专题17一次函数的简单应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数的简单应用核心知识点，系统梳理一次函数与二元一次方程（组）的数形对应关系，构建“建立模型—确定范围—利用性质—检验作答”的解题步骤支架，衔接行程、利润、方案设计等五大实际应用题型，形成从概念到综合应用的完整学习脉络。 该资料以数学眼光抽象实际问题为函数模型，通过梯度题型（基础到提升）和易错点辨析培养数学思维，如行程问题中利用图像分析相遇追及，利润问题中依据增减性推理最值。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

专题17一次函数的简单应用精讲学案 核心立意 掌握一次函数与二元一次方程（组）的数形对应关系，会用图像法解二元一次方程组；能在实际问题中建立一次函数模型，读懂函数图像信息，利用增减性、交点进行方案优选，落实数形结合与数学建模思想。 一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 一次函数解决实际问题通用解题步骤 1.设定变量：读懂题意，设自变量x、因变量y； 2.建立函数模型：找到等量关系，列出一次函数解析式y=kx+b； 3.确定自变量取值范围：结合实际情境限制（正数、非负数、正整数等，大题必写）； 4.利用函数性质求解： 代入求值； 根据k正负判断增减性，求最大、最小值； 5.检验作答：结果符合现实意义，写出完整答句。 重要结论：一次函数为单调函数(k≠0)，自变量在连续范围内，函数最值出现在取值区间的两个端点。 五大常见应用题型分类 （1）匀速行驶：路程 s = vt+s0 v 对应 k，s0 是出发前已有距离 （2）相遇、追及：列出两人 / 两车 s1=k1x+b1，s2=k2x+b2，联立方程求相遇时间 （3）分段行驶：中途停留时 k=0，图像为水平线段 1.总价模型：总费用 y = 单价数量+固定费 例：打车：y=每公里费用里程+起步价； 会员：y=每件售价件数+会员固定成本 2.利润：利润=售价-进价销量-固定开销，标准一次函数 3，方案选择：两种收费方式 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 y1>y2 选方案 2；y1<y2选方案 1；相等时费用一致 总工作量 y= 每小时工作量时间+原有工程量 进水蓄水：y=进水速率时间+原有水量 排水清池：k 为负数，水量持续减少 两地货物互调，设调配数量为 x，总运费 y=k1x+k2(总量-x)+固定运费 结合 x0、调出数量上限，求 y 最大 / 最小值 一次函数单调： k>0，x 最小则 y 最小；k<0，x 最大则 y 最小 从折线图中提取信息： 1.上升段：k>0\递增；下降段：k<0 递减；水平：静止 2.求两段交点：对应两者数值相等的时刻 3.求纵坐标差值：两者差距大小 互化关系： 二元一次方程 ax+by=c(b≠0) 可变形为一次函数 y=-x+；一次函数 y=kx+b 可化为二元一次方程 kx-y+b=0。 解与点的对应： 一次函数图像上任意一点坐标，都是对应二元一次方程的一组解；二元一次方程所有解对应的点，都在这条直线上。 方程组与两直线交点： 两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；方程组的解，就是两条直线交点坐标。 直线位置和方程组解： 两直线相交⇒方程组唯一解； 两直线平行（k1=k2,b1≠b2）⇒方程组无解； 两直线重合⇒方程组无数组解。 图像法解方程组步骤： ①化成y=kx+b形式； ②画出两条直线； ③读取交点坐标，即为方程组的解。 重点辨析 1. 实际应用题：一次函数没有顶点最值，求最值必须在自变量取值区间内；务必留意自变量非负、整数的现实约束。 2. 方程概念辨析：方程kx+b=0的解是横坐标，不是完整交点坐标(x,0)。 3. 不等式读图辨析：交点是解集分界点，交点左右函数大小关系反转，极易写反解集。 4. 方程组辨析：交点坐标同时满足两个函数解析式；平行直线无交点，则方程组无解。 1. 实际应用题漏写自变量取值范围；求利润最值错误套用二次函数顶点公式。 2. 混淆概念，把交点完整坐标当成一元一次方程的解。 3. 读图求不等式解集，颠倒交点两侧直线高低，解集写反。 4. 联立求交点，计算出错，横纵坐标颠倒。 5. 几何求面积，遗漏关键交点，底、高取用坐标错误。 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★ 题型二 最大利润问题 ★★ 题型三 行程问题 ★★ 题型四 梯度计价问题 ★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★ 题型十 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 ★★ 题型十一 根据两条直线的交点求不等式的解集 ★★ 题型十二 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★ 题型十三 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型十四 求直线围成的图形面积 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：分配方案问题 解题思路：①确定自变量、因变量，建立y=kx+b；②结合实际确定自变量取值范围；③依据自变量整数约束，筛选可行方案。 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 2．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 3．受年强台风侵袭，广西部分乡镇发生洪涝灾害，群众生活物资紧缺．灾害面前，社会各界群众主动伸出援手，踊跃捐赠食品、饮用水等救灾物资，践行“一方有难，八方支援”的传统美德．现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共吨．据统计，A地收到物资吨数的倍与B地收到物资吨数的倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；现C地需物资吨，D地需物资吨． (1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资； (2)请你设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 4．某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 题型二：最大利润问题 解题思路：①建立利润的一次函数解析式；②确定自变量取值范围；③根据k的符号判断增减性，在区间端点求最值。 5．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克． 6．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 7．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知件乙种农机具比件甲种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具件，购买的总费用为万元，求与的关系式及购买这批农机具最少要用多少万元？ 8．端午临近，某手工艺人用，两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款粽子挂件进行销售，拼制每款粽子挂件所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款粽子挂件个，乙款粽子挂件个，共用去种绒布3000片． 款式 种绒布（片） 种绒布（片） 甲款粽子挂件 30 20 乙款粽子挂件 15 30 (1)求关于的函数表达式． (2)已知每个甲款粽子挂件的利润为元（），每个乙款粽子挂件的利润为8元，假设两款粽子挂件均能全部卖出． ①当时，若要获得总利润不少于950元，则至少要用去绒布多少片？ ②该艺人现有种绒布数量在片（包含边界值），求加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值和最小值． 题型三：行程问题 解题思路：①明确图象横纵坐标含义（时间、路程）；②读取图象的起点、拐点、速度信息；③结合解析式或图象分析相遇、追及问题。 9．一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 10．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 11．某海岸线上有A，B两个港口，一艘轮船从A港口出发，沿海岸线匀速前往B港口．设该轮船行驶的时间为，距B港口的路程为．y与x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求轮船行驶时与B港口之间的路程． 12．快、慢两车分别从相距千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶．两车距甲地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并注明的取值范围； (3)求两车出发后经过多长时间相距千米的路程． 题型四：梯度计价问题 解题思路：①划分收费区间；②各区间分别建立一次函数解析式；③根据自变量所在区间代入对应解析式计算。 13．周末小宇帮家人采购水果，店家优惠规则：购买量超出规定数量后，超出部分打折计价．已知花费金额和购买重量的关系如图所示，若小宇带26元买这款水果，他最多能购买水果（    ） A．25斤 B．30斤 C．22.5斤 D．35斤 14．某自来水公司为鼓励居民节约用水，采用月用水量分段收费办法．某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示，若该用户本月用水21吨，则应交水费（     ） A．53元 B．52元 C．51元 D．50元 15．某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费和行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)由图象知，______；______；______； (2)若小明乘坐出租车9千米，需要支付车费多少元？ 16．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 题型五：其他问题 解题思路：①梳理变量关系，建立一次函数模型；②确定自变量取值范围；③代入求值或利用增减性分析求解。 17．一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 18．小濠在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小濠把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与n （个）的函数关系是__________． 19．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气，因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低．当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量封闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量（单位：）与蜡烛的燃烧时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 20．综合与实践 【问题背景】为了对校园四人组装智能小车项目的比赛成绩进行分析优化，同学们对参赛班级的成绩数据进行了统计分析． 在四人组装智能小车竞赛中，队伍依次完成零件分拣、车体搭建、电路焊接、程序调试四个环节，后三个环节的选手可在前一环节推进时提前准备物料与工具，从而减少环节切换的准备时间损耗．因此四人流水线组装的总用时通常小于四名选手各自单独完成对应环节的用时之和 在赛前训练过程中，同学们发现平均每个衔接环节节约时间（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）满足一次函数关系，并且比赛用时满足：智能小车组装总用时四人单独完成各环节时间总和-三处衔接环节总节约时间 (1)已知八（3）班四名选手单独完成各环节的用时总和为分钟，求八（3）班组装总用时（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）之间的函数表达式； (2)八（2）班选手单独完成各环节的总用时比八（4）班快3分钟，但组装比赛比八（4）班慢分钟，且两班的衔接配合训练时间之和为小时．求八（4）班的训练时长． 题型六：一次函数与几何综合 解题思路：①求解直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标；②由坐标转化得到线段长度；③结合几何性质完成推理计算。 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．则的面积为______． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若直线与有交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 23．如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)的面积． 24．如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 题型七：已知直线与坐标轴交点求方程的解 解题思路：①提取直线与x轴交点；②交点横坐标即为方程kx+b=0的解。 25．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 26．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是______． 27．已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 28．如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 题型八：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 解题思路：①方程kx+b=0的解为x=a；②直线y=kx+b与x轴交点为(a,0)。 29．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 30．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 31．如图直线与直线相交于点P，交x轴于点A，交x轴于点B． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 题型九：利用图象法解一元一次方程 解题思路：①画出一次函数图象；②找到图象与x轴交点；③读取交点横坐标，即为方程的解。 32．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 33．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 34．观察图象并回答下列问题： (1)请在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和的图象． (2)①当x为何值时，与所对应的表达式的y值相等？ ②当x为哪些值时，所对应的表达式的y值大于所对应的表达式的y值？ ③当x为哪些值时，所对应的表达式的y值小于所对应的表达式的y值？ 题型十：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 解题思路：①找到直线与x轴交点；②图象在x轴上方对应y>0，下方对应y<0；③写出x的取值范围。 35．一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 36．如图，已知一次函数的图象，则关于x的不等式的解集是_________． 37．如图，当x_____时，；当y_____时，． 38．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出一次函数的图象； (3)不等式的解集为________； (4)函数的图象与轴交于点，点在轴上．若的面积为，求点的坐标． 题型十一：根据两条直线的交点求不等式的解集 解题思路：①求出两直线交点横坐标作为分界点；②对比同一x下两直线上下位置；③图象在上则函数值更大，写出解集。 39．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 40．如图，根据函数图象可得关于的不等式的解集是___________． 41．已知函数，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，三个函数值中的最小值，则y的最大值为（     ）    A．1 B． C． D． 题型十二：两直线的交点与二元一次方程组的解 解题思路：①联立两条直线解析式；②解方程组求出交点坐标；③交点坐标即为对应二元一次方程组的解。 42．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 43．已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 44．如图，已知一次函数与（，且，为常数）的图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 45．如图，直线与直线交于点，直线过点． (1)求直线的函数表达式． (2)直接写出方程组的解． (3)依据图象信息，确定不等式的解集． 题型十三：图象法解二元一次方程组 解题思路：①同一坐标系画出两个一次函数图象；②读取两直线交点坐标即为方程组的解；③两直线平行，则方程组无解。 46．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 47．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 题型十四：求直线围成的图形面积 解题思路：①求出图形全部顶点交点坐标；②将图形拆分为三角形；③利用交点横纵坐标作为底、高，计算面积。 49．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 50．将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 51．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 52．在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17一次函数的简单应用精讲学案 核心立意 掌握一次函数与二元一次方程（组）的数形对应关系，会用图像法解二元一次方程组；能在实际问题中建立一次函数模型，读懂函数图像信息，利用增减性、交点进行方案优选，落实数形结合与数学建模思想。 一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 一次函数解决实际问题通用解题步骤 1.设定变量：读懂题意，设自变量x、因变量y； 2.建立函数模型：找到等量关系，列出一次函数解析式y=kx+b； 3.确定自变量取值范围：结合实际情境限制（正数、非负数、正整数等，大题必写）； 4.利用函数性质求解： 代入求值； 根据k正负判断增减性，求最大、最小值； 5.检验作答：结果符合现实意义，写出完整答句。 重要结论：一次函数为单调函数(k≠0)，自变量在连续范围内，函数最值出现在取值区间的两个端点。 五大常见应用题型分类 题型 1：行程问题 （1）匀速行驶：路程 s = vt+s0 v 对应 k，s0 是出发前已有距离 （2）相遇、追及：列出两人 / 两车 s1=k1x+b1，s2=k2x+b2，联立方程求相遇时间 （3）分段行驶：中途停留时 k=0，图像为水平线段 题型 2：销售利润、费用计价 1.总价模型：总费用 y = 单价数量+固定费 例：打车：y=每公里费用里程+起步价； 会员：y=每件售价件数+会员固定成本 2.利润：利润=售价-进价销量-固定开销，标准一次函数 3，方案选择：两种收费方式 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 y1>y2 选方案 2；y1<y2选方案 1；相等时费用一致 题型 3：工程工作量问题 总工作量 y= 每小时工作量时间+原有工程量 进水蓄水：y=进水速率时间+原有水量 排水清池：k 为负数，水量持续减少 题型 4：调配运输方案 两地货物互调，设调配数量为 x，总运费 y=k1x+k2(总量-x)+固定运费 结合 x0、调出数量上限，求 y 最大 / 最小值 一次函数单调： k>0，x 最小则 y 最小；k<0，x 最大则 y 最小 题型 5：图像读取类应用题 从折线图中提取信息： 1.上升段：k>0\递增；下降段：k<0 递减；水平：静止 2.求两段交点：对应两者数值相等的时刻 3.求纵坐标差值：两者差距大小 互化关系： 二元一次方程 ax+by=c(b≠0) 可变形为一次函数 y=-x+；一次函数 y=kx+b 可化为二元一次方程 kx-y+b=0。 解与点的对应： 一次函数图像上任意一点坐标，都是对应二元一次方程的一组解；二元一次方程所有解对应的点，都在这条直线上。 方程组与两直线交点： 两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；方程组的解，就是两条直线交点坐标。 直线位置和方程组解： 两直线相交⇒方程组唯一解； 两直线平行（k1=k2,b1≠b2）⇒方程组无解； 两直线重合⇒方程组无数组解。 图像法解方程组步骤： ①化成y=kx+b形式； ②画出两条直线； ③读取交点坐标，即为方程组的解。 重点辨析 1. 实际应用题：一次函数没有顶点最值，求最值必须在自变量取值区间内；务必留意自变量非负、整数的现实约束。 2. 方程概念辨析：方程kx+b=0的解是横坐标，不是完整交点坐标(x,0)。 3. 不等式读图辨析：交点是解集分界点，交点左右函数大小关系反转，极易写反解集。 4. 方程组辨析：交点坐标同时满足两个函数解析式；平行直线无交点，则方程组无解。 1. 实际应用题漏写自变量取值范围；求利润最值错误套用二次函数顶点公式。 2. 混淆概念，把交点完整坐标当成一元一次方程的解。 3. 读图求不等式解集，颠倒交点两侧直线高低，解集写反。 4. 联立求交点，计算出错，横纵坐标颠倒。 5. 几何求面积，遗漏关键交点，底、高取用坐标错误。 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★ 题型二 最大利润问题 ★★ 题型三 行程问题 ★★ 题型四 梯度计价问题 ★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★ 题型十 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 ★★ 题型十一 根据两条直线的交点求不等式的解集 ★★ 题型十二 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★ 题型十三 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型十四 求直线围成的图形面积 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：分配方案问题 解题思路：①确定自变量、因变量，建立y=kx+b；②结合实际确定自变量取值范围；③依据自变量整数约束，筛选可行方案。 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 2．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 3．受年强台风侵袭，广西部分乡镇发生洪涝灾害，群众生活物资紧缺．灾害面前，社会各界群众主动伸出援手，踊跃捐赠食品、饮用水等救灾物资，践行“一方有难，八方支援”的传统美德．现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共吨．据统计，A地收到物资吨数的倍与B地收到物资吨数的倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；现C地需物资吨，D地需物资吨． (1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资； (2)请你设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1) A地收到200吨物资，B地收到100吨物资 (2) 设计方案为A地运往C地20吨、D地180吨，B地运往C地100吨、D地0吨，最少费用为45200元. 【分析】（1）根据A、B两地物资总吨数及倍数关系列方程组求解. （2）设调运量为自变量，列出总运费的一次函数表达式，结合自变量取值范围，利用一次函数增减性求最小值. 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资， 由题意得 ， 解得； 答：A地收到200吨物资，B地收到100吨物资； （2）解：设从A地运往C地吨物资，总运费为元，则A地运往D地吨，B地运往C地吨，B地运往D地吨， ∴， 解得， 总运费 整理，得， ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 最小值为； 此时调运方案： A地运往C地20吨，运往D地吨； B地运往C地吨，运往D地吨. 4．某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)，，； (2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； (3) 解：由题意得， 当时，（2）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元； 当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小， 其调运方案如下： 调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨． 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度． （1）根据题意，用240减可得需要从处运往处的数量；用200减去可得从处运往处的数量；300减去即为从处运往处的数量； （2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （3）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，           总计/      200           300 总计/ 240 260 500 故答案为：，，； （2）解：与之间的函数关系式为， 由题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，总运费最小， 此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； （3）略 题型二：最大利润问题 解题思路：①建立利润的一次函数解析式；②确定自变量取值范围；③根据k的符号判断增减性，在区间端点求最值。 5．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克． 【答案】30 【分析】根据题意可设AB段的解析式为，OC段的解析式为，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，可列出关于x的等式，解出x即可． 【详解】根据题意可设AB段的解析式为：，且经过点A(0，240)，B(60，480)， ∴ ， 解得：， ∴AB段的解析式为：； 设OC段的解析式为：，且经过点C(60，720)， ∴， 解得：， ∴OC段的解析式为：． 当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即， ∴， 解得：． 所以这天的产量是30千克． 故答案为：30． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 6．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 7．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知件乙种农机具比件甲种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具件，购买的总费用为万元，求与的关系式及购买这批农机具最少要用多少万元？ 【答案】(1)购买件甲种农机具需要万元，购买件乙种农机具需要万元 (2)（，且为整数），购买这批农机具最少要用万元 【分析】（1）设购买件甲种农机具需要万元，则购买件乙种农机具需要万元，根据题意列出分式方程，解方程求出的值，检验即可得出答案； （2）设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件，根据乙的件数不低于甲件数的一半得出，进而得出，根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设购买件甲种农机具需要万元，则购买件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 整理得，， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买件甲种农机具需要万元，购买件乙种农机具需要万元； （2）解：设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件， ∵乙的件数不低于甲件数的一半． ∴， 整理得，， 解得， ∵购买件甲种农机具需要万元，购买件乙种农机具需要万元， ∴（且为整数）， ∴随着的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值， 答：购买这批农机具最少要用万元． 8．端午临近，某手工艺人用，两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款粽子挂件进行销售，拼制每款粽子挂件所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款粽子挂件个，乙款粽子挂件个，共用去种绒布3000片． 款式 种绒布（片） 种绒布（片） 甲款粽子挂件 30 20 乙款粽子挂件 15 30 (1)求关于的函数表达式． (2)已知每个甲款粽子挂件的利润为元（），每个乙款粽子挂件的利润为8元，假设两款粽子挂件均能全部卖出． ①当时，若要获得总利润不少于950元，则至少要用去绒布多少片？ ②该艺人现有种绒布数量在片（包含边界值），求加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)①片；②加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值为元，最小值为元 【分析】（1）根据表格信息，可得，整理即可求解； （2）①设用去绒布片，根据题意列出不等式组，可得，，再根据一次函数的性质，即可求解；②设总利润为元，则，根据题意列出不等式组，可得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，， ， 则关于的函数表达式为； （2）解：①设用去绒布片， 根据题意，得，解得， ， ， 随的增大而减小， 当最大取100时，取得最小值，为片， 则至少要用去绒布片； ②设总利润为元， 则， ， ， 当时，，随的增大而减小， 当时，取得最小值为元；当时，取得最大值为元； 当时，元， 当时，，随的增大而增大，，时，取得最大值为元， 当时，取得最小值为元；当时，取得最大值为元； 综上可知：当，时，取得最小值为元；当，当时，取得最大值为元； 则加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值为元，最小值为元． 题型三：行程问题 解题思路：①明确图象横纵坐标含义（时间、路程）；②读取图象的起点、拐点、速度信息；③结合解析式或图象分析相遇、追及问题。 9．一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】依据函数的图象获取信息，根据行程问题中的“路程=速度×时间”进行计算． 【详解】解：小船沿直线从码头向码头匀速前进，路程，时间，速度；抵达后停留；小船从码头返回码头，路程，时间，速度． 10．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 11．某海岸线上有A，B两个港口，一艘轮船从A港口出发，沿海岸线匀速前往B港口．设该轮船行驶的时间为，距B港口的路程为．y与x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求轮船行驶时与B港口之间的路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，根据图象可写出x的取值范围； （2）把代入（1）中所求解析式计算即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，把和代入，得 ， 解得， ∴． 由图象可知，； （2）解：把代入，得 ， ∴轮船行驶时与B港口之间的路程为． 12．快、慢两车分别从相距千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶．两车距甲地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并注明的取值范围； (3)求两车出发后经过多长时间相距千米的路程． 【答案】(1)快车的速度为，慢车的速度为 (2) (3)两车出发后经过小时或小时或小时相距千米的路程 【分析】（1）由题意容易判断慢车的行驶时间为小时，进而求出慢车的速度，再结合快、慢车的速度之间的关系，求出快车的速度； （2）先求出快车从甲地到乙地的行驶时间，从而得到点和点的坐标，再利用待定系数法求出线段的解析式； （3）先分别计算出两车运动过程的函数关系式，分段分析，利用解方程求出的值． 【详解】（1）解：由图可知，快车全程用时小时， ∵慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时， ∴慢车的行驶时间为（小时）， ∴慢车的速度为， ∵慢车速度是快车速度的一半， ∴快车的速度为； （2）解：（小时）， ∴点的坐标为， （小时）， ∴快车在乙地停留小时， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴快车返回过程中，； （3）解：∵快车的速度为， ∴线段的解析式为， ∴快车运动过程的函数关系式为， ∵慢车的速度为，且个小时到达甲地， ∴慢车运动过程的函数关系式为， ①当时， ，， ∵两车相距千米， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ②当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，与矛盾，舍去； ③当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ④当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得（与题设矛盾，舍去）或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，两车出发后经过小时或小时或小时相距千米的路程． 题型四：梯度计价问题 解题思路：①划分收费区间；②各区间分别建立一次函数解析式；③根据自变量所在区间代入对应解析式计算。 13．周末小宇帮家人采购水果，店家优惠规则：购买量超出规定数量后，超出部分打折计价．已知花费金额和购买重量的关系如图所示，若小宇带26元买这款水果，他最多能购买水果（    ） A．25斤 B．30斤 C．22.5斤 D．35斤 【答案】B 【分析】当时，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：当时，设y与x的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴y与x的解析式为 当时， 解得 ∴他最多能购买水果30斤． 14．某自来水公司为鼓励居民节约用水，采用月用水量分段收费办法．某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示，若该用户本月用水21吨，则应交水费（     ） A．53元 B．52元 C．51元 D．50元 【答案】A 【分析】当时，可设，结合图形，利用待定系数法即可求出与的函数解析式；将代入以上所求的函数解析式中，求出值，即可得出答案． 【详解】解：设， 由图可得， 所以， 所以， 当时，（元）． 15．某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费和行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)由图象知，______；______；______； (2)若小明乘坐出租车9千米，需要支付车费多少元？ 【答案】(1)8，3，1.5 (2)17元 【分析】（1）根据函数图象可直接得出答案； （2）由（1）中值进行计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得，， ； （2）解：小明乘坐出租车9千米，需要支付车费为 （元）． 16．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 题型五：其他问题 解题思路：①梳理变量关系，建立一次函数模型；②确定自变量取值范围；③代入求值或利用增减性分析求解。 17．一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】弹簧总长度等于原长加上挂物体后伸长的长度，根据题干给出的数量关系推导即可． 【详解】解：弹簧不挂物体时原长为，每挂的物体弹簧伸长， 当所挂物体质量为时，弹簧伸长的长度为， 又弹簧总长度 原长伸长长度． ． 18．小濠在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小濠把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与n （个）的函数关系是__________． 【答案】 【分析】先求出纸杯边沿的高，然后根据纸杯的高加纸杯边沿的高，可得答案． 【详解】解：根据题意，得纸杯边沿的高是 ∴高度h与n的函数关系是， 即． 19．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气，因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低．当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量封闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量（单位：）与蜡烛的燃烧时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入已知函数值求解对应的自变量即可． 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式为，将，代入，得， 解得， 蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式为． （2）解：当时，， 解得． 答：当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 20．综合与实践 【问题背景】为了对校园四人组装智能小车项目的比赛成绩进行分析优化，同学们对参赛班级的成绩数据进行了统计分析． 在四人组装智能小车竞赛中，队伍依次完成零件分拣、车体搭建、电路焊接、程序调试四个环节，后三个环节的选手可在前一环节推进时提前准备物料与工具，从而减少环节切换的准备时间损耗．因此四人流水线组装的总用时通常小于四名选手各自单独完成对应环节的用时之和 在赛前训练过程中，同学们发现平均每个衔接环节节约时间（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）满足一次函数关系，并且比赛用时满足：智能小车组装总用时四人单独完成各环节时间总和-三处衔接环节总节约时间 (1)已知八（3）班四名选手单独完成各环节的用时总和为分钟，求八（3）班组装总用时（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）之间的函数表达式； (2)八（2）班选手单独完成各环节的总用时比八（4）班快3分钟，但组装比赛比八（4）班慢分钟，且两班的衔接配合训练时间之和为小时．求八（4）班的训练时长． 【答案】(1) (2)八（4）班的训练时长为小时． 【分析】（1）根据平均每个衔接环节节约时间与衔接配合训练时长的函数关系，得出三处衔接总节约时间，再结合“智能小车组装总用时四人单独完成各环节时间总和-三处衔接环节总节约时间”，即可得到函数关系式； （2）设八（4）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟，则八（2）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟，再根据题意表示出两班的组装比赛总用时，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，平均每个衔接环节节约时间满足， 三处衔接总节约时间为， 组装总用时， 即组装总用时与衔接配合训练时长之间的函数表达式为； （2）解：设八（4）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟， 则八（2）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟， 平均每个衔接环节节约时间与衔接配合训练时长满足一次函数关系， 八（4）班平均每个衔接环节节约时间为分钟，八（2）班为分钟， 八（4）班的组装比赛总用时为分钟， 八（2）班的组装比赛总用时为分钟， 八（2）班组装比赛总用时比八（4）班慢分钟， ， 解得：， 即八（4）班的训练时长为小时． 题型六：一次函数与几何综合 解题思路：①求解直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标；②由坐标转化得到线段长度；③结合几何性质完成推理计算。 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，根据计算求解即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， ， 直线的解析式为； 在中，当时，， ， ． 故答案为：6． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若直线与有交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把A点和B点坐标分别代入中求出对应的值，即可求得直线与有交点时k的临界值，然后再确定k的取值范围． 【详解】解：当时，， 当直线经过点A时，将代入直线中， 可得，解得； 当直线经过点C时，将代入直线中， 可得，解得； 故k的取值范围是． 23．如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法代入求解即可； （3）根据题意得出，；；，然后结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵直线，交于点，， ∴， 解得：； （2）由（1）得，直线经过点， ∴， 解得：， ∴； （3）当时，， 解得：， ∴， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴的面积为：． 24．如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，得，把和代入，求解即可； （2）设，则，，分类求解即可； （3）根据题意，得，直线过定点，由题意得：当时，，求解即可； 【详解】（1）解：把代入，得，把和代入， ， 解得， ：． （2）解：设，则，， 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得（舍）， 综上：点C坐标为或． （3）解：， ∴直线过定点， 当直线经过点，前面有共有9个整点，正好不包含第10个整数点， 此时，，解得，， 当直线经过点，共有如下整点： ，正好包含第10个整数点，此时，，解得，， 故直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点的 的取值范围． 题型七：已知直线与坐标轴交点求方程的解 解题思路：①提取直线与x轴交点；②交点横坐标即为方程kx+b=0的解。 25．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，方程的解就是一次函数中时对应的值，通过表格查找对应值即可求解． 【详解】解：观察表格得：当时，， ∴方程的解是． 26．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数图象的交点的横坐标就是两个一次函数解析式所构成的一元一次方程的解即可求解，掌握一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点，点的横坐标是， ∴的方程的解为：， 故答案为：． 27．已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求两直线的交点坐标，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）求出一次函数与轴和轴的交点坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：把点代入函数得， ， 则函数解析式为：； 把点代入函数得， 则函数解析式为：； （2）解：令中的，则， ∴与轴的交点为， 令中的，则， ∴与轴的交点为， ∴三角形面积为：． 28．如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程与一次函数图像的关系即可解答； （2）将，代入一次函数解关于k、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】（1）解：∵由图可知一次函数的图像与x轴的交点， ∴一元一次方程的解是． （2）解：将、代入一次函数得： ，解得：． ∴该一次函数的表达式：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与一元一次方程的关系、求一次函数解析式等知识点，理解一次函数图像与一元一次方程的关系是解答本题的关键． 题型八：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 解题思路：①方程kx+b=0的解为x=a；②直线y=kx+b与x轴交点为(a,0)。 29．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 30．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 【答案】/ 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知， ， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 31．如图直线与直线相交于点P，交x轴于点A，交x轴于点B． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）联立和的解析式，解二元一次方程组即可得到点P坐标． （2）分别令、的，求解对应的x值，即可得到A、B的坐标，所以求出的长度，边上的高为点P的纵坐标的绝对值，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：联立两个直线的解析式， 解得， ∴点的坐标为 ． （2）解：对，令，得， 解得， ∴； 对，令，得， 解得， ∴． ∴． ∴ ． 故的面积为 ． 题型九：利用图象法解一元一次方程 解题思路：①画出一次函数图象；②找到图象与x轴交点；③读取交点横坐标，即为方程的解。 32．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 33．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 34．观察图象并回答下列问题： (1)请在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和的图象． (2)①当x为何值时，与所对应的表达式的y值相等？ ②当x为哪些值时，所对应的表达式的y值大于所对应的表达式的y值？ ③当x为哪些值时，所对应的表达式的y值小于所对应的表达式的y值？ 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）描点法画出一次函数的图象即可； （2）①两条直线的交点的横坐标即为所求； ②找到直线在直线的上方时的的范围即可； ③找到直线在直线的下方时的的范围即可. 【详解】（1）解：∵ ∴当时，；当时，； ∴直线过点和点； 同法可知：直线过点和点； 画图略 （2）略 题型十：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 解题思路：①找到直线与x轴交点；②图象在x轴上方对应y>0，下方对应y<0；③写出x的取值范围。 35．一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知当时，，可知不等式的解集是． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标 为， ∴当时，， ∴ 关于x的不等式的解集为． 36．如图，已知一次函数的图象，则关于x的不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】不等式可以写成，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：不等式可以写成，即一次函数，当时，x的取值范围， 由函数图象可得． 37．如图，当x_____时，；当y_____时，． 【答案】 【分析】根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，，当时，． 38．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出一次函数的图象； (3)不等式的解集为________； (4)函数的图象与轴交于点，点在轴上．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 一次函数的图象如下： (3) (4)点的坐标为或 【分析】（1）由函数的平移可得，再将点代入求出，即可求解； （2）根据列表、描点、连线，即可求解； （3）观察函数图象即可求解； （4）先求出点的坐标，再设，再用含的式子表示出，最后根据，列方程即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， 将点代入中得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）解：列表： 描点、连线即可； （3）解：由图可知，当时，，当时，， 不等式的解集为； （4）解：令，则， 解得， ， 点在轴上， 设， ， 的面积为，点， ， 解得或， 点的坐标为或． 题型十一：根据两条直线的交点求不等式的解集 解题思路：①求出两直线交点横坐标作为分界点；②对比同一x下两直线上下位置；③图象在上则函数值更大，写出解集。 39．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可得，当时，直线的图象在直线的图象上方， ∴关于的不等式的解集为． 40．如图，根据函数图象可得关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】将原不等式变形为，即寻找直线的图象在直线的图象上方（含交点）时对应的自变量的取值范围． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为． 不等式可变形为， 即求直线在直线上方或相交时的取值范围． 观察图象可知， 当时，直线的图象在直线的图象上方或重合． 不等式的解集是． 41．已知函数，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，三个函数值中的最小值，则y的最大值为（     ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求三个函数两两相交的交点，把图像分成几段，再在每一段里找出位置最低的那条线，最后看这些“最低线”里的最高点，就是y的最大值． 【详解】解：如图，设与交于点A，设与交于点B，设与交于点C，    联立与的解析式，得， 解得 ，即交点 ； 联立与的解析式，得 ， 解得，即交点； 联立与的解析式，得 ， 解得，即交点； 当时，且，，此时随增大而增大，最大值为； 当时，且（验证时），，此时随增大而增大，最大值为； 当 时，且，，此时随增大而减小，值小于； 综上所述，的最大值为． 题型十二：两直线的交点与二元一次方程组的解 解题思路：①联立两条直线解析式；②解方程组求出交点坐标；③交点坐标即为对应二元一次方程组的解。 42．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 43．已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，先求出交点的横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：把代入，得， 解得， 点坐标为． 将原方程组变形可得， 该方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标，即原二元一次方程组的解为． 44．如图，已知一次函数与（，且，为常数）的图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入求出的值，结合函数图象即可求解． 【详解】解：把代入， 得， ， 一次函数与的图象的交点坐标为， 方程组的解是， 关于，的方程组的解为． 45．如图，直线与直线交于点，直线过点． (1)求直线的函数表达式． (2)直接写出方程组的解． (3)依据图象信息，确定不等式的解集． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)方程组解为 (3)不等式的解集为： 【分析】（1）求出点P坐标，由待定系数法可得直线的函数表达式； （2）方程组的解即为交点P横纵坐标的值； （3）确定的图象在的图象上方时，自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入直线， ∴，解得， 即点坐标为； ∴直线过点，点，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵方程组的解即为交点P横纵坐标的值，， ∴方程组解为； （3）解：由图象可得：不等式的解集为：． 题型十三：图象法解二元一次方程组 解题思路：①同一坐标系画出两个一次函数图象；②读取两直线交点坐标即为方程组的解；③两直线平行，则方程组无解。 46．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 47．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点D的坐标或． 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点C坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）设，分别求出和，分两种情况讨论利用三角形面积公式分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； （2）解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； （3）解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 当点在延长线上时， 同理得， 解得， ∴， ∴， 综上，点D的坐标或． 题型十四：求直线围成的图形面积 解题思路：①求出图形全部顶点交点坐标；②将图形拆分为三角形；③利用交点横纵坐标作为底、高，计算面积。 49．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 50．将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 【答案】 【分析】先根据直线平移规律得到平移后的解析式，再分别求出直线与轴、轴交点、坐标，最后利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：直线上下平移规律：向下平移个单位，解析式变为 ， 原直线：，向下平移3个单位 ， 时，， ； 时，， ， ， ， ． 51．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得， 所以，点的坐标为， ∵点的纵坐标是， ∴点C到轴的距离为， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键． 52．在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】首先求出，然后利用待定系数法解答即可； 先求出，，然后通过即可求解； 设，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设，将代入得，解得， ∴的解析式为：； （2）解：如图， 令，则，得；令，； ∴，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵， ∴设， ∴， ∴，解得或， ∴坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $