黑龙江哈尔滨市第三中学校2026-2027学年上学期高二年级数学周测（二）试题

高二数学限时作业（二）答案 一、单选题 1.已知A(1,3),B(3,-1),则以AB为直径的圆的方程为() A.(x-2)}+(y-12=5 B.(x-2)2+(y-2-20 C.(x+1)}+(y-2)}2=5 D.(x+1)+(y-2)}=20 【答案】B 【详解】因为以A(1,3)、B(3,-1)为直径两端点的圆的圆心坐标为(2，)， 半径为4B=?3-P+(1-3列=5，所以所求圆的标准方程为(x-2+0-=5, 即以AB为直径的圆的方程为(x-2)+(y-1)2=5 2.已知圆M经过点A(2,0),B(0,2),C(6,4),则圆M的标准方程为() A.(x-4)2+(y-2)2=10 B.(x-3)}2+(y+3)2=10 C.(x-1)2+(0y-12=10 D.(x-3)2+(y-32=10 【答案】D 【分析】设圆M的标准方程为(x-a)}+(心y-b)2=r2(r>0),代入A,B,C三点坐标解方程组可得答案 【详解】设圆M的标准方程为(x-a}+(y-b)}2=r2(r>0), 因为圆M经过点A(2,0),B(0,2),C(6,4),所以 (2-a)2+(0-b}=r2 4-4a+a2+b2=r2 (0-a)}+(2-b}=r2,即{a2+4-46+b2=r2 (6-a}+(4-b2=r236-12a+a2+16-8b+b2=r2 a-b=0 化简得 a+b=6 a=3 解得 b=3' 代入方程得r2=10, 则圆M的标准方程为(x-3)2+(y-3)}=10, 故选：D, 试卷第1页（共12页） 3.若圆C:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y-m)2=1无公共点，则实数m的取值范围是() A.（o,-5U(5,+∞ B.（-5,5) C.（-0,-1)u1,+oo) D.（-1,) 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系， 列不等式求解m的取值范围。 【详解】圆C:x2+y2+2x=0化为标准式：（x+1)2+y2=1, 圆心C(-1,0),半径5=1， 圆C:x2+(y-m)}2=1,圆心C2(0,m),半径2=1， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距d=CC2=V(0+l)2+(m-0)2=Vm2+1, 若两圆外离，则d>片+2=2，即V1+m2>2,解得m>V3或m<-V3: 若两圆内含，则d<r-2=0,无解. 因此两圆无公共点的条件是（-∞，-V⑤U(V5,+∞)： 4.圆P+y+4r-2y+1=0关于直线m-y+2=0(a>0,b>0)对称，则上+2的最小值为() A.2 B.3+2v2 C.4 D.8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为(x+2)}+(y-1)=4,所以该圆圆心为(-2,1)，半径为2， 圆关于直线ax-y+2=0对称，所以圆心在该直线上，所以-2a-b+2=0,即2a+b=2, 因为a>0,b>0,时后-引+-+2+名》+日-4， 当且仅当4- =2,即b=2a=1时等号成立， b a 1.2 二+二的最小值为4. a b 5.已知实数x,y满足方程x+y2-4x+1=0,求上的最大值和最小值（) A.2,0 B.V3,0 C.2,-5 D.5,-5 【答案】D 试卷第2页（共12页） 【分析】根据题意，把'转化为圆上一点与原点连线的斜率，设上=k,结合直线与圆的位置关系，列出 方程，即可求解 【详解】由方程x2+y2-4x+1=0,可化为(x-2)2+y2=3, 表示以(2,0)为圆心坐标、√3为半径的圆， 由上的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设兰=k,即y=:, 如图所示，当直线y=x与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值， 此时 2k-0=5,解得k=士5，所以兰的最大值为3，最小值为-5 V2+1 6.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是 π3π 4’4 则实数m的取值范围是() A.0<m≤2 B.0<m<2或2<m<4 C.2≤m<4 D.0<m<4 【答案】D 【分析】利用斜率与倾斜角α的关系可求解. 【详解】当a=时，直线的斜率不存在，此时m=2: 元π 当ae42 时， 直线的斜率=a>1,即2>1，解得2<m<4: π3π 当a∈24) 时， 直线的斜率k=ana<-l,即3- m-2 <-1,解得0<m<2; 综上可得实数m的取值范围是0<m<4. 7.著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几 何问题加以解决，如：V(x-a)+(x-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点， 可得√x2-2x+10-Vx2+1的最大值为() A.1 B.√2 C.3 D.5 【答案】D 【分析】将Vx2-2x+10-√x2+1转化成P(x,0)到点A(1,3)的距离与到点B(0,I)的距离之差，再结合 试卷第3页（共12页） PA-PB≤AB和两点间的距离公式进行求解 【详解】由V2-2x+10-Vx2+1=Vx-2+(0-32-√x-02+(0-), 可转化成x轴上一点P(x,0)到点A(1,3)的距离与到点B(0,1)的距离之差， 则PA-PB≤4B=V1-0+(3-=5(当且仅当A,B,P三点共线时取等号)， 所以√2-2x+10-√x2+1的最大值为V5. 故选：D 8.已知圆x2+y2+4x-4y-1=0上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为1，则m的取值范围是() A.「-22,22 B.[-2,v2] C.「-22，v2] D.「-V2,22] 【答案】A 【详解】将圆x2+y2+4x-4y-1=0配方得(x+2)2+0y-2)2=9, 因此圆心为C(-2,2),半径r=3: 若圆上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为1，则圆心到直线的距离d需满足d≤r-1=2; 当d=2时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当d<2时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求： 由此可得圆心C到直线的距离d=-2+2+m则_m≤2. V12+12V2 解得1mk22,即m∈[-22,22 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.直线1的一个方向向量为d=（-1,2),则直线1的斜率等于-2 B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 C.当点P(3,2)到直线1：mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.已知直线1过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线1的斜率k的取 【答案】ACD 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得 a的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合PQ与直线I垂直时距 离最大，求得m的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得k4,k的值，结合图象，可判定D正确。 试卷第4页（共12页） 【详解1对于A,因为直线1的一个方向向量为=(1,2)，则直线1的斜率等于k=2=-2,所以A正确： 1 对于B,由直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直， 可得a2×1+(-1)×(-a)=0,即a2+a=0,解得a=-1或a=0, 所以“a=-1”是“直线ax-y+1=0与x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C,因为直线l:mr-y+1-2m=0,可化为m(x-2)-(y-1)=0, 「x-2=0 由 y-1=0’ 解得x=2,y=1,即直线l恒过定点Q2,), 当直线PQ与直线垂直时，点P到直线l的距离最大， 1-2 所以kgk=2一3×m=-l,解得m=-山，所以C正确： -2-01 对手D,因为423b32P0.得k代3k3分 如图所示，要使得过定点P的直线1与以线段AB有交点， 则病近≤-3或≥分所以百线1的剂率的取位范国足(2小[化小 所以D正确， B 10.已知⊙C:x-2)2+0y-a)2=16关于直线x+y-5=0对称，⊙C2:x-1)2+0y+1)2=1,则() A.a=3 B.经过CC2的直线方程为y=4x-5 C.⊙C,与⊙C,的公切线的数量为3 D.若P,Q分别是圆C与圆C,上的点，则PQ的最大值为V17+5 【答案】ABD 【详解】对A,因为⊙C:x-2)+0y-a)2=16关于直线x+y-5=0对称，所以圆心C(2,a)在直线 x+y-5=0上， 所以2+a-5=0→a=3.故A正确： 试卷第5页（共12页） 对B,根据两点式，直线CG的方程为：生即y=4:-5,放B正确： 3+12-1 对C,因为CC=V(2-1}+(3+1)}=7,片=4,2=1，所以1-2<CC2<r+5, 所以⊙C与⊙C,相交，故两圆有2条公切线故C错误： 对D,Pg≤CC2+r+2=V17+5.故D正确. 11.已知A(-2,0),B(6,0),D(2,2),点P满足 PA 1 P8-3,设点P的轨迹为曲线C,O为坐标原点，则下列说 法正确的是() A.过点B作曲线C的切线，切线长为6V2 B.当A,B,P三点不共线时，∠APO=∠BPO C.在C上存在点M,使得MO=2MA D.PB+3PD的最小值为2√5 【答案】AB 【分析】设动点坐标，根 PA1 P83可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长：B 选项可知PO是△APB内角∠APB的角平分线，即可得出结论；C选项，可以求得动点M的轨迹，判断两 曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解 PA 1 【详解】设P点坐标为x,),由PB=3' x+2)2+y2 1 则 化简得 V(x-6)2+y2 31 x2+y2+6x=0,所以动点轨迹是以C(-3,0)为圆心，r=3为半径的圆. CA A选项，过点B作曲线C的切线，切线长为√81-9=6√2，A选项正确 B选项，当A,B,P三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，PO是△APB内角∠APB的角平分线，所 以∠APO=∠BPO.故B选项正确， R+y月 C选项，因为MO=2MA,设M(x,y),则 (x+2)2+y2 2,化筒得抗迹为+骨+少-所以动点M 试卷第6页（共12页） 的铁迹为圆心C,(0,半径为5=等的圆，图心距 CG-}-小，所以两圆位置关系为内含，所以在C上不存在点M,使得M0=2M4,放C错误 P4 1 D选项，因为 P8-3所以P8+3PD=3P4+3PD=3PA+PD)≥3AD=32-2y+0-2y=6N5, 故D错误。 故选：AB. 三、填空题 12.若点P(2,2)在圆C:x2+y2+2a+4y+3a+8=0的外部，则a的取值范围为 【答案】 24-小ao 【分析】根据点与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件，即可求解。 【详解】根据题意可得 4r+16-46u+8八0解得-24a<-1成a>4. 4+4+4a+8+3a+8>0, 13. 已知直线：m(x+y+)+y-x=0,m∈R,圆C:(x-1)+(y-2)}=9,则直线l被圆C截得的最短弦的 长度为 【答案】√2 【分析】先求出直线1恒过定点P,当l⊥PC时，圆心C到直线l的距离取得最大值为CP,由直线l被圆 C截得的弦长公式求解最短弦的长度， x+y+1=0 X=- 【详解】由l:m(x+y+)+y-x=0,令 得 2 y-x=0’ y=- 所以直线恒过定点P 圆C:(x-1)2+y-2)2=9的圆心C(1,2),半径r=3, 由C-分分2-3，可得点P在图C内部，即直线与题C始终相交， 因直线1被圆C截得的弦长公式为L=2√2-d2=2V9-d2，d为圆心C到直线l的距离， 当d取最大值时，弦长最短，则当l⊥PC时， d..=-Icpl= 2 此时最短弦的长度为2 34 14.己知点O是坐标原点，点M是圆C:x2-6x+y2+8y+24=0上的动点，当动点P在直线x-4y+17=0 试卷第7页（共12页） 上运动时，PM+PO的最小值为 【答案】12 【分析】求点O(0,0)关于直线x-4y+17=0对称的点为A(-2,8),根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点O(0,0)关于直线x-4y+17=0对称的点为A(m,n), n二4 则 n=8，即4(-2,8)， m=-2 ,解得 -4×0+17=0 2 由x2-6x+y2+8y+24=0得(x-3)+(y+4)=1,其圆心为C(3,-4),半径r=1, 则PM+PO=PM+PA≥PC-1+PA≥AC-1=13-1=12, 当且仅当P,M均在线段AC上时，取得最小值12. 四、解答题 15.一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)在两坐标轴上的截距互为相反数： (2)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍； (3)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点). 2 【答案】（①y=3x或V=X-1 (2)8x-15y+6=0 (3)2x+3y-12=0. 【分析】(2)设所求直线倾斜角为0，已知直线的倾斜角为a,利用tan0=tan2a可得所求直线斜率，从而 可用点斜式得到直线方程 (3)设直线方程为产+上=1，将点代入得3+2=1，利用基本不等式得b≥24，从而得到面积的最小值 a b a b 及此时的直线方程. 试卷第8页（共12页） 1 【详解】(2)设所求直线倾斜角为6，己知直线的倾斜角为a,则0=2a,且tana= 4 2× 2tan a 8 tan0=tan 2a= 4 1-tan2a 2 15 4 从而所求直线方程为y-2= 8 (x-3),即8r-15y+6=0. (3)设直线方程为二+ +y=1,a>0,b>0, a b 代入PB,2,得3+2=1≥2 6 ,得ab≥24， a b 当且仅当3-2即a=6,b=4时等号成立，从而S0 a b 2ab212, 此时直线方程为+兰=1，即2x+3y-12=0. 64 16.在平面直角坐标系中，圆C与两坐标轴都相切，且过点(2，). (1)求圆C的方程. (2)若圆C,与圆0：x2+y2=1相交，求两圆的公共弦长. 【答案】(1)(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25 (2)V2 【分析】(1)设圆C的方程为(x-a+(y-a)2=a2,a>0,将点(2,1)代入，求得a的值，即可求解： (2)根据圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，进而求得相交弦的方程， 【详解】(1)由题可设圆C的方程为(x-a}+(y-a2=a2,a>0, 将点(2，)代入圆C1的方程，可得a2-6a+5=0,解得a=5或a=1, 所以圆C的方程为(x-1)+(y-1)2=1或(x-5)+(y-5)=25. (2)当圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1时，可得圆心C1,),半径为5=1， 又由圆0：x2+y2=1,可得圆心O0,0),半径为5=1， 则CO=V2,r+5=2,可得C0<r+5,所以圆C和圆0相交，符合题意， 设两圆交于A,B两点， 由圆C:(x-1)+(y-1)=1,可化为x2+y2-2x-2y+1=0 x2+y2=1 联立方程组 r+y2-2x-2y+1=0'两武相减，可得x+y-1=0, 试卷第9页（共12页） 即4B的直线方程为x+y-1=0,所以点0到直线4B的距离d==2 √22 根据圆的弦长公式，可得AB=2P-(2y=V2: 当圆C的方程为(x-5)2+(y-5)2=25时，可得圆心C(5,5),半径为r=5, 可得CO=5V2,片+5=6，此时CO>r+2,两圆相离，不符合题意. 综上可得，圆C与圆O的公共弦长为√2. 17.己知圆O方程为x2+y2=16,点M(6,0),点N是圆O上的动点，点P为线段MN的中点. (1)求点P的轨迹方程： (2)记点P的轨迹为曲线C,过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A点和B点，求直线AB的方程及弦 长AB: (3)过点K(4,0)作直线与曲线C交于E,F两点，在x轴上是否存在一点2，使得x轴总是平分∠EQF? 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(x-3)2+y2=4 3 (3)存在，（7,0) 【分析】(1)法一利用中点性质求出N(2x-6,2y),再代入x2+y2=16中求解轨迹方程，法二结合相似的 性质得到CP=2,再结合圆的定义求出轨迹方程即可. (2)先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长 即可 (3)对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到片+”=0，进而得到2a-14=0,进而求解 x-a x-a 出定点即可. 【详解】(1)法一：设P点坐标为(x,y), 因为M点坐标为(6,0)，点P为线段MN的中点，所以N(2x-6,2y), 又因为N点在圆O上，代入圆的方程得(2x-6)+(2y)2=16 化简得(x-3)+y2=4,故点P的轨迹方程为(x-3)+y2=4, 试卷第10页（共12页） 法二：设圆心O与点M连线的中点为点C(3,0), 如图，作出符合题意的图形， MC MP 因为点P为MN的中点，C为OM的中点，所以MOMN, 因为∠OMN=∠CMP,所以△MON∽△MCP, 则CP=)ON=2,可得P点轨迹为以C为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为(x-3)2+y2=4。 (2)当过点M的直线斜率不存在时，不可能与圆C有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点M的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-6), 当直线与圆C相切时，圆心C到直线距离等于半径2， 3k 可得d= =2,解得k=±25 Vk2+1 此时直线方程为y= 25 (x-6),联立可得 少￥36 E5(x-6) (x-3)}+y2=4 13 解得x= 5,所以4点和B点坐标为 3 故直线AB的方程为x=1 号hm4 3 (3)存在，点9坐标为(7,0)，证明如下， 试卷第11页（共12页） 不妨设点Q坐标为(a,0),交点E,F点坐标为(x,y),(x,2) 当过点K的直线斜率不存在时，直线方程为x=4, x=4 联立方程组 (x-3}+少=4解得x=4,y=±V5, 则与圆C的交点为E(4,V5)和F(4,-V3),可得x轴上任意一点均满足题意， 当过点K的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-4), 如图，作出符合题意的图形， (x-3+y=4化商得(K+r-(82+6)x+16k+5=0, y=k(x-4) 联立方程组 由韦达定理可知x+x2 8k2+6 k2+1,xx2=2, 又因为x轴平分∠EQF,所以直线EQ和直线FQ的斜率互为相反数： 可得0+k知=0，即.1+为=0， x-a x2-a 将直线方程y=k(x-4)代入，化简得到k(x-4)(x2-a)+k(x2-4)(x-a)=0 代入越定用装果同20-6+8a-0, k2+1 化简得32k2+10-(4+a)(8k2+6)+8a(k2+1=0,即2a-14=0,解得a=7, 综上所述，点Q坐标为(7,0)，得证 试卷第12页（共12页）高二数学限时作业（二） 一、单选题 1.已知A(1,3),B(3,-1),则以AB为直径的圆的方程为() A.(x-2)}2+(y-1)2=20 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x+1)2+(y-22=5 D.(x+1)2+(y-2)2=20 2.已知圆M经过点A(2,0),B(0,2),C(6,4),则圆M的标准方程为() A.(x-4)2+(y-2)2=10 B.(x-3)}2+(y+3)2=10 C.(x-1)}+(y-1)2=10 D.(x-3)2+(y-3)2=10 3.若圆C:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+(y-m)2=1无公共点，则实数m的取值范围是() A.（o,-3U(5,+o) B.(-5,3) C.（-o0,-1)u(1,+o) D.(-1,1) 4.圆r+y+4r-2y+1=0关于直线m-y+2=0(o>0,6>0)对称，则上+2的最小值 a h 为() A.2 B.3+22 C.4 D.8 5.已知实数x,y满足方程x+y-4x+1=0,求上的最大值和最小值() A.2,0 B.V3,0 C.2,-3 D.5,-5 3元 6.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是 则实数m的取值范围 是() A.0<m≤2 B.0<m<2或2<m<4 C.2≤m<4 D.0<m<4 7.著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数 问题可以转化为几何问题加以解决，如：V(x-a)2+(x-b)2可以转化为平面上点M(x,)与 试卷第1页（共4页） 点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得√x2-2x+10-√x2+1的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.5 8.已知圆x2+y2+4x-4y-1=0上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为1，则m的取 值范围是() A.「-22,22 B.[-2,v2]c.[-2w2,2]D.[-2,22] 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.直线1的一个方向向量为d=（-1,2),则直线1的斜率等于-2 B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 C.当点P(3,2)到直线1：mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.已知直线1过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直 线1的斜率&的取值花用足(-小[+四 10.已知⊙C:(x-2)2+0y-a)2=16关于直线x+y-5=0对称，⊙C,:(x-1)2+y+1)2=1, 则() A.a=3 B.经过CC2的直线方程为y=4x-5 C.⊙C与⊙C,的公切线的数量为3 D.若P,Q分别是圆C,与圆C2上的点，则PQ的最大值为V17+5 1.已加20)，260，.D2.2,点P清起与设点P的筑迹为线C,O为 标原点，则下列说法正确的是() A.过点B作曲线C的切线，切线长为6√2 试卷第2页（共4页） B.当A,B,P三点不共线时，∠APO=∠BPO C.在C上存在点M,使得MO=2MA D.|PB+3PD的最小值为2V5 三、填空题 12.若点P(2,2)在圆C:x2+y2+2+4y+3a+8=0的外部，则a的取值范围为 13.己知直线：m(x+y+1)+y-x=0,m∈R,圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,则直线1被圆C 截得的最短弦的长度为 14.已知点O是坐标原点，点M是圆C:x2-6x+y2+8y+24=0上的动点，当动点P在 直线x-4y+17=0上运动时，PM+PO的最小值为 四、解答题 15.一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)在两坐标轴上的截距互为相反数： (2)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍： (3)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点). 16.在平面直角坐标系中，圆C与两坐标轴都相切，且过点(2，). (1)求圆C的方程. (2)若圆C与圆0：x2+y2=1相交，求两圆的公共弦长. 试卷第3页（共4页） 17.已知圆O方程为x2+y2=16,点M(6,0),点N是圆O上的动点，点P为线段MN的 中点. (1)求点P的轨迹方程； (2)记点P的轨迹为曲线C,过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A点和B点，求直 线AB的方程及弦长AB; (3)过点K(4,0)作直线与曲线C交于E,F两点，在x轴上是否存在一点Q,使得x轴总 是平分∠EQF？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 试卷第4页（共4页）