象即可得到结论． 【解答】解：∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2， ∴直线经过点（2，2）， 如图， 当直线经过（3，0）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得k＝﹣2； 当直线经过（6，0）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过（4，0）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得k＝﹣1； ∴直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当﹣2≤k且k≠﹣1时，区域中只有四个整点． 故答案为：﹣2≤k且k≠﹣1． 【点评】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键． 32．（2026•海门区校级模拟）如图所示是函数y＝|x+1|的图象，若，则x的取值范围为 　x＜1　 ． 【分析】求得直线y与函数y＝|x+1|的图象的交点，然后根据交点，求出直线y在函数y＝|x+1|的图象上面的部分中x的范围即可． 【解答】解：由图象可知函数y＝|x+1|， 令x+1，解得x＝1， 令﹣x﹣1，解得x， 根据图象可以看出，若，则x的取值范围为x＜1， 故答案为：x＜1． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键． 33．（2026春•房山区期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数y＝|x+2|展开探究，过程如下． （1）根据函数表达式列表如下，则表中m＝　2　 ； x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 3 m 1 0 1 2 3 … （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）方程的解为　0或﹣6　 ． 【分析】（1）将x＝﹣4代入解析式，即可求出m的值； （2）描点，连线，即可得到函数图象； （3）根据图象判断即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣4，得y＝|x+2|＝|﹣4+2|＝2， 故答案为：2； （2）； （3）， 当x≥﹣2时，y＝|x+2|＝x+2， 故x+2x+2， 解得x＝0； 当x＜﹣2时，y＝|x+2|＝﹣x﹣2， 故﹣x﹣2x+2， 解得x＝﹣6， 方程的解为0或﹣6， 故答案为：0或﹣6． 【点评】本题考查了一次函数的性质，画函数图象，函数与方程的关系，掌握相关知识点是解题的关键． 34．（2026春•无棣县期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数y＝|x+1|﹣1的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 ﹣1 0 1 2 3 4 … 其中m＝　1　 ； （2）在图中的平面直角坐标系xOy中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数y＝|x+1|﹣1有最大值还是最小值？并直接写出当x为何值时，y的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数y＝|x+n|﹣1（其中n＞0），当自变量的取值范围是﹣3≤x≤3时，该函数的最大值为4﹣n，求n的值． 【分析】（1）把x＝﹣3代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当x＝3时，函数值最大，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，m＝|﹣3+1|﹣1＝1； 故答案为：1； （2）如图所示： （3）函数y＝|x+1|﹣1有最小值，当x＝﹣1时，y有最小值，最小值是﹣1； （4）∵y＝|x+n|﹣1（其中n＞0）， ∴当x＝﹣n时，函数有最小值为﹣1，当x＜﹣n时，y随着x的增大而减小，当x＞﹣n时，y随着x的增大而增大， ∵n＞0， ∴﹣n＜0 ∵﹣3≤x≤3， ∴﹣3到﹣n的距离小于3到﹣n的距离， ∴当x＝3时，函数值最大为3+n﹣1＝4﹣n， 解得n＝1． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键． 35．（2025秋•黑龙江校级期中）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当m＝﹣2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； （2）当m＝2时，求函数的最大值； （3）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）将m＝﹣2代入解析式求解即可； （2）将m＝﹣2代入解析式，然后根据一次函数的图形的性质求最值即可； （3）先分别求出函数与y＝﹣2的交点，然后分情况画出图形，并根据图形列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）当m＝﹣2时，函数， ∵点D（3，n）在图象G上，且3》﹣2， 将点D的坐标代入y＝﹣x﹣2得：n＝﹣3﹣2＝﹣5； （2）当m＝2时，函数， 当x＜2时，由k＝1＞0，则y随x的增大而增大，函数的最大值无限接近2； 当x≥2时，由k＝﹣1＜0，则y随x的增大而减小，即当x＝2时，函数有最大值2； 综上所述，函数的最大值为2； （3）m的取值范围为m≥3或．理由如下： ∵， ∴该分段函数图象大致为： ∵，， ∴线段AB在直线y＝﹣2上． 若图象G与线段AB只有一个公共点时，分类讨论如下： ①∵或， ∴此时线段AB与图象G无交点； ②当时， 解得：， 当时， 解得：， 当m＜0，如图2：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得不等式无解； 当m＝0，A、B同为（0，﹣2），与图形G无交点， 当m＞0，如图3：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：m≥3； ③令，，分别解得：，， 当m＞0，如图4，点A、B、C、D分别表示， ∴，解得不等式组无解； 当m＝0，A、B同为（0，﹣2），与图形G无交点， 当m＜0，如图5：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：． 综上所述，m的取值范围为m≥3或． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与性质、解不等式组知识点，掌握分类讨论和数形结合思想是解题的关键． 【考点7】一次函数、一次方程与一次不等式（第36-42题） · kx+b=0的解就是图象与x轴交点横坐标 · kx+b＞0的解集即图象在x轴上方的x范围 · 两函数比较：交点上方者值大 · 联立方程组求交点坐标 36．（2025秋•林甸县期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】将P（﹣2，n）代入，即可求出n的值，即可求解． 【解答】解：关于x，y的方程组的解是一次函数的图象与y＝kx+b的图象的交点坐标， 将P（﹣2，n）代入得：， 即方程组的解为：， 故选：A． 【点评】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 37．（2025•白云区一模）如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝7 【分析】先求出点P的坐标为（4，7），由图象可以知道，当x＝4时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【解答】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把y＝7代入y＝2x﹣1，得： 7＝2x﹣1，解得：x＝4， ∴点P的坐标为（4，7）， ∵一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P， ∴关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是x＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，数形结合是解答本题的关键． 38．（2024春•海安市期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程kx+b＝x+a的解是x＝5； 乙：当x＞5时，y1＞y2． 下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲，乙都正确 D．甲，乙都错误 【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系对甲进行判断；利用函数图象，当x＞5时，一次函数y1＝kx+b在直线y2＝x+a的下方，则可对乙进行判断． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为5， ∴关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝5，所以甲正确； 当x＞5时，y1＜y2，所以乙错误． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，解答本题的关键要明确：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 39．（2025秋•东营期末）如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是 　　 ． 【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1， 所以A点坐标为（1，3）， 所以方程组的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键． 40．（2023春•吉安期中）如图，直线l1的表达式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）． （1）求m的值及直线l2的表达式； （2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集． 【分析】（1）把点C的坐标代入直线l1的解析式求出m的值；根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图象解答即可． 【解答】解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上， ∴2＝2m﹣2，m＝2， ∴点C的坐标为（2，2）； ∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4； （2）由图象可得关于x的不等式2x﹣2＜kx+b的解集为x＜2． 【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与不等式的关系，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用． 41．（2026春•天河区期末）已知一次函数y1＝m（x+1）+2（m为常数，m≠0）和y2＝x+3． （1）若y1的图象过点（3，﹣6），求m的值； （2）在（1）的条件下，求y1与y2的图象的交点坐标； （3）在（1）的条件下，当y1＞y2时，结合图象，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由y1的图象过点（3，﹣6），则（3+1）m+2＝﹣6，从而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）得，y1＝﹣2（x+1）+2，即y1＝﹣2x．又y2＝x+3，从而联立方程﹣2x＝x+3，求出x后即可计算得解； （3）依据题意，在同一坐标系中作出y1＝﹣2x与y2＝x+3的图象，进而由当y1＞y2时，一次函数y1＝m（x+1）+2的图象在y2＝x+3的图象上方，可以判断得解． 【解答】解：（1）一次函数y1＝m（x+1）+2的图象经过点（3，﹣6）， ∴（3+1）m+2＝﹣6， ∴m＝﹣2； （2）∵m＝﹣2， ∴y1＝﹣2（x+1）+2＝﹣2x， 与y2＝x+3联立得，﹣2x＝x+3， ∴x＝﹣1， ∴此时交点纵坐标为﹣1+3＝2， ∴y1与y2的图象的交点坐标为（﹣1，2）； （3）由题意，当y1＞y2时，一次函数y1＝m（x+1）+2的图象在y2＝x+3的图象上方， 结合（1）y1＝﹣2x， ∴在同一坐标系中作出y1＝﹣2x与y2＝x+3的图象如下． ∴结合图象可得，当y1＞y2时，x＜﹣1． 【点评】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程（组），解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 42．（2025春•阳信县期末）著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，在《一次函数》的学习中，我们运用这种思想探究了一次函数的性质，经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合这些经验与方法，探究函数y＝2|x﹣1|+a（a为常数）的性质，解决下列问题： 【绘制函数图象】 （1）列表：下面是x与y的几组对应值，其中a＝　1　 ，b＝　7　 ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 b … （2）描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点（x，y），现已描出部分点，请继续补充描出其他各点； （3）连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象． 【探究函数性质】 （1）根据函数图象可得：该函数的最小值为　1　 ； （2）当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而　增大　 ． 【运用函数性质】 （1）写出不等式2|x﹣1|+a≥3的解集x≤0或x≥2；　 ； （2）若方程2|x﹣1|+a＝m﹣1有两个实数解，求m的取值范围m＞2　 ． 【分析】【绘制函数图象】 （1）利用待定系数法求得a的值，得到解析式，然后求得x＝4时的函数值即可求得b； （2）（3）在坐标系内描出其他点，再顺次连接即可； 【探究函数性质】 （1）（2）根据函数图象填空即可； 【运用函数性质】 （1）根据函数图象求得即可； （2）观察图象即可得出m﹣1＞1，解得m＞2． 【解答】解：【绘制函数图象】 （1）把（0，3）代入y＝2|x﹣1|+a得，3＝2|0﹣1|+a， ∴a＝1， ∴y＝2|x﹣1|+1， 当x＝4时，y＝2|x﹣1|+1＝7， ∴b＝7； 故答案为：1，7； （2）（3）描点、连线画出函数图象如图所示； ； 【探究函数性质】 （1）根据函数图象可得：该函数的最小值为1： 故答案为：1； （2）当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； 【运用函数性质】 （1）不等式2|x﹣1|+a≥3的解集为x≤0或x≥2； 故答案为：x≤0或x≥2； （2）若方程2|x﹣1|+a＝m﹣1有两个实数解，则m﹣1＞1， 解得m＞2． 故答案为：m＞2． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025春•前郭县期末）如果正比例函数的图象经过二、四象限，那么m＝　　 ． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2﹣1＝1，且m≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m＜0，进而确定m． 【解答】解：由题意得：m2﹣1＝1，且m≠0， 解得：m＝±． ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 【练习 2】（2026秋•同步）函数y＝﹣kx+1（k≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx＝1的解是x＝　﹣2　 ． 【分析】利用一次函数图象与x轴的交点的横坐标确定方程的解． 【解答】解：∵函数y＝﹣kx+1（k≠0）的图象过（﹣2，0）， ∴方程﹣kx+1＝0的解为x＝﹣2， ∴关于x的方程kx＝1的解是x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【练习 3】（2026•萨尔图区校级模拟）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣4，则k的值为　7或﹣2　 ． 【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x＝﹣1时，y＝﹣4或x＝2时，y＝﹣4，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【解答】解：当k＞1时，函数y随x的增大而增大， ∴﹣4＝﹣（k﹣1）+2， 解得：k＝7； 当k＜1时，函数y随x的增大而减小， ∴﹣4＝2（k﹣1）+2， 解得：k＝﹣2； 故答案为：7或﹣2． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【练习 4】（1）已知关于x的方程mx+n＝0的解为x＝﹣3，则直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是 　（﹣3，0）　 ． （2）已知关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝﹣2，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 y＝x+2　 ． 【分析】（1）求直线与x轴的交点坐标，需使直线y＝mx+n的y值为0，则mx+n＝0；已知此方程的解为x＝﹣3．因此可得答案； （2）先根据方程的解得定义得到2k+b＝0，再根据一次函数图象上点的坐标特征得到b＝2，于是可计算出k＝1，从而得到一次函数解析式． 【解答】解：（1）∵方程的解为x＝﹣3， ∴当x＝﹣3时mx+n＝0； ∵直线y＝mx+n与x轴的交点的纵坐标是0， ∴当y＝0时，则有mx+n＝0， ∴x＝﹣3时，y＝0． ∴直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是（﹣3，0）， 故答案为：（﹣3，0）； （2）把x＝﹣2代入kx+b＝0得﹣2k+b＝0， 把（0，2）代入y＝kx+b得b＝2， 所以﹣2k+2＝0，解得k＝1， 所以一次函数解析式为y＝x+2． 故答案为：y＝x+2． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 正比例函数y=kx（k≠0）无常数项，是b=0的一次函数 · k的符号决定图象象限与增减性，|k|决定陡缓 · 一次函数y=kx+b过（0，b），b决定与y轴交点 · 方程kx+b=0的解就是图象与x轴交点横坐标，不等式看图象上下位置 · 待定系数法：代入已知点坐标列方程求k、b 【作业 1】（2026春•闵行区校级作业）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是y＝ax，y＝bx，y＝cx，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“＜”连接：c＜a＜b ． 【分析】根据正比例函数y＝kx的性质，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，且k的绝对值越大，直线越靠近y轴；当k＜0时，函数图象经过二、四象限．通过观察图象所在象限以及直线的陡峭程度来比较a、b、c的大小． 【解答】解：根据正比例函数y＝kx的性质可知： 对于y＝ax和y＝bx，由图象可知a＞0，b＞0，又因为y＝bx的图象比y＝ax的图象更靠近y轴， 所以b＞a． 对于y＝cx，它的图象经过二、四象限，所以c＜0． 综上c＜a＜b． 故答案为：c＜a＜b． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题关键是根据正比例函数图象所在象限以及直线的陡峭程度判断比例系数的大小． 【作业 2】（2025春•长海县期末）函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4是正比例函数． （1）求k的值； （2）当y＝﹣2时，求x的值． 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得到结论； （2）把y＝﹣2代入解析式，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4是正比例函数 ∴， 解得k＝﹣2； （2）由（1）知y＝﹣4x， 当y＝﹣2时，﹣2＝﹣4x， ∴x． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义，熟练掌握正方形函数的性质是解题的关键． 【作业 3】（2026春•南昌期末）点和点（2，n）在直线y＝2x+b上，则m与n的大小关系是m＜n ． 【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论． 【解答】解：∵直线y＝2x+b中，k＝2＞0， ∴此函数y随着x的增大而增大， ∵点和点（2，n）在直线y＝2x+b上，2， ∴m＜n． 故答案为：m＜n． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【作业 4】（2026春•昆都仑区期末）如图，一次函数y＝kx+4（k＜0）的图象经过点A（1，2），则关于x的不等式kx+4＞2的解集为x＜1　 ． 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+4在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：根据函数图象，不等式kx+4＞2的解集为x＜1． 故答案为：x＜1． 【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟记两者的关系并正确理解函数图象是解题的关键． 【作业 5】（2026春•同步）已知点A（，y1）和点B（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣4x+7图象上的点，比较y1和y2的大小． 【分析】由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合2，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（，y1）和点B（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣4x+7图象上的点，且2， ∴y1＞y2． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【作业 6】画出函数y＝2x﹣4的图象，借助图象找出： （1）直线上横坐标是3的点； （2）直线上纵坐标是﹣2的点； （3）直线上到x轴距离等于2的点． 【分析】根据题意，作出图象，进而根据图象可得答案． 【解答】解：根据题意，作出图象， 进而可得， （1）直线上横坐标是2的点，为A，它的坐标是（3，2）， （2）直线上纵坐标是﹣2的点，为B，它的坐标是（1，﹣2）， （3）直线上到x轴距离等于2的点，为A、B，它的坐标是（1，﹣2），（3，2）． 【点评】本题考查一次函数的图象，根据图象作答时，作图必须准确． 【作业 7】（2025秋•沛县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1． （1）求k，b的值； （2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集； （3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【分析】（1）根据A、C两点坐标利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接回答； （3）根据三角形面积之间的关系列出含有m的一元一次方程，然后求解即可． 【解答】解：（1）∵点C的横坐标是1， ∴当x＝1时，y2＝3， ∴C（1，3） 把（1，3）和（﹣2，6）分别代入y1＝kx+b可得： ， 解得：； （2）由图象可知：kx+b＞3x的解集是x＜1时； （3）当y＝0时，则：﹣x+4＝0， 解得：x＝4， ∴B（4，0）， 设点D坐标为：（0，m）（m＜0）， ∵， ∴， 解得：m＝±4． ∴D（0，﹣4）或（0，4）． 【点评】本题是两条直线相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与一元一次不等式，三角形的知识，有一定的难度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $