第16讲 变量与函数 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第16讲 变量与函数 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解常量与变量的概念，能在变化过程中分清常量与变量 · 理解函数的概念，能判断两个变量之间是否构成函数关系 · 能根据实际问题列出函数关系式，确定自变量的取值范围 · 会根据函数关系式求函数值，掌握代入求值的方法 · 能读懂函数图像，会从图像中获取信息解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.常量与变量 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量 数值发生变化的量叫做变量 常量不一定是数字，字母也可能表示常量（如圆的周长公式C=2πr中π是常量） 判断常量与变量要看它是否随其他量的变化而变化 概念辨析例题：在圆面积公式S＝πr2中，常量是______，变量是______ 解析：π是圆周率，数值固定不变，是常量；r取不同的值时面积S随之变化，所以S和r都是变量。注意r2不是独立变量，变量是半径r。 ☆ 2.函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数 x叫做自变量，y叫做因变量 判断是否为函数：给定自变量一个值，因变量的值必须唯一 图像法判断：作垂直于x轴的直线，与图像的交点个数始终为1才是函数图像 概念辨析例题：下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　） 解析：用「竖线法」判断：在图像上作一条垂直于x轴的直线并平移，若直线与图像始终只有一个交点，说明每个x值对应唯一y值，则y是x的函数；若出现两个及以上交点，则不是函数。 ☆ 3.函数关系式 用含自变量的式子表示因变量的等式叫做函数关系式（解析式） 列关系式步骤：先确定自变量与因变量，再找等量关系，最后用代数式表示 实际问题中常涉及分段函数：不同取值范围对应不同关系式 关系式书写规范：因变量写在等号左边，一般用y表示 概念辨析例题：一辆汽车油箱现有汽油50L，平均耗油量为0.1L/km，油箱中的存油量为y（L）与行驶路程x（km）的关系式为______ 解析：行驶x千米耗油0.1x升，油箱原有50升，剩余存油量y=50−0.1x；同时x的取值应满足0.1x≤50，即0≤x≤500。 ☆ 4.函数自变量的取值范围 整式：自变量的取值范围是全体实数 分式：分母不能为0 偶次根式：被开方数大于或等于0 实际问题：还要使实际问题有意义（如长度、时间、数量为非负） 概念辨析例题：函数y=中，自变量x的取值范围是______ 解析：该函数是分式，分母x−2不能为0，所以x≠2；若含偶次根式则需x−3≥0即x≥3，不同结构按各自约束求解后取公共部分。 ☆ 5.函数值 当自变量取某一确定值时，因变量对应的值叫做函数值 求函数值的方法：把自变量的值代入函数关系式计算 f（x）记号：f（a）表示自变量x取a时对应的函数值 已知函数值求自变量：令函数值等于已知数，解方程 概念辨析例题：变量x与y的关系式为y＝2x−1，当x＝3时，y的值为（　） 解析：把x=3代入y=2x−1，得y=2×3−1=5；若已知f(x)=kx−2且f(2)=4，则代入得2k−2=4，k=3。 ☆ 6.函数图像 函数图像是函数关系直观的表示方法，横轴一般表示自变量，纵轴表示因变量 读图步骤：看清横纵轴表示的量与单位，再看图像变化趋势 图像上每个点的横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值 实际问题中图像要结合情境理解，注意分段与特殊点含义 概念辨析例题：小明坐公交车到公园游玩，从家出发0.8小时后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交到公园，图像表示路程随时间变化，逗留期间图像______ 解析：逗留期间小明停在书城，路程保持不变，所以图像上对应一段与x轴平行的水平线段；出发、坐车阶段图像上升，速度越大上升越陡。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 常量与变量 常量数值不变，变量数值变化 字母也可能表示常量（如π） 函数 x的每个确定值对应唯一y值 一个x不能对应多个y 函数关系式 含自变量的式子表示因变量 注意自变量的实际范围 自变量范围 整式全体实数；分式分母≠0；偶次根式被开方数≥0 实际问题还需有意义 函数值 代入自变量的值计算 f（a）表示x=a时的函数值 函数图像 横轴自变量、纵轴因变量 图像上点坐标对应x、y值 ⚠️ 核心考点 【考点1】常量与变量（第1-8题） · 判断标准：数值是否随过程变化而变化 · 公式中的固定字母（如π）是常量 · 实际问题中常量和变量由具体情境决定 · r2中的变量是r，不是r2 1．（2026春•淄川区期末）新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．新能源车 B．温度 C．电池 D．续航里程 【分析】根据自变量与因变量的意义，即可解答． 【解答】解：新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少，在这个变化过程中，自变量是温度， 故选：B． 【点评】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 2．（2025春•长安区校级期中）程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（　　） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 【分析】变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量，据此求解即可． 【解答】解：根据变量和常量的概念可知：这个问题中的变量是a和b． 故选：D． 【点评】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键． 3．（2025春•尧都区期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是　气温　 ． 【分析】“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化． 【解答】解：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是温度． 故答案为：温度． 【点评】本题考查了函数的基本概念，掌握常量与变量的概念是解题的关键． 4．（2025春•惠阳区校级期中）在圆面积公式S＝πr2中，常量是　π　 ． 【分析】根据函数中常量与变量的规定解答即可． 【解答】解：在圆面积公式S＝πr2中，常量是π， 故答案为：π． 【点评】本题考查了函数的常量与变量，熟练掌握 函数的概念是关键． 5．（2024秋•曹县期中）在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温y（单位：℃）．在这个问题中，变量是　蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温　 ． 【分析】根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【解答】解：变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 【点评】此题考查了函数的变量，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2026春•同步）一年内，家庭用电按累计用电量执行阶梯电价．某家庭电能表IC卡内预存1000元的电费，在节约用电的倡议下，将年用电量控制在第一档的用电标准内，每度电收费0.4883元，计算每月的电费．在此计算过程中存在着哪些量？哪些是变量，哪些是常量？ 【分析】找出常量与变量，写出即可． 【解答】解：设每月的用电量的x度，每月的电费是y元， 根据题意得y＝0.4883x， 此计算过程中存在着用电量的x度，每月的电费是y元，每度电收费0.4883元，0.4883是常量，x，y是变量． 【点评】此题考查了函数关系式，常量与变量，弄清题意是解本题的关键． 7．（2025秋•同步）指出下列关系中的变量与常量： （1）球的表面积Scm2与球半径Rcm之间的关系为：S＝4πR2； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度lcm与温度t℃之间的关系为：l＝0.002t+200． 【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 【解答】解：（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度lcm与温度t℃之间的关系为：l＝0.002t+200，常量是0.002，200，变量是l，t 【点评】本题考查了常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 8．（2025春•砀山县期末）如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量是 BC（AD）　 ，因变量是 　长方形ABCD的面积　 ； （2）如果长方形的长BC为x（cm），那请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y（cm2）； （3）当长方形的长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积怎么变化？ 【分析】（1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积＝长×宽求解； （3）分别代入两值求解． 【解答】解：（1）在这个变化过程中，ABCD的面积随BC（AD）的长度变化而变化， ∴在这个变化过程中，自变量为BC（AD）的长，因变量为长方形ABCD的面积， 故答案为：BC（AD），长方形ABCD的面积； （2）长方形的面积＝AB×BC，即y＝10x； （3）当BC＝15cm时，y＝10x＝10×15＝150（cm2）， 当BC＝20cm时，y＝10x＝10×20＝200（cm2）， 所以当长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积从150cm2变到200cm2． 【点评】本题考查函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题干求关系式的方法． 【考点2】函数的概念（第9-14题） · 核心：x的每一个确定值对应唯一确定的y值 · 图像用竖线法判断，交点始终唯一 · 关系式看是否给一个x算出一个y · 注意|y|=3x等式中一个x对应两个y，不是函数 9．（2026春•青山区期末）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【解答】解：A中对于x的每一个确定的值，y不一定是唯一的值与其对应，则A不符合题意， B中对于x的每一个确定的值，y不一定是唯一的值与其对应，则B不符合题意， C中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，则C符合题意， D中对于x的每一个确定的值，y不一定是唯一的值与其对应，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 10．（2025春•旌阳区期中）下列各式：①y＝2x+8；②|y|＝3x；③y＝2|x|；④y＝0.5x﹣2，其中y是x的函数的有　①③④　 ． 【分析】根据函数的定义，一个变化的过程中，有两个变量x，y，其中y随着x的变化而变化，且对于每一个确定的x的值都有唯一确定的y值与之对应，我们就称y是x的函数，进行判断即可． 【解答】解：由题意，y是x的函数的有y＝2x+8，y＝2|x|，y＝0.5x﹣2共3个． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查函数的判断，熟练掌握该知识点是关键． 11．如图，豌豆苗的呼吸作用强度随温度的变化而变化，则自变量是　温度　 ，自变量的函数是　豌豆苗的呼吸作用强度　 ． 【分析】根据题目描述，“豌豆苗的呼吸作用强度随温度的变化而变化”，主动变化的量是自变量，随自变量变化的量是自变量的函数．从图像中也能看出，横轴代表温度，纵轴代表呼吸作用强度，符合上述逻辑． 【解答】解：自变量：温度（或温度/℃），自变量的函数：豌豆苗的呼吸作用强度． 故答案为：温度，豌豆苗的呼吸作用强度． 【点评】本题考查了自变量与函数的概念．熟练掌握“主动变化的量是自变量，随自变量变化的量是函数”这一基本定义，是解题的关键． 12．（2025春•尉氏县期末）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是　3.5h ． 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 【分析】根据常量与变量解决此题． 【解答】解：由表可知，注水的速度是不变的， 注水的速度是v＝（1.4﹣0.7）÷0.5＝1.4（m/h）． ∴注满水池所需的时间是4.9÷1.4＝3.5（h）． 故答案为：3.5h． 【点评】本题考查函数，熟练掌握函数的变化规律是解决问题得关键． 13．（2025•阳信县二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数y＝2x﹣1（答案不唯一）　 ． ①y随x的增大而增大；②函数与y轴的负半轴相交． 【分析】一次函数y＝kx+b（k≠0）中的y随着x的增大而增大可得k＞0，再根据函数图象与y轴负半轴相交可得b＜0，据此即可求解． 【解答】解：∵y随着x的增大而增大，函数图象与y轴负半轴相交， ∴一次函数的比例系数k＞0，b＜0， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是y＝2x﹣1， 故答案为：y＝2x﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了函数的概念，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 14．如图是某地区一天的气温T随时间t的变化曲线． （1）图中有　2　 个变量，分别是　温度和时间　 ； （2）这个曲线能表示函数关系吗？ 【分析】（1）根据变量的定义判断； （2）由函数的定义即可得出答案； 【解答】解：（1）由图象可知，图中的变量有2个，是温度和时间； 故答案为：2，温度和时间； （2）能，由函数的定义可知： 在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合函数的定义，所以气温T（℃）是时间t（时）的函数． 【点评】本题考查了函数图象，熟练掌握从图象中获取正确信息是关键． 【考点3】函数关系式（第15-22题） · 先定自变量因变量，再找等量关系列式 · 分段函数分情况列关系式，注意各段范围 · 几何动点问题用图形性质找等量关系 · 验证：代入特殊值检验关系式是否正确 15．（2025秋•东港市期末）人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．如表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强ρ（Pa） 6×105 8×105 1.2×106 1.6×106 接触面积S（m2） 8×10﹣4 6×10﹣4 4×10﹣4 3×10﹣4 则地面所受压强ρ（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为　ρ　 ． 【分析】计算表格中p与S的对应值的乘积，发现它们的积相等，进而得到它们成反比例关系，再写出关系式即可． 【解答】解：∵6×105×8×10﹣4＝480＝8×105×6×10﹣4＝1.2×106×4×10﹣4＝1.6×106×3×10﹣4， ∴地面所受压强ρ（Pa）与接触面积S（m2）成反比例关系， 即ρ， 故答案为：ρ． 【点评】本题考查函数关系式，理解反比例函数关系的定义是正确解答的关键． 16．（2025秋•内黄县月考）两个正方形的周长之和是32cm．若以两个正方形面积之和y（cm2）为因变量，其中一个正方形的边长x（单位：cm）为自变量，则它们之间的关系式是y＝2x2﹣16x+64　 ． 【分析】根据两个正方形的周长之和为32cm，可求出另一个正方形的边长为 （8﹣x）cm，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【解答】解：根据题意，其中一个正方形的周长为：4xcm， ∴另一个正方形的周长为：（32﹣4x）cm， ∴另一个正方形的边长为：， 故一个正方形的面积为：x2 cm2， 另一个正方形的面积为：（8﹣x）2 cm2， 综上所述，两个正方形的面积和为：y＝x2+（8﹣x）2， 即y＝2x2﹣16x+64． 故答案为：y＝2x2﹣16x+64． 【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，掌握函数关系式的表示方法是关键． 17．（2025春•祥符区期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，则y与x间的关系式是y＝25x+75（x＞3）　 ． 【分析】根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可． 【解答】解：y＝50×3+50×50%（x﹣3）＝150+25x﹣75＝25x+75（x＞3）， 即若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，y与x间的关系式是y＝25x+75（x＞3）． 故答案为：y＝25x+75（x＞3）． 【点评】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 18．（2026春•通川区校级期末）已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长150cm，正常情况下，导火线每秒钟燃烧3cm，则导火线燃烧时的剩余长度y（cm）与燃烧时间x（s）之间的函数关系式是y＝150﹣3x（0≤x≤50）　 ． 【分析】要确定剩余长度y与燃烧时间x的函数关系式，需先分析两者的数量关系．已知导火线原长150cm，每秒燃烧3cm，则燃烧x秒的长度为3xcm．根据“剩余长度 ＝ 原长度﹣燃烧长度”，可得y＝150﹣3x．再确定自变量取值范围，当y＝0时，150﹣3x＝0，解得x＝50，所以x的取值范围是0≤x≤50，最终函数关系式为y＝150﹣3x（0≤x≤50）． 【解答】解：由题意得，燃烧的长度为3xcm． ∵当y＝0时，150﹣3x＝0， ∴x＝50， 因此，函数关系式为y＝150﹣3x（0≤x≤50，）． 故答案为：y＝150﹣3x（0≤x≤50）． 【点评】本题考查一次函数的实际应用知识点，运用建模思想，根据“剩余长度 ＝ 原长度﹣燃烧长度”的数量关系构建一次函数模型．解题关键是明确变量之间的数量关系，易错点是忽略自变量的取值范围（导火线燃烧时间不能为负且剩余长度不能为负． 19．（2025秋•亳州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一点，设BP长为x且0≤x＜8，△APC的面积为S． （1）求S与x之间的函数解析式，S＝24﹣3x ； （2）当△APC的面积为18时，则BP的长为　2　 ． 【分析】（1）由题意得PC＝8﹣x，由三角形面积公式即可求解； （2）由（1）中所得，解方程即可求解． 【解答】解：（1）PC＝8﹣x，由三角形面积公式可得： ， 故答案为：S＝24﹣3x； （2）由条件可知S＝24﹣3x＝18， 解得：x＝2，即BP＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键． 20．（2026•海口一模）如图所示，某品牌的自行车链条每节长为2.5cm，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为0.8cm，按照这种连接方式，n节链条的总长度为ycm，则y与n之间的关系式为y＝1.7n+0.8　 ． 【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，即可得出规律，从而可得出y与n之间的关系式． 【解答】解：观察发现：n节链条的总长度为y＝[2.5+（2.5﹣0.8）×（n﹣1）]＝1.7n+0.8（cm）， ∴y与n之间的关系式为y＝1.7n+0.8． 故答案为：y＝1.7n+0.8． 【点评】本题考查了函数解析式，理解题意是关键． 21．（2026•前郭县校级二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为1cm/s，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为2cm/s，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为x秒． （1）BP＝　（8﹣x）cm （用含x的代数式表示）； （2）当x＝　　 秒时，PQ∥AC； （3）设△PQB的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据运动过程即可求解； （2）当PQ∥AC时，，即可得x； （3）按照运动时间进行分类讨论，当0＜x≤3时，，当3＜x＜8时，过点Q作QH⊥AH于点H，则QH∥BC，可得△AHQ∽△ABC，可得，可得，，即可得y关于x的函数关系式． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴BP＝（8﹣x）cm， 故答案为：（8﹣x）cm； （2）当PQ∥AC时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）当0＜x≤3时，BQ＝2x，BP＝8﹣x， ＝﹣x2+8x， 当3＜x＜8时，过点Q作QH⊥AH于点H，则QH∥BC， ∴△AHQ∽△ABC， ∴， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【点评】本题考查列代数式，平行线分线段对应成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，二次函数综合． 22．（2024春•铁西区期中）一辆汽车油箱现有汽油50L，已知该车平均耗油量为0.1L/km，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：km），y随着x的变化而变化． （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩5L时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少km范围内汽车必须加油． 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）把x＝200代入（1）中的函数解析式计算即可求解； （3）用5除以0.1即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，y＝50﹣0.1x； （2）把x＝200代入y＝50﹣0.1x得， y＝50﹣0.1×200＝30， ∴油箱中还有30L汽油； （3）5÷0.1＝50（km）， 答：黄灯亮后50km范围内汽车必须加油． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键． 【考点4】函数自变量的取值范围（第23-29题） · 整式全体实数，分式分母≠0，偶次根式被开方数≥0 · 含分式与根式组合时求公共部分 · 实际问题按实际意义限制（非负、整数等） · 写范围用不等式或区间表示 23．（2026•江阳区校级模拟）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≠﹣1 D．x≠﹣1且x≠3 【分析】由解析式知，分母不为0，分子被开方数非负，由此可得两个不等式，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥﹣1且x≠3． 故选：B． 【点评】本题考查函数有意义的自变量的取值范围，涉及分式及二次根式有意义的条件． 24．（2026•泗阳县校级一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：已知函数， 则x+1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥﹣1且x≠2， 故选：D． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键． 25．（2025秋•昌江区校级期中）若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A．0＜b＜c B．0＜c＜b C．b＜0＜c D．c＜0＜b 【分析】函数的自变量x取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程x2﹣2bx+c2＝0无解．即Δ＝4b2﹣4c2＜0，即可解得b、c的关系． 【解答】解：根据题意可知，函数的分母一定不等于0， ∴x2﹣2bx+c2＝0无解， 即Δ＝4b2﹣4c2＝4（b+c）（b﹣c）＜0， 解得：c＜b＜﹣c或﹣c＜b＜c， 当c＞b＞0时，一定满足要求． 故选：A． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量的取值范围的计算方法是关键． 26．（2026•平房区一模）在函数中，自变量x的取值范围x≠4　 ． 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0， 解得：x≠4． 故答案为：x≠4． 【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 27．（2024秋•浦东新区校级期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　﹣1　 ． 【分析】根据题意先推出f（x，f（x，z））＝﹣z，然后推出f（z，0）＝﹣z，再通过把f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024化简求解即可． 【解答】解：∵f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z， ∴f（x，f（x，z））+z＝f（x，x）＝0， ∴f（x，f（x，z））＝﹣z， 令x＝z，则f（z，f（z，z））＝f（z，0）＝﹣z． ∴f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024＝f（2025，0）+2024＝﹣2025+2024＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了函数的新定义，通过变量代换对函数进行变形是解答本题的关键． 28．（2024秋•渠县校级期中）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　1≤x≤2　 ，最小值是　3　 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是　4≤x≤6　 ，最小值是　8　 ． （2）已知y＝|x+4|﹣|x+2|，求y的最大值和最小值及相应的x的取值范围，并写出解答过程． （3）求x为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【分析】根据绝对值几何意义解答即可； （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3． 故答案为：﹣1≤x≤2；3； （1）当x＜2时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝20﹣4x＞12； 当2≤x＜4时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝16﹣2x＞8； 当4≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝8； 当6＜x≤8时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝2x﹣4≥12； 当x＞8时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝4x﹣20＞12； ∴式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8． 故答案为：4≤x≤6；8． （2）当x≤﹣4时，y＝|x+4|﹣|x+2|＝﹣x﹣4+x+2＝﹣2； 当﹣4＜x＜﹣2时，y＝|x+4|﹣|x+2|＝x+4+x+2＝2x+6； 当x≥﹣2时，y＝|x+4|﹣|x+2|＝x+4﹣x﹣2＝2； ∴当x≥﹣2，y最大值为2；当x≤﹣4，y最小值为﹣2； （3）原式＝|x﹣（）|+|x﹣（）|+|x﹣（）|+...+|x﹣（）|， ∵表示x在数轴上的对应点与、、、…、所对应点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为 ． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． 29．（2024春•灵川县校级月考）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（千米） （1）上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； （2）用含x的代数式表示y；（写出自变量的取值范围） （3）当x＝10时，y是多少？当y＝24时，x是多少？ 【分析】（1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案； （2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式； （3）分别令x＝10，及y＝24代入即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量， 故答案为：行驶路程，剩油量； （2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：y＝48﹣0.6x， 由题意可得， ∴， 解得0≤x≤80， 故答案为：y＝48﹣0.6x（0≤x≤80）； （3）当x＝10时，y＝48﹣0.6x＝48﹣0.6×40＝42； 当y＝24时，y＝48﹣0.6x＝24，解得x＝40； 故答案为：42，40． 【点评】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识． 【考点5】函数值（第30-35题） · 求函数值：代入自变量计算 · f（x）记号的理解：f（a）即x=a时的值 · 由函数值求自变量：列方程求解 · 程序框图计算：按流程逐步代入 30．（2026春•左权县期末）变量x与y的关系式为y＝2x﹣1，当x＝3时，y的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】将给定的x值代入x与y的关系式计算，即可得到y的值． 【解答】解：∵变量x与y的关系式为y＝2x﹣1， 当x＝3时， y＝2×3﹣1＝6﹣1＝5． 故选：A． 【点评】本题考查了函数关系式，函数值，掌握函数关系式的表示方法是关键． 31．（2025春•紫阳县校级月考）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 3 7 11 15 … 根据表格中的数据，当x＝﹣15时，y的值是（　　） A．﹣57 B．﹣55 C．﹣53 D．﹣51 【分析】由表格可知，x的值增加1，y的值增加4，x与y之间是一次函数的关系，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式并将x＝﹣15代入，求出对应的y值即可． 【解答】解：由条件可知x与y之间是一次函数的关系． 设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），由条件可得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+3， 当x＝﹣15时，y＝4×（﹣15）+3＝﹣57． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求函数解析式、求函数值等知识点，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 32．（2025秋•花山区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】根据输入的x的值为4时，输出的y的值为5，求出b＝﹣3，进而求出输入x的值为1时，输出y的值即可． 【解答】解：根据流程图与有理数运算可得： 若输入的x的值为4时，输出的y的值为5， 则2×4+b＝5，解得b＝﹣3， ∵1＜3， ∴输出的数是﹣3×1+3＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了流程图与有理数运算，理解流程图是解题关键． 33．（2025秋•金山区期末）已知f（x）＝x2﹣1，那么　5　 ． 【分析】将代入函数f（x）＝x2﹣1中，直接计算即可． 【解答】解：已知f（x）＝x2﹣1， 由函数定义，． 故答案为：5． 【点评】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键． 34．（2025秋•贵阳校级期中）某地的气温T（℃）与海拔高度h（m）之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度h为450m时，此地的气温T为　7　 ℃． 【分析】将h＝450代入关系式计算即可． 【解答】解：某地的气温T（℃）与海拔高度h（m）之间的关系可以近似的用来表示， 当h＝450时，， 故答案为：7． 【点评】本题考查函数值，正确进行计算是解题关键． 35．（2026春•虹口区期末）已知f（x）＝kx﹣2，且f（2）＝4，那么实数k的值为　3　 ． 【分析】将x＝2代入函数解析式求出k值即可． 【解答】解：由题意得2k﹣2＝4， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了函数值，熟练掌握该知识点是关键． 【考点6】函数图像（第36-42题） · 看横纵轴含义与单位，读特殊点 · 水平线段表示值不变（静止/等待） · 上升陡缓反映变化快慢 · 结合情境理解每段图像的实际意义 36．（2025秋•江宁区校级同步）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是t ，因变量是s ； （2）小明家到滨海公园的路程为　30　 km，小明在中心书城逗留的时间为　1.7　 h； （3）小明出发　2.5　 小时后爸爸驾车出发； （4）图中A点表示　2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园　 ； （5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为　12　 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为　30　 km/h；（补充；爸爸驾车经过　　 追上小明）； （6）小明从家到中心书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为s＝15t（0≤t≤0.8）　 ． 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量； （2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间； （3）根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间； （4）根据点A的坐标即可得到点A的实际意义； （5）根据相应的路程除以时间，即可得出速度； （6）根据点A的坐标，得出小明的速度，再根据路程＝速度×时间，可得他离家路程s与小明离家时间t之间的关系式． 【解答】解：（1）他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图， 自变量是t，因变量是s， 故答案为：t，s； （2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km， 小明在中心书城逗留的时间为2.5﹣0.8＝1.7（h）； 故答案为：30，1.7； （3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发； 故答案为：2.5； （4）由图可得，A点表示2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园； 故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园； （5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为， 小明爸爸驾车的平均速度为； 爸爸驾车经过追上小明； 故答案为：12，30，； （6）小明从家到中心书城时，他的速度为， ∴他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为s＝15t（0≤t≤0.8）， 故答案为：s＝15t（0≤t≤0.8）． 【点评】本题主要考查了函数图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键． 37．（2026•锡山区一模）小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是　500　 m． 【分析】先求得小美骑车的速度，然后再求得小美5分钟行驶的距离，即文具店与小美家的距离． 【解答】解：中途在文具店停留了：5﹣3＝2（分钟），小美骑车的速度＝800÷（10﹣2）＝100（米/分钟）． 文具店与小美家的距离＝100×（10﹣5）＝500（米）． 故答案为：500． 【点评】本题主要考查的是函数的图象，依据函数图象求得小美骑车的速度是解题的关键． 38．（2025•历城区二模）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，AC＞BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2（km）与飞行时间t（min）之间的函数关系如图2所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是　15km ． 【分析】根据A到C的距离大于B到C的距离，得到A到C的距离为20千米，甲2小时行了8千米，乙3小时行了9千米．再根据两架无人机用的时间相同，即可解答． 【解答】解：根据图中信息，得到A到C的距离为20千米，甲2小时行了：20﹣12＝8（千米）， 所以甲每小时行了4km， 甲从A到C用的时间：20÷4＝5（小时）， 因为甲、乙两架无人机同时到达驿站C， 所以乙3小时行了9千米， 所以乙每小时行了3km， 乙从B到C的距离：3×5＝15（km）， 故答案为：15km． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 39．（2026春•潍坊期中）如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，30s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过　10　 秒可将水槽注满． 【分析】根据函数图象可得正方体铁块的棱长为8cm，然后计算出无铁块时水面上升的速度，进而求出无铁块时水面上升8cm所需的时间，两者之差即为取出铁块后需补充注水的时间． 【解答】解：将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，30s时注满水槽． 由图象可得，正方体的棱长为8cm， ∵没有铁块时，水面从8cm上升到20cm，所用的时间为30﹣6＝24（s） ∴水面上升的速度为（20﹣8）÷24＝0.5（cm/s）， ∴若无铁块，水面上升8cm所需时间为8÷0.5＝16（s） ∴铁块占据的体积对应的注水时间为16﹣6＝10（s） ∴如果将正方体铁块取出，那么再经过10秒可将水槽注满． 故答案为：10． 【点评】本题考查图象的性质，正确进行计算是解题关键． 40．（2025秋•密云区期末）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 T＝2时y的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线∁T.当T＝1时，曲线C1如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为 　3　 时，y的值首次超过20； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2； （3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 　6　 日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 　1　 日的强化训练． 【分析】（1）找C1图象上y的值首次超过20时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日每分钟至少记忆30个数字，结合图象即可判断得解； ②依据题意，由小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多，结合T＝2、T＝1、T＝0，从而可以得解． 【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为3时，y的值首次超过20， 故答案为：3； （2）∵T＝2日的强化训练时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在测试阶段的第3日单日记忆的数字量28个，第5日单日记忆的数字量33个， ∴相差33﹣28＝5（个）， 把（5分）成两个接近的数，5＝3+2， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴m＝28+3＝31， 画出T＝2时的曲线C2： （3）①T＝0：y最大为23，无法满足；T＝1：曲线C1显示x＝9时y≈30，总天数为1+9＝10日； T＝2：x＝4时，y＝31≥30，总天数为2+4＝6日． 因此，小明最早在完成理论学习后的第6日获得证书． 故答案为：6； ②小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多： T＝2：强化2天，测试1天（x＝1），总数为20； T＝1：强化1天，测试2天（x＝2），总数约为10+15＝25； T＝0：强化0天，测试3天（x＝3），总数为6+7+9＝22， 总数最大为25，对应强化天数T＝1， 因此小雯应先进行1日的强化训练． 故答案为：1． 【点评】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 41．（2024秋•莱阳市期末）某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： （1）充满电最多可以行驶 　500　 km． （2）汽车每行驶100km消耗 　12　 kw•h． （3）电池中的剩余电量不大于15（kw•h）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ （4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了260km，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为1.2元/（kw•h），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 【分析】（1）根据函数图象即可解答； （2）根据函数图象即可解答； （3）先求出y与x的函数关系式，再令y＝15，求得x的值即可； （4）先求出x＝260的函数值，再求出需要冲的电量，然后再求费用即可． 【解答】解：（1）由函数图象可知：充满电最多可以行驶500km． 故答案为：500； （2）汽车每行驶100km消耗60÷5＝12kw•h． 故答案为：12； （3）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 把（0，60），（500，0）代入y＝kx+b，可得，解得：． ∴此函数解析式； 当y＝15时，可得：，解得：x＝375． 答：行驶375km后，汽车将自动报警． （4）当x＝260时，， 则将电车充满电需花费1.2×（60﹣28.8）＝37.44． 答：将电车充满电需花费37.44元． 【点评】本题主要考查了从函数图象上获取信息、求函数解析式、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． 42．（2026春•汉台区期末）2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，主题是“文明交通礼行天下”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车．周末，小明骑单车从家出发去博物馆，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离与时间之间的关系如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题． （1）图中因变量是　离家距离　 ； （2）小明家到博物馆的路程是　1500　 米，小明在书店停留了　4　 分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个从家到博物馆的过程中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【分析】（1）在距离与时间的关系图象中，时间是自变量，离家距离随时间的变化而变化，是因变量． （2）由图象终点纵坐标可得家到博物馆的路程；由水平线段的时间差可得在书店的停留时间． （3）分段计算各时间段的骑行速度，比较大小后与安全限度300米/分钟进行对比． 【解答】解：（1）在离家距离与时间的关系中，时间变化引起离家距离的变化， ∴因变量是离家距离， 故答案为：离家距离； （2）由图象可知，当时间为16分钟时，离家距离为1500米， ∴小明家到博物馆的路程是1500米， 小明在书店停留的时间为12﹣8＝4（分钟）， 故答案为：1500；4； （3）分三个阶段计算小明骑车的速度： （0～6分钟）：速度（米/分钟）， （6～8分钟）：速度（米/分钟）， （12～16分钟）：速度（米/分钟）， ∵300＞200＞150， ∴在0～6分钟时间段小明骑车速度最快，速度为200米/分钟， ∵200米/分钟没有超过300米/分钟的安全限度． ∴速度在安全限度内． 【点评】本题考查函数与图象，常量与变量，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 七．课后练习（共11小题） 43．（2025•锡山区二模）已知函数y＝﹣3x+5，当x＝2时，其对应的函数值为　﹣1　 ． 【分析】代入x＝2，求出y值即可，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【解答】解：由条件可知y＝﹣3×2+5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 44．（2025秋•青阳县期末）函数的自变量x的取值范围是x≤2且x≠0　 ． 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：已知函数， 则2﹣x≥0且x≠0， 即x≤2且x≠0， 故答案为：x≤2且x≠0． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键． 45．（2026春•莱山区期末）小张准备乘出租车到距家超过3km的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 3km以内（含3km） 7.00 3km以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数x（x＞3）（km）之间的关系式为y＝2x+1（x＞3）　 ． 【分析】根据“3km以内（含3km）7元，超过3km，每增加1km收费2元”可得总车费的函数关系式． 【解答】解：由题意得， y＝7+2（x﹣3）＝2x+1， 故答案为：y＝2x+1（x＞3）． 【点评】本题考查函数关系式，理解“3km以内（含3km）7元，超过3km，每增加1km收费2元”的意义是得出函数关系式的关键． 46．（2025•深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 　6　 厘米． 【分析】根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，火焰的像高y（单位：cm）随物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的增大而减小， 由函数图象可得：当y≥4时x≤6， ∴小孔到蜡烛的距离至多是6厘米， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是函数的图象，从图象上得出相关信息是解题关键． 47．（2025•厦门自主招生）如图①，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，连接BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． （1）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； （2）若点F在DC的延长线上，不与点C重合，设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围． 【分析】（1）如图所示，过点C作CM⊥AD延长线于点M，则∠M＝90°，可证四边形ABCM是矩形，由勾股定理得到PC2＝3+（1+PD）2，再证明△CDP∽△BPC，得到PC2＝BC•PD＝7PD，联立方程，解一元二次方程即可； （2）如图所示，在AP上取点N，使得∠ABN＝30°，则∠ANB＝60°，∠BNP＝120°，根据解直角三角形的计算得到AN＝1，BN＝2，则NP＝x﹣1，DP＝6﹣x，再证明△NBP∽△DPF，即可得到y关于x的函数解析式，结合（1）中AP的长为2或5即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CM⊥AD延长线于点M，则∠M＝90°， 由条件可知∠ABC＝90°＝∠A＝∠M， ∴四边形ABCM是矩形， ∴， ∴DM＝AM﹣AD＝7﹣6＝1， 由勾股定理可得： ， ， ∵AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB，且∠BPC＝∠ADC， ∴△CDP∽△BPC， ∴，则PC2＝BC•PD＝7PD， ∴3+（1+PD）2＝7PD， 整理得，PD2﹣5PD+4＝0，则（PD﹣1）（PD﹣4）＝0， 解得PD＝1或PD＝4， ∴当PD＝1时，AP＝AD﹣PD＝5； 当PD＝4时，AP＝AD﹣PD＝2； ∴AP的长为2或5； （2）如图所示，在AP上取点N，使得∠ABN＝30°，则∠ANB＝60°，∠BNP＝120°， ∴， ∴，BN＝2AN＝2， ∴NP＝AP﹣AN＝x﹣1，DP＝AD﹣AP＝6﹣x， 由（1）得，， ∴∠CDM＝60°，则∠PDF＝120°＝∠BNP＝∠BPF， ∴∠NBP+∠NPB＝∠NPB+∠DPF＝60°， ∴∠NBP＝∠DPF， ∴△NBP∽△DPF， ∴，即， ∴， ∴2＜x＜5， ∴y关于x的函数解析式及x的取值范围为：． 【点评】本题主要考查矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 48．（2026春•东湖区期末）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度h（米）与甲起飞时间t（秒）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： （1）甲无人机在空中停留时的高度是　20　 米，甲无人机起飞　14　 秒后，乙无人机开始起飞； （2）求甲无人机的上升速度是多少米/秒； （3）当t为何值时，两架无人机所在的高度相差12米？ 【分析】（1）根据函数图象结合题意解答可得答案； （2）根据“速度＝路程÷时间”解答即可； （3）分乙起飞前，乙起飞后高度低于甲12米以及高于甲12米三种情况解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，甲在空中停留时的高度是20米，甲出发14秒后乙开始起飞， 故答案为：20；14； （2）20÷5＝4（米/秒）， 答：甲无人机的上升速度为4米/秒； （3）乙无人机的上升速度是：60÷（24﹣14）＝60÷10＝6（米/秒），根据题意得：4t＝12或20+4（t﹣14）﹣6（t﹣14）＝12或6（t﹣14）﹣[20+4（t﹣14）]＝12， 解答t＝3或t＝18或t＝30， 因此，当t＝3或18或30时，两架无人机所在的高度相差12米． 【点评】本题考查了函数图象的识别，注意数形结合思想的应用． 49．（2024秋•焦作期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下： 绘制函数的图象． 列表：表格中是x，y的几组对应值． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 ﹣1 ﹣2 4 3 m ⋯ 描点：根据表中数值描出点（x，y），并补充描出点（0，m）． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 请你帮助小明解决下列问题 （1）表格中m＝　2　 ，并把图象补充完整； （2）探究函数的性质： 判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填×）． ①函数值y随x的增大而减小．（　×　 ） ②函数图象关于点（﹣1，1）对称．（　√　 ） ③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．（　√　 ） 【分析】（1）根据题意，把x＝0代入计算得到m＝2，运用描点、连线的方法得到函数图象； （2）根据函数图象进行判定解． 【解答】解：（1）根据题意，当x＝0时，， ∴m＝2， 描点，连线如图所示， 故答案为：2； （2）每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①×； 函数图象关于点（﹣1，1）对称，故②√； 函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故③√； 故答案为：①×，②√，③√． 【点评】本题主要考查函数图象的性质，理解表格信息，掌握描点、连线，函数图象性质是解题的关键． 50．（2026•海淀区校级二模）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：℃），y1为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，y2为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． x/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 40 50 y1 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 y2 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象； （2）在温度为　20　 ℃时两款电池相对容量相同． （3）在　10或40　 ℃下锰酸锂电池的相对容量与在﹣10℃下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ （5）由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【分析】（1）先描点，再连线，即可得出y2与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【解答】解：（1）如图： （2）在温度为20℃时两款电池相对容量相同， 故答案为：20； （3）在10℃或40℃下锰酸锂电池的相对容量与在﹣10℃下磷酸铁锂电池的相对容量相等， 故答案为：10或40； （4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 【点评】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． 51．（2025•吉林一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在BC上时，t＝　2　 ． （2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝AC＝6，，∠B＝∠C＝45°，当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t，由矩形PDEF，得到∠BFP＝∠B＝45°，则PB＝PF，据此列方程求解即可； （2）当P在AB上，F到BC之前时；当P在AB上，F到BC之后时；当P在BC上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6， ∴AB＝AC＝6，，∠B＝∠C＝45° 当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t， ∵矩形PDEF， ∴PF∥AC， ∴∠BFP＝∠B＝45°， ∴PB＝PF， ∴t＝6﹣2t， 解得t＝2， 故答案为：2； （2）当P在AB上，F到BC之前时，0＜t≤2，如图， 此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为矩形PDEF， S＝S矩形PDEF＝PD•PF＝2t••2t＝2t2； 当P在AB上，F到BC之后时，2＜t≤3，如图， 此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为五边形，不合题意； 当P在BC上时，如图，设EF与BC交点G， 此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为梯形PDEG， 此时由题意可得：，， ∵， ∴， 解得3＜t＜6， ∵矩形PDEF， ∴∠FPG＝∠C＝∠PGF＝∠EGC＝∠DPC＝45°， ∴PF＝FG，EG＝EC，PD＝DC， ∴， ∴PD＝EF＝12﹣2t， ∵PD＝2PF， ∴EG＝EF﹣FG＝6﹣t， ∴矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形面积； 综上所述，S． 【点评】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． 52．（2026春•河南校级期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． （1）A、B两地之间的路程为　240　 km； （2）经　2　 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为　160　 km； （3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到答案； （2）根据函数图象中的数据利用“速度＝路程÷时间”即可求解求出两人的速度，根据速度、时间、路程之间的关系求解； （3）分情况讨论，相遇前、相遇后且乙到达终点前、乙到达终点后，列式计算即可求解． 【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地相距240km； 故答案为：240； （2）甲的速度为240÷6＝40（km/h），乙的速度为240÷3＝80（km/h）； 甲、乙两人相遇时所用时间为：240÷（40+80）＝2（h）， 此时距B地的距离为80×2＝160（km）， 故答案为：2，160； （3）设甲出发xh后甲、乙两人相距180km． 分三种情况： 相遇前，（40+80）x＝240﹣180， 解得x＝0.5； 相遇后且乙到达终点前，（40+80）x﹣180＝240， 解得x＝3.5，3.5＞3，不合题意，舍去； 乙到达终点后，40x＝180， 解得x＝4.5； 综上可知，甲出发0.5或4.5h后甲、乙两人相距180km． 【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和数形结合的思想解答． 53．（2025秋•石柱县校级月考）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿B→C→D以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿D→B运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，△BPD的面积记为y1，△AQB的面积记为y2，y2关于x的图象如下，解答下列问题： （1）请直接写出y1与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当y1＜y2时x的取值范围：　当0＜x＜2.7或6.1＜x＜7．　 （结果保留1位小数，误差不超过0.2）． 【分析】（1）由三角形的面积公式可求解； （2）根据题意画出图象，即可求解； （3）由函数图象可求解． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴CD＝AB＝3，∠C＝90°， 当0＜x≤4时，BP＝x，y1BP•DCx×3； 当4＜x＜7时，CP＝c﹣4，DP＝CD﹣CP＝7﹣x，y1DP•BC（7﹣x）×4＝﹣2x+14， 综上所述：y1； （2）函数图象如图所示： 函数y1的性质：函数有最大值，最大值为6； （3）由图象可得：当0＜x＜2.7或6.1＜x＜7时，y1＜y2， 故答案为：当0＜x＜2.7或6.1＜x＜7． 【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 💯 课后巩固 复习建议 · 常量与变量看数值是否变化，公式中的固定字母是常量 · 函数的本质是「一对一」：一个x只能对应一个y · 列关系式先定自变量、因变量，再找等量关系，注意范围 · 自变量取值范围：分母≠0、偶次根式被开方数≥0、实际问题有意义 · 读函数图像先看坐标轴含义，水平线段表示值不变 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 变量与函数 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解常量与变量的概念，能在变化过程中分清常量与变量 · 理解函数的概念，能判断两个变量之间是否构成函数关系 · 能根据实际问题列出函数关系式，确定自变量的取值范围 · 会根据函数关系式求函数值，掌握代入求值的方法 · 能读懂函数图像，会从图像中获取信息解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.常量与变量 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量 数值发生变化的量叫做变量 常量不一定是数字，字母也可能表示常量（如圆的周长公式C=2πr中π是常量） 判断常量与变量要看它是否随其他量的变化而变化 概念辨析例题：在圆面积公式S＝πr2中，常量是______，变量是______ 解析：π是圆周率，数值固定不变，是常量；r取不同的值时面积S随之变化，所以S和r都是变量。注意r2不是独立变量，变量是半径r。 ☆ 2.函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数 x叫做自变量，y叫做因变量 判断是否为函数：给定自变量一个值，因变量的值必须唯一 图像法判断：作垂直于x轴的直线，与图像的交点个数始终为1才是函数图像 概念辨析例题：下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　） 解析：用「竖线法」判断：在图像上作一条垂直于x轴的直线并平移，若直线与图像始终只有一个交点，说明每个x值对应唯一y值，则y是x的函数；若出现两个及以上交点，则不是函数。 ☆ 3.函数关系式 用含自变量的式子表示因变量的等式叫做函数关系式（解析式） 列关系式步骤：先确定自变量与因变量，再找等量关系，最后用代数式表示 实际问题中常涉及分段函数：不同取值范围对应不同关系式 关系式书写规范：因变量写在等号左边，一般用y表示 概念辨析例题：一辆汽车油箱现有汽油50L，平均耗油量为0.1L/km，油箱中的存油量为y（L）与行驶路程x（km）的关系式为______ 解析：行驶x千米耗油0.1x升，油箱原有50升，剩余存油量y=50−0.1x；同时x的取值应满足0.1x≤50，即0≤x≤500。 ☆ 4.函数自变量的取值范围 整式：自变量的取值范围是全体实数 分式：分母不能为0 偶次根式：被开方数大于或等于0 实际问题：还要使实际问题有意义（如长度、时间、数量为非负） 概念辨析例题：函数y=中，自变量x的取值范围是______ 解析：该函数是分式，分母x−2不能为0，所以x≠2；若含偶次根式则需x−3≥0即x≥3，不同结构按各自约束求解后取公共部分。 ☆ 5.函数值 当自变量取某一确定值时，因变量对应的值叫做函数值 求函数值的方法：把自变量的值代入函数关系式计算 f（x）记号：f（a）表示自变量x取a时对应的函数值 已知函数值求自变量：令函数值等于已知数，解方程 概念辨析例题：变量x与y的关系式为y＝2x−1，当x＝3时，y的值为（　） 解析：把x=3代入y=2x−1，得y=2×3−1=5；若已知f(x)=kx−2且f(2)=4，则代入得2k−2=4，k=3。 ☆ 6.函数图像 函数图像是函数关系直观的表示方法，横轴一般表示自变量，纵轴表示因变量 读图步骤：看清横纵轴表示的量与单位，再看图像变化趋势 图像上每个点的横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值 实际问题中图像要结合情境理解，注意分段与特殊点含义 概念辨析例题：小明坐公交车到公园游玩，从家出发0.8小时后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交到公园，图像表示路程随时间变化，逗留期间图像______ 解析：逗留期间小明停在书城，路程保持不变，所以图像上对应一段与x轴平行的水平线段；出发、坐车阶段图像上升，速度越大上升越陡。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 常量与变量 常量数值不变，变量数值变化 字母也可能表示常量（如π） 函数 x的每个确定值对应唯一y值 一个x不能对应多个y 函数关系式 含自变量的式子表示因变量 注意自变量的实际范围 自变量范围 整式全体实数；分式分母≠0；偶次根式被开方数≥0 实际问题还需有意义 函数值 代入自变量的值计算 f（a）表示x=a时的函数值 函数图像 横轴自变量、纵轴因变量 图像上点坐标对应x、y值 ⚠️ 核心考点 【考点1】常量与变量（第1-8题） · 判断标准：数值是否随过程变化而变化 · 公式中的固定字母（如π）是常量 · 实际问题中常量和变量由具体情境决定 · r2中的变量是r，不是r2 1．（2026春•淄川区期末）新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．新能源车 B．温度 C．电池 D．续航里程 2．（2025春•长安区校级期中）程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（　　） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 3．（2025春•尧都区期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是_______ ． 4．（2025春•惠阳区校级期中）在圆面积公式S＝πr2中，常量是_____ ． 5．（2024秋•曹县期中）在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温y（单位：℃）．在这个问题中，变量是____________________ ． 6．（2026春•同步）一年内，家庭用电按累计用电量执行阶梯电价．某家庭电能表IC卡内预存1000元的电费，在节约用电的倡议下，将年用电量控制在第一档的用电标准内，每度电收费0.4883元，计算每月的电费．在此计算过程中存在着哪些量？哪些是变量，哪些是常量？ 7．（2025秋•同步）指出下列关系中的变量与常量： （1）球的表面积Scm2与球半径Rcm之间的关系为：S＝4πR2； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度lcm与温度t℃之间的关系为：l＝0.002t+200． 8．（2025春•砀山县期末）如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量是 ___________ ，因变量是 _______________ ； （2）如果长方形的长BC为x（cm），那请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y（cm2）； （3）当长方形的长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积怎么变化？ 【考点2】函数的概念（第9-14题） · 核心：x的每一个确定值对应唯一确定的y值 · 图像用竖线法判断，交点始终唯一 · 关系式看是否给一个x算出一个y · 注意|y|=3x等式中一个x对应两个y，不是函数 9．（2026春•青山区期末）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•旌阳区期中）下列各式：①y＝2x+8；②|y|＝3x；③y＝2|x|；④y＝0.5x﹣2，其中y是x的函数的有________ ． 11．如图，豌豆苗的呼吸作用强度随温度的变化而变化，则自变量是_______ ，自变量的函数是_______________ ． 12．（2025春•尉氏县期末）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是_________ ． 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 13．（2025•阳信县二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数__________________ ． ①y随x的增大而增大；②函数与y轴的负半轴相交． 14．如图是某地区一天的气温T随时间t的变化曲线． （1）图中有_____ 个变量，分别是__________ ； （2）这个曲线能表示函数关系吗？ 【考点3】函数关系式（第15-22题） · 先定自变量因变量，再找等量关系列式 · 分段函数分情况列关系式，注意各段范围 · 几何动点问题用图形性质找等量关系 · 验证：代入特殊值检验关系式是否正确 15．（2025秋•东港市期末）人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．如表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强ρ（Pa） 6×105 8×105 1.2×106 1.6×106 接触面积S（m2） 8×10﹣4 6×10﹣4 4×10﹣4 3×10﹣4 则地面所受压强ρ（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为____________________ ． 16．（2025秋•内黄县月考）两个正方形的周长之和是32cm．若以两个正方形面积之和y（cm2）为因变量，其中一个正方形的边长x（单位：cm）为自变量，则它们之间的关系式是_________________ ． 17．（2025春•祥符区期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，则y与x间的关系式是__________________ ． 18．（2026春•通川区校级期末）已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长150cm，正常情况下，导火线每秒钟燃烧3cm，则导火线燃烧时的剩余长度y（cm）与燃烧时间x（s）之间的函数关系式是____________________ ． 19．（2025秋•亳州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一点，设BP长为x且0≤x＜8，△APC的面积为S． （1）求S与x之间的函数解析式，____________ ； （2）当△APC的面积为18时，则BP的长为_____ ． 20．（2026•海口一模）如图所示，某品牌的自行车链条每节长为2.5cm，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为0.8cm，按照这种连接方式，n节链条的总长度为ycm，则y与n之间的关系式为_______________ ． 21．（2026•前郭县校级二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为1cm/s，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为2cm/s，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为x秒． （1）BP＝____________ （用含x的代数式表示）； （2）当x＝____________________ 秒时，PQ∥AC； （3）设△PQB的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22．（2024春•铁西区期中）一辆汽车油箱现有汽油50L，已知该车平均耗油量为0.1L/km，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：km），y随着x的变化而变化． （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩5L时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少km范围内汽车必须加油． 【考点4】函数自变量的取值范围（第23-29题） · 整式全体实数，分式分母≠0，偶次根式被开方数≥0 · 含分式与根式组合时求公共部分 · 实际问题按实际意义限制（非负、整数等） · 写范围用不等式或区间表示 23．（2026•江阳区校级模拟）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≠﹣1 D．x≠﹣1且x≠3 24．（2026•泗阳县校级一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 25．（2025秋•昌江区校级期中）若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A．0＜b＜c B．0＜c＜b C．b＜0＜c D．c＜0＜b 26．（2026•平房区一模）在函数中，自变量x的取值范围________ ． 27．（2024秋•浦东新区校级期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝_______ ． 28．（2024秋•渠县校级期中）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是__________ ，最小值是_____ ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是__________ ，最小值是_____ ． （2）已知y＝|x+4|﹣|x+2|，求y的最大值和最小值及相应的x的取值范围，并写出解答过程． （3）求x为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 29．（2024春•灵川县校级月考）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（千米） （1）上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； （2）用含x的代数式表示y；（写出自变量的取值范围） （3）当x＝10时，y是多少？当y＝24时，x是多少？ 【考点5】函数值（第30-35题） · 求函数值：代入自变量计算 · f（x）记号的理解：f（a）即x=a时的值 · 由函数值求自变量：列方程求解 · 程序框图计算：按流程逐步代入 30．（2026春•左权县期末）变量x与y的关系式为y＝2x﹣1，当x＝3时，y的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 31．（2025春•紫阳县校级月考）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 3 7 11 15 … 根据表格中的数据，当x＝﹣15时，y的值是（　　） A．﹣57 B．﹣55 C．﹣53 D．﹣51 32．（2025秋•花山区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣3 D．3 33．（2025秋•金山区期末）已知f（x）＝x2﹣1，那么_____ ． 34．（2025秋•贵阳校级期中）某地的气温T（℃）与海拔高度h（m）之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度h为450m时，此地的气温T为_____ ℃． 35．（2026春•虹口区期末）已知f（x）＝kx﹣2，且f（2）＝4，那么实数k的值为_____ ． 【考点6】函数图像（第36-42题） · 看横纵轴含义与单位，读特殊点 · 水平线段表示值不变（静止/等待） · 上升陡缓反映变化快慢 · 结合情境理解每段图像的实际意义 36．（2025秋•江宁区校级同步）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是_____ ，因变量是_____ ； （2）小明家到滨海公园的路程为_______ km，小明在中心书城逗留的时间为________ h； （3）小明出发________ 小时后爸爸驾车出发； （4）图中A点表示____________________ ； （5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为_______ km/h，小明爸爸驾车的平均速度为_______ km/h；（补充；爸爸驾车经过___________________ 追上小明）； （6）小明从家到中心书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为___________________ ． 37．（2026•锡山区一模）小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是________ m． 38．（2025•历城区二模）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，AC＞BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2（km）与飞行时间t（min）之间的函数关系如图2所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是_________ ． 39．（2026春•潍坊期中）如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，30s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过_______ 秒可将水槽注满． 40．（2025秋•密云区期末）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 T＝2时y的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线∁T.当T＝1时，曲线C1如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为 _____ 时，y的值首次超过20； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2； （3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 _____ 日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 _____ 日的强化训练． 41．（2024秋•莱阳市期末）某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： （1）充满电最多可以行驶 ________ km． （2）汽车每行驶100km消耗 _______ kw•h． （3）电池中的剩余电量不大于15（kw•h）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ （4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了260km，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为1.2元/（kw•h），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 42．（2026春•汉台区期末）2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，主题是“文明交通礼行天下”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车．周末，小明骑单车从家出发去博物馆，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离与时间之间的关系如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题． （1）图中因变量是_________ ； （2）小明家到博物馆的路程是_________ 米，小明在书店停留了_____ 分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个从家到博物馆的过程中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 七．课后练习（共11小题） 43．（2025•锡山区二模）已知函数y＝﹣3x+5，当x＝2时，其对应的函数值为_______ ． 44．（2025秋•青阳县期末）函数的自变量x的取值范围是____________ ． 45．（2026春•莱山区期末）小张准备乘出租车到距家超过3km的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 3km以内（含3km） 7.00 3km以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数x（x＞3）（km）之间的关系式为________________ ． 46．（2025•深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 _____ 厘米． 47．（2025•厦门自主招生）如图①，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，连接BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． （1）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； （2）若点F在DC的延长线上，不与点C重合，设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围． 48．（2026春•东湖区期末）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度h（米）与甲起飞时间t（秒）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： （1）甲无人机在空中停留时的高度是_______ 米，甲无人机起飞_______ 秒后，乙无人机开始起飞； （2）求甲无人机的上升速度是多少米/秒； （3）当t为何值时，两架无人机所在的高度相差12米？ 49．（2024秋•焦作期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下： 绘制函数的图象． 列表：表格中是x，y的几组对应值． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 ﹣1 ﹣2 4 3 m ⋯ 描点：根据表中数值描出点（x，y），并补充描出点（0，m）． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 请你帮助小明解决下列问题 （1）表格中m＝_____ ，并把图象补充完整； （2）探究函数的性质： 判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填×）． ①函数值y随x的增大而减小．（_____ ） ②函数图象关于点（﹣1，1）对称．（_____ ） ③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．（_____ ） 50．（2026•海淀区校级二模）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：℃），y1为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，y2为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． x/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 40 50 y1 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 y2 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象； （2）在温度为_______ ℃时两款电池相对容量相同． （3）在__________ ℃下锰酸锂电池的相对容量与在﹣10℃下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ （5）由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 51．（2025•吉林一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在BC上时，t＝_____ ． （2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 52．（2026春•河南校级期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． （1）A、B两地之间的路程为________ km； （2）经_____ 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为________ km； （3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？ 53．（2025秋•石柱县校级月考）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿B→C→D以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿D→B运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，△BPD的面积记为y1，△AQB的面积记为y2，y2关于x的图象如下，解答下列问题： （1）请直接写出y1与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当y1＜y2时x的取值范围：____________________ （结果保留1位小数，误差不超过0.2）． 💯 课后巩固 复习建议 · 常量与变量看数值是否变化，公式中的固定字母是常量 · 函数的本质是「一对一」：一个x只能对应一个y · 列关系式先定自变量、因变量，再找等量关系，注意范围 · 自变量取值范围：分母≠0、偶次根式被开方数≥0、实际问题有意义 · 读函数图像先看坐标轴含义，水平线段表示值不变 学科网（北京）股份有限公司 $